辽宁省大连市滨城高中联盟2023-2024学年高二下学期4月考试数学试卷(含答案)

这是一份辽宁省大连市滨城高中联盟2023-2024学年高二下学期4月考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．在等差数列中,若,则公差( )
A.1B.2C.3D.4
2．对甲,乙两地小学生假期一天中读书情况进行统计,已知小学生的读书时间均符合正态分布,其中甲地小学生读书的时间为X（单位：小时）,,对应的曲线为,乙地小学生读书的时间为Y（单位：小时）,,对应的曲线为,则下列图象正确的是( )
A.B.C.D.
3．记为等差数列的前n项和,若.则( )
A.28B.26C.24D.22
4．2022年11月29日神舟十五号载人飞船发射任务取得圆满成功,开启了我国空间站应用发展新阶段.在太空站内有甲,乙、丙三名航天员,按照一定顺序依次出仓进行同一试验、每次只派一人、每人最多出仓一次,且时间不超过10分钟.若第一次试验不成功,返仓后派下一人重复进行试验,若试验成功终止试验.已知甲,乙,丙10分钟内试验成功的概率分别为,,,每人试检能否成功相互独立,则试验成功的概率为( )
A.B.C.D.
5．已知等差数列的前项和分别为与,且,则( )
A.B.C.D.
6．已知离散型随机变量X的分布列如下，则的最大值为( )
A.B.C.D.1
7．小明爬楼梯每一步走1级台阶或2级台阶是随机的,且走1级台阶的概率为,走2级台阶的概率为.小明从楼梯底部开始往上爬,在小明爬到第4级台阶的条件下,他走了3步的概率是( )
A.B.C.D.
8．已知数列满足,,若为数列的前n项和,则( )
A.226B.228C.230D.232
二、多项选择题
9．已知数列的前n项和为,则下列说法正确的是( )
A.是递增数列B.
C.的最大值为D.
10．已知,分别为随机事件A,B的对立事件,,则( )
A.
B.
C.若A,B互斥,则
D.若,则A,B独立
11．已知,均是公差不为0的等差数列,且,记,的前n项和分别为,则( )
A.B.
C.为递增数列D.
三、填空题
12．若,且,则______________.
13．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数小于第二张卡片上的数的概率为_____________.
14．已知各项均为正整数的递增数列的前n项和为,若,当n取最大值时,的值为__________.
四、解答题
15．在9道试题中有4道代数题和5道几何题,每次从中随机抽出1道题,抽出的题不再放回,
（1）求在第一次抽到几何题的条件下第二次抽到代数题的概率;
（2）若抽3次,抽到X道代数题,求随机变量X的分布列和期望
16．记数列的前n项和为,已知.
（1）求数列的通项公式;
（2）在数列中,从第二项起,每隔三项取出一项,,,组成新的数列,求数列的前n项和.
17．某市联考后,从全体考生中随机抽取44名,获取他们本次考试的数学成绩和物理成绩,绘制成如图散点图：

根据散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,但图中有两个异常点A,B.经调查得知,A考生由于重感冒导致物理考试发挥失常,B考生因故未能参加物理考试.为了使分析结果更科学准确,剔除这两组数据后,对剩下的数据作处理,得到一些统计的值：,,,,,其中,分别表示这42名同学的数学成绩､物理成绩,,2,…,42,y与x的相关系数.
（1）若不剔除A,B两名考生的数据,用44组数据作回归分析,设此时y与x的相关系数为.试判断与r的大小关系,并说明理由;
（2）求y关于x的线性回归方程,并估计如果B考生参加了这次物理考试（已知B考生的数学成绩为126分）,物理成绩是多少？
（3）从概率统计规律看,本次考试该市的物理成绩服从正态分布,以剔除后的物理成绩作为样本,用样本平均数作为的估计值,用样本方差作为的估计值.试求该市共40000名考生中,物理成绩位于区间的人数Z的数学期望.
附：①回归方程中：,,
②若,则,,
③
18．数列中,,.
（1）求证：数列是等差数列;
（2）若,都有恒成立,求的取值范围.
19．为了解居民体育锻炼情况,某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中400名居民体育锻炼次数与年龄,得到如下的频数分布表.
（1）若把年龄在的锻炼者称为青年,年龄在的锻炼者称为中年,每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低,不低于3次的称为体育锻炼频率高,根据数据回答：是否有的把握认为体育锻炼频率的高低与年龄有关;
（2）从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中,按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样,抽取8人,再从这8人中随机抽取3人,记这3人中年龄在与的人数分别为X,Y,,求的分布列与期望;
（3）已知小明每周的星期六､星期天都进行体育锻炼,且两次锻炼均在跑步､篮球､羽毛球3种运动项目中选择一种,已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目,如果星期六选择跑步､篮球､羽毛球,则星期天选择跑步的概率分别为,,求小明星期天选择跑步的概率.
参考公式：,,
附：
参考答案
1．答案：B
解析：因,所以,
所以.
故选：B.
2．答案：C
解析：因为,,
所以的对称轴为,的对称轴为,
又,所以的形状偏瘦一些.
故选：C.
3．答案：D
解析：由为等差数列的前n项和,可得,,构成等差数列,
即7,,构成等差数列,可得,解得.
故选：D.
4．答案：D
解析：法一：试验任务不成功的的概率是,
所以成功的概率是
法二：不妨设按照甲乙丙顺序依次出仓进行试验,设试验任务成功的事件M,甲成功的事件,
甲不成功乙成功的事件,甲乙都不成功丙成立的事件,
,,,
因为事件,,互斥,
所以试验任务成功的概率.
故选：D.
5．答案：A
解析：因为,均为等差数列,所以,
因为,所以.
故选：A.
6．答案：C
解析：，故，易得，，则，
故，，又因为，所以.故选C.
7．答案：B
解析：设事件“小明爬到第4级台阶”,“小明走了3步爬到第4级台阶”,
事件A包含三种情况：①小明走了4步到第4级台阶,概率为;
②小明走了3步到第4级台阶,概率为,即;
③小明走了2步到第4级台阶,概率为;
所以,
.
故选：B.
8．答案：A
解析：由题可知数列的奇数列是公差为2,首项为1的等差数列,此时,,
数列的偶数列是1,-1交替出现的波动数列,此时,,
所以.
故选：A.
9．答案：BD
解析：当时,;
当时,,
所以满足,所以,
即数列时以-2为公差,16为首项的等差数列,故A错误,B正确;
又由和可得,故C错误;
由,
所以,故D正确,
故选：BD.
10．答案：ACD
解析：因为,A正确,B不正确;
若A,B互斥,则,所以,C正确;
因为,所以,即A,B独立,D正确.
故选：ACD.
11．答案：AD
解析：对于A,由,得,故A正确;
对于B,设,的公差分别为,,,均不为0,
所以,即,
所以,所以,
所以无法确定的通项公式,故B错误;
对于C,由B,不妨取,,因此,
则为递减数列,故C错误;
对于D,因为,,
所以,故D正确.
故选：AD.
12．答案：8.4
解析：因为,所以,
因为,所以.
故答案为：8.4.
13．答案：
解析：设事件“第一张卡片上的数小于第二张卡片上的数”
由题意所有的基本事件为：,,,,共有25种;
事件A包含的基本事件有：,,,,,,
,,,共10种;
所以.
故答案为：.
14．答案：74
解析：因为数列是各项均为正整数的递增数列,,,
所以n取最大值时,则时,均取到最小,即,,,
即时,是等差数列,,,
,,;
若n的最大值为61,则,符合题意;
若n的最大值为62,则,不符合题意;
综上当n取最大值时,的值为74.
故答案为：74.
15．答案：（1）
（2）分布列见解析,期望为
解析：（1）设事件“第一次抽到几何题”,事件“第二次抽到代数题”,
则,,所以,
即在第一次抽到几何题的条件下第二次抽到代数题的概率为.
（2）由题意X的取值为0,1,2,3,
,,
,,
分布列为
期望.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题：
当时,;
当时,;
所以不满足,所以.
（2）由（1）及题意可知数列是首项为3,公差为16的等差数列,
所以,所以.
17．答案：（1）答案见详解
（2）,估计物理成绩82
（3）人数Z的数学期望为27320
解析：（1）,理由如下（任写一条或几条均可）：由图可知,y与x成正相关,
①异常点A,B会降低变量间的线性相关程度.
②44个数据点与其回归直线的总体偏差更大,回归效果更差,所以相关系数会更小.
③42个数据点与其回归直线的总体偏差更小,回归效果更好,所以相关系数会更大.
④42个数据点更贴近回归直线.
⑤44个数据点与其回归直线更离散.
（2）由题中数据可得：,,
,
又,,
,,
将代入,得,
所以估计B同学的物理成绩为82.
（3）,,
,又,
,
因为,所以,
所以物理成绩位于区间的人数Z的数学期望为27320.
18．答案：（1）证明见详解
（2）
解析：（1）,
,又,所以,又,
所以数列是以3为首项,以2为公差的等差数列.
（2）由（1）,即,
恒成立,,对,
令,则,
所以当时,,即,当时,,
,
所以,.
故数的取值范围为.
19．答案：（1）有的把握认为体育锻炼频率的高低与年龄有关.
（2）分布列见解析;期望为
（3）
解析：（1）由题意,可得的列联表,如下表所示：
可得,
所以有的把握认为体育锻炼频率的高低与年龄有关.
（2）由表中的数据,利用分层抽样的方法抽取的8人中,年龄在与的人数分别为1人和2人,
根据题意,可得随机变量的可能取值为0,1,2,
则,
,
,
所以随机变量的分布列为：
所以随机变量的数学期望为.
（3）记小明在某一星期六选择跑步、篮球、羽毛球,分别为事件A,B,C,星期天选择跑步为事件D,
则,,,,,
所以,
所以小明星期天选择跑步的概率为.
X
0
1
2
P
a
年龄
次数
每周0~2次
70
55
36
59
每周3~4次
25
40
44
31
每周5次及以上
5
5
20
10
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
X
0
1
2
3
p
青年
中年
合计
体育锻炼频率低
125
95
220
体育锻炼频率高
75
105
180
合计
200
200
400
P