2023-2024学年江西省抚州市金溪一中高一（下）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江西省抚州市金溪一中高一（下）第一次月考数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.cs300°=( )
A. − 32B. −12C. 12D. 32
2.CB+AD+BA等于( )
A. DBB. CAC. CDD. DC
3.将函数y=sinx的图象C向左平移π6个单位长度得到曲线C1，然后再使曲线C1上各点的横坐标变为原来的13得到曲线C2，最后再把曲线C2上各点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线C3，则曲线C3对应的函数是( )
A. y=2sin(3x−π6)B. y=2sin3(x−π6)
C. y=2sin(3x+π6)D. y=2sin3(x+π6)
4.下列函数是偶函数且在区间(−∞,0)上为减函数的是( )
A. y=2xB. y=1xC. y=|x|D. y=−x2
5.已知cs(π7−x)=−23，则cs(6π7+x)等于( )
A. 23B. 53C. −23D. − 53
6.已知非零向量a，b满足|a|=2|b|，且(a−b)⊥b，则a与b的夹角为
( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
7.已知函数f(x)=2sin(2x+φ)满足f(π8−x)=f(π8+x)，则f(3π8)=( )
A. −2B. 0C. 2D. 2
8.设函数f(x)=2sin(ωx+φ)−1(ω>0,0≤φ≤π2)的最小正周期为4π，且f(x)在[0,5π]内恰有3个零点，则φ的取值范围是
( )
A. 0,π3∪5π12B. 0,π4∪π3,π2C. 0,π6∪5π12D. 0,π6∪π3,π2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)=cs(2x+π6)+ 32，则下列选项正确的是( )
A. 函数f(x)的最小正周期为π
B. 点(−π3, 32)是函数f(x)图象的一个对称中心
C. 将函数f(x)图象向左平移π6个单位长度，所得到的函数为偶函数
D. 函数f(x)在区间(−π6,0)上单调递增
10.如图，在四边形ABCD中，AB=3DC，点M满足CM=2MD，N是BC的中点.设AB=a，AD=b，则下列等式正确的是( )
A. BD=a−bB. AC=13a+b
C. BM=−89a+bD. AN=23a+13b
11.设函数f(x)=|2x−1|,x⩽2−x+5,x>2，集合M={x|f2(x)+2f(x)+k=0,k∈R}，则下列命题正确的是( )
A. 当k=0时，M={0,5,7}
B. 当k>1时，M=⌀
C. 若M={a,b,c}，则k的取值范围为(−15,−3)
D. 若M={a,b,c,d}(其中a三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设f(x)=lgx,x>010x,x≤0，则f(f(−2))=______．
13.将函数f(x)=sin(ωx−π4)(ω>0)的图象向左平移π4ω个单位长度后，所得函数在(−π15,π16)内不是单调函数，则ω的取值范围是______．
14.将函数f(x)=4cs(π2x)图像与直线g(x)=x−1的所有交点从左到右依次记为A1，A2，…An，若P点坐标为(0,1)，则|PA1+PA2+……+PAn|= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在平面直角坐标系xOy中，α、β是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆(圆心在坐标原点O)于A、B两点.已知点A(12, 32)，将OA绕原点顺时针旋转π2到OB，
(1)求点B的坐标；
(2)求sin(π+β)+sin(π2−β)4tan(π−β)的值．
16.(本小题15分)
学校为了鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x(单位：分钟，0≤x≤60)的函数关系式，要求如下：
(i)函数的图象接近图示；
(ii)每天锻炼时间为0分钟时，当天得分为0分；
(iii)每天锻炼时间为9分钟时，当天得分为6分；
(iiii)每天得分最多不超过12分．
现有以下三个函数模型供选择：
①y=k x+b(k>0)；
②y=k⋅1.01x+b(k>0)；
③y=3lg3(kx+3)+m(k>0)．
(1)请根据函数图像性质，结合题设条件，从中选择一个最合适的函数模型并求出解析式；
(2)若学校要求每天的得分不少于9分，求每天至少锻炼多少分钟？
(参考值：lg3163≈4.63)
17.(本小题15分)
函数f(x)=Acs(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图像如图所示，
(1)求函数f(x)的解析式和单调递增区间；
(2)将函数f(x)的图像上的各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数g(x)的图像，若x∈[−11π6,2π3]时，g(x)的图像与直线y=43恰有三个公共点，记三个公共点的横坐标分别为x1，x2，x3，且x118.(本小题17分)
已知函数f(x)=lg4(4x+1)+kx与g(x)=lg4(a⋅2x−43a)，其中f(x)是偶函数．
(Ⅰ)求实数k的值；
(Ⅱ)求函数g(x)的定义域；
(Ⅲ)若函数F(x)=f(x)−g(x)只有一个零点，求实数a的取值范围．
19.(本小题17分)
如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC，该曲线段是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈(0,π))，x∈[−4,0]的图像，图像的最高点为B(−1,2).边界的中间部分为长1千米的直线段CD，且CD//EF.游乐场的后一部分边界是以O为圆心的一段圆弧DE．
(1)求曲线段FGBC的函数表达式；
(2)曲线段FGBC上的入口G距海岸线EF最近距离为1千米，现准备从入口G修一条笔直的景观路到O，求景观路GO长；
(3)如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧DE上，且∠POE=θ，用θ表示平行四边形休闲区OMPQ面积，并求θ=π6的OMPQ面积值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识，属于简单题．
利用三角函数的诱导公式，将300°角的三角函数化成锐角三角函数求值．
【解答】
解：∵cs300°=cs(360°−60°)=cs60°=12．
故选：C．
2.【答案】C
【解析】解：根据平面向量的加法运算，得；
CB+AD+BA=(CB+BA)+AD
=CA+AD
=CD．
故选：C．
根据平面向量的加法运算法则，进行化简即可．
本题考查了平面向量的加法运算法则问题，解题时应利用平面向量的加法运算法则进行化简，是容易题．
3.【答案】C
【解析】解：将函数y=sinx的图象C向左平移π6个单位长度得到曲线C1：y=sin(x+π6)，
然后再使曲线C1上各点的横坐标变为原来的13得到曲线C2：y=sin(3x+π6)，
最后再把曲线C2上各点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线C3，
则曲线C3对应的函数是y=2sin(3x+π6).
故选：C．
利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得结论．
本题主要考查三角函数的图象变换规律，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：对于A，y=2x是奇函数，不符合题意；
对于B，y=1x是奇函数，不符合题意；
对于C，y=|x|是偶函数，且函数在(−∞,0)上是减函数，符合题意；
对于D，y=−x2是二次函数，是偶函数，且(−∞,0)上是增函数，不符合题意．
故选：C．
判断各个选项的单调性及奇偶性即可得出正确选项．
本题考查的知识点是函数的性质，熟练掌握各种基本初等函数的性质是解答的关键．
5.【答案】A
【解析】解：cs(6π7+x)=cs(π−(π7−x))=−cs(π7−x)=23．
故选：A．
通过cs(6π7+x)=cs(π−(π7−x))，利用诱导公式变形计算．
本题主要考查了诱导公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查平面向量的数量积运算，关键是向量垂直的条件．属于基础题．
可先由向量垂直得到数量积等于零，再结合夹角计算公式求解即可．
【解答】
解：设向量a与b的夹角为θ，则由(a→−b→)⊥b→，
得(a→−b→)⋅b→=a→⋅b→−b→2=|a→||b→|csθ−|b→|2=2|b→|2csθ−|b→|2=0，
所以csθ=12，
因为0<θ<π，
所以θ=π3，
故选B．
7.【答案】B
【解析】解：由f(π8−x)=f(π8+x)可知函数关于x=π8对称，
根据正弦函数对称轴处取得函数的最值可知，π4+φ=12π+kπ，k∈Z，
故φ=π4+kπ，f(3π8)=2sin(3π4+π4+kπ)=0．
故选：B．
由f(π8−x)=f(π8+x)可知函数关于x=π8对称，根据正弦函数对称轴处取得函数的最值可求φ，然后代入即可求解．
本题主要考查了正弦函数的对称性的简单应用，属于基础试题．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查由周期求出ω，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
由题意利用周期求出ω，可得函数的解析式，结合题意可得sin(x2+φ)=12 在[0,5π]内恰有3个解，根据正弦函数的图象和性质，求得φ的范围．
【解答】
解：∵函数f(x)=2sin(ωx+φ)−1(ω>0,0≤φ≤π2) 的最小正周期为2πω=4π，∴ω=12，
∵f(x)在[0,5π]内恰有3个零点，即sin(x2+φ)=12 在[0,5π]内恰有3个解．
又12x+φ∈[φ,5π2+φ]，5π2+φ的最大值为3π，
则φ≤π6 且 2π+π6≤5π2+φ<2π+5π6 ①，或者π6<φ≤π2且2π+5π6≤5π2+φ≤3π②．
由①解得0≤φ≤π6，由②解得π3≤φ≤π2，
综上可得φ∈[0,π6]∪[π3,π2]．
故本题选D．
9.【答案】AB
【解析】解：对于A项，函数f(x)的最小正周期为T=2π|ω|=2π2=π，故A项正确；
对于B项，当x=−π3时，2x+π6=−π2，而cs(−π2)=0，故点(−π3, 32)是函数f(x)图象的一个对称中心，即B项正确；
对于C项，函数f(x)图象向左平移π6个单位长度，得到g(x)=cs[2(x+π6)+π6]+ 32=cs(2x+π2)+ 32=−sin2x+ 32，
由g(−x)−g(x)=[−sin(−2x)+ 32]−(−sin2x+ 32)=2sin2x不恒为零，故该函数不是偶函数，即C项错误；
对于D项，当x∈(−π6,0)时，z=2x+π6∈(−π6,π6)，函数y=csz在区间(−π6,π6)上没有单调性，故D项错误．
故选：AB．
利用余弦型函数的周期公式即得A项，运用代入检验法将2x+π6看成整体角，结合余弦函数图象对称性易得B项，运用平移变换得到函数后，利用偶函数定义即可判断C项，将2x+π6看成整体角，结合余弦函数图象单调性即可判断D项．
本题主要考查了余弦型函数的性质以及函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，考查了函数思想，属于中档题．
10.【答案】BC
【解析】解：由已知：
选项A，BD=AD−AB=b−a，故A错误；
选项B，AC=AD+DC=AD+13AB=13a+b，故B正确；
选项C，BM=AM−AB=AD+DM−AB=AD+13DC−AB=AD+13×13AB−AB=AD−89AB=−89a+b，故C正确；
选项D，AN=AB+BN=AB+12BC=AB+12(AC−AB)=12AB+12AC=12a+12×(13a+b)=23a+12b，故D错误．
故选：BC．
根据题设条件，结合向量的线性运算即可判定各选项．
本题考查平面向量的线性运算，属基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：令t=f(x)，则方程f2(x)+2f(x)+k=0，即t2+2t+k=0(*)，
对于A，当k=0时，方程(*)的两个根为t1=0，t2=−2，
则f(x)=0或f(x)=−2，
解得x=0或x=5或x=7，
所以M={0,5,7}，
故选项A正确；
对于B，当k>1时，方程(*)的判别式Δ=4−4k<0，
故方程(*)无解，
所以M=⌀，
故选项B正确；
对于C，若方程(*)有两个相等的实数根，设为t1=t2=−1，
结合图象可知，f(x)=−1仅有一解，不符合M={a,b,c}；
若M={a,b,c}，则方程(*)有两个不相等的实数根，设其为t1，t2且t1则t1+t2=−2<0t1t2=k，
从而t1，t2不可能均为正数，且恒有t1<−1，
若M有三个元素，则还需t2∈[1,3)或t2=0，
令h(t)=t2+2t+k，
则h(3)=15+k>0h(1)=3+k≤0，解得−15故选项C错误；
对于D，若M={a,b,c,d}，即方程(*)的两个根t1<−1且t2∈(0,1)且f(d)=t1，f(a)=f(b)=f(c)=t2，
所以f(d)=−d+5=t1，1−2a=2b−1=−c+5=t2，
故2a+2b=2，
又t1+t2=(−d+5)+(−c+5)=−2，
所以c+d=12，
则2a+2b+c+d=14，
故选项D正确．
故选：ABD．
令t=f(x)，则方程f2(x)+2f(x)+k=0转化为t2+2t+k=0(*)，求出方程(*)的两个根，从而求出f(x)=0或f(x)=−2，求解即可判断选项A，当k>1时，方程(*)的判别式Δ=4−4k<0，即可判断选项B，分类讨论，分别研究方程(*)根的情况，结合二次方程根的分布以及函数的图象分析求解，即可判断选项C，由题意，得到方程(*)的两个根t1<−1且t2∈(0,1)且f(d)=t1，f(a)=f(b)=f(c)=t2，所以f(d)=−d+5=t1，1−2a=2b−1=−c+5=t2，求解即可判断选项D．
本题以命题的真假判断为载体，考查了函数与方程的综合应用，分段函数的理解与应用，集合的表示方法的应用，对于分段函数问题，一般运用分类讨论或是数形结合法进行研究，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
12.【答案】−2
【解析】解：∵f(−2)=10−2=1100，
∴f(f(−2))=f(1100)=lg1100=−2．
故答案为：−2．
由题设条件先求出f(−2)，再求f(f(−2))的值．
本题考查对数函数的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．
13.【答案】(152,+∞)
【解析】解：由题设可得平移后图象对应的函数解析式为y=sin(ωx+π4−π4)=sinωx，
因为x∈(−π15,π16)，故ωx∈(−ωπ15,ωπ16)，
因为y=sinωx在(−π15,π16)不单调，故−π2∈(−ωπ15,ωπ16)或π2∈(−ωπ15,ωπ16)，
即−ωπ15<−π2或ωπ16>π2，
所以ω>152或ω>8，故ω>152．
故答案为：(152,+∞).
先求出平移后图象对应的解析式，根据单调性可求参数的取值范围．
本题考查的知识点：正弦型函数的性质，函数的图象的平移变换，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
14.【答案】5 2
【解析】解：作函数f(x)=4cs(π2x)与直线g(x)=x−1的图象如下，
故函数f(x)=4cs(π2x)图像与直线g(x)=x−1的图象共有5个交点，
∵f(x)=4cs(π2x)与g(x)=x−1的图象都关于点A3(1,0)对称，
∴A1与A5，A2与A4都关于点A3(1,0)对称，
故PA1+PA5=2PA3，PA2+PA4=2PA3，
故|PA1+PA2+PA3+PA4+PA5|=|5PA3|，
∵PA3=(1,−1)，
∴|PA1+PA2+PA3+PA4+PA5|=5 12+(−1)2=5 2，
故答案为：5 2．
作函数f(x)=4cs(π2x)与直线g(x)=x−1的图象，可知共有5个交点，且A1与A5，A2与A4都关于点A3(1,0)对称；结合向量的线性运算化简得PA1+PA2+PA3+PA4+PA5=5PA3，从而求得．
本题考查了平面向量的线性运算的应用及数形结合的思想方法的应用，属于中档题．
15.【答案】解：(1)已知点A(12, 32)在单位圆上，csα=12，sinα= 32，
β=α−π2，csβ=cs(α−π2)=sinα= 32，sinβ=sin(α−π2)=−csα=−12，
点B在单位圆上，
所以B( 32,−12)；
(2)csβ= 32，sinβ=−12，
则tanβ=sinβcsβ=− 33，
所以sin(π+β)+sin(π2−β)4tan(π−β)=−sinβ+csβ−4tanβ=12+ 32−4×(− 33)= 3+38．
【解析】(1)根据三角函数的定义以及α、β两角之间的关系，利用诱导公式求点B的坐标；
(2)利用三角函数的定义和诱导公式化简求值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
16.【答案】解：(1)模型①y=k x+b(k>0)，图象过点(0,0)，(9,6)，
则b=03k+b=6，解得b=0，k=2，所以y=2 x，
当x≥36时，y≥12，不符合题意；
模型②y=k⋅1.01x+b(k>0)的函数图象与题目中的图象不相符，所以不符合题意；
模型③y=3lg3(kx+3)+m(k>0)，过点(0,0)，(9,6)，
则3+m=03lg3(9k+3)+m=6，解得m=−3k=83；
所以y=3lg3(83x+3)−3，x∈[0,60]；
所以模型③较为符合．
(2)模型③中，令y≥9，得3lg3(83x+3)−3≥9，即lg3(83x+3)≥4，
所以83x+3≥81，解得x≥29.25，
即每天至少锻炼29.25分钟．
【解析】(1)求出模型①的解析式，验证不符合题意；
模型②的函数图象与题目中的图象不相符；
求出模型③的函数图象，判断函数模型较为适合，求出函数解析式．
(2)令y≥9，求出不等式的解集即可．
本题考查了函数模型应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
17.【答案】解：(1)由图像可知，A=2，T4=2π4ω=7π12=π3=π4，
则ω=2，则f(x)=2cs(2x+φ)，令2×π3+φ=π2，可得φ=−π6，
所以f(x)的解析式为f(x)=2cs(2x−π6)，
令2kπ−π≤2x−π6≤2kπ，k∈Z，
解得，kπ−5π12≤x≤kπ+π12，k∈Z，
则函数f(x)的单调递增区间为[kπ−5π12,kπ+π12](k∈Z)；
(2)由题意得，g(x)=2cs(x−π6)，
由题意，2cs(x3−π6)=2cs(x2−π6)=2cs(x3−π6)，
令t=x−π6(t∈[−2π,π2])，
由g(x)=2cs(x−π6)=43可得，cst=23，
令cst1=cst2=cst3=23，
则t1=x1−π6，t2=x2−π6，t3=x3−π6，其中t1≤t2≤t3，
对称性可知t1+t2=−2π，t2+t3=0，
两式相加可得t1+2t2+t3=−2π，
所以t1+t3=−2t2−2π=x1+x3−π3．
所以x1+x3=π3+t1+t3=π3−2π−2t2
又cst2=23,t2∈(−π2,0)，
所以cs(x1+x22−π6)=−23．
【解析】(1)由最值求A，由周期求ω，结合特殊函数值求φ，进而可求函数解析式，结合正弦函数的性质即可求解函数的单调递增区间；
(2)先求出g(x)，结合函数的对称性及诱导公式即可求解．
本题主要考查了由部分函数的性质求解函数y=Asin(ωx+φ)的解析式，还考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
18.【答案】解：(Ⅰ)∵f(x)是偶函数，∴f(x)=f(−x)，
∴lg4(4x+1)+kx=lg4(4−x+1)−kx，
∴lg44x+14−x+1=−2kx∴lg44x(4x+1)4x+1=x=−2kx，
即(2k+1)x=0对一切x∈R恒成立，
∴k=−12．
(Ⅱ)要使函数g(x)有意义，需a⋅2x−43a>0，
当a>0时，2x>43，解得x>lg243，
当a<0时，2x<43，解得x综上可知，当a>0时，g(x)的定义域为(lg243,+∞)，
当a<0时，g(x)的定义域为(−∞,lg243)．
(Ⅲ)∵F(x)=f(x)−g(x)=lg4(4x+1)−12x−lg4(a⋅2x−43a)只有一个零点，
∴方程lg4(4x+1)=12x+lg4(a⋅2x−43a)有且只有一个实根，
即方程lg4(4x+1)=lg44x2+lg4(a⋅2x−43a)=lg4a⋅2x(2x−43)有且只有一个实根，
亦即方程(2x)2+1=a(2x)2−4a3⋅2x有且只有一个实根，
令t=2x(t>0)，则方程(a−1)t2−4a3t−1=0有且只有一个正根，
①当a=1时，t=−34，不合题意；
②当a≠1时，因为0不是方程的根，所以方程的两根异号或有两相等正根．
由△=0有a=34或−3
若a=34，则t=−2不合题意，舍去；
若a=−3，则t=12满足条件，
若方程有两根异号，则−1a−1<0，∴a>1，
综上所述，实数a的取值范围是{−3}∪(1,+∞)．
【解析】(Ⅰ)利用f(x)=f(−x)，得到(2k+1)x=0对一切x∈R恒成立，即可求出k．
(Ⅱ)要使函数g(x)有意义，需a⋅2x−43a>0，通过a与0的大小讨论求解函数的定义域．
(Ⅲ)通过F(x)=f(x)−g(x)只有一个零点，说明方程(2x)2+1=a(2x)2−4a3⋅2x有且只有一个实根，
令t=2x(t>0)，则方程(a−1)t2−4a3t−1=0有且只有一个正根，通过a的讨论，转化求解实数a的取值范围是{−3}∪(1,+∞)．
本题考查函数与方程的应用，函数的零点与方程根的关系，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
19.【答案】解：(1)由已知条件，得A=2，
又∵T4=3，T=2πω=12，
∴ω=π6，
又∵当x=−1时，有y=2sin(−π6+φ)=2，
∴φ=2π3，
∴曲线段FGBC的解析式为y=2sin(π6x+2π3)，x∈[−4,0]；
(2)由y=2sin(π6x+2π3)=1，得x=6k+(−1)k−4 (k∈Z)，
又x∈[−4,0]，
∴k=0，x=−3，
∴G(−3,1)，
∴OG= 10，
∴景观路GO长为 10千米；
(3)如图，OC= 3，CD=1，
∴OD=2，∠COD=π6，
作PP1⊥x轴于P1点，在Rt△OPP1中，PP1=OPsinθ=2sinθ，
在△OMP中，OPsin120∘=OMsin(60∘−θ)，
∴OM=OP⋅sin(60°−θ)sin120∘=4 3⋅sin(60°−θ)=2csθ−2 33sinθ，
S平行四边形OMPQ=OM⋅PP1
=(2csθ−2 33sinθ)⋅2sinθ
=4sinθcsθ−4 33sin2θ
=2sin2θ+2 33cs2θ−2 33
=4 33sin(2θ+π6)−2 33，θ∈(0,π3)，
∴当θ=π6时，平行四边形面积的值为2 33．
【解析】(1)由题意可得A=2，T=12，代入点求φ，从而求解析式；
(2)令由y=2sin(π6x+2π3)=1求解x，从而求景观路GO的长；
(3)作图求S平行四边形OMPQ=OM⋅PP1=4 33sin(2θ+π6)−2 33，从而求最值．
本题考查了三角函数在实际问题中的应用，考查了学生的作图能力，属于中档题．