湖北省武汉市洪山区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1．本卷共6页，24题，满分120分．考试用时120分钟．
2．答题前，请将你的学校、班级、姓名、考号填在试卷和答题卡相应的位置，并核对条码上的信息．
3．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案．答在“试卷”上无效．
4．认真阅读答题卡上的注意事项．预祝你取得优异成绩！
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．
1. 下列各数中，是无理数的是（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无限不循环小数是无理数，常见的无理数有：开不尽方的数，有规律但是不循环的数，含的数；据此逐个判断即可．
【详解】解：A、0是有理数，不符合题意；
B、是有理数，不符合题意；
C、是有理数，不符合题意；
D、是无理数，符合题意；
故选：D．
2. 下列大学校徽的中心图案可以看成由某一个基本图形平移形成的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平移的性质；由平移的性质，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：由平移的性质可知，A选项的图案是通过平移得到的；
B、C、D中的图案不是平移得到的；
故选：A．
3. 下列各点中，在第二象限的点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了点坐标，掌握各象限内点的坐标特征是解题的关键，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．根据第二象限的点的坐标特征判断即可．
【详解】解：A、在第三象限，故此选项不符合题意；
B、在第二象限，故此选项符合题意；
C、在轴上，故此选项不符合题意；
D、在第四象限，故此选项不符合题意．
故选：B．
4. 如图，下列条件能判定的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了平行线的判定定理，熟记平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理判断求解即可．
【详解】解：，
，
故A符合题意；
，
，
故B不符合题意；
，
，
故C不符合题意；
由，不能判定，
故D不符合题意；
故选：A．
5. 如图，某小区有3棵古松树，，，为加强对古树的保护园林部门将其中的2棵古松树的位置用坐标表示为，，则第3棵古松树的位置用坐标表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了用坐标系表示位置，根据已知点的坐标建立直角坐标系，即可得出结果．
【详解】解：如图，根据已知点的坐标建立直角坐标系，
由图可知，，
故选：C．
6. 下列命题中，是真命题的是（ ）
A. 同旁内角互补B. 内错角相等
C. 两个锐角的和是锐角D. 对顶角相等
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据锐角的定义，对顶角的性质，平行线的性质对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、同旁内角互补，是假命题，只有两平行直线被截所得到的同旁内角才互补，故本选项错误；
B、内错角相等，是假命题，只有两平行直线被截所得到的内错角才相等，故本选项错误；
C、两个锐角的和是锐角，是假命题，两个角的和可以是锐角、直角或钝角，故本选项错误；
D、对顶角相等，是真命题，故本选项正确．
故选：D
7. 如图，直线，相交于点O，平分，，垂足为O，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂直的定义，角平分线的定义和对顶角相等，先由对顶角相等得到，再由角平分线的定义得到，则由垂直的定义可得．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
8. 有下列说法：
①是的一个平方根；
②的平方根是；
③0的平方根与算术平方根都是0；
④无理数都是无限小数；
⑤所有实数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示实数．
其中正确的个数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了无理数，平方根，算术平方根，实数与数轴，根据无理数，平方根，算术平方根，实数的定义逐项进行判断即可．
【详解】解：对于①，的平方根是，故①错误；
对于②，没有平方根，故②错误；
对于③，0的平方根是0，0的算术平方根是0，故③正确；
对于④，无理数都无限小数，正确，故④正确；
对于⑤，实数与数轴上的点是一一对应的，故⑤正确，
综上所述，正确有③④⑤，
故选：B．
9. 若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（ ）（式子中的“”，“”依次相间）
A. 22B. C. 23D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了算术平方根的意义，本题是阅读型题，正确理解新定义的含义是解题的关键．利用题干中的新定义依次得到各数的整数部分，计算即可得出结论．
【详解】，，
与之间共有个数，
，，
与之间共有个数，
，，
与之间共有个数，
，
，，
与之间共有个数，
．
故选C．
10. 如图，长方形纸片，点M，N分别在，边上，将纸片沿折叠，点C，D分别落在点，处，与交于点P，再沿折叠纸片，点，分别落在点，处，设，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了翻折变换，平行线的性质，掌握翻折变换，平行线的性质是解题的关键．由折叠的性质可得，由平行线的性质可求，再由折叠性质可得，再由平行线的性质可得
，最后即可求解．
【详解】解：，
，
由折叠性质可得：，
，
由题意得：，
，
，
由折叠性质可得：，
，
，
由题意得：，
，
故选：D
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）将答案直接写在答题卡指定的位置上．
11. 计算：________．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了平方根及算术平方根的意义，如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x叫做a的平方根，正数a的平方根记作．算术平方根是正数正的平方根．据此即可解答．
【详解】解：，
故答案为：5．
12. 比较大小：_____2（选填“”、“”、“”）．
【答案】＜
【解析】
【分析】分别对和2进行立方运算，对结果进行比较即可得到答案．
【详解】解：，，
，
．
故答案为：＜
【点睛】本题考查了实数的大小比较，解题的关键是分别对两个实数进行立方运算．
13. 在平面直角坐标系中，点P在第四象限，且P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点P的坐标是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了各个象限内点的坐标特征，平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，解题的关键是掌握第四象限内点的点横坐标为正，纵坐标为负，平面直角坐标系中的点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的距离．
设点P的坐标为，则，再根据到两坐标轴的距离，得出，即可解答．
【详解】解：设点P的坐标为，
∵点P在第四象限，
∴，
∵P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，
∴，
∴，
∴点P的坐标为，
故答案为：．
14. 若与的两边分别平行，且是的余角的倍，则________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查角度的计算，平行线的性质，根据题意分类讨论是解题关键．根据与的两边分别平行，可得或，根据是的余角的倍，可得，分类讨论分别计算即可．
【详解】解：∵与的两边分别平行，
∴或，
又∵是的余角的倍，
∴，
①当时，，
，
②当时，，即，
，
，
∴综上所述，或．
故答案为：或．
15. 已知点，，点A在y轴正半轴上，且，则点A的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形，熟知三角形面积公式是解题的关键．
设，根据题意得出，结合三角形的面积公式得出，求出，即可解答．
【详解】解：∵点A在y轴正半轴上，
∴设，且，
∴，
∵，
∴点B到y轴的距离为2，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴点A的坐标为，
故答案为：．
16. 如图，，点F在线段上，点E在线段上，，，交线段于点P，过点D作于点H．有下列结论：①；②；③若，则；④若，则．其中结论正确的有________（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【解析】
【分析】设，过点作，推出，判断①，过点作，推出，利用三角形的外角求出，判断②；根据三角形的内角和，推出，判断③，三角形的内角和定理推出，进而得到，判断④．
【详解】解：设，
∴，，
∴，
过点作，则：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；故①正确；
过点作，则：，
∴，
∴，
∵，
∴；故②正确；
∵，
∴，
∴，
∵，故③错误；
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形的外角，综合性强，难度较大，属于压轴题，解题的关键是添加辅助线构造平行线，理清角度之间的和差关系．
三、解答题（共8小题，共72分）在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程．
17. （1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）或
【解析】
【分析】本题考查了实数混合运算，利用平方根解方程．
（1）先算立方根和绝对值，再算加减即可；
（2）根据平方根解方程即可．
【详解】解：（1）
；
（2）解：∵，
∴，
∴或，
解得或．
18. 完成下面推理过程：
如图， 和交于点F，，，．求证：．
证明：，．
又（ ）
________（等量代换）
（ ）
________（ ）
又
________
（ ）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，等角的补角相等，对顶角相等等知识点，解题的关键是注意：平行线的判定是由角的数量关系判断直线的位置关系，平行线的性质由平行关系来寻找角的数量关系．
由等量代换，得到，再由内错角相等，判定两直线平行，再根据两直线平行，得到同旁内角的关系，最后利用等角的补角相等，得到，最后根据平行线的判定定理进行判定．
【详解】证明：，．
又（对顶角相等）
（等量代换）
（内错角相等，两直线平行）
（两直线平行，同旁内角互补）
又
（同旁内角互补，两直线平行）
故答案为：对顶角相等；；；；两直线平行，同旁内角互补；；同旁内角互补，两直线平行
19. 根据下表回答下列问题：
（1）17.64的平方根是________，________；
（2）物体自由下落的高度h（单位：m）与下落时间t（单位：s）的关系是．有一个物体从高的建筑物上自由落下，物体到达地面需要多长时间？（请结合表中数据精确到）
【答案】（1），
（2）物体到达地面需要
【解析】
【分析】本题考查了平方根的求解，算术平方根的求解，算术平方根的实际应用，根据表格准确计算是解题关键．
（1）根据表格找到时，，时，，即可得出结果；
（2）根据题意得到当时，，即可得出结果．
【小问1详解】
解：时，，
的平方根为，
时，，
，
故答案为：，；
【小问2详解】
，
当时，
，
，
则物体到达地面需要．
20. 如图，，点O在上，平分，平分．
（1）若平分，求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】此题主要考查了平行线的性质，角平分线定义，关键是正确理清角之间的和差关系．
（1）由可得，再由可得，由角平分线的定义可得，从而得出，再由平分，平分，可得，，最后可得结果；
（2）由可得，，
从而得出，又由可得，从而得出 ，再由，平分，得出，由，平分，可得，最后得出结论即可．
【小问1详解】
证明：，
，
，
，
平分，
，
，
平分，平分，
，，
又，
；
【小问2详解】
解：，
，，
，
又，
，
，
又，平分，
又，平分，
，
21. 如图，在平面直角坐标系中，，，，三角形中任意一点经平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形．
（1）画出平移后的三角形；
（2）线段在平移的过程中扫过的面积为________；
（3）连接，仅用无刻度直尺在线段上画点D使；
（4）若，点E在直线上，则的最小值为________．
【答案】（1）见解析 （2）18
（3）见解析 （4）
【解析】
【分析】本题考查了由平移前后坐标确定平移方式，平移作图，无刻度尺作图，垂线段最短，平移性质求解，根据要求准确作图解题关键．
（1）由平移后的点确定平移方式再作图即可；
（2）线段在平移的过程中扫过的面积为四边形的面积，由平移性质可得四边形为平行四边形，再求出其面积即可；
（3）连接，将平移至处，作交于点D，即为所求；
（4）由垂线段最短，根据三角形面积相等求解即可求解．
【小问1详解】
解：点经平移后对应点为，
可知三角形的平移方式为：向右平移4个单位，向上平移3个单位，
三角形如下图：
【小问2详解】
由图可知，线段在平移的过程中扫过的面积为四边形的面积，
由平移性质可得：四边形为平行四边形，
；
【小问3详解】
如图，连接，将平移至处，作交于点D，
即为所求；
【小问4详解】
由垂线段最短可知当时，最短，
，即，
解得：．
22. 如图所示的是一个潜望镜模型示意图，它由入射镜筒、直管、反射镜筒以及两块平面镜构成，入射镜筒与反射镜筒互相平行，且都与直管垂直，，代表两块平面镜摆放的位置．镜筒上下壁和直管左右壁可视作分别相互平行的直线．是进入潜望镜的光线，它与入射镜筒壁平行，与直管壁垂直，是离开潜望镜的光线，光线经过镜子的反射时，满足入射角等于反射角的原理，如：，．设，．
（1）如图1，当时，
①求证：；
②若光线与直管壁平行，则的度数为________；
（2）如图2，当光线经过B处镜面反射后照射到直管右壁处时，若在处放置一块平面镜，使光线经平面镜上的点C处反射到平面镜上的点D处，并调整平面镜的位置，使．则此时与满足怎样的数量关系？并说明理由．
【答案】（1）①见解析；②
（2），理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）①根据平行线的性质得出，进而得出，则，即可求证；②根据光线与直管壁平行，是与入射镜筒壁平行，得出，即可解答；
（2）根据题意推出，过点C作，则，推出，易得，则，根据直角三角形连锐角互补即可解答．
【小问1详解】
①证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴；
②∵光线与直管壁平行，是与入射镜筒壁平行，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为∶．
【小问2详解】
解：∵是与入射镜筒壁平行，，
∴，
∴，
过点C作，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
整理得：．
23. 如图，已知，，平分．
（1）求证：；
（2）若射线绕点A以每秒的速度顺时针方向旋转得到，同时，射线绕点C以每秒的速度顺时针方向旋转得到，和交于点P，设旋转时间为t秒．
①当时，请写出与之间的数量关系，并说明理由；
②当时，若，请直接写出t的值．
【答案】（1）见解析 （2）①，理由见解析；②60或
【解析】
【分析】（1）易得，根据角平分线的定义得出，即可求证；
（2）①根据题意得出，，，根据三角形的内角和定理得出，即可得出结论；
②根据题意进行分类讨论：当时，由①可得：，，则，根据，列出方程求解即可；当时，，，推出，根据，列出方程求解即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：①∵，射线绕点A以每秒的速度顺时针方向旋转得到，
∴，
∵，
∴，
∵射线绕点C以每秒的速度顺时针方向旋转得到，
∴，
∴，
∴；
②当时，
由①可得：，，
∴，
∵，
∴，
解得：；
当时，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
综上：t的值为60或．
【点睛】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理，一元一次方程的实际应用，解题的关键是熟练掌握各个性质定理，正确画出图形，列出方程求解．
24. 在平面直角坐标系中，，，，且．
（1）直接写出点A，B的坐标及c的值；
（2）如图1，若三角形的面积为9，求点C的坐标；
（3）如图2，将线段向右平移m个单位长度得到线段（点A与D对应，点B与E对应），若直线恰好经过点C，求m，n之间的数量关系．
【答案】（1），，
（2）或
（3）
【解析】
分析】（1）由，可得，计算求解，然后作答即可；
（2）由，，可知轴，则，计算求解，然后作答即可；
（3）待定系数法求直线的解析式为，则平移后的解析式为，将代入得，，整理即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
解得，，
∴，，；
【小问2详解】
解：∵，，
∴轴，
∴，
解得，或，
∴或；
【小问3详解】
解：设直线的解析式为，
将，代入得，
解得，，
∴直线的解析式为，
∴平移后的解析式为，
将代入得，，整理得，．
【点睛】本题考查了算术平方根、绝对值的非负性， 坐标与图形，一次函数解析式，一次函数图象的平移．熟练掌握算术平方根、绝对值的非负性， 坐标与图形，一次函数解析式，一次函数图象的平移是解题的关键．
x
4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5
16
16.81
17.64
18.49
19.36
20.25
21.16
22.09
23.04
24.01
25