2024年通用版高考数学二轮复习专题7.5 数列的其他应用(学生版)

这是一份2024年通用版高考数学二轮复习专题7.5 数列的其他应用(学生版)，共13页。试卷主要包含了已知数列满足，，，令.，已知等差数列的前项和为，且等内容，欢迎下载使用。

题型一分段递推数列求通项公式
例1．（2023·江西南昌·统考三模）已知数列满足，其中 ，则数列的前项和为______.
例2．（2023春·广东佛山·高二佛山一中校考阶段练习）（多选）已知数列满足，，则（ ）
A．
B．当为偶数时，
C．
D．数列的前项和为
练习1．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，，记，求数列的通项公式．
练习2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知数列满足，数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
练习3．（2023秋·安徽宣城·高三统考期末）已知数列满足，，，令.
(1)写出，，并求出数列的通项公式；
(2)记，求的前10项和.
练习4．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知数列的首项为,数列的前项和小于实数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
练习5．（2023春·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知数列满足：①；②.则的通项公式______；设为的前项和，则______.（结果用指数幂表示）
题型二公共项数列
例3．（2023春·河北石家庄·高二石家庄市第十五中学校考阶段练习）数列的通项公式分别为和，设这两个数列的公共项构成集合A，则集合中元素的个数为（ ）
A．167B．168C．169D．170
例4．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知数列是公差为3的等差数列，数列是公比为2的等比数列，且满足． 将数列与的公共项按照由小到大的顺序排列，构成新数列．
(1)证明：
(2)求数列的前n项和．
练习6．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）将数列与的公共项由小到大排列得到数列，则数列的前n项的和为__________．
练习7．（2023·全国·高三专题练习）已知，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则__________.
练习8．（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校联考阶段练习）已知等差数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列由与的公共项按从小到大的顺序排列而成，求数列落在区间内的项的个数．
练习9．（2023·全国·高三专题练习）记为公比不为1的等比数列的前项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)设，若由与的公共项从小到大组成数列，求数列的前项和．
练习10．（2022秋·山东济宁·高三统考期中）我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数值剩二，七七数之剩二，问物几何？”根据这一数学思想，所以被除余的自然数从小到大组成数列，所有被除余的自然数从小到大组成数列，把和的公共项从小到大得到数列，则（ ）
A．B．C．D．
题型三插项数列
例5．（2023·全国·高三专题练习）若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，可以形成一个新的数列，再把所得数列按照同样的方法可以不断构造出新的数列．现将数列1，3进行构造，第1次得到数列1，4，3；第2次得到数列1，5，4，7，3；依次构造，第次得到数列1，．记，若成立，则的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
例6．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知等比数列的前项和为，且
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和．
练习11．（2023秋·江苏盐城·高三江苏省阜宁中学校联考期末）已知数列的通项公式，在数列的任意相邻两项与之间插入个4，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记新数列的前n项和为，则的值为______．
练习12．（2023·全国·学军中学校联考二模）设数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)在数列的任意与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前项的和为，求的值.
练习13．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)保持中各项先后顺序不变，在与之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为，求的值（用数字作答）．
练习14．（2023春·辽宁锦州·高三校考期中）记为各项均为正数的等比数列的前n项和，，且，，成等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)在和之间插入n个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，求数列的前n项和.
练习15．（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知数列的前项和，，且.数列满足，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)将数列中的项按从小到大的顺序依次插入数列中，在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列，求数列的前100项的和.
题型四数列中的新定义问题
例7．（2023·全国·高三对口高考）对于数列，定义为数列的一阶差分数列，其中
(1)若数列的通项公式，求的通项公式；
(2)若数列的首项是1，且满足，证明数列为等差为数列.
例8．（2023·广东佛山·校考模拟预测）（多选）所有的有理数都可以写成两个整数的比，例如如何表示成两个整数的比值呢？代表了等比数列的无限项求和，可通过计算该数列的前项的和，再令获得答案.此时，当时，，即可得.则下列说法正确的是（ ）
A．
B．为无限循环小数
C．为有限小数
D．数列的无限项求和是有限小数
练习16．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中n为正整数，
(1)证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；
(2)设，定义，且记，求数列的前n项和．
练习17．（2023·湖北武汉·统考三模）将按照某种顺序排成一列得到数列，对任意，如果，那么称数对构成数列的一个逆序对.若，则恰有2个逆序对的数列的个数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
练习18．（2023·北京·人大附中校考三模）已知数列满足：对任意的，总存在，使得，则称为“回旋数列”．以下结论中正确的个数是（ ）
①若，则为“回旋数列”；
②设为等比数列，且公比q为有理数，则为“回旋数列”；
③设为等差数列，当，时，若为“回旋数列”，则；
④若为“回旋数列”，则对任意，总存在，使得．
A．1B．2C．3D．4
练习19．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考二模）（多选）在数列中，（，为非零常数），则称为“等方差数列”，称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）
A．是等方差数列
B．若正项等方差数列的首项，且是等比数列，则
C．等比数列不可能为等方差数列
D．存在数列既是等差数列，又是等方差数列
练习20．（2023·江苏苏州·校联考三模）（多选）若数列满足：对任意的，总存在，使，则称是“数列”.则下列数列是“数列”的有（ ）
A．B．
C．D．
题型五数列的结构不良
例9．（2023·江西·统考模拟预测）已知等差数列的前项和为，，．
(1)求的通项公式及；
(2)设__________，求数列的前项和．
在①；②；③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解．
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
例10．（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）已知正项数列的前项和为，在①，且；②；③，，这三个条件中任选一个，解答下列问题：
(1)证明数列是等比数列，并求其通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若恒成立，求的最小值.
注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分.
练习21．（2023春·广西·高三校联考阶段练习）已知数列的前项和为，在①且；②；③且，，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解：
(1)已知数列满足______，求的通项公式；
(2)已知正项等比数列满足，，求数列的前项和．
练习22．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知数列的各项均为正数，记为的前项和.
(1)从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立；
①；
②；
③.
(2)在（1）的条件下，若，求.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
练习23．（2023春·浙江杭州·高三浙江大学附属中学校考期中）在①；②这两组条件中任选一组，补充下面横线处，并解答下列问题.
已知数列的前n项和是，数列的前n项和是，___________.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求.
练习24．（2023秋·云南昆明·高三统考期末）已知是数列的前项和，①，，②，且，③，
请从①②③中选择一个条件进行求解.
注：如果选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列的前项和为，是否存在正整数，使恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由.
练习25．（2023春·北京海淀·高三中央民族大学附属中学校考期中）已知数列中，，_____，其中 ．
从①数列的前项和 ，② ，③且，这三个条件中一个，补充在上面的问题中并作答.
注：若选作多个条件分别解答，按第一个解答计分.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求证：数列 是等差数列；
(3)设数列 ，求数列的通项公式及前20项和 ．
题型六递推数列的实际应用
例11．（2023·全国·高三专题练习）农历是我国古代通行历法，被誉为“世界上最突出和最优秀的智慧结晶”.它以月相变化周期为依据，每一次月相朔望变化为一个月，即“朔望月”，约为29.5306天.由于历法精度的需要，农历设置“闰月”，即按照一定的规律每过若干年增加若干月份，来修正因为天数的不完美造成的误差，以使平均历年与回归年相适应设数列满足，其中均为正整数，且，，，，，，…，那么第n级修正是“平均一年闰个月”，已知我国农历为“19年共闰7个月”，则它是（ ）
A．第3级修正B．第4级修正C．第5级修正D．第6级修正
例12．（2023·全国·高三专题练习）（多选）1202年，斐波那契在《算盘全书》中从兔子问题得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和，人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，19世纪以前并没有人认真研究它，但在19世纪末和20世纪，这一问题派生出广泛的应用，从而活跃起来，成为热门的研究课题，记为该数列的前项和，则下列结论正确的是（ ）
A．B．为偶数
C．D．
练习26．（2022秋·福建漳州·高三统考期末）（多选）被誉为“闽南第一洞天”的风景文化名胜——漳州云洞岩，有大小洞穴四十余处，历代书法题刻二百余处.由于岩石众多，造就了云洞岩石头上开凿台阶的特色山路，美其名曰：天梯，其中有一段山路需要全程在石头上爬，旁边有铁索可以拉，十分惊险.某游客爬天梯，一次上1个或2个台阶，设爬上第个台阶的方法数为，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
练习27．（2021秋·重庆·高三校联考阶段练习）阿司匹林（分子式，分子质量180）对血小板聚集的抑制作用，使它能降低急性心肌梗死疑似患者的发病风险.对于急性心肌梗死疑似患者，建议第一次服用剂量300，嚼碎后服用以快速吸收，以后每24小时服用200.阿司匹林口服后经胃肠道完全吸收，阿司匹林吸收后迅速降解为主要代谢产物水杨酸（分子式，分子质量138），降解过程生成的水杨酸的质量为阿司匹林质量的，水杨酸的清除半衰期（一般用物质质量衰减一半所用的时间来描述衰减情况，这个时间被称作半衰期）约为12小时.（考虑所有阿司匹林都降解为水杨酸）
(1)求急性心肌梗死疑似患者第1次服药48小时后第3次服药前血液中水杨酸的含量（单位）；
(2)证明：急性心肌梗死疑似患者服药期间血液中水杨酸的含量不会超过230.
练习28．（2023春·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列{I}，{I}表示第n周的虫害的严重程度，虫害指数越大，严重程度越高．为了治理害虫，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一：
策略A：环境整治，“虫害指数”数列满足：I+1＝1.02I﹣0.2．
策略B：杀灭害虫，“虫害指数”数列满足：I+1＝1.08I﹣0.46．
当某周“虫害指数”小于1时，危机就在这周解除．
(1)设第一周的虫害指数Ⅰ1∈[0，8]，用哪一个策略将使第二周的虫害的严重程度更小？
(2)设第一周的虫害指数Ⅰ1＝3，如果每周都采用最优策略，虫害的危机最快将在第几周解除？
练习29．（2023·浙江·校联考三模）某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为，且每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为为的前项和，则___________.（结果保留成整数）（参考数据：）
练习30．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，有标号为1，2，3的三根柱子，在1号柱子上套有n个金属圆片，从下到上圆片依次减小．按下列规则，把金属圆片从1号柱子全部移到3号柱子，要求：①每次只能移动一个金属圆片；②较大的金属圆片不能在较小的金属圆片上面．
若，则至少需要移动______次；
将n个金属圆片从1号柱子全部移到3号柱子，至少需要移动______次．

题型一
分段递推数列求通项公式
题型二
公共项数列
题型三
插项数列
题型四
数列中的新定义问题
题型五
数列的结构不良
题型六
递推数列的实际应用