2024年通用版高考数学二轮复习专题7.5 数列的其他应用(教师版)

这是一份2024年通用版高考数学二轮复习专题7.5 数列的其他应用(教师版)，共42页。试卷主要包含了已知数列满足，，，令.，已知等差数列的前项和为，且等内容，欢迎下载使用。

题型一分段递推数列求通项公式
例1．（2023·江西南昌·统考三模）已知数列满足，其中 ，则数列的前项和为______.
【答案】
【分析】根据递推公式将偶数项转化为奇数项，再运用递推公式求出奇数项的通项公式，再求和.
【详解】由递推公式 ，得 ，
即，，
数列 是首项为，公比等比数列，， ，

；
故答案为：.
例2．（2023春·广东佛山·高二佛山一中校考阶段练习）（多选）已知数列满足，，则（ ）
A．
B．当为偶数时，
C．
D．数列的前项和为
【答案】BCD
【分析】根据已知递推出可判断A；令，由已知可得，可得，令， 由已知可得，，所以可判断BC；计算出前项中的奇数项和、
偶数项和可判断D.
【详解】对于A，因为，，，，，故A错误；
对于B，令， 由已知可得，，
所以，又，
所以，，
令，所以，当为偶数时，，故B正确；
对于C，由B可知，，令， 由已知可得，，
所以，综上，故C正确；
对于D，前项中的奇数项和，
前项中的偶数项和，
所以数列的前项和为，故D正确.
故选：BCD.
练习1．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，，记，求数列的通项公式．
【答案】
【分析】推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的表达式，根据数列的递推公式可得出数列的表达式，然后对为偶数和奇数两种情况讨论，可得出数列的通项公式.
【详解】解：因为数列满足，，则，
因为，所以，，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，，
因为，
所以，.
所以，当为偶数时，设，则，所以，；
当为奇数时，设，则，
此时，.
综上所述，.
练习2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知数列满足，数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据数列的递推公式依次写出，即可发现规律；
（2）由（1）可写出数列的表达式，根据裂项求和的方法可求出前n项和．
【详解】（1）由题意知，，，，，，…，，，从而．
（2）由（1），所以．
练习3．（2023秋·安徽宣城·高三统考期末）已知数列满足，，，令.
(1)写出，，并求出数列的通项公式；
(2)记，求的前10项和.
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）由递推关系既可求得，，再由数列的通项公式代入到，可求得数列的通项公式；
（2）将数列的通项公式代入到，可求得，由分组求和方法计算即可得出的前10项和
【详解】（1）因为，，所以，，
又，所以，，，
当，时，；
当，时，，
当时，，即，
则，，
数列是以为首项，3为公比的等比数列，
故.
（2）由（1）可得，
记的前项和为，
则
.
练习4．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知数列的首项为,数列的前项和小于实数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先分奇偶求出通项公式，再应用裂项相消法即可得前n项和，则得M的最小值.
【详解】当时，，即.
所以当为奇数时，是常数列.又，
所以当为奇数时，，即，
当为偶数时，，
所以当时，.
设，则
故的前项和为
，当趋向于无穷大时，前和趋向于.
所以的最小值为.
故选：C.
练习5．（2023春·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知数列满足：①；②.则的通项公式______；设为的前项和，则______.（结果用指数幂表示）
【答案】
【分析】当为奇数时令可得，当为偶数时令，可得，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出通项公式，再利用分组求和法计算可得.
【详解】当为奇数时，令，则，
当为偶数时，令，则，
则，
当时，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以，则，
当为奇数时，由，则，所以，
当为偶数时，由，则，所以，
所以，
所以
故答案为：，
题型二公共项数列
例3．（2023春·河北石家庄·高二石家庄市第十五中学校考阶段练习）数列的通项公式分别为和，设这两个数列的公共项构成集合A，则集合中元素的个数为（ ）
A．167B．168C．169D．170
【答案】C
【分析】利用列举法可知，将集合中的元素由小到大进行排序，构成的数列记为，可知数列为等差数列，求出数列的通项公式，然后解不等式，即可得出结论.
【详解】由题意可知，数列、、、、、、、、、、，
数列、、、、、、、、、、，
将集合中的元素由小到大进行排序，构成数列、、、，
易知数列是首项为，公差为的等差数列，则，
由，可得，
因此，集合中元素的个数为.
故选：C.
例4．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知数列是公差为3的等差数列，数列是公比为2的等比数列，且满足． 将数列与的公共项按照由小到大的顺序排列，构成新数列．
(1)证明：
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用基本量代换列方程组求出，得到，的通项公式，进而判断出是数列{}的项，即可证明；（2）利用错位相减法求和.
【详解】（1）由，得，
由，得，
解得，
因为数列{}的公差为3，数列{}的公比为2，
所以
不是数列{}的项，是数列{}的第1项．
设，则
所以不是数列{}的项．
因为，
所以是数列{}的项．
所以
（2）由（1）可知，．
=
所以
所以．
练习6．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）将数列与的公共项由小到大排列得到数列，则数列的前n项的和为__________．
【答案】
【分析】找到数列与的公共项，组成数列，可得数列是首项为4，公比为4的等比数列，结合等比数列的前n项和公式即可求得答案.
【详解】由题意令，即2不是数列与的公共项；
令，即4是数列与的公共项；
令，即8不是数列与的公共项；
令，即16是数列与的公共项；
依次类推，可得数列：，
即是首项为4，公比为4的等比数列，
故数列的前n项的和为 ，
故答案为：
练习7．（2023·全国·高三专题练习）已知，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则__________.
【答案】
【分析】分析可知是正奇数列，根据题意求得，然后利用裂项相消法可求得的值.
【详解】因为数列是正奇数列，
对于数列，当为奇数时，设，则为偶数；
当为偶数时，设，则为奇数，
所以，，则，
因此，.
故答案为：.
练习8．（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校联考阶段练习）已知等差数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列由与的公共项按从小到大的顺序排列而成，求数列落在区间内的项的个数．
【答案】(1)
(2)22
【分析】（1）根据等差数列通项公式和前项和公式列式计算即可；
（2）计算得出的通项公式，分析可得表示全体正奇数的平方从小到大组成的数列，据此推断出数列落在区间内的项的个数.
【详解】（1）设等差数列的公差为．
由可得得
解得
所以．
（2）因为，所以表示所有正整数的完全平方数从小到大组成的数列，
而表示全体正奇数从小到大组成的数列，所以表示全体正奇数的平方从小到大组成的数列，
因为，所以落在区间内的项的个数为22项．
练习9．（2023·全国·高三专题练习）记为公比不为1的等比数列的前项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)设，若由与的公共项从小到大组成数列，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等比数列的公比为，由求出，再由等比数列求和公式求出，即可得解；
（2）由（1）可得，即可得到数列的特征，令，求出的取值，即可得到为以为首项，为公比的等比数列，再由等比数列求和公式计算可得.
【详解】（1）解：设等比数列的公比为，
因为，即，即，所以，
又，即，解得，
所以.
（2）解：由（1）可得，
则数列为、、、、，偶数组成的数列，
又，令，则为正偶数，
所以，，，，，
所以为以为首项，为公比的等比数列，
所以.
练习10．（2022秋·山东济宁·高三统考期中）我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数值剩二，七七数之剩二，问物几何？”根据这一数学思想，所以被除余的自然数从小到大组成数列，所有被除余的自然数从小到大组成数列，把和的公共项从小到大得到数列，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意数列、都是等差数列，从而得到数列是等差数列，依次对选项进行判断可得答案.
【详解】根据题意数列是首项为2，公差为3的等差数列， ，
数列是首项为2，公差为5的等差数列，，
数列与的公共项从小到大得到数列，故数列是首项为2，公差为15的等差数列，.
对于A，，，，错误
对于B，，，，正确.
对于C，，，，，错误.
对于D，，，，，错误.
故选：B.
题型三插项数列
例5．（2023·全国·高三专题练习）若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，可以形成一个新的数列，再把所得数列按照同样的方法可以不断构造出新的数列．现将数列1，3进行构造，第1次得到数列1，4，3；第2次得到数列1，5，4，7，3；依次构造，第次得到数列1，．记，若成立，则的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【分析】根据规律确定的关系式，进而可得，即有的通项公式，求解即可得结果．
【详解】由，，
，
，，
则，则，则，
当时，．当时，．
故选：C．
例6．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知等比数列的前项和为，且
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）根据递推关系求出等比数列的公比，由等比数列的通项公式求解；
（2）利用错位相减法求和即可.
【详解】（1），
当时，，
两式相减可得，，
故等比数列的公比为，
，
，
故数列的通项公式为．
（2）由得：，，
故，即，
，
，
得：，
故．
练习11．（2023秋·江苏盐城·高三江苏省阜宁中学校联考期末）已知数列的通项公式，在数列的任意相邻两项与之间插入个4，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记新数列的前n项和为，则的值为______．
【答案】370
【分析】依题意，确定前60项所包含数列的项，以及中间插入4的数量即可求和.
【详解】因为与之间插入个4，
，，，，，
其中，之间插入2个4，，之间插入4个4，，之间插入8个4，，之间插入16个4，
，之间插入32个4，由于，，
故数列的前60项含有的前5项和55个4，
故.
故答案为：370.
练习12．（2023·全国·学军中学校联考二模）设数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)在数列的任意与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前项的和为，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由条件证明数列为等比数列，利用累加法求数列的通项公式；
（2）数列中在之前共有项，由此确定前项的值，再分组，结合等比求和公式可求得答案.
【详解】（1）因为，
所以，又，
所以数列为首项为1，公比为的等比数列，
所以，
所以当时，
，
所以，
所以当时，，又也满足该关系，
所以数列的通项公式为；
（2）数列中在之前共有项，
当时，，当时
练习13．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)保持中各项先后顺序不变，在与之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为，求的值（用数字作答）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，得到，求得，结合时，求得，进而得到数列的通项公式；
（2）根据题意，得到新数列的前100项，结合等差、等比数列的求和公式，即可求解.
【详解】（1）解：由数列的前n项和为，且，
当时，，
所以，
当时，，不符合上式，
所以数列的通项公式为．
（2）解：保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个1，
则新数列的前100项为3，1，，1，1，，1，1，1，，1，1，1，1，， ，，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，
则
．
练习14．（2023春·辽宁锦州·高三校考期中）记为各项均为正数的等比数列的前n项和，，且，，成等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)在和之间插入n个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列、等比数列的性质计算基本量即可得通项公式；
（2）根据等差数列的性质计算得，利用错位相减法计算和式即可.
【详解】（1）设数列的首项为，公比为q，则①，
因为，，成等差数列，则，即②，
因为，所以由②式可得，解得或（舍），
代入①式可得，
（2）由题可得，即，所以，
则，所以①，
则②，
故①－②得：
所以.
练习15．（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知数列的前项和，，且.数列满足，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)将数列中的项按从小到大的顺序依次插入数列中，在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列，求数列的前100项的和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据与的关系，可得出，变形可得.然后根据等比数列的通项公式，即可得出.由已知可得，累乘法即可得出；
（2）设100项中，来自于数列中的有项.根据已知可推得，然后根据等差数列以及等比数列的前项和公式，即可得出答案.
【详解】（1）由已知可得，当时，
有，
，
两式相减得：.
又因为，
所以，，满足上式.
所以，.
又，
所以是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以，即.
又，
所以，所以.
又，
所以，当时，有
，
，
，
，
，
两边同时相乘可得，
，
所以，.
（2）设100项中，来自于数列中的有项.
若第100项来自于，则应有，
整理可得，，该方程没有正整数解，不满足题意；
若第100项来自于，则应有，
整理可得，.
当时，有不满足，
，故，
所以，数列中含有10项数列中的项，含有90项数列中的项.
所以，
.
题型四数列中的新定义问题
例7．（2023·全国·高三对口高考）对于数列，定义为数列的一阶差分数列，其中
(1)若数列的通项公式，求的通项公式；
(2)若数列的首项是1，且满足，证明数列为等差为数列.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据及的通项公式直接计算可得；
（2）依题意可得，再结合等差数列的定义证明即可.
【详解】（1）依题意，且，
（2）因为，所以，所以．
，且，
故是首项为，公差为的等差数列.
例8．（2023·广东佛山·校考模拟预测）（多选）所有的有理数都可以写成两个整数的比，例如如何表示成两个整数的比值呢？代表了等比数列的无限项求和，可通过计算该数列的前项的和，再令获得答案.此时，当时，，即可得.则下列说法正确的是（ ）
A．
B．为无限循环小数
C．为有限小数
D．数列的无限项求和是有限小数
【答案】AD
【分析】按照题中所给方法求解可判断A；取验证可判断BC；利用等比数列求和公式求和，然后可得的无限项求和，可判断D.
【详解】对于选项A，，代表了等比数列的无限项求和，该数列的前项的和为，，，所以，故选项A成立；
对于选项B：令与条件矛盾，故选项B不成立；
对于选项C：令与条件矛盾，故选项C不成立；
对于选项D：数列的前项和为时，，所以数列的无限项求和为，是有限小数，故选项D成立.
故选：AD
练习16．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中n为正整数，
(1)证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；
(2)设，定义，且记，求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)根据“平方递推数列”的定义和等比数列的定义进行证明
(2)由的新定义和，可得出表达式，再分段求前n项和即可.
【详解】（1）点在函数的图象上，，
是“平方递推数列”．
因为，
对两边同时取对数得，
∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）知，
由数列的通项公式得，
当时，；当时，．
又由，得
当且时，；
当且时，
，
综上，
练习17．（2023·湖北武汉·统考三模）将按照某种顺序排成一列得到数列，对任意，如果，那么称数对构成数列的一个逆序对.若，则恰有2个逆序对的数列的个数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【分析】根据逆序对的定义，分数列的第一个数为，数列的第二个数为，数列的第三个数为，数列的第四个数为，四种情况讨论即可.
【详解】若，则，
由构成的逆序对有，
若数列的第一个数为，则至少有个逆序对，
若数列的第二个数为，
则恰有2个逆序对的数列为，
若数列的第三个数为，
则恰有2个逆序对的数列为或，
若数列的第四个数为，
则恰有2个逆序对的数列为，
综上恰有2个逆序对的数列的个数为个.
故选：B.
练习18．（2023·北京·人大附中校考三模）已知数列满足：对任意的，总存在，使得，则称为“回旋数列”．以下结论中正确的个数是（ ）
①若，则为“回旋数列”；
②设为等比数列，且公比q为有理数，则为“回旋数列”；
③设为等差数列，当，时，若为“回旋数列”，则；
④若为“回旋数列”，则对任意，总存在，使得．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】利用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，结合题意中的“回旋数列”，对每项进行验证或者举特练习即可
【详解】①由可得，
由可得，取即可，则为“回旋数列”，故①正确；
②当时，，，
由可得，故当时，很明显不成立，故不是“回旋数列，②错误”；
③是等差数列，故，，
因为数列是“回旋数列”，所以，即，
其中为非负整数，所以要保证恒为整数，
故为所有非负整数的公约数，且，所以，故③正确；
④由①可得当时，为“回旋数列”，
取，，显然不存在,使得，故④错误
故选：B
练习19．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考二模）（多选）在数列中，（，为非零常数），则称为“等方差数列”，称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）
A．是等方差数列
B．若正项等方差数列的首项，且是等比数列，则
C．等比数列不可能为等方差数列
D．存在数列既是等差数列，又是等方差数列
【答案】BC
【分析】根据等方差数列定义判断A，由等方差数列定义及等比数列求判断B，根据等方差数列定义及等比数列的通项公式判断C，由等差数列及等方差数列定义，利用反证法判断D.
【详解】设，则不为非零常数，所以不是等方差数列，故A错误；
由题意，则，
由是等比数列，得，解得或（舍去），
当时，满足题意，故B正确；
设数列为等比数列，不妨设，则，所以，
若为常数，则，但此时，不满足题意，故C正确；
若数列既是等差数列，又是等方差数列，
不妨设，（为非零数），，
所以，即，所以，即，
所以为常数列，这与矛盾，故D错误.
故选：BC.
练习20．（2023·江苏苏州·校联考三模）（多选）若数列满足：对任意的，总存在，使，则称是“数列”.则下列数列是“数列”的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】根据“数列”定义判断A、D；利用特殊值判断B是否满足要求；由的个位数上奇偶性判断C.
【详解】A：由，要且，
所以，只需，显然对任意的，总存在，满足“数列”.
B：由，显然，不满足“数列”.
C：对于任意，，个位数为均为奇数，所以必为偶数，显然不成立，不满足.
D：由，
，
故对任意的，总存在，满足“数列”.
故选：AD
题型五数列的结构不良
例9．（2023·江西·统考模拟预测）已知等差数列的前项和为，，．
(1)求的通项公式及；
(2)设__________，求数列的前项和．
在①；②；③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解．
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)，
(2)答案见解析
【分析】（1）设公差为，依题意得到关于、的方程组，解得、，即可求出通项公式与前项和；
（2）根据所选条件得到的通项公式，利用裂项相消法求和.
【详解】（1）设公差为，由可得，
所以，解得，所以的通项公式为，
则.
（2）若选①；
则
，
所以；
若选②；则，
则；
若选③，则，
所以.
例10．（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）已知正项数列的前项和为，在①，且；②；③，，这三个条件中任选一个，解答下列问题：
(1)证明数列是等比数列，并求其通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若恒成立，求的最小值.
注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)证明见解析，；
(2)
【分析】（1）由与的关系或等比数列的定义及通项公式求解即可；
（2）由裂项相消法求出后，再由恒成立进行求解即可.
【详解】（1）若选择条件①：因为，
所以，又，所以，即，
又，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，所以；
若选择条件②：因为，所以当时，有，
两式相减，得，即（），
又，所以，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，
所以；
若选择条件③：由，得，即，
又，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，所以；
（2）由（1）知，，
则，
因为数列为递增数列，所以的最小值为，
又恒成立，则，解得，
故的最小值为.
练习21．（2023春·广西·高三校联考阶段练习）已知数列的前项和为，在①且；②；③且，，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解：
(1)已知数列满足______，求的通项公式；
(2)已知正项等比数列满足，，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若选①，由已知可推得，进而得出数列是常数列，从而得出；若选②，由已知推得，进而根据与的关系，即可推得；若选③，根据等差中项的性质，可推得数列是等差数列.然后由已知求得，即可得出.
（2）根据已知可求出，然后根据对数运算以及裂项化简可得，然后相加即可得出.
【详解】（1）若选①且
由可得.
又，
所以数列是常数列，且，所以.
若选②
由已知可得，.
当时，有；
当时，有，
，
两式作差可得，，
所以.
又满足，所以.
若选③且，
由可得，，
所以，数列是等差数列.
又，，
所以，所以，
所以.
（2）由（1）知，，所以.
设等比数列公比为，
由已知可得，解得，
所以.
所以，
所以.
练习22．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知数列的各项均为正数，记为的前项和.
(1)从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立；
①；
②；
③.
(2)在（1）的条件下，若，求.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）不管选哪个组合都可以由递推公式及等差数列的性质计算即可；
（2）结合（1）的条件得出，从而求得，利用裂项相消法求和即可.
【详解】（1）证明：若选择①②，证明③成立.
由，得，
故数列是等差数列，
设数列的公差为，故，
，所以，
所以，所以，
故，所以
，
故.
若选择①③为条件，证明②成立.
由，得，
故数列是等差数列，
设数列的公差为，
，
因为，即，
整理可得，所以，
所以，故.
若选择②③为条件，证明①成立.
由题意可得，所以，
又，所以，
所以数列是等差数列，则数列的公差为，
所以，
所以当时，，当时上式也成立，
故数列的通项公式为.
又，
所以，
又，所以，
故.
（2）解：由（1）可知，数列是首项，公差的等差数列，
所以，
所以，
所以
练习23．（2023春·浙江杭州·高三浙江大学附属中学校考期中）在①；②这两组条件中任选一组，补充下面横线处，并解答下列问题.
已知数列的前n项和是，数列的前n项和是，___________.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求.
【答案】(1)选条件①：故数列的通项公式为，数列的通项公式为；选条件②：数列的通项公式为，数列的通项公式为；
(2)选条件①：；选条件②：所以．
【分析】（1）选条件①：由，可得，根据等比数列通项公式即可求解；选条件②：由，，可得，利用迭代法可求，借助已知条件可得；
（2）选条件①：利用错位相减求和法求和后即可证明；选条件②：利用裂项相消求和法求和后即可证明.
【详解】（1）选条件①：由，可得，
两式相减可得，所以，
在中，令，可得，所以，
所以是以为首项，公比为的等比数列，，
故数列的通项公式为，数列的通项公式为；
选条件②：由，可得，
两式相减可得，即，
所以，
在中，令，可得，所以，
所以由，，，，
所以，从而有，
所以，，
故数列的通项公式为，数列的通项公式为；
（2）选条件①：由（1）知，
，
，
，
两式相减可得
，
所以，即；
选条件②：由（1）知，
所以．
练习24．（2023秋·云南昆明·高三统考期末）已知是数列的前项和，①，，②，且，③，
请从①②③中选择一个条件进行求解.
注：如果选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列的前项和为，是否存在正整数，使恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，的最大值为
【分析】（1）对①②：根据前项和与通项之间的关系，结合等比数列分析运算；对③：根据等比数列分析运算；
（2）利用裂项相消法求，根据数列单调性结合恒成立问题运算求解.
【详解】（1）若选①：，，
当时，则，即；
当时，则，可得，
整理得，
故数列是以首项，公比的等比数列，则；
若选②：，且，
令，则，
可得，两式相减得，即，
注意到，
故数列是以首项，公比的等比数列，则；
若选③：，，即，
故数列是以首项，公比的等比数列，则.
（2）存在，的最大值为.
由（1）可知：，则，
所以，
可知为递增数列，则，
所以，解得，
且为正整数，则的最大值为.
练习25．（2023春·北京海淀·高三中央民族大学附属中学校考期中）已知数列中，， ，其中 ．
从①数列的前项和 ，② ，③且，这三个条件中一个，补充在上面的问题中并作答.
注：若选作多个条件分别解答，按第一个解答计分.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求证：数列 是等差数列；
(3)设数列 ，求数列的通项公式及前20项和 ．
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)，.
【分析】（1）选①，利用与的关系求出即可；选②③，判断等比数列，再利用等比数列定义求出通项公式作答.
（2）由（1）的结论求出，再利用等差数列定义判断作答.
（3）由（2）的结论，利用裂项相消法求和作答.
【详解】（1）选①，当时，，当时，，满足上式，
所以数列的通项公式是 .
选②，依题意，数列为等比数列，其首项为1，公比为2，
所以数列的通项公式是.
选③，由，，知，，则数列为等比数列，
公比为，有，解得，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，显然，
所以数列是以1为公差的等差数列.
（3）由（2）知，，
.
题型六递推数列的实际应用
例11．（2023·全国·高三专题练习）农历是我国古代通行历法，被誉为“世界上最突出和最优秀的智慧结晶”.它以月相变化周期为依据，每一次月相朔望变化为一个月，即“朔望月”，约为29.5306天.由于历法精度的需要，农历设置“闰月”，即按照一定的规律每过若干年增加若干月份，来修正因为天数的不完美造成的误差，以使平均历年与回归年相适应设数列满足，其中均为正整数，且，，，，，，…，那么第n级修正是“平均一年闰个月”，已知我国农历为“19年共闰7个月”，则它是（ ）
A．第3级修正B．第4级修正C．第5级修正D．第6级修正
【答案】C
【分析】根据题意依次求出，再判断哪一个等于即可.
【详解】因为数列满足，，，…，其中均为正整数：
，，，，，，…，
所以，，，
，
，
所以“年共闰个月”为第5级修正，
故选：C
例12．（2023·全国·高三专题练习）（多选）1202年，斐波那契在《算盘全书》中从兔子问题得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和，人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，19世纪以前并没有人认真研究它，但在19世纪末和20世纪，这一问题派生出广泛的应用，从而活跃起来，成为热门的研究课题，记为该数列的前项和，则下列结论正确的是（ ）
A．B．为偶数
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据递推关系计算出的值可判断选项A；根据数列中项的特点可判断选项B；由可得，再化简可判断选项C；由，化简整理可判断选项D，进而可得正确选项.
【详解】对于A：由题意知：，，，，，，，，，，，
故选项A正确；
对于B：因为该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和，此数列中数字的特点为：奇数、奇数、偶数的规律循环出现，每3个数一组，呈奇奇偶的顺序排列，而（组）（个），故为奇数，选项B错误；
对于C：由题意知：，所以
，故选项C正确；
对于D：，
故选项D正确，
故选：ACD.
练习26．（2022秋·福建漳州·高三统考期末）（多选）被誉为“闽南第一洞天”的风景文化名胜——漳州云洞岩，有大小洞穴四十余处，历代书法题刻二百余处.由于岩石众多，造就了云洞岩石头上开凿台阶的特色山路，美其名曰：天梯，其中有一段山路需要全程在石头上爬，旁边有铁索可以拉，十分惊险.某游客爬天梯，一次上1个或2个台阶，设爬上第个台阶的方法数为，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】根据题意可得，结合数列的性质和选项计算，依次判断即可.
【详解】A：一次上1个或2个台阶，则，…
设爬上第个台阶的方法数为，由上观察可得，故A正确；
B：，故B正确；
C：结合A分析知：，故C错误；
D：，，
可得，故D正确.
故选：ABD.
练习27．（2021秋·重庆·高三校联考阶段练习）阿司匹林（分子式，分子质量180）对血小板聚集的抑制作用，使它能降低急性心肌梗死疑似患者的发病风险.对于急性心肌梗死疑似患者，建议第一次服用剂量300，嚼碎后服用以快速吸收，以后每24小时服用200.阿司匹林口服后经胃肠道完全吸收，阿司匹林吸收后迅速降解为主要代谢产物水杨酸（分子式，分子质量138），降解过程生成的水杨酸的质量为阿司匹林质量的，水杨酸的清除半衰期（一般用物质质量衰减一半所用的时间来描述衰减情况，这个时间被称作半衰期）约为12小时.（考虑所有阿司匹林都降解为水杨酸）
(1)求急性心肌梗死疑似患者第1次服药48小时后第3次服药前血液中水杨酸的含量（单位）；
(2)证明：急性心肌梗死疑似患者服药期间血液中水杨酸的含量不会超过230.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设是小时后第次服药前血液中水杨酸的含量，先求出，再表示出递推关系式，即可求解；
（2）先由（1）中递推关系式构造得到等比数列，求得，再求得刚服药后即可求解.
【详解】（1）设是小时后第次服药前血液中水杨酸的含量，
易知每24小时，水杨酸的含量变为原来的，
则，
时，，
；
（2）由（1）知，，
则是以首项为，公比为的等比数列，
故，，
，
故急性心肌梗死疑似患者服药期间血液中水杨酸的含量不会超过230mg.
练习28．（2023春·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列{I}，{I}表示第n周的虫害的严重程度，虫害指数越大，严重程度越高．为了治理害虫，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一：
策略A：环境整治，“虫害指数”数列满足：I+1＝1.02I﹣0.2．
策略B：杀灭害虫，“虫害指数”数列满足：I+1＝1.08I﹣0.46．
当某周“虫害指数”小于1时，危机就在这周解除．
(1)设第一周的虫害指数Ⅰ1∈[0，8]，用哪一个策略将使第二周的虫害的严重程度更小？
(2)设第一周的虫害指数Ⅰ1＝3，如果每周都采用最优策略，虫害的危机最快将在第几周解除？
【答案】(1)分类讨论，答案见祥解；
(2)第9周.
【分析】（1）分三种情况讨论即可；
（2）根据题意，时，选择策略B，根据策略B的数列，求出数列的通项公式，根据条件列出不等式，解之即可求解.
【详解】（1）策略A：，
策略B：，
当，可得，
当时，两者相等，
当时，用策略B将使第二周的虫害的严重程度更小；
当时，用策略A将使第二周的虫害的严重程度更小；
（2）由（1）可知：当时，选择策略B，
所以当时，选择策略B，
因为，所以数列是递减数列，
，也即，
由等比数列的通项公式可得：，
正整数范围内解不等式，得
所以虫害的危机最快在第9周解除．
练习29．（2023·浙江·校联考三模）某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为，且每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为为的前项和，则___________.（结果保留成整数）（参考数据：）
【答案】
【分析】由题意，可得​​​​​​​,从而可推出数列是等比数列 ，根据分组求和及等比数列的求和公式可得答案.
【详解】因为每年存栏数的增长率为10%，每年年底卖出100头，
故可知，且，
则，
∴数列是以200为首项，1.1为公比的等比数列，
则，故.
∴,
则.
​​​​​​​故答案为:.
练习30．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，有标号为1，2，3的三根柱子，在1号柱子上套有n个金属圆片，从下到上圆片依次减小．按下列规则，把金属圆片从1号柱子全部移到3号柱子，要求：①每次只能移动一个金属圆片；②较大的金属圆片不能在较小的金属圆片上面．
若，则至少需要移动______次；
将n个金属圆片从1号柱子全部移到3号柱子，至少需要移动______次．

【答案】 7
【分析】从的情况开始逐一进行分析，找到规律后利用数列的递推关系求解.
【详解】（1）当时，只需把金属圆片从1号柱子移到3号柱子，用符号（13）表示，共移动一次．
当时，移动的顺序为（12）（13）（23），共移动3次．
当时，把上面的两个金属圆片作为一个整体，则归结为的情形，
移动的顺序是（13）（12）（32）；（13）；（21）（23）（13），共移动7次．
（2）记把n个金属圆片从1号柱子移到3号柱子，最少需要移动次，则由（1）知，，．
当移动n个金属圆片时，可按下列3个步骤进行：
①将上面个金属圆片从1号柱子移到2号柱子；
②将第n个金属圆片从1号柱子移到3号柱子；
③将上面个金属圆片从2号柱子移到3号柱子．
就把移动n个金属圆片的任务转化为移动2次个金属圆片与移动1次第n个金属圆片的任务．而移动个金属圆片需要移动2次个金属圆片和移动1次第个金属圆片；移动个金属圆片需要移动2次个金属圆片和移动1次第个金属圆片……如此继续，直到转化为移动1个金属圆片的情形．根据这个过程，可得递推公式：，且，从而当时，有,∴是以2为公比，2为首项的等比数列，故，即．
故答案为:；
题型一
分段递推数列求通项公式
题型二
公共项数列
题型三
插项数列
题型四
数列中的新定义问题
题型五
数列的结构不良
题型六
递推数列的实际应用