2024年通用版高考数学二轮复习专题7.3 求数列的通项公式(教师版)

这是一份2024年通用版高考数学二轮复习专题7.3 求数列的通项公式(教师版)，共43页。试卷主要包含了数列满足等内容，欢迎下载使用。

题型一观察法
例1．（2023春·高二课时练习）写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)；
(2)；
(3)7，77，777，7777.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）各项分母分别为，第1,2,3,4项分子分别比分母少了3，得到通项公式.
（2）数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1，得到通项公式.
（3）数列的前4项可以变为，，，，得到通项公式.
【详解】（1）各项分母分别为，第1,2,3,4项分子分别比分母少了3，
则原数列可化为，，，，
故它的一个通项公式为，.
（2）这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1，
所以它的一个通项公式为，.
（3）这个数列的前4项可以变为，，，，
即，，，，
所以它的一个通项公式为，.
例2．（2023·全国·高三专题练习）古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成三角形数，如1，3，6，10，15.我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球）.若一“落一形”三角锥垛有10层，则该堆垛第10层球的个数为___________.

【答案】55
【分析】根据给定条件归纳总结出“三角形数”的通项公式即可求出第10层球的个数.
【详解】设“落一形”三角锥垛从顶上一层开始，依次往下的各层球的个数形成数列，
，，，，，…，
由此得，即，
则，
∴堆垛第10层球的个数为55.
故答案为：55.
练习1．（2023秋·河南平顶山·高二统考期末）下列有关数列的说法正确的是（ ）
A．数列1，0，，与数列，，0，1是相同的数列
B．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列
C．数列0，2，4，6，8，…的一个通项公式为
D．数列，…的一个通项公式为
【答案】D
【分析】根据数列的定义和表示方法，逐一判断，即可得到本题答案.
【详解】对于选项A，数列1，0，-1，-2与数列-2，-1，0，1中的数字排列顺序不同，不是同一个数列，故A错误；
对于选项B，常数数列既不是递增数列，也不是递减数列，故B错误；
对于选项C，当时，，故C错误；
对于选项D，因为，…，所以数列的一个通项公式为，故D正确.
故选：D
练习2．（2023春·江西·高三校联考期中）已知数列为1，，9，，25，，…，则数列的一个通项公式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据观察法，即可求解.
【详解】由题意知，数列：1，4，9，16，25，的通项公式为，
所以数列：的通项公式为.
故选：B.
练习3．（2023·广东·高三专题练习）已知无穷数列满足，，，写出满足条件的的一个通项公式：___________.（不能写成分段数列的形式）
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据，，，利用不完全归纳法可得答案.
【详解】由，，，
猜想.
故答案为：.（答案不唯一）
练习4．（2023春·安徽·高三巢湖市第一中学校联考期中）传说古代希腊的毕达哥拉斯在沙滩上研究数学问题：把叫做三角形数；把叫做正方形数，则下列各数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分别写出三角形数和正方形数的通项公式，根据通项公式可得答案.
【详解】三角形数：，可得其通项公式为；
正方形数：，可得其通项公式为，
均无正整数解，且，
所以，，是正方形数不是三角形数，
又，既是三角形数，又是正方形数.
故选：A.
练习5．（2023春·贵州·高三校联考期中）已知数列， ，，，，…，则该数列的第100项为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】化简数列，得出数列的第项为，进而求得第项的值，得到答案.
【详解】由数列，可化为数列，
可得数列的第项为，所以第项为.
故选：C.
题型二周期数列
例3．（2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测）若数列满足，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】利用数列的周期性即可求得的值.
【详解】因为，所以.又因为，
所以，
所以是周期为4的数列，故.
故选：B
例4．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）在数列中，已知，当时，是的个位数，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】由题意，列出数列的前若干项，分析出数列变化规律，进而得出答案.
【详解】因为，当时，是的个位数，
所以，，，，，，，，，，
可知数列中，从第3项开始有，
即当时，的值以6为周期呈周期性变化，
又，
故.
故选：C.
练习6．（2023·全国·模拟预测）已知首项为的数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．1C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，由递推关系可知数列的周期为4，即可得到结果.
【详解】依题意，，则；而，则
，故数列的周期为4．又，
则.
故选：D．
练习7．（2023春·辽宁·高三辽宁实验中学校考阶段练习）数列满足：，，，记数列的前n项和为，则______．
【答案】
【分析】根据递推公式得到为周期数列，最小正周期为8，且，从而求出.
【详解】因为，，，
所以，，
，，，
，，
，，……，
故为周期数列，最小正周期为8，且，
所以
.
故答案为：
练习8．（2023·全国·高二专题练习）洛卡斯是十九世纪法国数学家，他以研究斐波那契数列而著名.洛卡斯数列就是以他的名字命名，洛卡斯数列为：、、、、、、、、、、，即，，且.则洛卡斯数列的第项除以的余数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设数列各项除以所得余数所形成的数列为，从而可知数列是以为周期的周期数列，从而可解.
【详解】设数列各项除以所得余数所形成的数列为，
则数列为：、、、、、、、、、、，
由上可知，数列是以为周期的周期数列，即对任意的，，
因为，所以.
故选：D.
练习9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则_______.
【答案】2
【分析】先求不动点方程，根据方程无解再逐项计算根据周期求解即可.
【详解】第一步，求不动点，设，令得：，化简得：，显然该方程无解，这种情况下一般是周期不大的周期数列，
我们只需算出前几项，找出规律即可，
由题意，，所以，，，，，，
从而是以6为周期的周期数列，
故.
故答案为：2.
练习10．（2023·北京通州·统考三模）数列中，，则（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】C
【分析】根据题意，分别求得，即可得到数列的周期，从而得到结果.
【详解】因为，令，则，求得，
令，则，求得，令，则，求得，
令，则，求得，令，则，求得，
令，则，求得，，
所以数列的周期为，则.
故选：C
题型三累加法
例5．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，已知，，求通项公式．
【答案】
【解析】
由题意可得
，
所以．
例6．（2023·全国·高三专题练习）设数列满足，.求的通项公式.
【答案】
【详解】=
.
练习11．（2023·山西大同·统考模拟预测）已知数列满足：，，数列是以4为公差的等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前n项和为，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知条件求数列的通项，再用累加法求数列的通项公式；
（2）由数列的通项，利用裂项相消法求前n项和为.
【详解】（1）根据题意可得，
则
；
又符合上式，所以；
（2）∵，
∴.
练习12．（2023·全国·高三专题练习）古希腊著名科学家毕达哥拉斯把1，3，6，10，15，21，…这些数量的（石子），排成一个个如图一样的等边三角形，从第二行起每一行都比前一行多1个石子，像这样的数称为三角形数.那么把三角形数从小到大排列，第11个三角形数是______.
【答案】66
【分析】根据题意，得到，，进而利用累加法求得，由此得解.
【详解】依题意，设三角形数按从小到大排列构成数列，则，，
所以，
上式相加得，
所以，
则第11个三角形数是.
故答案为：66.
练习13．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知数列满足，，则数列的通项公式为______．
【答案】
【分析】对已知递推关系的等式两边同时除以，利用累加法，结合裂项求和法即可求得结果.
【详解】，两边同除得：
，
所以，即，
化简得，∵，∴．
故答案为：.
练习14．（2023春·江苏南京·高三南京大学附属中学校考阶段练习）在数列中，，.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由得，然后利用累加法求出即可得证；
（2），利用分组求和法和错位相减法可得答案.
【详解】（1）由得，
∴，
，
⋯⋯，
，
∴，
∴，，,
∴数列是等比数列；
（2）由（1）可得，
∴，
令，①
∴，②
错位相减，②﹣①，得：
，
∴.
练习15．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知数列的各项均不为零，且满足，（，），则的通项公式__________．
【答案】
【分析】变换得到，设，得到，利用累加法计算得到答案.
【详解】，则，
设，，则，
，
而也符合该式，故，故.
故答案为：
题型四累乘法
例7．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，，则的通项公式为___________．
【答案】
【分析】根据累乘法求出当时的通项公式，并验证也满足，从而得到的通项公式.
【详解】因为数列满足，，则，
所以，当时，，
也满足，所以，对任意的，．
故答案为：
例8．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足．
(1)若，求的通项公式．
(2)若，求的通项公式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据累乘法即可求解；（2）根据累加法即可求解.
【详解】（1）由题意可得．
（2）由题可得．
练习16．（2022秋·重庆北碚·高三重庆市兼善中学校考阶段练习）已知数列的前项和为，．
(1)求，；
(2)求数列的通项公式．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）将，分别代入中即可求得，；
（2）利用得出数列的递推关系，再由累乘法求得通项公式，要注意的验证．
【详解】（1）依题意有，得，
又，得；
（2）因为，所以当时，，
两式相减得，化简得，
所以，
又满足上式，所以．
练习17．（2023秋·江苏无锡·高三统考期末）已知向量，，，则______，______．
【答案】
【分析】设，，得到，利用累乘法求出，结合，求出，，裂项相消法求和得到答案.
【详解】设，，
∴，
∴，
故，，
∴，
，
以上个式子相乘得：，，
又因为，所以，
∴，，
∴，，，
，
∴
．
故答案为：，．
练习18．（2023·全国·模拟预测）已知正项数列中，，，，则______，______．
【答案】 2
【分析】先根据已知递推关系式列方程组，求得的值，然后将已知递推关系式化简、变形，得到数列是首项为，公比为2的等比数列，
进而得到，最后利用累乘法求得．
【详解】由，得，消去，
得，则．
由，得，
又，所以数列是首项为，公比为2的等比数列，
所以，
所以当时，，
经检验当时上式也成立，
所以．
故答案为：；.
练习19．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考二模）已知数列满足：.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用累乘法计算；
（2）运用裂项相消法求和.
【详解】（1）由题意： ，
，
，
，将代入上式也成立， ；
（2） ，
.
练习20．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知数列的前项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）解法一：由已知等式变形可得，计算出的值，再利用累乘法可求得数列的通项公式；
解法二：由已知条件计算出的值，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式；
（2）利用错位相减法求出，进而可证得结论成立.
【详解】（1）解：解法一：由题①，，即②，由①②得，
由得，
所以当时，，
也满足，
所以数列的通项公式为；
解法二：由题，①，，即②，由①②得，
由，得，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，，
所以数列的通项公式为．
（2）证明：由（1）知，
所以，
两式作差得，
所以.
题型五待定系数法
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列{an} 满足a1 = 1，an+1 = 3an + 1.求{an}的通项公式.
【答案】
【分析】此题的基本方法是由an+1 = 3an + 1，构造新数列是一个首项为，公比为3的等比数列，从而求得.这种构造新数列的方法有时往往不能理解为何要这样配凑，于是也就仅限于依葫芦画瓢而已，其实此类型问题可采用迭代法求解.
【详解】
.
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知数列是首项为.
(1)求通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，解得，得到是首项为，公比为的等比数列，得到通项公式.
（2）确定，再利用分组求和结合等差等比数列求和公式计算得到答案.
【详解】（1），设，
即，即，解得，
，故是首项为，公比为的等比数列.
，故.
（2），则
.
练习21．（2023·全国·高三专题练习）数列{an}满足，，则数列{an}的通项公式为___________.
【答案】．
【分析】已知式两边同除以，构造一个等差数列，由等差数列的通项公式可得结论．
【详解】∵，所以，即，
∴是等差数列，而，
所以，
所以．
故答案为：．
练习22．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，，则数列的通项公式为_____________.
【答案】
【分析】依题意可得，即可得到是为首项，为公比的等比数列，从而求出数列的通项公式.
【详解】因为，
设，即，
根据对应项系数相等则，解得，故，
所以是为首项，为公比的等比数列，
所以，即.
故答案为：
练习23．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，则数列的通项公式为_____________.
【答案】
【分析】解法一：利用待定系数法可得，结合等比数列分析运算；解法二：整理得，结合等比数列分析运算；解法三：整理得，根据累加法结合等比数列求和分析运算.
【详解】解法一：设，整理得，可得，
即，且，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即；
解法二：(两边同除以) 两边同时除以得：，
整理得，且，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即；
解法三：(两边同除以)两边同时除以得：，即，
当时，则
，
故，
显然当时，符合上式，故.
故答案为：.
练习24．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，且，则数列的通项公式为_____________.
【答案】
【分析】根据题意,可得，令，则，再结合等比数列的定义求解即可.
【详解】∵，等式两侧同除，可得，
令，则，
∴，又，
∴是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴，即，
∴，即.
故答案为：.
练习25．（2022·全国·高三专题练习）设数列满足：，（），数列满足：．求数列的通项公式．
【答案】．
【分析】利用辅助法，对于数列的递推公式，两边同时除以，根据数列构造法，可得答案.
【详解】∵，两边同时除以得．
令，则．
两边同时加上得．
∴数列是以为首项，为公比的等比数列．
∴，∴．
∴．
又∵，∴，
题型六取倒数法、取对数法
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，求的通项公式.
【答案】
【分析】两边取对数得，根据等比数列的通项公式求解，解方程即可得解.
【详解】取以10为底的对数可得，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即，即.
例12．（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）（多选）已知数列满足，则下列结论正确的有（ ）
A．为等比数列
B．的通项公式为
C．为递增数列
D．的前n项和
【答案】ABD
【分析】根据已知证明为定值即可判断A；由A选项结合等比数列的通项即可判断B；作差判断的符号即可判断C；利用分组求和法即可判断D.
【详解】因为，
所以+3，所以，
又因为，
所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，故A正确；
，即，故B正确；
因为，
因为，所以，
所以，所以为递减数列，故C错误；
，
则，故D正确.
故选：ABD.
练习26．（2023春·高三课时练习）数列中，，，则下列结论中正确的是（ ）
A．数列的通项公式为
B．数列为等比数列
C．数列为等比数列
D．数列为等差数列
【答案】C
【分析】求出数列的前3项，利用等比数列定义判断A，B；给定等式两边取对数可得，判断C，D作答.
【详解】数列中，，，则，，显然不成等比数列，A，B都不正确；
依题意，，由两边取对数得：，
因此，数列是首项为，公比为2的等比数列，C正确，D不正确.
故选：C
练习27．（2023·全国·高三专题练习）已知为正项数列的前项的乘积，且
(1)求数列的通项公式
(2)令，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用得的递推关系，取对数得常数数列，从而得通项公式；
（2）用错位相减法求和．
【详解】（1）由得：当时，，
两式相除得：，即，
两边取对数得：，亦即，故数列是常数列，
，，；
（2），，
，
，
两式相减得，
．
练习28．（2022秋·湖南娄底·高三湖南省新化县第一中学校考期末）（多选）已知数列满足，，则下列结论中错误的有（ ）
A．为等比数列B．的通项公式为
C．为递增数列D．的前项和为
【答案】BC
【分析】取倒数后由构造法得为等比数列，得通项公式后对选项逐一判定
【详解】由题意得，则，而，
故是首项为，公比为的等比数列，
，得，为递减数列，故A正确，B，C错误，
对于D，，的前项和为，故D正确，
故选：BC
练习29．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）两边同时取到数，构造等比数列求解即可；
（2）放缩法证明不等式即可.
【详解】（1）因为，，故，
所以，整理得．
又，，，
所以为定值，
故数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，得.
（2）因为，
所以．
练习30．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）已知各项均为正数的数列满足，，，．
(1)当时，求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）推导出，计算得出，即可得出当时，数列的通项公式；
（2）由（1）可求得，计算可得，利用错位相减法可求得数列的前项和.
【详解】（1）当时，，所以，，即，
所以，，所以，，即，
因为，所以，当时，.
（2）解：由（1）可知，当时，，则，即，
所以，数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，.
故，设数列的前项和为，
所以，，①
则，②
①②可得
，
因此，.
题型七已知求通项公式
例13．（2023·全国·高三专题练习）记数列的前项和为，若，且，则__________.
【答案】
【分析】当时，由可得，两式作差可得出，当时，求出的值，可得出，分析可知数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，利用等差数列的求和公式可求得的值.
【详解】当时，由可得，
两式相减得，即，
即.
当时，，即，
所以，，则，
则数列是以为首项，为公差的等差数列.
则.
故答案为：.
例14．（2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测）已知数列的前n项和为，且
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设 求数列的前n项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据前n项和与通项公式之间的关系可得，再结合等差数列定义证明；
（2）结合（1）中的结果，利用裂项相消法求解.
【详解】（1）当时，则；
当时，则；
显然当时，也满足上式，
所以.
当n≥2时，则，
所以数列是首项为3，公差为2的等差数列.
（2）由（1）可知，，则，
可得
，
所以数列前n项和为.
练习31．（2023·浙江绍兴·统考二模）设数列的前项和为，数列是首项为1，公差为1的等差数列，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列求得，即，再根据与的关系采用相减法即可求得数列的通项公式；
（2）由题意得，利用等比数列求和公式即可得数列的前项和.
【详解】（1）是首项为1，公差为1的等差数列，.
时，也符合
（2）显然
于是
练习32．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)求；
(3)若，求数列前项和．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）类比题目中的和式再写出一个把换成的和式，然后与原来的和式作差即可求出结果；
（2）利用（1）的结果求出，然后利用裂项相消法即可求和；
（3）利用（1）的结果求出，然后分组利用错位相减法即可求出.
【详解】（1），
当时，，即，
当时，，
得，即，
满足上式，
数列的通项公式为；
（2）由（1）得，
；
（3）由（1）知，
数列前项和
，
令，
，
，
，
得
.
得
，
.
练习33．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足．
(1)证明：是一个等差数列；
(2)已知，求数列的前项和．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）根据得到，然后两式相减得到，最后验证时是否成立，即可得到，进而即可证明结论；
（2）分奇偶项求和，奇数项用等差数列求和公式求和，偶数项用裂项相消的方法求和，最后相加即可．
【详解】（1）当时，可得，
当时，由，
则，
上述两式作差可得，
因为满足，所以的通项公式为，所以，
因为（常数），
所以是一个等差数列．
（2），
所以，
所以数列的前项和．
练习34．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）设数列的前项和为，已知，是公差为2的等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列前项和，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出，从而利用等差数列通项公式求出，再利用求出答案；
（2）裂项相消法求和，并证明.
【详解】（1）因为，则，
所以，可得，
当时，，
又因为适合上式，因此.
（2）由（1）可得：，
故.
练习35．（2023·山西吕梁·统考三模）已知数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据与的关系即可求解数列的通项公式；
（2）由（1）可得，结合裂项相消求和法即可求解.
【详解】（1）①，
当时，，解得.
当时，②，
①-②，得，所以，
又，符合上式，故.
（2）由（1）知，则，
所以，
则
.
题型八已知或者求通项公式
例15．（2023·四川凉山·三模）数列的前n项和为，若，，则______．
【答案】
【分析】由，可得当时，，两式相减可证得数列是以1为首项，公比为2的等比数列，即可求出的通项公式.
【详解】由已知，，①，
当时，，
当时，②，
①－②得：，整理得：，即，
又符合上式，所以数列是以为首项，公比为2的等比数列，
所以.
故答案为：.
例16．（2023春·河北·高三校联考阶段练习）设数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据与的关系，求得数列的通项公式，即可求出的通项公式；
（2）由题知，进而根据裂项求和法求解即可.
【详解】（1）因为，所以当时，，
所以，即，
则，
当时，，解得，则，
从而是首项为2，公比为2的等比数列，
故，即；
（2）由（1）知，
所以．
练习36．（2023·四川成都·成都七中统考模拟预测）已知在数列中，，，则_____ .
【答案】
【分析】将时的等式与条件中的等式做差整理可得，然后利用计算即可.
【详解】①，
当时，②，
①-②得，整理得，
当时，，得，
.
故答案为：.
练习37．（2023·全国·长郡中学校联考二模）已知正项数列的前项和为，且，（且）.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由及题意可得数列为等差数列，从而求出，从而可求出答案；
（2）利用裂项相消法证明即可.
【详解】（1）∵，
∴，
又，
∴，
∴数列是以为首项，1为公差的等差数列，
∴，∴，
当时，，
当时，，满足上式，
∴数列的通项公式为；
（2）由（1）可知，，则，
故
，因为，故，即得证
练习38．（2023·云南·校联考二模）正项数列的前n项和为，已知．
(1)求证：数列为等差数列，并求出，；
(2)若，求数列的前2023项和．
【答案】(1)；；
(2).
【分析】（1）将代入递推公式即可求出答案；
（2）将通项公式代入，将展开并项求和即可得出答案.
【详解】（1）由可得，，
又因为为正项数列的前n项和，所以，
因为，所以，
所以，数列为等差数列，
所以 ，，，所以.
（2），
.
练习39．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，，，设（表示不超过的最大整数），则数列的前2023项和（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据和的关系化简，可得，进而得到数列是以为首项、4为公比的等比数列，进而得到，可得，进而根据等比数列的求和公式求解即可.
【详解】因为，则，
两式相减得．
当时，，即，
代入，可得，即，所以，
所以数列是以为首项、4为公比的等比数列，
所以，所以，
所以．
故选：B．
练习40．（2023·全国·高三专题练习）记数列的前n项和为，已知，，则______
【答案】
【分析】根据与的关系式，可推得，进而根据累乘法即可求出.
【详解】由已知可得，.
当时，，
所以；
当时，
有，，
两式相减得，，
所以.
所以有，
，
，
，
，
两边同时相乘可得，，
整理可得，.
当时，，满足该式，
，满足该式，
故.
故答案为：.
题型九因式分解型求通项
例17．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）设正项数列的前n项和为，已知，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据得到，根据和得到，即可得到数列是公差为2的等差数列，然后求通项即可；
（2）利用裂项相消的方法求和即可.
【详解】（1）因为，所以①，
所以时，②．
由，得，即．
因为各项均为正数，所以，即，
因为，所以，，解得，，，
所以数列是公差为2的等差数列，
所以．
（2）由（1）得．
当n为偶数时，
；
当n为奇数时，
．
所以
例18．（2023春·江苏南京·高三江苏省溧水高级中学校考期中）正项数列的前和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由证明是等差数列，可求通项；
（2）由错位相减法求的通项，再用分组求和求数列的前项和.
【详解】（1）正项数列，当时，由，解得，
由，所以，
所以，即，
，
数列是正项数列，所以，
所以数列是首项为1，公差为1的正项等差数列，
所以.
（2）由，
所以，
，
，
上面两式相减，得，
，即，
所以，
.
练习41．（2023·全国·高二专题练习）已知数列各项均为正数且满足，数列满足，且．求的通项公式.
【答案】，
【分析】由化简可得到的通项公式，将左右两边同除以可得是等差数列，即可得到的通项公式.
【详解】由可得，
，
因为，左右两边同除以，得，
所以数列是公差为1的等差数列，
，，
.
练习42．（河南省部分重点中学2022-2023学年高三下学期5月质量检测数学试题）已知递增数列满足．
(1)求；
(2)设数列满足，求的前项和．
【答案】(1)；
(2)Sn=.
【分析】（1）由题可得，然后根据等差数列的概念即得；
（2）利用错位相减法即得.
【详解】（1）由，得，
即，
若，则，又，
所以数列为首项为7公差为4的等差数列；
若，由，得，（舍去）；
综上：；
（2）由（1）知，，所以数列的前n项和，
作差可得：
，
所以，
故的前n项和为Sn=.
练习43．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）在数列中，，且递增，则___________．
【答案】
【分析】由题设中的递归关系可得，从而可求，故可求数列的通项，也可以利用特值方程法求出数列的通项.
【详解】解法一 根据题意，有，
于是，
考虑到，于是，
所以
进而．
解法二 根据题意，有，
，
两式相减，得，
因为数列单调递增，所以，，
两式相减，得．
解上式对应的特征方程,
得，因此．
将代入上式，得
练习44．（2023·全国·高三专题练习）已知正项数列满足.求的通项公式；
【答案】
【分析】将所给等式因式分解后再用累乘法求解.
【详解】由可得：，
因为为正项数列，所以，
所以，则，……，，
将这个式子相乘，则，
又因为，所以
练习45．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）已知正数数列，，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）因式分解，从而可推导得，再利用累乘法计算数列的通项公式；（2）根据裂项相消法计算数列的前项和.
【详解】（1）∵，
∴，
又，∴，即．
又，
且，∴
（2），∴，，
又，
∴.
题型一
观察法
题型二
周期数列
题型三
累加法
题型四
累乘法
题型五
待定系数法
题型六
取倒数法、取对数法
题型七
已知求通项公式
题型八
已知或者求通项公式
题型九
因式分解型求通项