北京市八一学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

这是一份北京市八一学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．与－30°终边相同的角是（ ）．
A．－330°B．30°C．150°D．330°
2．函数的最小正周期为（ ）．
A．B．C．D．
3．若满足，，则的终边在（ ）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．半径为1 cm，圆心角为120°的扇形的弧长为（ ）．
A．B．C．D．
5．已知，，若，则实数（ ）．
A．3B．－3C．6D．－6
6．已知，则的值为（ ）
A．－6B．C．D．
7．为了得到的图像，则只要将的图像（ ）．
A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度
8．如图，一个大风车的半径为8 m，每12 min旋转一周，最低点离地面2 m．若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点离地面的距离与时间之间的函数关系是（ ）．
A．B．
C．D．
9．已知函数的部分图像如图所示，给出下列结论：
①振幅为1，周期为；②振幅为2，周期为；
③点为图像的一个对称中心；④在上单调递减．
其中所有正确结论的序号是（ ）．
A．①②B．②③C．③④D．②④
10．已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都能构成一个等边三角形，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11．的值为______．
12．已知角的终边与单位圆交于点，则______．
13．如图，向量，，的起点与终点均在正方形网格的格点上，向量用，表示为，则______．
14．已知角A是的一个内角，若，则角A的取值范围是______．
15．与是两个单位向量，，则当______时，取得最小值．
16．如图，直角梯形ABCD中，，，若P为三条边上的一个动点，且，则下列结论中正确的是______．（把正确结论的序号都填上）
①满足的点P有且只有1个；
②满足的点P有且只有2个；
③能使取最大值的点P有且只有2个；
④能使取最大值的点P有无数个．
三、解答题：本大题共4小题，共36分．解答应写出文字说明，演算步藻或证明过程．
17．（本小题满分8分）
已知角为第二象限角，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
18．（本小题满分8分）
将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数的图象．求：
（Ⅰ）的值；
（Ⅱ）的单调递减区间、对称轴方程及对称中心．
19．（本小题满分10分）
某同学用“五点法”画函数在某一个周期的图像时，列表并填入了部分数据，如表：
选择下面三个条件之一，完成作答．
条件一：①，②；条件二：①，③；条件三：④，⑤．
（Ⅰ）我选择条件______，请直接写出函数的解析式和最小正周期；
（Ⅱ）求函数在上的最值，并写出相应的x值；
（Ⅲ）若对，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
20．（本小题满分10分）
给定正整数，任意的有序数组，，
定义：，
（Ⅰ）已知有序数组，，求及；
（Ⅱ）定义：n行n列的数表A，共计个位置，每个位置的数字都是0或1；任意两行都至少有一个同列的数字不同，并且有只有一个同列的数字都是1；每一行的1的个数都是a；称这样的数表A为‘表’．
①求证：当时，不存在‘表’；
②求证：所有的‘表’的任意一列有且只有a个1．
2022~2023学年度第二学期期中试卷
高一数学 答案
一、选择题共10小题，每小题4分共40分．
1．D2．A3．C4．B
5．D6．A7．A8．D
9．D10．B
二、填空题共6小题，每小题4分共24分．
11．12．13．－114．
15．16．②④
三、解答题共4小题，共36分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17．解：（Ⅰ），
∵角为第二象限角，∴．
（Ⅱ）
法2：易得，则
18．（本小题8分）
解：（1）函数的图象向左平移个单位后得到
，
所以，，所以，，因为，所以．
（2）由（1）知，
令，，解得，，
所以的单调递减区间为，．
由得，对称轴方程为，，
由得，，，
所以对称中心为，．
19．（本小题10分）
解：（Ⅰ）函数的解析式为：，最小正周期为；
（Ⅱ）当时，，
当时，即时，取得最小值1；
当时，即时，取得最大值2；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，任意的时，．
由可得，，
的最大值为－4，的最小值为7，
则a的取值范围是．
20．（本小题10分）
参考作答：
（1）、；
（2）数表A的第i行构成一个有序数组记为，则，；
①当时，，1，2，3，4
，，这与M有4个元素矛盾；同理，，矛盾；
，，矛盾；
同理，，，矛盾；
，，M也不能满足．
故知，时，不存在表．
②数表A中只有0或1，每一行的1的个数都是a，故数表中的1的总数是na．第i行组成有序数组记为，第j列构成有序数组记为．，，往证．
首先，或1时，有时，不合题意．
其次，时，若存在．不妨记为，
则第一列至少有个1，不妨记为前行的第一列都是1；这行的每一行都另有个1，并且这个1都在不同列中．
于是数表至少有列，即，故第一列不是1的行至少有行；
取第一列不是1的某行（不妨记为第i行），则它与前行中的每一行都有且只有1个同列的1；
又前行的第一列之外的所有1（共个）都在不同列中，故第i行就出现了个1，与矛盾．
故存在不成立，即，成立，由，故，需证成立．
0
x
①
②
③
④
⑤
0
2
0
－2
0