河南省周口市郸城县2023-2024学年九年级下学期4月期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 的相反数是（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可．
【详解】解：的相反数是2，
故选：B．
2. 据中科院国家天文台，基于我国郭守敬望远镜和美国APOGEE巡天的观测数据，我国天文学家精确测量了距离银河系中心1.6万光年至8.1万光年范围内的恒星运动速度，并估算出银河系的“体重”约为8050亿个太阳质量，其中数据“8050亿”用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法表示方法：为整数，进行表示即可．
【详解】解：8050亿；
故选C．
3. 下列扑克牌中，牌面是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形，根据中心对称图形的定义：一个图形绕一点旋转180度后，能与自身完全重合，这个图形叫做中心对称图形，进行判断即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、是中心对称图形，符合题意；
故选D．
4. 如图，直线相交于点O，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查几何图形中角度的计算，对顶角相等，根据垂直，得到，进而求出的度数，根据对顶角相等，即可得出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故选A．
5. 化简 的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查分式的乘法运算，根据乘法法则，约分化简即可．
【详解】解：原式；
故选C．
6. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 不可能事件发生的概率是0
B. 经过旋转，对应线段平行且相等
C. 长方体的截面形状一定是长方形
D. 任意掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定是50次
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查等可能事件的概率，旋转的性质，截一个几何体，根据相关知识点，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、不可能事件发生的概率是0，故原说法正确；
B、经过旋转，对应线段相等但不一定平行，故原说法错误；
C、长方体的截面形状不一定是长方形，故原说法错误；
D、任意掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数不一定是50次，故原说法错误；
故选A．
7. 如图所示，在坡角为的山坡上栽树，每相邻两棵树之间的水平距离为4米，那么这两棵树在坡面上的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，在中，利用锐角三角函数进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴在中，，
∴；
故选A．
8. 一次函数图象如图所示，则二次函数 的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数与一次函数图象的综合判断，先根据一次函数图象所过象限，判断的符号，进而判断出二次函数的图象即可．
【详解】解：∵直线过一，三，四象限，
∴，
∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为轴，与轴交于负半轴，
故符合题意的只有选项C；
故选C．
9. 定义新运算：，例如： ，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 有实数根D. 没有实数根
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查根的判别式，根据新运算的法则，列出一元二次方程，根据判别式的符号，进行判断即可．
【详解】解：由题意，得：，
整理，得：，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根；
故选B．
10. 在矩形中（），为对角线，一动点P以每秒1个单位长度，沿方向运动，设动点P的运动时间为x秒，线段的长度为y，则y随x变化的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A. B.
C. 曲线呈反比例函数模型D. 线段呈一次函数模型
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查动点的函数图象问题，从函数图象中有效的获取信息，逐一进行判断即可．
【详解】解：由题意和图象得：当点在上运动时，，为正比例函数，
当点在上运动时，随的增大而减小，当点到达点时，，即：，此时共用了16秒，
∴点运动的总路程为，
设长为，则：的长为，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴曲线不是双曲线模型，
当点在上运动时，此时，
∴线段呈一次函数模型；
综上，错误的是选项C；
故选C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
12. 二十四节气是中华民族农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”成 如图，小鹏购买了四张形状、大小、质地均相同的“二十四节气”主题邮票，正面分别印有“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四种不同的图案，背面完全相同，他将四张邮票洗匀后正面朝下放在桌面上．从中随机抽取一张，不放回再从中随机抽取一张，抽到的两张邮票恰好是“立夏”和“秋分”的概率是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查列表法或画树状图法求概率，解答本题的关键是明确题意，正确列出表格或画出树状图．根据题意，可以画出相应的树状图表示出所有等可能的结果，再找到抽到的两张邮票恰好是“立夏”和“秋分”的结果，最后根据概率公式计算即可．
【详解】解：设立春用A表示，立夏用B表示，秋分用C表示，大暑用D表示，
画树状图如下，
由图可得，一共有12种等可能性的结果，其中小鹏抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的可能性有2种，
∴小鹏抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是．
故答案为：．
13. 如图，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4米宽的亮区DE，已知亮区DE到窗口下的墙角距离CE=5米，窗口高AB=2米，那么窗口底边离地面的高BC=__________ 米.

【答案】####
【解析】
【分析】
【详解】解：∵光是沿直线传播的，
∴AD∥BE，∴△BCE∽△ACD，
∴，即，
解得：BC=．
故答案为．
【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，求解即可．
14. 如图，矩形内接于， 分别以为直径向外作半圆，若，则阴影部分的面积为____________．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查求不规则图形的面积，连接，勾股定理求出的长，利用四个半圆的面积加上矩形的面积减去的面积，求解即可．
【详解】解：连接，
∵矩形内接于，
∴，，
∴为的直径，，
∴阴影部分的面积；
故答案为：12．
15. 在边长为1的等边三角形中，D为直线上一点，，点E在直线上，且，则的长为________．
【答案】或3
【解析】
【分析】分点在线段的延长线和反向延长线上，两种情况进行讨论求解即可，当点在线段的延长线上时，推出为等腰三角形，三角形外角的性质求出，根据等边对等角，推出为含30 度角的直角三角形，求出的长，进而求出的长即可，当点在线段的反向延长线上时，过点作，过点作，得到，根据等边三角形和等腰三角形的性质，结合平行线分线段成比例进行求解即可．
【详解】解：当点在的延长上时，如图，
∵边长为1等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当点在的反向延长上时，如图，
过点作，过点作，
则：，
∵为等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上：或；
故答案为：或3．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，以及平行线分线段成比例，掌握相关知识点，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
三、解答题（共8个小题，共75分）
16. （1）计算：；
（2）解方程： ．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，先去绝对值，进行零指数幂，特殊角的三角函数值和负整数指数幂的运算，再进行加减运算即可；
（2）本题考查解分式方程，将分式转化为整式方程，求解后，检验即可．
【详解】解：（1）原式；
（2），
去分母，得：，
去括号，得：，
解得：；
经检验，是原方程的解，
∴方程的解为：．
17. 蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万卢提供了极大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家樱桃种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析，下面给出了部分信息：
a．配送速度得分（满分10分）：
甲：6 7 7 8 8 8 8 9 9 10
乙：7 7 8 8 8 9 9 9 10 10
b．服务质量得分统计图（满分10分）：
c．配送速度和服务质量得分统计表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中的值；
（2）在甲乙两家快递公司中，如果某公司得分的10个数据的方差越小，则认为种植户对该公司的评价越一致．据此推断；甲、乙两家公司中，种植户对 的服务质量的评价更一致（填“甲”或“乙”）；
（3）一开始小丽考虑到樱桃保鲜时间短，所以更看重配送速度，从这个角度看，你为小雨推荐的公司为 （填“甲”或“乙”）：后来改进了储存技术，在配送速度达到6分及以上的情况下，小丽更看重服务质量的稳定性，从这个角度看，你为小丽推荐的公司为 （填“甲”或“乙”）．
【答案】（1）
（2）甲 （3）乙；甲
【解析】
【分析】本题考查中位数、平均数、方差的定义，掌握中位数、平均数、方差的定义是解题的关键．
（1）根据中位数的计算方法确定m的值，然后利用图象得出乙的服务质量得分，再进行排序求中位数即可；
（2）根据方差的计算公式分别计算甲乙的服务质量得分的方差，进行比较即可；
（3）分别根据平均数、中位数及方差进行决策即可．
【小问1详解】
解：由题意可得，，
由图b得乙的服务质量得分分别为：4 8 10 6 9 5 7 5 10 6，
从小到大排序为：4 5 5 6 6 7 8 9 10 10，
∴；
【小问2详解】
由图b得甲的服务质量得分分别为：5 6 6 7 7 7 8 8 8 8，
服务质量得分方差分别为：
，
，
∴种植户对甲的服务质量的评价更一致，
故答案为：甲；
【小问3详解】
一开始小丽考虑到樱桃保鲜时间短，所以更看重配送速度，从这个角度看，你为小雨推荐的公司为乙，
∵乙的配送速度的平均数及中位数均高于甲，
∴选择乙；
后来改进了储存技术，在配送速度达到6分及以上的情况下，小丽更看重服务质量的稳定性，
由（2）得，
∴甲更稳定，
故答案为：乙；甲．
18. 请你完成命题“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”的证明．（提示：证明命题应首先依据命题画出几何图形，再结合几何图形用数学符号语言写出“已知”、“求证”，最后写出证明过程．）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了命题的证明，中垂线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，先根据题意，画出图形，写出已知和求证，通过构造等边三角形进行证明即可．
【详解】解：如图，已知在中，，
求证：；
证明：延长至点，使，连接，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴．
19. 如图，已知A，B是反比例函数图象上的两点，轴于点C，交于点D，若的面积是的面积的2倍，的面积为，求反比例函数的表达式．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的系数k的几何意义、相似三角形的判定与性质等知识点．过点作轴于，根据反比例函数的几何意义可得，根据的面积是的面积的2倍，可得，进而可得，然后证明，根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可得出的面积，进而可得答案．
【详解】解：如图，过点作轴于，
已知，是反比例函数图象上的两点，
，
的面积是的面积的2倍，
，
，
轴，轴，
，
又，
，
，
，
∵的面积为，
∴，
解得，
∴反比例函数解析式为．
20. 为展青年华彩，丰富校园生活，激发学生英语学习兴趣，某校举办“趣味横声 英你精彩”英文合唱比赛．王老师负责本次英文合成比赛的奖品采购，经过调查，选择A奖品为一等奖，B奖品为二等奖，已知购买每件A奖品比每件B奖品贵20元，购买3个A奖品和5个B奖品的价钱相同．
（1）求A、B两种奖品的单价；
（2）本次英文合唱比赛共需购进A、B两种奖品100个，且一等奖的奖品超过二等奖的奖品的一半，实际购买时A种奖品可打7折，请你帮王老师设计花费最小的购买方案，并求出最小花费．
【答案】（1）A、B两种奖品的单价分别为50元，30元
（2）当购买A种奖品34个，B种奖品66个时，花费最小，最小为3170元
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用：
（1）设A种奖品的单价为x元，则B种奖品的单价为元，根据购买3个A奖品和5个B奖品的价钱相同列出方程求解即可；
（2）设购买A种奖品m个，总费用为w，则购买B种奖品个，先求出，再由一等奖的奖品超过二等奖的奖品的一半，求出，据此利用一次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：设A种奖品的单价为x元，则B种奖品的单价为元，
由题意得，，
解得，
∴，
答：A、B两种奖品的单价分别为50元，30元；
【小问2详解】
解：设购买A种奖品m个，总费用为w，则购买B种奖品个，
∴，
∵一等奖的奖品超过二等奖的奖品的一半，
∴，
∴，
∵，，
∴w随m增大而增大，
又∵m为正整数，
∴当时，w最小，最小值为，此时，
∴当购买A种奖品34个，B种奖品66个时，花费最小，最小为3170元．
21. 如图，是以C为顶点的等腰三角形，以为直径作，交于点D．延长至点E，使得，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若 求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查切线判定，圆周角定理，解直角三角形：
（1）等边对等角，结合三角形的内角和定理，求出，即可得证；
（2）连接，圆周角定理得到，解直角三角形，分别求出的长，即可．
【小问1详解】
证明：∵是以C为顶点的等腰三角形，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵为直径，
∴是的切线；
【小问2详解】
连接，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
则：，
∴，
∴，
∴．
22. 已知抛物线的顶点为点P，与x轴分别交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C．
（1）直接写出点P的坐标为_____；
（2）如图， 若A、B两点在原点的两侧，且， 当时，求 y的取值范围．
（3）若线段，点Q为反比例函数 与抛物线 第三象限内的交点，设Q的横坐标为m，当时，请直接写出k的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用：
（1）将一般式化为顶点式，写出顶点坐标即可；
（2）根据，结合抛物线的对称轴，求出的坐标，进而求出二次函数的解析式，利用二次函数的性质求解即可；
（3）根据，结合抛物线的对称轴，求出的坐标，进而求出二次函数的解析式，进而求出和时的值，即可得出结果．
【小问1详解】
解：∵，
∴点坐标为；
故答案为：；
【小问2详解】
设，
∵A、B两点在原点的两侧，
∵，
∵的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
把代入，得：，
∴，
∴，
∵抛物线的开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴越远函数值越小，
∵，
∴当时，函数值最大为4，
当时，函数值最小为；
∴；
【小问3详解】
∵，且抛物线的对称轴为直线，
∴，
把代入函数解析式得：，解得：，
∴，
∵，
∴当时，，当时，，
∴当反比例函数经过点时，，
当反比例函数经过点时，，
∴．
23. 在正方形中，P是射线上的一个动点，过点C作于点E，射线交直线于点F，连接．
（1）如图1， 求证：；
（2）如图1，猜想线段之间满足的数量关系，并说明理由．
（3）若正方形边长为4，当时，请直接写出和的长．
【答案】（1）见解析 （2），理由见解析
（3）或，
【解析】
【分析】（1）根据同角的余角相等，即可得出结论；
（2）在上取点Q，使，可证得，从而得到，，进而得到为等腰直角三角形，可得到，进一步得出结论即可；
（3）分点在线段上和在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可．
【小问1详解】
证明∶ 在正方形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
，理由如下：
如图，在上取点Q，使，
在正方形中，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴；
【小问3详解】
当点在线段上时，如图：
∵，正方形的边长为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（2）知：，
∴；
当点在的延长线上时：
在正方形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在上截取，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴．
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
综上：或，．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，综合性强，难度较大，属于压轴题，熟练掌握全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，作适当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
项目统计量快递公司
配送速度得分
服务质量得分
平均数
中位数
平均数
中位数
甲
m
8
7
7
乙
7
n