2023-2024学年江苏省常州市联盟学校高二（下）调研数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省常州市联盟学校高二（下）调研数学试卷（3月份）（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(x0)=2，则Δx→0limf(x0+2Δx)−f(x0)Δx=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
2.已知P为空间中任意一点，A、B、C、D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且PA=43PB−xPC+16DB，则实数x的值为( )
A. 13B. −13C. 12D. −12
3.若定义在R上的函数y=x3f′(x)的图象如图所示，则函数y=f(x)的增区间为( )
A. [0,1]
B. [0,2]
C. (−∞,0]
D. (−∞,2]
4.若函数f(x)=x(x−c)2在x=−1处有极小值，则c=( )
A. −3B. −1C. −3或−1D. −2
5.在四面体OABC中，点M在线段OA上，且OM=2MA，G是△ABC的重心，已知OA=a，OB=b，OC=c，则MG等于( )
A. 13a−13b+13cB. −23a+12b+12c
C. −13a+13b+13cD. 23a+23b−12c
6.若函数f(x)=x−2x−alnx存在单调递减区间，则实数a的取值范围为( )
A. (2 2,+∞)B. (−∞,−2 2]C. [−2 2,2 2]D. (−∞,2 2)
7.函数f(x)=x2+2x,x≤0exx,x>0，若函数g(x)=f(x)−m有3个零点，则m的取值范围为( )
A. (−1,0)B. (−1,e)C. (e,+∞)D. (−∞,−1)
8.函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x恒有f′(x)−f(x)>0，则( )
A. f(−1)>0B. f(3)>ef(2)C. e13f(12)f(4)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，下列命题是真命题的是( )
A. (AA1+AD+AB)2=3AB2
B. A1C⋅AB1=0
C. AD1与AB1夹角为60°
D. 正方体ABCD−A1B1C1D1的体积为|AB⋅AA1⋅AD|
10.下列说法中正确的是( )
A. (sinπ4)′=csπ4
B. (csxx)′=−xsinx−csxx2
C. 设函数f(x)=xlnx，若f′(x0)=2，则x0=e
D. 设函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)=x2+3xf′(2)+lnx，则f′(2)=−94
11.已知直线y=a与函数f(x)=ex，g(x)=lnx的图象分别相交于A，B两点.设k1为曲线y=f(x)在点A处切线的斜率，k2为曲线y=g(x)在点B处切线的斜率，则k1k2的可能取值为( )
A. 1e2B. −1C. eD. 1e
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知空间三点O(0,0,0)，A(1,−1,0)，B(0,−1,1)，在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为______．
13.若函数f(x)=2lnx+12x2−mx在(1,3)上有且仅有一个极值点，则实数m的最小值是______．
14.如图，正方形A1B1C1D1与正方形ABCD的中心重合，边长分别为3和1，P1，P2，P3，P4分别为A1D1，A1B1，B1C1，C1D1的中点，把阴影部分剪掉后，将四个三角形分别沿AD，AB，BC，CD折起，使P1，P2，P3，P4重合于P点，则四棱锥P−ABCD的高为______，若直四棱柱A2B2C2D2−A3B3C3D3内接于该四棱锥，其上底面四个顶点在四棱锥侧棱上，下底面四个顶点在面ABCD内，则该直四棱柱A2B2C2D2−A3B3C3D3体积的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知向量a=(−2,−1,2)，b=(−1,1,2)，c=(x,2,2)．
(Ⅰ)当|c|=2 2时，若向量ka+b与c垂直，求实数x和k的值；
(Ⅱ)若向量c与向量a，b共面，求实数x的值．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=−x3+x+1，g(x)=e−2x+1．
(1)求曲线y=f(x)过点(1,1)处的切线；
(2)若曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线与曲线y=g(x)在x=t(t∈R)处的切线平行，求t的值．
17.(本小题15分)
如图，在底面ABCD为菱形的平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别在棱AA1，CC1上，且A1M=13AA1,CN=13CC1，且∠A1AD=∠A1AB=∠DAB=60°．
(1)求证：D，M，B1，N共面；
(2)当AA1AB为何值时，AC1⊥A1B；
(3)若AB=AA1=1，且A1P=12A1C1，求AP的长．
18.(本小题15分)
已知函数f(x)=e2x(ax2−x+12)．
(1)若x=1是函数f(x)的极值点，求a的值，并求函数f(x)的极值；
(2)若函数f(x)在x=0处取得极大值，求a的取值范围．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=ax2−(a+2)x+lnx，其中a∈R．
(1)当a=−1时，求f(x)的单调区间；
(2)求当a>0时，函数y=f(x)在区间[1,e]上的最小值Q(a)；
(3)若函数g(x)=f(x)−ax2有两个不同的零点x1，x2．
①求实数a的取值范围；
②证明：x1x2>e2．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵f′(x0)=2，
∴Δx→0limf(x0+2Δx)−f(x0)Δx=2Δx→0limf(x0+2△x)−f(x0)2△x=2f′(x0)=4，
故选：D．
利用导数的定义求解即可．
本题考查了导数的定义，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】【分析】
利用空间向量基本定理，及向量共面的条件，即可得到结论．
本题考查空间向量基本定理，考查向量共面的条件，属于中档题．
【解答】
解：PA=43PB−xPC+16DB=43PB−xPC+16(PB−PD)
=32PB−xPC−16PD，
又∵P是空间任意一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面，
∴32−x−16=1，
解得x=13，
故答案选：A．
3.【答案】B
【解析】解：由图象可得，
当0≤x≤2时，由y=x3f′(x)≥0得f′(x)≥0，y=f(x)在[0,2]上单调递增，
当x>2时，由y=x3f′(x)0，
所以g(x)在R上单调递增，
又因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(0)=0，即f(−1)2，所以g(3)>g(2)，即f(3)e3>f(2)e2，
所以f(3)>ef(2)，故B正确；
又因为13