数学人教版16.1 二次根式教案设计

这是一份数学人教版16.1 二次根式教案设计，共25页。教案主要包含了教学与建议等内容，欢迎下载使用。


16.1 二次根式
第1课时 二次根式的概念
教师备课 素材示例
●归纳导入 如图是天安门广场前的大型音乐喷泉的图片，非常美丽壮观．仔细观察图片可以发现：水域部分是正方形，外围是圆．
(1)若该正方形的面积为30 m2，则该正方形的边长是__ eq \r(30)_m__；
(2)若该正方形的面积为S m2，则该正方形的边长是__ eq \r(S)_m__；
(3)若该圆的面积为S m2，则用含S的式子表示圆的半径是__ eq \r(\f(S,π))_m__．
观察式子 eq \r(30)， eq \r(S)， eq \r(\f(S,π))有什么共同特点？
【归纳】这些式子都含有“ eq \r( )”(根号)，都表示__正数__的__算术__平方根．
【教学与建议】教学：从学生熟悉的情景入手，引导学生理解所给的式子的实际意义，归纳出二次根式的概念．建议：让学生相互讨论，培养学生合作交流的学习习惯．
●复习导入
1．填空：
(1)9的平方根是__±3__；0的平方根是__0__；－4__没有__平方根；
(2)6的平方根是__± eq \r(6)__；6的算术平方根是__ eq \r(6)__．
2．想一想：
用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
(1)面积为5的正方形的边长为__ eq \r(5)__；
(2)一个长方形的围栏，长是宽的3倍，面积为150 m2，则它的宽为__ eq \r(50)__m；
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与开始落下时离地面的高度h(单位：m)满足关系h＝5t2.如果用含有h的式子表示t，那么t为__ eq \r(\f(h,5))__.
学生思考后回答，教师补充得出答案．
【教学与建议】教学：以回顾旧知的形式引导学生，巩固所学知识，并导入新课．建议：及时回顾算术平方根的概念，再由算术平方根迁移到二次根式．
◎命题角度1 识别二次根式
判定一个式子为二次根式，需满足两个条件：第一，形式上为“ eq \r(a)”的形式；第二，被开方数必须是非负数．
【例1】下列式子不是二次根式的是(B)
A． eq \r(5) B． eq \r(3－π) C． eq \r(0.5) D． eq \r(\f(1,3))
【例2】在式子 eq \r(5)， eq \r(－3)， eq \r(x2＋2)， eq \r(a＋1)， eq \r(\f(y,3))(y>0)， eq \r(－3x)(x<0)， eq \r(3,－x2)和a2－1中，是二次根式的有(B)
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
◎命题角度2 确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围
根据二次根式 eq \r(a)有意义的条件要从两个方面来思考，一是求字母所在的式子有意义时字母必须满足的条件，二是求字母所在的实际问题有意义时字母必须满足的条件．
【例3】式子 eq \r(x－2 023)有意义时，x应满足的条件为(B)
A．x≠2 023 B．x≥2 023 C．x<2 023 D．x≤2 023
【例4】要使二次根式 eq \r(2－3x)有意义，则x的最大值是__ eq \f(2,3)__．
◎命题角度3 利用二次根式有意义的条件求值
若两个二次根式的被开方数互为相反数，则只有它们同时为0时，这两个式子才能都有意义．
【例5】若 eq \r(2x－1)＋ eq \r(1－2x)＋1在实数范围内有意义，则x满足的条件是(C)
A．x≥ eq \f(1,2) B．x≤ eq \f(1,2) C．x＝ eq \f(1,2) D．x≠ eq \f(1,2)
【例6】若y＝ eq \f(\r(x－5)＋\r(5－x),10)－2，则(x＋y)y＝__ eq \f(1,9)__．
◎命题角度4 二次根式非负性的应用
二次根式 eq \r(a)具有双重非负性：①被开方数a≥0；②它的值 eq \r(a)≥0.此外，常见的非负数还有|a|，a2(或a的偶次幂)．
【例7】若|1 001－a|＋ eq \r(a－1 002)＝a，则a－1 0012＝__1_002__．
【例8】若a，b满足实数a2－6a＋2 eq \r(2b－4)＝－9，则 eq \r(ab)的值为__3__．
高效课堂 教学设计
1．理解二次根式的概念，弄清被开方数是非负数这一要求．
2．理解二次根式的非负性，会求使二次根式有意义的条件．
3．能初步运用二次根式的概念和基本性质解决简单实际问题．
▲重点
二次根式的概念．
▲难点
利用“ eq \r(a)(a≥0)”解决具体问题．
◆活动1 新课导入
1．回顾平方根和算术平方根的概念．
2．若x2＝9，则x＝__±3__；若y2＝3，则y＝__± eq \r(3)__．
3．若正方形的面积为S，则正方形的边长为__ eq \r(S)__．
◆活动2 探究新知
1．教材P2 第1个思考．
提出问题：
(1)你能完成思考中的填空吗？
(2)所填的式子分别表示什么意义？
(3)这些式子有什么特点？
(4)什么叫二次根式？ eq \r(a)成立的条件是什么？
学生完成并交流展示．
2．教材P2 第2个思考．
提出问题：
(1)x2≥0成立吗？为什么？
(2)式子 eq \r(x2)一定成立吗？
(3)举例说明x3≥0是否一定成立？
(4)若 eq \r(x3)有意义，则x的取值范围是什么？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．一般地，我们把形如__ eq \r(a)(a≥0)__的式子叫做二次根式，“ eq \r( )”称为__二次根号__．
2． eq \r(a)(a≥0)既是一个二次根式，又表示非负数a的__算术平方根__，所以 eq \r(a)具有“双重非负性”，即：a__≥0__， eq \r(a)__≥0__．
3．判断一个式子是否为二次根式，应该从两个方面进行考虑：①是否带有“ eq \r( )”；②被开方数是否为非负数．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P2 例1.
例2 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？
(1) eq \r(11)；(2) eq \r(－5)；(3) eq \r(3－x)(x≤3)；(4) eq \r(－x)(x>0)；(5) eq \r((a－1)2).
解：(1)(3)(5)是二次根式，(2)(4)不是二次根式．
例3 求使下列式子有意义的x的取值范围．
(1) eq \f(1,\r(4－3x))；(2) eq \f(\r(3－x),x－2)；(3) eq \f(\r(x＋5),x).
解：(1)由题意，得4－3x>0，解得x< eq \f(4,3).∴当x< eq \f(4,3)时， eq \f(1,\r(4－3x))有意义；
(2)由题意，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－x≥0，,x－2≠0，))解得x≤3且x≠2.∴当x≤3且x≠2时， eq \f(\r(3－x),x－2)有意义；
(3)由题意，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋5≥0，,x≠0，))解得x≥－5且x≠0.∴当x≥－5且x≠0时， eq \f(\r(x＋5),x)有意义.
例4 先观察下列等式，再回答问题．
eq \r(2\f(2,3))＝2 eq \r(\f(2,3))， eq \r(3\f(3,8))＝3 eq \r(\f(3,8))， eq \r(4\f(4,15))＝4 eq \r(\f(4,15))，…
(1)类比上述式子，再写出几个同类型的式子；
(2)你能看出其中的规律吗？用字母表示这一规律．
解：(1) eq \r(5\f(5,24))＝5 eq \r(\f(5,24))， eq \r(6\f(6,35))＝6 eq \r(\f(6,35))；(2) eq \r(n\f(n,n2－1))＝n eq \r(\f(n,n2－1)).
练习
1．教材P3 练习第1，2题．
2．下列式子：① eq \r(4)；② eq \r(a＋3)；③ eq \r(3－π)；④ eq \r(－7)；⑤ eq \r(\f(2,x2＋1))；⑥ eq \r(m2＋3m＋6)，其中是二次根式的有( B )
A．1个 B．3个 C．4个 D．5个
3．要使式子 eq \r(2x－4)＋ eq \f(1,x－3)有意义，则x应该满足__x≥2且x≠3__．
4．△ABC的三边长为a，b，c，其中a和b满足b2－4b＋4＋ eq \r(a－5)＝0，求c的取值范围．
解：依题意，得(b－2)2＋ eq \r(a－5)＝0，∴b＝2，a＝5.
又∵a，b，c为三角形的三边长，∴3◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．二次根式的概念．
2．二次根式的非负性及运用．
1．作业布置
(1)教材P5 习题16.1第1，3，5，7题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
第2课时 二次根式的性质
教师备课 素材示例
●情景导入 如图是一块具有民族风的正方形方巾，面积为9，则它的边长为__3__，若面积为a，则它的边长为__ eq \r(a)__，正方形的边长是 eq \r(a)，则面积为__a__．你发现了什么？
【教学与建议】教学：从正方形的边长引出 eq \r(a)的例子，让学生初步理解 eq \r(a)的实际意义．建议：让学生谈谈对于 eq \r(a)和( eq \r(a))2的理解．
●置疑导入 你能指出下列运算过程中的错误吗？
( eq \f(1,5))2＝(－ eq \f(1,5))2，可以写为( eq \f(26,5)－5)2＝(5－ eq \f(26,5))2，
两边开平方，得 eq \r((\f(26,5)－5)2)＝ eq \r((5－\f(26,5))2)，
所以 eq \f(26,5)－5＝5－ eq \f(26,5)，即 eq \f(1,5)＝－ eq \f(1,5).
学了本节课我们就知道以上运算为什么错了．
【教学与建议】教学：设计纠错问题激发学生学习的主动性与积极性．建议：鼓励学生积极地投入到观察、分析、计算、讨论中．
◎命题角度1 利用二次根式的性质( eq \r(a))2＝a(a≥0)解题
将非负数a的算术平方根平方，就等于它本身，因此有( eq \r(a))2＝a(a≥0).
【例1】计算( eq \r(2))2的结果是(B)
A． eq \r(2) B．2 C．3 eq \r(2) D．4
【例2】( eq \r(3))2＋1的结果是__4__．
◎命题角度2 逆用二次根式的性质( eq \r(a))2＝a(a≥0)解题
( eq \r(a))2＝a(a≥0)又可以写成：a＝( eq \r(a))2(a≥0).
【例3】在实数范围内分解因式：
(1)x2－3； (2)x4－16； (3)n5－4n3＋4n.
解：(1)原式＝(x＋ eq \r(3))(x－ eq \r(3))；
(2)原式＝(x2＋4)(x＋2)(x－2)；
(3)原式＝n(n＋ eq \r(2))2(n－ eq \r(2))2.
【例4】化简求值： eq \f(1,a)＋ eq \r(\f(1,a2)＋a2－2)，其中a＝ eq \f(1,5).
解：∵a＝ eq \f(1,5)，∴ eq \f(1,a)＞a，
∴原式＝ eq \f(1,a)＋ eq \r((\f(1,a)－a)2)＝ eq \f(1,a)＋ eq \f(1,a)－a＝ eq \f(2,a)－a＝ eq \f(2－a2,a)＝ eq \f(2－(\f(1,5))2,\f(1,5))＝ eq \f(49,5).
◎命题角度3 利用二次根式的性质 eq \r(a2)＝|a|解题
在利用 eq \r(a2)＝|a|进行化简时，弄清被开方数的底数是正还是负．
【例5】已知二次根式 eq \r(x2)的值为3，那么x的值是(D)
A．3 B．9 C．－3 D．3或－3
【例6】计算 eq \r((－2)2)的结果是__2__．
【例7】若 eq \r(a2)＝3， eq \r(b)＝2，且ab＜0，则a－b＝__－7__．
高效课堂 教学设计
1．理解 eq \r(a)(a≥0)是一个非负数和( eq \r(a))2＝a(a≥0)，并利用它们进行计算和化简．
2．理解 eq \r(a2)＝a(a≥0)和 eq \r(a2)＝－a(a≤0)，并利用它们进行计算和化简．
3．用a＝( eq \r(a))2(a≥0)解决具体问题．
▲重点
( eq \r(a))2＝a(a≥0)及 eq \r(a2)＝|a|的运用．
▲难点
eq \r(a2)＝|a|的运用．
◆活动1 新课导入
1．回顾二次根式的概念．
2．当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) eq \r(1－x)；(2) eq \r(2x－3)；(3) eq \r(1＋x2)；(4) eq \r(1－x2).
3．填空：( eq \r(9))2＝__9__， eq \r(32)＝__3__．
◆活动2 探究新知
1．教材P3 探究．
提出问题：
(1)你能完成探究中的计算吗？
(2)通过计算，你能猜出( eq \r(a))2(a≥0)的结果吗？说说你的理由．
学生完成并交流展示．
2．教材P4 探究．
提出问题：
(1)请完成探究中的填空；
(2)通过计算，你能猜出 eq \r(a2)(a≥0)的结果吗？说说你的理由；
(3)当a<0时， eq \r(a2)的结果是多少？你是怎样想的？
(4)二次根式有哪些性质？你能归纳出来吗？
(5)什么样的式子叫做代数式？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．( eq \r(a))2＝__a__(a≥0).
2． eq \r(a2)＝|a|＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1( a (a≥0)，, －a (a<0).))
3．用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把__数__或__表示数的字母__连接起来的式子，叫做代数式．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P3 例2.
例2 教材P4 例3.
例3 计算与化简：
(1)2( eq \r(6))2；(2)(2 eq \r(6))2；(3)( eq \r(a2＋2))2；(4) eq \r(81)；(5)－ eq \r((－2)2)；(6) eq \r(4×10-2).
解：(1)原式＝12；
(2)原式＝24；
(3)原式＝a2＋2；
(4)原式＝9；
(5)原式＝－2；
(6)原式＝0.2.
例4 已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简： eq \r((a＋1)2)＋2 eq \r((b－1)2)－|a－b|.
解：从数轴上a，b的位置关系可知－2a，故a＋1<0，b－1>0，a－b<0.
∴原式＝|a＋1|＋2|b－1|－|a－b|＝－(a＋1)＋2(b－1)＋(a－b)＝b－3.
练习
1．教材P4 练习第1，2题．
2．下列各式中，正确的是( B )
A． eq \r((－4)2)＝－4 B．－ eq \r(42)＝－4
C． eq \r((±4)2)＝±4 D． eq \r(42)＝±4
3．下列式子：①a＋b＝c；②5 eq \r(2)；③a>0；④an，其中属于代数式的是( B )
A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
4．计算：
(1) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3))) eq \s\up12(2)＋ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)))\s\up12(2))；
解：原式＝ eq \f(1,3)＋ eq \f(5,3)＝2；
(2)－ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,7)))\s\up12(2))× eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,2)))\s\up12(2))×(－ eq \r(π))-2.
解：原式＝－ eq \f(2,7)× eq \f(7,2)× eq \f(1,π)＝－ eq \f(1,π).
5．已知一个圆柱体的体积为V，高为h，求它的底面半径r(用含有V和h的代数式表示)；求当V＝80π，h＝5时，底面半径r的值．
解：圆柱体的体积V＝πr2h，∴r＝ eq \r(\f(V,πh)).
把V＝80π，h＝5代入上式，得r＝4.
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．理解二次根式的性质，利用二次根式的性质进行化简和计算．
2．利用代数式的概念判断哪些式子是代数式．
1．作业布置
(1)教材P5 习题16.1第2，4，8，9题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
16.2 二次根式的乘除
第1课时 二次根式的乘法
教师备课 素材示例
●置疑导入 问题情境：你能解决下面的问题吗？
如图，设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b，已知a＝2 eq \r(3)，b＝ eq \r(7)，求S.
【教学与建议】教学：利用实际问题导入新课，激发学生学习的积极性．建议：学生相互讨论使学生主动参与到学习活动中来．
●归纳导入 请同学们完成下列各题．
1．填空：
(1) eq \r(4)× eq \r(25)＝__10__， eq \r(4×25)＝__10__；
(2) eq \r(9)× eq \r(16)＝__12__， eq \r(9×16)＝__12__；
(3) eq \r(100)× eq \r(49)＝__70__， eq \r(100×49)＝__70__．
参考上面的结果，用“>”“<”或“＝”填空：
eq \r(4)× eq \r(25)__＝__ eq \r(4×25)； eq \r(9)× eq \r(16)__＝__ eq \r(9×16)；
eq \r(100)× eq \r(49)__＝__ eq \r(100×49).
2．提出问题：你能说出发现的规律吗？
【归纳】两个二次根式相乘，把被开方数__相乘__，根指数__不变__，用字母表示： eq \r(a)· eq \r(b)＝__ eq \r(ab)__(a≥0，b≥0).
【教学与建议】教学：引导学生在计算、观察的基础上，发现规律．建议：教师的点拨引导，学生积极开展小组合作学习，交流探索新知．
◎命题角度1 二次根式的乘法
二次根式相乘，先把根号前面的系数相乘，再将被开方数相乘，根指数不变．
【例1】计算 eq \r(3)× eq \r(7)的结果是(D)
A．7 eq \r(3) B．3 eq \r(7) C． eq \r(10) D． eq \r(21)
【例2】下列二次根式中，与 eq \r(2)的积为无理数的是(B)
A． eq \r(\f(1,2)) B． eq \r(12) C． eq \r(18) D． eq \r(32)
◎命题角度2 逆用二次根式乘法法则进行二次根式的化简
利用 eq \r(ab)＝ eq \r(a)· eq \r(b)(a≥0，b≥0)及 eq \r(a2)＝a(a≥0)进行化简．
【例3】下列各式化简后的结果是3 eq \r(2)的是(C)
A． eq \r(6) B． eq \r(12) C． eq \r(18) D． eq \r(36)
【例4】化简 eq \r((－2)2×8×3)的结果是(D)
A．2 eq \r(24) B．－2 eq \r(24) C．－4 eq \r(6) D．4 eq \r(6)
◎命题角度3 二次根式的大小比较
比较两个二次根式大小的方法：(1)被开方数比较法，即先将根号外的非负因数移到根号内，被开方数大的二次根式大；(2)平方法，即把两个二次根式分别平方，再比较大小；(3)计算器求近似值法．
【例5】比较下列各组二次根式的大小：
(1)3 eq \r(5)和4 eq \r(3)； (2)－9 eq \r(3)和－8 eq \r(7).
解：(1)3 eq \r(5)＝ eq \r(45)，4 eq \r(3)＝ eq \r(48).
∵ eq \r(45)＜ eq \r(48)，∴3 eq \r(5)＜4 eq \r(3)；
(2)－9 eq \r(3)＝－ eq \r(243)，－8 eq \r(7)＝－ eq \r(448).
∵－ eq \r(243)＞－ eq \r(448)，∴－9 eq \r(3)＞－8 eq \r(7).
高效课堂 教学设计
1．理解 eq \r(a)· eq \r(b)＝ eq \r(ab)(a≥0，b≥0)，并运用它进行计算．
2．利用逆向思维，得出 eq \r(ab)＝ eq \r(a)· eq \r(b)(a≥0，b≥0)，并运用它进行解题和化简．
▲重点
eq \r(a)· eq \r(b)＝ eq \r(ab)(a≥0，b≥0)； eq \r(ab)＝ eq \r(a)· eq \r(b)(a≥0，b≥0)，及它们的运用．
▲难点
发现规律，导出 eq \r(a)· eq \r(b)＝ eq \r(ab)(a≥0，b≥0).

◆活动1 新课导入
1．回顾二次根式的性质和算术平方根的概念．
2．下列运算正确的是( A )
A．( eq \r(2))2＝2 B．(－ eq \r(2))2＝－2
C．(－ eq \r(－2))2＝2 D．－ eq \r((－2)2)＝2
3．计算：(1) eq \r(4)× eq \r(25)＝__10__， eq \r(4×25)＝__10__；
(2) eq \r(16)× eq \r(9)＝__12__， eq \r(16×9)＝__12__．
思考： eq \r(4)× eq \r(36)与 eq \r(4×36)的结果相同吗？你发现了什么？
◆活动2 探究新知
教材P6 探究．
提出问题：
(1)你能完成探究中的计算吗？
(2)通过计算，你能得出二次根式的乘法法则吗？
(3)二次根式的乘法法则反过来还成立吗？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．二次根式的乘法法则： eq \r(a)· eq \r(b)＝__ eq \r(ab)__(a≥0，b≥0).
2．积的算术平方根的性质： eq \r(ab)＝__ eq \r(a)· eq \r(b)__(a≥0，b≥0).
注意：根据二次根式的乘法法则，类似可得 eq \r(a)· eq \r(b)· eq \r(c)· eq \r(d)＝__ eq \r(abcd)__(a≥0，b≥0，c≥0，d≥0).
◆活动4 例题与练习
例1 教材P6 例1.
例2 教材P7 例2.
例3 教材P7 例3.
例4 计算：
(1) eq \r(5)×(－2 eq \r(10))× eq \r(2\f(1,2))；
解：原式＝－2 eq \r(5×10×\f(5,2))
＝－10 eq \r(5)；
(2)5 eq \r(45)× eq \f(3,2) eq \r(\f(2,3))× eq \r(\f(1,5))；
解：原式＝ eq \f(3,2)×5 eq \r(45×\f(2,3)×\f(1,5))
＝ eq \f(15\r(6),2)；
(3) eq \r(\f(1,5)ab2)· eq \r(\f(10a,b)).
解：原式＝ eq \r(2a2b)
＝a eq \r(2b).
例5 比较3 eq \r(5)与4 eq \r(3)的大小．
解：方法一：3 eq \r(5)＝ eq \r(32×5)＝ eq \r(45)，4 eq \r(3)＝ eq \r(42×3)＝ eq \r(48).
∵ eq \r(45)< eq \r(48)，∴3 eq \r(5)<4 eq \r(3)；
方法二：∵(3 eq \r(5))2＝45，(4 eq \r(3))2＝48，45<48，
∴3 eq \r(5)<4 eq \r(3).
练习
1．教材P7 练习第1，2，3题．
2．计算： eq \r(8)× eq \r(\f(1,2))＝__2__．
3．计算：2 eq \r(6)×(－3 eq \r(6))＝__－36__．
4．计算：
(1) eq \r(75)× eq \r(20)× eq \r(12)；
解：原式＝ eq \r(25×3×4×5×3×4)
＝60 eq \r(5)；
(2) eq \r((－14)×(－112)).
解：原式＝ eq \r(14×112)
＝ eq \r(2×72×42)
＝28 eq \r(2).
5．一个底面为30 cm×30 cm的长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10 cm的长方体铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20 cm，铁桶的底面边长是多少厘米？
解：设铁桶的底面边长是x cm.
由题意，得x2×10＝30×30×20，x2＝30×30×2，x＝ eq \r(30×30×2)＝30 eq \r(2).
答：铁桶的底面边长是30 eq \r(2) cm.
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．理解二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质．
2．二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质的应用．
1．作业布置
(1)教材P10～11 习题16.2第1，5，6题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
第2课时 二次根式的除法
教师备课 素材示例
●归纳导入 1.计算：
(1) eq \r(5)× eq \r(7)＝__ eq \r(35)__；(2) eq \r(\f(1,3))× eq \r(9)＝__ eq \r(3)__；
(3) eq \r(9)× eq \r(27)＝__9 eq \r(3)__；(4)5 eq \r(3)×4 eq \r(2)＝__20 eq \r(6)__．
2．填空：
(1) eq \f(\r(4),\r(25))＝__ eq \f(2,5)__， eq \r(\f(4,25))＝__ eq \f(2,5)__；(2) eq \f(\r(9),\r(36))＝__ eq \f(1,2)__， eq \r(\f(9,36))＝__ eq \f(1,2)__；
(3) eq \f(\r(64),\r(81))＝__ eq \f(8,9)__， eq \r(\f(64,81))＝__ eq \f(8,9)__；(4) eq \f(\r(25),\r(100))＝__ eq \f(1,2)__， eq \r(\f(25,100))＝__ eq \f(1,2)__．
规律： eq \f(\r(4),\r(25))__＝__ eq \r(\f(4,25))； eq \f(\r(9),\r(36))__＝__ eq \r(\f(9,36))； eq \f(\r(64),\r(81))__＝__ eq \r(\f(64,81))； eq \f(\r(25),\r(100))__＝__ eq \r(\f(25,100)).
3．问题：你能说出你发现的规律吗？
【归纳】两个二次根式相除，根指数__不变__，被开方数__相除__．用字母表示： eq \f(\r(a),\r(b))＝ eq \r(\f(a,b))(a≥0，b＞0).
【教学与建议】教学：利用具体数据，通过学生的练习活动，发现规律，归纳出二次根式的除法法则．建议：教学中教师要注意引导学生自己去发现、探索、理解．
●类比导入 师：我们是怎样得到二次根式的乘法法则的？
生：从特殊的几个算式中归纳出来的．
师：接下来，我们用类似的方法来研究二次根式的除法．
问题1 计算下列各式，观察计算结果，你能发现其中的规律吗？
(1) eq \f(\r(4),\r(49))＝__ eq \f(2,7)__， eq \r(\f(4,49))＝__ eq \f(2,7)__；(2) eq \f(\r(16),\r(36))＝__ eq \f(2,3)__， eq \r(\f(16,36))＝__ eq \f(2,3)__．
问题2 用你发现的规律填空，并用计算器进行验算：
(1) eq \f(\r(2),\r(9))__＝__ eq \r(\f(2,9))；(2) eq \f(\r(5),\r(11))__＝__ eq \r(\f(5,11)).
【教学与建议】教学：类比前面二次根式乘法的研究方法来研究二次根式的除法，感受二次根式除法运算法则．建议：教学时，让学生交流讨论学习二次根式乘法的经验，类比学习二次根式除法法则．
◎命题角度1 eq \f(\r(a),\r(b))＝ eq \r(\f(a,b))(a≥0，b＞0)的计算
两个二次根式相除，用根号前面的系数与系数相除，根号内被开方数相除．要注意将结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式．
【例1】计算 eq \r(\f(2,3))÷ eq \r(\f(3,2))的结果是(B)
A．1 B． eq \f(2,3) C． eq \f(3,2) D．以上答案都不对
【例2】下列运算正确的是(D)
A． eq \r(50)÷ eq \r(5)＝10 B． eq \r(10)÷2 eq \r(5)＝2 eq \r(2)
C． eq \r(32＋42)＝3＋4＝7 D． eq \r(27)÷ eq \r(3)＝3
◎命题角度2 分母有理化
分母有理化常有两种方法：一是分子、分母都乘适当的二次根式；二是根据题目的特点，把分母或分子适当地分解因式，再约分．
【例3】把下列式子中的分母的根号化去：
(1) eq \f(3,\r(2))； (2) eq \f(\r(5),\r(48))； (3) eq \f(a－4,\r(a)＋2).
解：(1) eq \f(3,\r(2))＝ eq \f(3×\r(2),\r(2)×\r(2))＝ eq \f(3\r(2),2)；
(2) eq \f(\r(5),\r(48))＝ eq \f(\r(5),4\r(3))＝ eq \f(\r(5)×\r(3),4\r(3)×\r(3))＝ eq \f(\r(15),12)；
(3) eq \f(a－4,\r(a)＋2)＝ eq \f((\r(a))2－22,\r(a)＋2)＝ eq \f((\r(a)＋2)(\r(a)－2),\r(a)＋2)＝ eq \r(a)－2.
◎命题角度3 最简二次根式
符合以下两个条件的根式是最简二次根式：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
【例4】下列各式是最简二次根式的是(A)
A． eq \r(15) B． eq \r(0.7) C． eq \r(a2) D． eq \r(\f(1,3))
【例5】把下列各个二次根式化为最简二次根式．
(1) eq \r(54)＝__3 eq \r(6)__；(2) eq \r(2.5)＝__ eq \f(\r(10),2)__．
◎命题角度4 二次根式的乘除法混合运算
二次根式混合运算的技巧与注意点：(1)可先对每一个二次根式化简，再计算；(2)根号外的系数与根号内的被开方数要分步计算；(3)二次根式乘除法混合运算仍是按从左到右的顺序进行，如果有括号，就先算括号里的．
【例6】计算 eq \r(1\f(1,3))÷ eq \r(2\f(1,3))÷ eq \r(1\f(2,5))的结果正确的是(A)
A． eq \f(2\r(5),7) B． eq \f(2,7) C． eq \r(2) D． eq \f(\r(2),7)
【例7】计算：
(1) eq \r(12)÷ eq \r(27)×(－ eq \r(18))＝__－2 eq \r(2)__；
(2) eq \f(\r(27)×\r(12),\r(3))＝__6 eq \r(3)__．
高效课堂 教学设计
1．理解 eq \f(\r(a),\r(b))＝ eq \r(\f(a,b))(a≥0，b>0)和 eq \r(\f(a,b))＝ eq \f(\r(a),\r(b))(a≥0，b>0)，并能利用它们进行计算和化简．
2．利用具体数据，发现规律，归纳出二次根式的除法法则，并用逆向思维写出逆向等式，能利用它们进行计算和化简．
▲重点
二次根式除法公式的理解、运用和逆运用．
▲难点
发现规律，探索二次根式的除法法则．
◆活动1 新课导入
1．回顾二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质．
2．计算：
(1) eq \r(8)× eq \r(\f(1,2))；(2) eq \r(16)× eq \r(8)；(3) eq \r(6×8×24).
3．计算下列各题，观察有什么规律？
(1) eq \f(\r(36),\r(49))＝__ eq \f(6,7)__， eq \r(\f(36,49))＝__ eq \f(6,7)__， eq \f(\r(36),\r(49))__＝__ eq \r(\f(36,49))；
(2) eq \f(\r(9),\r(16))＝__ eq \f(3,4)__， eq \r(\f(9,16))＝__ eq \f(3,4)__， eq \f(\r(9),\r(16))__＝__ eq \r(\f(9,16)).
◆活动2 探究新知
1．教材P8 探究．
提出问题：
(1)你能完成探究中的计算吗？
(2)通过计算，你能得出二次根式的除法法则吗？
(3)二次根式的除法法则反过来成立吗？
学生完成并交流展示．
2．教材P9 例6.
提出问题：
(1)观察例6中的计算结果，你能发现什么特点？
(2)由此你能得出什么样的二次根式叫做最简二次根式？
(3)如何把二次根式化为最简二次根式？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．二次根式的除法法则： eq \f(\r(a),\r(b))＝__ eq \r(\f(a,b))__(a≥0，b>0)，即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变．
2．二次根式的除法法则的逆用： eq \r(\f(a,b))＝__ eq \f(\r(a),\r(b))__(a≥0，b>0)，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．
3．最简二次根式必须满足下列两个条件：
(1)被开方数不含__分母__；
(2)被开方数中不含__能开得尽方的因数或因式__．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P8 例4.
例2 教材P8 例5.
例3 把下列二次根式化成最简二次根式：
(1) eq \r(3.5)；
解：原式＝ eq \r(\f(7,2))
＝ eq \f(\r(14),2)；
(2) eq \r(1\f(4,5))；
解：原式＝ eq \r(\f(9,5))
＝ eq \f(3\r(5),5)；
(3) eq \r(\f(27,3x)).
解：原式＝3 eq \r(\f(1,x))
＝ eq \f(3\r(x),x).
例4 教材P9 例7.
例5 长方形的长为3 eq \r(10)，面积为30 eq \r(6)，要在这个长方形中分割出一个面积最大的正方形，求该正方形的面积．
解：∵30 eq \r(6)÷3 eq \r(10)＝2 eq \r(15)，而3 eq \r(10)>2 eq \r(15)，
∴正方形的边长是2 eq \r(15)，
∴正方形的面积是(2 eq \r(15))2＝60.
练习
1．教材P10 练习第1，2，3题．
2．若 eq \r(\f(a,2－a))＝ eq \f(\r(a),\r(2－a))，则a的取值范围是( C )
A．a<2 B．a≤2 C．0≤a<2 D．a≥0
3．若 eq \r(2m+3)和 eq \r(32m－n+1)都是最简二次根式，则m＝__－2__，n＝__－4__．
4．已知a＋b＝－3，ab＝2，求 eq \r(\f(b,a))＋ eq \r(\f(a,b))的值．
解：∵a＋b＝－3，ab＝2，
∴a<0，b<0，
∴ eq \r(\f(b,a))＋ eq \r(\f(a,b))＝ eq \f(\r(ab),－a)＋ eq \f(\r(ab),－b)＝ eq \f(－(a＋b)\r(ab),ab)＝－ eq \f(－3\r(2),2)＝ eq \f(3\r(2),2).
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．理解二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质．
2．二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质的应用．
1．作业布置
(1)教材P10～11 习题16.2第2，3，4，7，8题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
16.3 二次根式的加减
第1课时 二次根式的加减
教师备课 素材示例
●情景导入 现有一块长为7.5 dm、宽为5 dm的木板，能否采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2的正方形木板？
根据题意，得 eq \r(8)＋ eq \r(18).怎样计算这个算式呢？今天我们用二次根式的加减来解决这个问题．
【教学与建议】教学：通过实际情景，激发学生的学习兴趣和求知欲望．建议：教学中采用分组讨论、自主探究的方式来解决问题，提高学生自主学习的能力．
●复习导入 1.合并同类项：
(1)3a＋4a；(2)4a2－3a2＋2a2.
解：(1)原式＝7a；(2)原式＝3a2.
这几道题你是运用什么知识做的？__加减法则__．
2．化简：
(1) eq \r(\f(5,3))；(2) eq \r(48)；(3) eq \r(72m3).
解：(1)原式＝ eq \f(\r(15),3)；(2)原式＝4 eq \r(3)；(3)原式＝6m eq \r(2m).
3．二次根式的乘除法，是通过几个被开方数相乘或者相除，然后化简得出结果．那么，二次根式的加减法能通过几个被开方数相加或相减得出结果吗？
提问： eq \r(7)－ eq \r(5)＝ eq \r(2)正确吗？
在我们学习了本节课之后你就会明白上面的计算是否正确．
【教学与建议】教学：复习合并同类项，化简二次根式为二次根式加减打下基础．建议：将课堂留给学生，让学生自主学习，自主发现问题，自主解决问题．
◎命题角度1 二次根式可以合并的条件
只有被开方数相同的二次根式才能合并；结合最简二次根式的概念列出方程组，即可求出未知字母的值．
【例1】下列各组二次根式中，化简后能合并的是(C)
A． eq \r(12)与 eq \r(\f(1,2)) B． eq \r(18)与 eq \r(27) C． eq \r(3)与 eq \r(\f(1,3)) D． eq \r(45)与 eq \r(54)
【例2】若最简二次根式 eq \r(2x＋1)与 eq \r(4x－3)能合并，则x的值是(B)
A．3 B．2 C．－2 D．－ eq \f(1,2)
◎命题角度2 二次根式的加减运算
二次根式加减运算的步骤：(1)化简：将二次根式化成最简二次根式；(2)判别：找出被开方数相同的二次根式；(3)合并：将被开方数相同的二次根式合并．
【例3】下列计算正确的是(A)
A． eq \r(27)－ eq \r(3)＝2 eq \r(3) B． eq \r(2)＋ eq \r(3)＝ eq \r(5)
C．4 eq \r(3)－3 eq \r(3)＝1 D．3＋2 eq \r(2)＝5 eq \r(2)
【例4】计算3 eq \r(5)－ eq \r(20)的结果是__ eq \r(5)__．
◎命题角度3 二次根式加减运算的应用
根据题意列出二次根式，再利用二次根式的加减运算解决问题．
【例5】三角形的三边长分别为 eq \r(20) cm， eq \r(40) cm， eq \r(45) cm，则这个三角形的周长为__(5 eq \r(5)＋2 eq \r(10))__cm.
【例6】已知等腰三角形的两边长分别为2 eq \r(7)和5 eq \r(5)，则此等腰三角形的周长为__2 eq \r(7)＋10 eq \r(5)__.
高效课堂 教学设计
1．能够熟练地将二次根式化为最简二次根式，并进行合并．
2．会进行二次根式的加减运算．
▲重点
二次根式的加减运算．
▲难点
将二次根式化简为最简二次根式，并会进行二次根式的加减运算．
◆活动1 新课导入
1．把下列二次根式化为最简二次根式．
(1) eq \r(8)；(2) eq \r(18)；(3) eq \r(\f(1,2))；(4) eq \r(27)；(5) eq \r(\f(1,3))；(6) eq \r(\f(27,4)).
2．计算：
(1)2x＋3x＝__5x__；(2)2x2－3x2＋5x2＝__4x2__；
(3)x＋2x＋3y＝__3x＋3y__；(4)3a2－2a2＋a3＝__a2＋a3__．
3．类比计算：
(1) eq \r(2)＋2 eq \r(2)＝__3 eq \r(2)__；(2)3 eq \r(8)－2 eq \r(8)＋4 eq \r(8)＝__5 eq \r(8)__＝__10 eq \r(2)__．
今天我们一起学习二次根式的加减．
◆活动2 探究新知
教材P12 内容．
提出问题：
(1)能否截得两个正方形，需要我们算出什么？或者是比较哪两个量之间的大小？
(2)面积是8 dm2和18 dm2的正方形的边长分别是多少？
(3)在横线上填上每一步计算的依据；
eq \r(8)＋ eq \r(18)
＝2 eq \r(2)＋3 eq \r(2) __化成最简二次根式__
＝(2＋3) eq \r(2) __分配律__
＝5 eq \r(2).
(4)由此你能得出二次根式的加减运算法则吗？
(5)在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内成立吗？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
二次根式加减时，先将二次根式化成__最简二次根式__，再将__被开方数相同__的二次根式进行合并．
强调：
1．二次根式的加减与整式的加减之间的联系与区别：二次根式的加减是被开方数相同的最简二次根式进行合并，不能合并的保留到结果；整式的加减是合并同类项，不能合并的保留到结果．
2． eq \r(5)与 eq \r(7)不能合并，因为被开方数不同．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P13 例1.
例2 教材P13 例2.
例3 计算：(1) eq \r(\f(1,5))＋2 eq \r(20)－4 eq \r(\f(4,5))－ eq \f(\r(5),5)；
解：原式＝ eq \f(\r(5),5)＋4 eq \r(5)－ eq \f(8\r(5),5)－ eq \f(\r(5),5)＝ eq \f(12\r(5),5)；
(2) eq \r(18)－ eq \r(\f(9,2))－ eq \f(\r(3)＋\r(6),\r(3))＋( eq \r(3)－2)0＋ eq \r((1－\r(2))2).
解：原式＝3 eq \r(2)－ eq \f(3\r(2),2)－1－ eq \r(2)＋1＋ eq \r(2)－1＝ eq \f(3\r(2),2)－1.
例4 已知m＝2＋ eq \r(3)，求 eq \f(m2－1,m－1)－ eq \f(\r(m2－2m＋1),m－m2)的值．
解：原式＝ eq \f((m＋1)(m－1),m－1)－ eq \f(|m－1|,m(1－m)).∵m－1＝2＋ eq \r(3)－1＝1＋ eq \r(3)>0，∴原式＝m＋1＋ eq \f(1,m).将m＝2＋ eq \r(3)代入，得原式＝2＋ eq \r(3)＋1＋ eq \f(1,2＋\r(3))＝5.
练习
1．教材P13 练习第1，2，3题．
2．小明同学在作业本上做了以下4道题：① eq \r(7)－ eq \r(4)＝ eq \r(3)；②3 eq \r(3)－ eq \r(3)＝3；③2＋3 eq \r(5)＝5 eq \r(5)；④ eq \r(6x)－ eq \r(5x)＝ eq \r(x).其中做对的题目的个数是( A )
A．0 B．1 C．2 D．3
3．下列二次根式中，化简后不能与 eq \r(3)合并的是__②⑤__．(填序号)
① eq \r(48)；②－ eq \r(125)；③ eq \r(1\f(1,3))；④ eq \f(\r(3),2)；⑤ eq \r(18).
4．计算：
(1) eq \r(18)＋ eq \r(12)－ eq \r(8)－ eq \r(27)＋3 eq \r(\f(1,3))；
解：原式＝3 eq \r(2)＋2 eq \r(3)－2 eq \r(2)－3 eq \r(3)＋ eq \r(3)
＝ eq \r(2)；
(2) eq \f(\r(200),10)－2 eq \r(0.08)－4 eq \r(0.5)＋ eq \f(2\r(72),5)；
解：原式＝ eq \r(2)－ eq \f(2\r(2),5)－2 eq \r(2)＋ eq \f(12\r(2),5)
＝ eq \r(2)；
(3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\r(0.5)－5\r(\f(1,3))))－(2 eq \r(0.125)－ eq \r(20))－2 eq \r(\f(1,2)).
解：原式＝ eq \f(3\r(2),2)－ eq \f(5\r(3),3)－ eq \f(\r(2),2)＋2 eq \r(5)－ eq \r(2)
＝2 eq \r(5)－ eq \f(5\r(3),3).
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．二次根式的合并．
2．二次根式的加减运算．
1．作业布置
(1)教材P15 习题16.3第2，3，5题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
第2课时 二次根式的混合运算
教师备课 素材示例
●情景导入 母亲节快到了，小勋做了两张大小不同的正方形壁画准备送给妈妈．其中一张面积为600 cm2，另一张面积为4 200 cm2，他想如果再用金彩带镶上边会更漂亮．他现在有一条长1.2 m的金彩带，请你帮忙算一算，他的金彩带够用吗？若不够用，还需要购买多长的金彩带？
引导学生计算所需金彩带的总长，列式为4 eq \r(600)＋4 eq \r(4 200)，思考计算方法．
如何计算呢？通过本节课的学习，我们就会很容易解决这一问题．
【教学与建议】教学：创设实际问题的问题情境，让学生感受数学来源于生活．建议：引导学生独立写出算式，然后讨论算式的计算方法．
●类比导入
计算：
(1)(x＋y)·xy＝__x2y＋xy2__；
(2)(2x2y＋3xy2)÷xy＝__2x＋3y__；
(3)(x＋y)(x－y)＝__x2－y2__；
(4)(x＋y)2＝__x2＋2xy＋y2__；
(5)(2x＋3y)(2x－3y)＝__4x2－9y2__．
思考：如果上述各式中的x，y分别代表着一个二次根式，我们会有哪些新的收获呢？今天我们来学习二次根式的混合运算．(同时展示本节课学习目标)
【教学与建议】教学：用类比的方法探索二次根式混合运算的特点，使学生弄清楚新旧知识之间的区别与联系．建议：引导学生自主发现结论：在进行二次根式的混合运算时，学过的整式的乘法法则和乘法公式仍然适用．
◎命题角度1 二次根式的混合运算
二次根式的混合运算：一般先将每个二次根式化为最简二次根式，再把括号内合并后进行二次根式的乘除运算，最后进行加减运算．
【例1】计算( eq \r(12)－ eq \r(3))÷ eq \r(3)的结果是(D)
A．－1 B．－ eq \r(3) C． eq \r(3) D．1
【例2】下列计算正确的是(B)
A．3 eq \r(10)－2 eq \r(5)＝ eq \r(5) B． eq \r(\f(7,11))×( eq \r(\f(11,7))÷ eq \r(\f(1,11)))＝ eq \r(11)
C．( eq \r(75)－ eq \r(15))÷ eq \r(3)＝2 eq \r(5) D． eq \f(\r(18),3)－3 eq \r(\f(8,9))＝ eq \r(2)
◎命题角度2 乘法公式在二次根式混合运算中的应用
整式的运算律、乘法法则与乘法公式在二次根式的运算中同样适用．
【例3】计算：(3－ eq \r(10))2 022(3＋ eq \r(10))2 023的结果为(D)
A．0 B．1 C．－3－ eq \r(10) D．3＋ eq \r(10)
【例4】计算( eq \r(3)＋1)( eq \r(3)－1)的结果等于__2__．
◎命题角度3 与二次根式有关的化简求值
与二次根式有关的化简求值问题的常用解题技巧：(1)运用乘法公式；(2)运用因式分解；(3)运用整体思想；(4)求含字母的代数式的值时，应先化简，后代入．
【例5】已知a＝2＋ eq \r(3)，则a＋ eq \f(1,a)＝__4__．
【例6】先化简，再求值：2(a＋ eq \r(3))(a－ eq \r(3))－a(a－6)＋6，其中a＝ eq \r(2)－1.
解：原式＝2(a2－3)－a2＋6a＋6
＝2a2－6－a2＋6a＋6
＝a2＋6a.
当a＝ eq \r(2)－1时，原式＝( eq \r(2)－1)2＋6( eq \r(2)－1)
＝2－2 eq \r(2)＋1＋6 eq \r(2)－6
＝4 eq \r(2)－3.
高效课堂 教学设计
1．掌握二次根式的加减乘除混合运算法则．
2．正确地运用二次根式加减乘除运算法则及运算律进行运算，并把结果化简．
▲重点
熟练掌握二次根式的乘除、乘方等运算法则．
▲难点
由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．
◆活动1 新课导入
1．回顾二次根式的加减、乘除运算法则、整式混合运算的法则和相关公式．
2．计算：(1) eq \r(8)＋ eq \r(72)－ eq \r(12)；(2) eq \r(8)× eq \r(6)；(3) eq \r(24)÷ eq \r(3).
3．计算：(1)(3x2＋2x＋2)·4x＝__12x3＋8x2＋8x__；
(2)(2x2y＋3xy2)÷xy＝__2x＋3y__．
4．简便计算：(1)(2x＋3y)(2x－3y)＝__4x2－9y2__；
(2)(2x＋1)2＋(2x－1)2＝__8x2＋2__．
◆活动2 探究新知
1．你能类比单项式与多项式乘除法法则计算下列各式吗？
(1) eq \r(2)×(2 eq \r(2)－ eq \r(3))；(2)( eq \r(45)－ eq \r(15))÷ eq \r(5).
2．你能根据多项式乘多项式的法则计算下列式子吗？
(1)( eq \r(3)－2 eq \r(2))(2 eq \r(3)－ eq \r(2))；(2)(2 eq \r(5)＋2 eq \r(3))( eq \r(3)－ eq \r(5)).
3．你能说出整式的乘法公式吗？你能根据乘法公式计算下列式子吗？
(1)( eq \r(3)－2 eq \r(2))( eq \r(3)＋2 eq \r(2))；(2)( eq \r(3)－2 eq \r(2))2.
4．有理数的混合运算法则是什么？类似地，你能归纳出二次根式的混合运算法则吗？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．二次根式的混合运算法则：先算__乘方__，再算__乘除__，最后算__加减__，有括号的，先算__括号内的__．
2．常见的乘法公式或法则：
(1)m(a＋b＋c)＝__ma＋mb＋mc__；
(2)(x＋a)(x＋b)＝__x2＋(a＋b)x＋ab__；
(3)(a＋b)(a－b)＝__a2－b2__；
(4)(a±b)2＝__a2±2ab＋b2__．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P14 例3.
例2 教材P14 例4.
例3 计算：
(1) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4\r(6)－4\r(\f(1,2))＋3\r(8)))÷2 eq \r(2)；
解：原式＝2 eq \r(3)＋2；
(2) eq \r(2)－( eq \r(3)＋2)÷ eq \r(3).
解：原式＝ eq \r(2)－1－ eq \f(2\r(3),3).
例4 先化简，再求值： eq \f(a2－b2,a)÷ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(2ab－b2,a)))，其中a＝2＋ eq \r(3)，b＝2－ eq \r(3).
解：原式＝ eq \f((a＋b)(a－b),a)÷ eq \f(a2－2ab＋b2,a)＝ eq \f((a＋b)(a－b),a)· eq \f(a,(a－b)2)＝ eq \f(a＋b,a－b).
当a＝2＋ eq \r(3)，b＝2－ eq \r(3)时，原式＝ eq \f(2＋\r(3)＋2－\r(3),2＋\r(3)－(2－\r(3)))＝ eq \f(4,2\r(3))＝ eq \f(2\r(3),3).
练习
1．教材P14 练习第1，2题．
2．按如图所示的程序计算，若开始输入n的值是 eq \r(2)，则最后输出的结果是( C )
A．14 B．16 C．8＋5 eq \r(2) D．14＋ eq \r(2)
3．估计(2 eq \r(30)－ eq \r(24))· eq \r(\f(1,6))的值应在( B )
A．1和2之间 B．2和3之间
C．3和4之间 D．4和5之间
4．若a＋ eq \f(1,a)＝ eq \r(5)，则a－ eq \f(1,a)＝__±1__．
5．计算：
(1) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\r(12)－2\r(\f(1,3))＋\r(48)))÷2 eq \r(3)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(1,3)))) eq \s\up12(2)；
(2)( eq \r(2)＋ eq \r(3)－ eq \r(6))( eq \r(2)－ eq \r(3)＋ eq \r(6))；
(3) eq \r(2)－( eq \r(3)＋2)÷ eq \r(3).
解：(1)原式＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6\r(3)－\f(2\r(3),3)＋4\r(3)))÷2 eq \r(3)＋ eq \f(1,3)＝ eq \f(28\r(3),3)× eq \f(1,2\r(3))＋ eq \f(1,3)＝ eq \f(14,3)＋ eq \f(1,3)＝5；
(2)原式＝[ eq \r(2)＋( eq \r(3)－ eq \r(6))][ eq \r(2)－( eq \r(3)－ eq \r(6))]＝( eq \r(2))2－( eq \r(3)－ eq \r(6))2＝2－(9－2 eq \r(18))＝2－9＋6 eq \r(2)＝－7＋6 eq \r(2)；
(3)原式＝ eq \r(2)－( eq \r(3)＋2)× eq \f(1,\r(3))＝ eq \r(2)－1－ eq \f(2\r(3),3).
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．掌握二次根式混合运算的法则．
2．正确地进行二次根式的混合运算．
1．作业布置
(1)教材P15 习题16.3第4，6，7，8题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思