2023-2024学年湖南省常德市津市一中高一（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省常德市津市一中高一（下）月考数学试卷（4月份）（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.复数1−5i的虚部是( )
A. 5B. −5C. 5iD. −5i
2.判断下列各命题的真假：①向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④向量就是有向线段.其中假命题的个数为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
3.设x∈R，向量a=(1,2)，b=(x,1)，c=(4,x)，则“b/​/c”是“a⊥b”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.定义a⊗b=|a|2−a⋅b.若向量a=(1,−2,2)，向量b为单位向量，则a⊗b的取值范围是( )
A. [0,6]B. [6,12]C. [0,6)D. (−1,5)
5.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足AP=12(AC+AD)，则AP⋅AC=( )
A. 4B. 5C. 6D. 8
6.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花．图2中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为该正六边形的中心，圆O的半径为2，圆O的直径MN/​/CD，点P在正六边形的边上运动，则PM⋅PN的最小值为( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
7.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b= 13c,D，D为边BC上一点，CD=2BD=2，AD= 3，则△ABC的面积为( )
A. 34B. 34C. 3 34D. 3 32
8.已知△ABC中，|AB|=8，|AC|=2，且|λ2AB+(2−2λ)AC|(λ∈R)的最小值为2 3，若P为边AB上任意一点，则PB⋅PC的最小值是( )
A. −514B. −494C. −916D. −2516
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.判断下列命题是正确的是( )
A. 若a,b不共线，且λ1a+μ1b=λ2a+μ2b，则λ1=λ2，μ1=μ2
B. 若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a//b的充要条件是x1x2=y1y2．
C. 平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变
D. 当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标
10.在△ABC中，AB= 3,B=60°，若满足条件的三角形有两个，则AC边的取值可能是( )
A. 1.5B. 1.6C. 1.7D. 1.8
11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinA：sinB：sinc=3：4：5，则下列结论错误的是( )
A. sinA=csB
B. 若b=4，则△ABC内切圆的半径为2
C. 若b=4，则AB⋅BC=9
D. 若P为△ABC内一点满足PA+2PB+PC=0，则△APC与△BPC的面积相等
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且acsB+acsC=b+c，则△ABC的形状是______
(横线上填“等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、直角三角形”中的一个)．
13.已知|a|=1，b=(1,0)，且2|a+b|=|a−b|，则a在b上的投影向量为______．
14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若p=12(a+b+c)，则三角形的面积S= p(p−a)(p−b)(p−c)，这个公式最早出现在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中，故称该公式为海伦公式．将海伦公式推广到凸四边形(凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧)中，即“设凸四边形的四条边长分别为a，b，c，d,p=12(a+b+c+d)，凸四边形的一对对角和的一半为θ，则凸四边形的面积S= (p−a)(p−b)(p−c)(p−d)−abcdcs2θ”.如图，在凸四边形ABCD中，若AB=2，BC=4，CD=5，DA=3，则凸四边形ABCD面积的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2−b2= 2ac−c2．
(1)求B；
(2)若b=5，csC= 210，求c．
16.(本小题15分)
已知△ABC中，A=60°，AB=1，AC=4，AE=λAC(0<λ<1)．
(1)求|BE|的取值范围；
(2)若线段BE上一点D满足AD=μ(AB|AB|+AC|AC|)，求λ+1μ的最小值．
17.(本小题15分)
在△ABC中， 3sinC+csC=sinB+sinCsinA．
(1)求A；
(2)若△ABC的内切圆半径r=2，求AB+AC的最小值．
18.(本小题17分)
在锐角三角形ABC中，已知a=2，a+bsinC= 2b−csinB−sinA．
(1)求角A的大小；
(2)求△ABC面积的取值范围．
19.(本小题17分)
如图，已知O是边长为1的正△ABC的外心，P1，P2，…，Pn为BC边上的n+1等分点，Q1，Q2，…，Qn为AC边上的n+1等分点，L1，L2，…，Ln为AB边上的n+1等分点．
(1)当n=2023时，求|OC+OP1+OP2+…+OP2023+OB|的值；
(2)当n=4时．
①求OA⋅AQj+OA⋅ALk的值(用含j，k的式子表示)；
②若M={m|m=OPi⋅OQj+OQj⋅OLk+OLk⋅OPi,1≤i,j,k≤4,i,j,k∈N}，分别求集合M中最大元素与最小元素的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由虚部的定义可知，复数1−5i的虚部−5．
故选：B．
利用虚部的定义求解．
本题主要考查了复数的有关概念，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：对于①：因为零向量的方向是任意的且零向量与任何向量共线，
故当a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的，故为假命题；
对于②：两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故为真命题；
对于③：零向量也是向量，故也有方向，只是方向是任意的，故为假命题；
对于④：向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段，故为假命题；
综上，①③④为假命题，共有3个．
故选：B．
根据零向量的定义及共线向量的定义判断即可．
本题考查向量的基本概念，属基础题．
3.【答案】B
【解析】解：因为a=(1,2)，b=(x,1)，c=(4,x)，
当b/​/c时，x2=4，即x=2或x=−2，
当a⊥b时，x+2=0，即x=−2，
故b/​/c是a⊥b的必要不充分条件．
故选：B．
先分别求出b/​/c及a⊥b时x的值，即可判断充分及必要性．
本题主要考查了向量平行及垂直的坐标表示，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：由题意知|a|=3,|b|=1．
设a与b的夹角为θ，
则a⊗b=|a|2−a⋅b=|a|2−|a|⋅|b|⋅csθ=9−3csθ．
又θ∈[0,π]，
∴csθ∈[−1,1]．
∴a⊗b∈[6,12]，
故选：B．
根据a⊗b=|a|2−a⋅b，利用空间向量的数量积和模的公式求解．
本题主要考查了向量数量积的性质的应用，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：设AB=a，AD=b，则a⋅b=0，
由题意，AP=12(AC+AD)=12(a+2b)，
AC=a+b，
则AP⋅AC=12(a+2b)⋅(a+b)
=12a2+32a⋅b+b2=6．
故选：C．
根据向量的线性运算及数量积运算求解即可．
本题考查平面向量的线性运算及数量积运算，属基础题．
6.【答案】D
【解析】解：正六边形ABCDEF内切圆半径为r=OA⋅sin60°=4× 32=2 3，正六边形ABCDEF外接圆半径为R=4，
又PM⋅PN=(PO+OM)⋅(PO+ON)=(PO+OM)⋅(PO−OM)=|PO|2−|OM|2=|PO|2−4，
而r≤|PO|≤R，
∴PM⋅PN=|PO|2−4≤12−4=8．
故选：D．
先用平面向量的线性运算法则，将PM⋅PN转化为|PO|2−|OM|2，结合|PO|的范围即可得解．
本题考查平面向量的线性运算以及数量积的运算，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：设∠ADB=θ，在△ACD中，b2=4+3−2×2× 3cs(π−θ)=7+4 3csθ，
在△ABD中，c2=1+3−2× 3csθ=4−2 3csθ，
所以b2c2=7+4 3csθ4−2 3csθ=13，解得csθ= 32，
因为θ∈(0,π)，所以sinθ=12，
所以△ABC的面积为12×(BD+DC)×AD×sinθ=12×3× 3×12=3 34．
故选：C．
设∠ADB=θ，在△ACD与△ABD中，由余弦定理求出b2，c2，根据b= 13c求出sinθ=12，进而求得△ABC的面积．
本题考查的知识点：余弦定理和三角形的面积公式，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：∵|AB|=8,|AC|=2，
∴|λ2AB+(2−2λ)AC|= (λ2AB+(2−2λ)AC)2= λ24AB2+(2−2λ)2AC2+(2−2λ)λ|AB||AC|csA= 16λ2+16λ2−32λ+16+32(λ−λ2)csA=4 (2−2csA)(λ−12)2+1+csA2≥4 1+csA2=2 3，∴csA=12，
如图，
设PB=xAB(0≤x≤1)，则AP=(1−x)AB，
∴PC=AC−AP=AC−(1−x)AB，
∴PB⋅PC=xAB⋅[AC−(1−x)AB]=xAB⋅AC−(x−x2)AB2=8x−64(x−x2)=64(x−716)2−494，
∴x=716时，PB⋅PC取最小值−494．
故选：B．
根据|λ2AB+(2−2λ)AC|= (λ2AB+(2−2λ)AC)2进行数量积的运算可得出|λ2AB+(2−2λ)AC|≥4 1+csA2=2 3，从而求出csA=12，然后设PB=xAB(0≤x≤1)，从而可求出PB⋅PC=64x2−56x，然后配方即可求出最小值．
本题考查了向量数量积的运算及计算公式，共线向量基本定理，向量数乘的几何意义，向量减法的几何意义，配方求二次函数最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：对于A，a,b不共线，且λ1a+μ1b=λ2a+μ2b，由平面向量基本定理知λ1=λ2，μ1=μ2，A正确；
对于B，取a=(1,0),b=(2,0)，显然a//b，而x1x2=y1y2无意义，B错误；
对于C，由于平面向量不论经过怎样的平移变换，所得向量与原向量相等，因此它们的坐标不变，C正确；
对于D，当向量的起点在坐标原点时，由向量的坐标表示知，向量的坐标就是向量终点的坐标，D正确．
故选：ACD．
利用平面向量基本定理判断A；举例说明判断B；利用平面向量平移的意义判断C；利用向量的坐标运算判断D作答．
本题主要考查了向量的基本概念的应用，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：根据题意可得：满足条件的△ABC有两个，可得AB×sinB故选：BC．
根据AB×sinB本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．
11.【答案】BCD
【解析】解：对于A，因为根据正弦定理得sinA：sinB：sinC=a：b：c=3：4：5，a2+b2=c2，所以A+B=π2，则sinA=csB，所以A正确；
对于B，当b=4时，a=3，c=5，由选项A可知△ABC为直角三角形，设△ABC内切圆半径为r，则12(a+b+c)r=12ab，所以(3+4+5)r=3×4，解得r=1，所以△ABC内切圆半径为1，所以B错误；
对于C，当b=4时，a=3，c=5，可知△ABC为直角三角形，AB⋅BC=3×4×csθ=5×3×(−35)=−9，所以C错误；
对于D,PA+2 PB+PC=0，即PA+PC=2PD=−2PB(如图，D为AC中点)，
由此可得P为BD中点，S△APC=12S△ABC,S△BPC=12S△BCD=14S△ABC，由此知△APC与△BPC的面积不相等，所以D错误；
故选：BCD．
对于A，由正弦定理和勾股定理判断；
对于B，利用等面积法求解；
对于C，AB⋅BC=|AB||BC|csθ判断；
对于D，利用PA+2PB+PC=0找到点与线段间位置，然后利用线段比求解面积比．
本题考查了正弦定理、勾股定理和平面向量的数量积计算，属于中档题．
12.【答案】直角三角形
【解析】【分析】
本题考查三角形的形状判断，着重考查余弦定理与化简运算的能力，属于中档题．
利用余弦定理角化边化简即可得出a，b，c的关系，从而得出答案．
【解答】
解：在△ABC中，∵acsB+acsC=b+c，
∴a⋅a2+c2−b22ac+a⋅a2+b2−c22ab=b+c．
即b(a2+c2−b2)+c(a2+b2−c2)2bc=b+c，
∴b+cb2+c2−a2=0，即a2=b2+c2．
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
13.【答案】(−35,0)
【解析】解：由题意，|a|=|b|=1，
由2|a+b|=|a−b|，可得
4(a2+2a⋅b+b2)=a2−2a⋅b+b2，
整理得a⋅b=−35，
则a在b上的投影向量为a⋅b|b|⋅b|b|=−35b=(−35,0)．
故答案为：(−35,0)．
由已知，求得a⋅b=−35，再由投影向量的定义，即可求得结论．
本题考查平面向量数量积运算，考查投影向量概念，属基础题．
14.【答案】2 30
【解析】解：可得为p=12(a+b+c+d)=7，
则凸四边形的面积S= (p−a)(p−b)(p−c)(p−d)−abcdcs2θ= 120−abcdcs2θ≤ 120=2 30，
当凸四边形的一对对角和的一半为θ=900时，取得最大值．
故答案为：2 30．
可得S= (p−a)(p−b)(p−c)(p−d)−abcdcs2θ= 120−abcdcs2θ≤ 120=2 30，即可计算．
本题考查了数学文化、三角形面积公式，属于中档题．
15.【答案】解：(1)由于a2−b2= 2ac−c2，整理得csB=a2+c2−b22ac= 22；
由于0故B=π4；
(2)由于b=5，csC= 210，
所以sinC=7 210，
利用正弦定理csinC=bsinB，整理得c=bsinCsinB=7．
【解析】(1)直接利用余弦定理关系式的变换求出csB=a2+c2−b22ac= 22，进一步求出B的值；
(2)利用正弦定理和同角三角函数的基本关系式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
16.【答案】解：(1)∵△ABC中，A=60°，AB=1，AC=4，AE=λAC(0<λ<1)，
∴BE2=(AE−AB)2=(λAC−AB)2=λ2AC2+AB2−2λAC⋅AB
=16λ2−4λ+1=16(λ−18)2+34，(0<λ<1)，
∴当λ=18时，则BE2取得最小值为34，
当λ=1时，则BE2取得最大值为13，
所以|BE|取值范围为[ 32, 13)．
(2)∵AD=μ(AB|AB|+AC|AC|)，
∴AD=μAB+μ4AC=μAB+μ4λAE，
∵B、E、D三点共线，
∴μ+μ4λ=1，故1μ=1+14λ，
∴λ+1μ=λ+14λ+1≥2，当且仅当λ=12时等号成立，
∴λ+1μ最小值为2．
【解析】(1)利用向量的数量积运算，向量的求模公式得到BE2=16λ2−4λ+1=16，再利用二次函数求最值即可．
(2)利用B、E、D三点共线得到μ+μ4λ=1，再利用基本不等式求最值即可．
本题考查向量的数量积运算，向量的求模公式，二次函数求最值，基本不等式求最值，属于中档题．
17.【答案】解：(1)在△ABC中， 3sinC+csC=sinB+sinCsinA，
整理得： 3sinCsinA+sinAcsC=sin(A+C)+sinC，
∴ 3sinCsinA+sinAcsC=sinAcsC+csAsinC+sinC，
∴ 3sinCsinA=csAsinC+sinC，
∵sinC≠0，
∴ 3sinA−csA=1，
∴ 32sinA−12csA=12，
∴sin(A−π6)=12，
由于A−π6∈(−π6,5π6)，
∴A−π6=π6，
解得A=π3，
(2)令BC=a，AB=c，AC=b
由S△ABC=12bcsinA=12(a+b+c)r，
∴ 32bc=2(a+b+c)，
∴ 34bc−b−c=a，
由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccsA=b2+c2−bc，
∴( 34bc−b−c)2=b2+c2−bc=(b+c)2−3bc，
∴316(bc)2+(b+c)2− 32bc(b+c)=(b+c)2−3bc，
∴316bc= 32(b+c)−3，
∴ 32(b+c)−3=316bc≤316(b+c2)2，当且仅当b=c时取等号，
∴ 3(b+c)2−32(b+c)+64 3≥0，
∴(b+c−8 3)[( 3(b+c)−8]≥0,
∴b+c≥8 3，b+c≤8 3(舍去)，
∴AB+AC的最小值为8 3
【解析】(1)根据两角差的正弦公式，以及特殊角的三角函数值即可求出；
(2)根据三角形的面积公式，以及内切圆的半径，和余弦定理可得( 34bc−b−c)2=(b+c)2−3bc，整理可得316bc= 32(b+c)−3，再根据基本不等式可得 3(b+c)2−32(b+c)+64 3≥0，解得即可求出．
本题考查了三角恒等变换，三角形的面积，余弦定理，基本不等式，考查了运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由于a+bsinC= 2b−csinB−sinA，
利用正弦定理：a+bc= 2b−cb−a，
化简得：b2+c2−a2= 2bc，
所以csA=b2+c2−a22bc= 22；
由于0所以A=π4；
(2)由正弦定理：asinA=bsinB=csinC；
可得b=2 2sinB，c=2 2sinC，
故S△ABC=12×2 2sinB×2 2sinC×sinA=2 2sinBsinC=2 2sinBsin(3π4−B)=2 2sinB( 22csB− 22sinB)，
= 2sin(2B−π4)+1；
由于三角形为锐角三角形；
故0故π4<2B−π4<3π4，
故1< 2sin(2B−π4)+1≤ 2．
所以2< 2sin(2B−π4)+1≤ 2+1；
即△ABC面积的取值范围为(2, 2+1].
【解析】(1)直接利用正弦定理和余弦定理的应用求出A的值；
(2)利用三角形的面积公式和三角函数的关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)当n=2023时，OP1=20232024OB+12024OC，
OP2=20222024OB+22024OC，…，OP2023=12024OB+20232024OC，
所以OP1+OP2+…+OP2023
=(20232024+20222024+…+12024)OB+(12024+22024+…+20232024)OC
=20232OB+20232OC，
所以|OC+OP1+OP2+…+OP2023+OB|=20252|OB+OC|，
又△ABC为等边三角形，且边长为1，O为外接圆的圆心，
则OC=OB= 33，且〈OB,OC〉=120°，
所以|OB+OC|2=OB2+OC2+2OB⋅OC
=( 33)2+( 33)2+2× 33× 33×(−12)=13，
则|OB+OC|= 33，
所以|OC+OP1+OP2+…+OP2023+OB|=20252|OB+OC|=675 32；
(2)①∵△ABC为等边三角形，O为外接圆的圆心，
∴∠OAB=∠OAC=30°，则==150°，
又n=4，∴Qj，Lk分别为AC，AB的5等分点，
又AC=AB=1，∴AQj=5−j5AC，ALk=k5AB，
∴OA⋅AQj+OA⋅ALk
=|OA|⋅|AQj|cs150°+|OA|⋅|ALk|cs150°
= 33×5−i5×(− 32)+ 33×k5×(− 32)
=−5−i10−k10=i−k−510；
②OPi⋅OQj=(OC+CPi)⋅(OC+OQj)
=OC2+OC⋅CPi+OC⋅CQj+CPi⋅CQj
=13+ 33×5−i5cs150°+ 33×j5cs150°+5−i5×j5cs60°
=13− 33×5−i5× 32− 33×j5× 32+5−i5×j5×12
=−16+5i−ij50，
同理可得：OQj⋅OLk=−16+5j−jk50，OLk⋅OPi=−16+5k−ki50，
∴OPi⋅OQj+OQj⋅OLk+OLk⋅OPi=−12+5(i+j+k)−(ij+jk+ik)50，
令s=−12+5(i+j+k)−(ij+jk+ik)50=−12+(5−j−k)i+5(j+k)−jk50，
①当j+k≥5时，i=1时，Smax=−12+5+4(j+k)−jk50=−12+5+(4−k)j+4k50，
∵k≤4，∴j=4时取最大值，则Smax=−12+5+4(4−k)+4k50=−450=−225，
i=4时，Smin=−12+20+(j+k)−jk50=−12+20+(1−k)j+k50，
∵k≥1，∴j=4时取最小值，则Smin=−12+20+4(1−k)+k50=−3k−150，
则当k=4时，Smin=−1350，
②当j+k<5时，i=4时，Smax=−12+20+(j+k)−jk50=−12+20+(1−k)j+k50，
∵k≥1，∴j=1时取最大值，则Smax=−12+20+1−k+k50=−450=−225，
i=1时，Smin=−12+5+4(j+k)−jk50=−12+5+(4−k)j+4k50，
∵k≤4，∴j=1时取最小值，则Smin=−12+9+3k50，
则当k=1时，Smin=−12+1250=−1350，
综上所述：OPi⋅OQj+OQj⋅OLk+OLk⋅OPi的最大值为−225，最小值为−1350．
【解析】(1)根据B，Pi，C共线，将OPi用OB，OC表示，求和后再求模长；
(2)①根据数量积定义计算；
②将OPi⋅OQi+OQi⋅OLk+OLk⋅OPi用i，j，k表示，依次视为i，j，k的函数讨论单调性求最值．
本题考查平面向量数量积的应用，属难题．