上海市宜川中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

这是一份上海市宜川中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题，共7页。试卷主要包含了04等内容，欢迎下载使用。

一．填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1．若复数满足（为虚数单位），则______．
2．已知函数是奇函数，则______．
3．设，为虚数单位，若是关于的方程的一个虚根，则______．
4．函数包含的一个严格增区间是______．
5．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______．
6．已知向量，，则在方向上的数量投影为______．
7．若复数满足，，且（为虚数单位），则的最小值为______．
8．下列条件判断三角形解的情况，正确的是______．（填序号）
①，，，有两解；②，，，有一解；
③，，，无解；④，，，有一解．
9．已知为平面向量，且，，，则______．
10．设函数的图像与直线相交的连续的三个公共点从左到右依次记为，若，则正实数的值为______．
11．如图所示，是正六边形的外接圆，若点是上的动点，设，则的最大值是______．
12．如图，线段的长度为2，点分别在轴的正半轴和轴的正半轴上滑动，以线段为一边，在第一象限内作等边三角形，为坐标原点，则的取值范围为______．
二．选择题（本大题共4题，满分20分）
13．复平面上，以原点为起点，平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是（ ）
A．正数B．负数C．实部不为零的虚数D．纯虚数
14．若，则是第（ ）象限角
A．一或二B．一或三C．二或三D．二或四
15．已知向量，，设函数，则下列关于函数的性质的描述正确的是（ ）
A．关于直线对称B．关于点对称
C．最小正周期为D．在上是增函数
16．已知是互不相同的锐角，则在、三个值中，大于的个数最多是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
三．解答题（本大题共有5题，满分76分）
17．（1）已知角终边上一点，求的值；
（2）已知，求的值．
18．已知函数，且的最小正周期为．
（1）求的值，并写出函数的对称轴方程；
（2）在中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围．
19．如图，三地在以为圆心的圆形区域边界上，公里，公里，，是圆形区域外一景点，，．
（1）半径的长（精确到小数点后两位）；
（2）若一汽车从处出发，以每小时50公里的速度沿公路行驶到处，需要多少小时？
（精确到小数点后两位）
20．已知是虚数单位，，设复数，，，且．
（1）若为纯虚数，求；
（2）若复数在复平面上对应的点分别为，且为复平面的坐标原点．
①是否存在实数，使向量逆时针旋转后与向量重合，如果存在，求实数的值；如果不存在，请说明理由；
②若三点不共线，记的面积为，求及其最大值．
21．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识结合自己所学，解决下面问题：已知的内角所对的边分别为、b、c，且．
（1）求的大小；
（2）若，设点为的费马点，求的值；
（3）设点为的费马点，，求实数的最小值．
参考答案
一．填空题
1．12．3．24．
5．6．27．8．④
9．10．11．12．
二．选择题
13．D14．B15．D16．C
三．解答题
17．【解】角终边上一点，则，
所以，，．
（2），
所以原式
18．【解】（1），
，，故，
令，解得，故对称轴方程为：；
（2）由，得，
可得，
，，又，，
，，，
，
19．【解】（1）在中，由余弦定理，
，，
（公里）
（2）中，，
中，由正弦定理，，
即 ，
，在中，由余弦定理，，（公里），所需时间为小时
20．【解】（1）因为复数，，，所以，
而为纯虚数，因此，即．又因为，且，所以，
由，解得或，所以或．
（2）①存在，理由如下：
由题意知：，得，解得或，
因为逆时针旋转后与重合，所以，；
②因为复数对应的向量分别是（为坐标原点），且三点不共线，
所以设向量的夹角为，，设复数所对应的向量为，
则，，且，
因此的面积，
，
，设，，则，
当且仅当时，等号成立，所以，其最大值为2．
21．【解】（1）由已知中，
即，
故，由正弦定理可得，故直角三角形，即．
（2）由（1），所以三角形的三个角都小于，
则由费马点定义可知：，
设，，，由得：
，整理得，则
．
（3）点为的费马点，则，
设，，，，，，
则由得；
由余弦定理得，
，
，
故由得，
即，而，故，
当且仅当，结合，解得时，等号成立，
又，即有，解得或（舍去），
故实数的最小值为．