2023-2024学年福建省泉州市泉港一中高一（下）第一次月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省泉州市泉港一中高一（下）第一次月考数学试卷（3月份）（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知复数Z=2−i1−3i+i7，则复数Z在复平面内对应的点所在的象限为( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.在△ABC中，OA+OB+OC=AB，则点O在( )
A. 在线段BC上且是靠近点B的三等分点B. 在线段AC上且是靠近点A的三等分点
C. AB边所在直线上D. 在线段AC上且是靠近点C的三等分点
3.若向量a=(2,0),b=(1,1)，则下列结论正确的是( )
A. a⋅b=1B. |a→|=|b→|C. (a−b)⊥bD. a//b
4.已知a，b是非零向量且满足(a−2b)⊥a，(b−2a)⊥b，则a与b的夹角是( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
5.已知a=(2,2 3),b=(−4,4 3)，则a在b方向上的投影向量为( )
A. (−1, 3)B. (−2,2 3)C. 4D. 2
6.在△ABC中，A=60°，a2=bc，则△ABC一定是( )
A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等边三角形
7.在锐角△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，已知2a−c6=csCcsB且b=6，则锐角△ABC面积的取值范围为( )
A. (0,4 3)B. (4 3,9 3]C. (6 3,9 3]D. (0,6 3]
8.在△ABC中，S△ABC= 36AB⋅AC= 32，sinB=csAsinC，P为线段AB上的动点，且CP=xCA|CA|+yCB|CB|，则1x+ 3y的最小值为．( )
A. 2+4 33B. 1+4 33C. 2+ 33D. 1+ 33
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在△ABC中，AB= 3，AC=1，B=π6，则△ABC的面积可以是( )
A. 32B. 1C. 33D. 34
10.给出下列命题，正确的命题是( )
A. 向量AB的长度与向量BA的长度相等
B. 若向量a与向量b平行，则a与b的方向一定是相同或相反
C. 两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同
D. 有向线段就是向量，向量就是有向线段
11.如图，某人在一条水平公路旁的山顶P处测得小车在A处的俯角为30°，该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后，到达B处，此时测得俯角为45°.已知小车的速度是20km/h，且cs∠AOB=−3 38，则( )
A. 此山的高PO= 3km
B. 小车从A到B的行驶过程中观测P点的最小仰角为30°
C. PA=2km
D. 小车从A到B的行驶过程中观测P点的最大仰角的正切值为20 111111
12.下列说法中错误的是( )
A. 若a/​/b，b/​/c，则a/​/c
B. 若a⋅b=a⋅c，且a≠0，则b=c
C. 已知|a|=6，|b|=3，a⋅b=12，则a在b上的投影向量是43b
D. 三个不共线的向量OA，OB，OC，满足OA⋅(AB|AB|+CA|CA|)=OB⋅(BA|BA|+CB|CB|)=OC⋅(BC|BC|+CA|CA|)=0，则O是△ABC的外心
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量b=(2,1),c=(1,−1)，则|b−2c|= ______．
14.已知a ,b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a−c)⋅(b−c)=0，则|c|最大值是 ．
15.如图，在△ABC中，已知AB=4，AC=3，∠BAC=π3，点M是边AB的中点，且AC=3AN，直线CM与BN相交于点P，则AP⋅BC= ______．
16.小明同学在一次数学课外兴趣小组活动中，探究知函数f(x)= 12−2x+ 12+x在−12≤x≤−6上单调递增，在−6≤x≤6上单调递减．
于是小明进一步探究求解以下问题：
法国著名的军事家拿破仑.波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．
在三角形ABC中，角A=60°，以AB、BC、AC为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为O1、O2、O3，若三角形O1O2O3的面积为 3，则三角形ABC的周长最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知向量a=(x,2),b=(2,y),c=(2,−4),a//b，b⊥c，则：
(1)求向量a,b的坐标；
(2)若向量(a+kb)与(a−c)互相垂直，求实数k的值．
18.(本小题12分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=a2+bcsA．
(1)求B的大小；
(2)若b=3 6，a+c=9，求△ABC的面积．
19.(本小题12分)
已知a，b，c分别是锐角△ABC内角A，B，C的对边，若m=(a,csA),n=(csB,b−2c)，且m⊥n．
(1)求角A的大小；
(2)若a=6，求△ABC的周长的取值范围．
20.(本小题12分)
如图所示，近日我渔船编队在岛A周围海域作业，在岛A的南偏西20°方向有一个海面观测站B，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B相距31海里的C处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向岛A直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D处，此时观测站测得B，D间的距离为21海里．
(1)求sin∠BDC的值；
(2)试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛A？
21.(本小题12分)
在直角梯形ABCD中，已知AB/​/CD，∠DAB=90°，AB=6，AD=CD=3，对角线AC交BD于点O，点M在AB上，且OM⊥BD．
(1)求AM⋅BD的值；
(2)若N为线段AC上任意一点，求AN⋅MN的取值范围．
22.(本小题12分)
在△ABC中，D是BC的中点，AB=1，AC=2，AD= 32．
(1)求△ABC的面积．
(2)若E为BC上一点，且AE=λ(AB|AB|+AC|AC|)，求λ的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：Z=2−i1−3i+i7=(2−i)(1+3i)(1−3i)(1+3i)+i3=2+6i−i+310−i=12−12i，
所以复数Z在复平面内对应的点为(12,−12)，位于第四象限．
故选：D．
应用复数的除法求出复数Z即可求解．
本题考查复数的运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：因为OA+OB+OC=AB，
所以OA+OB+OC=OB−OA，即OC=−2OA=2AO，
所以点O在线段AC上且是靠近点A的三等分点．
故选：B．
根据平面向量的线性运算法则化简已知等式，可得OC=2AO，从而确定点O的位置．
本题考查平面向量的基本定理，熟练掌握平面向量的线性运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：由a=(2,0),b=(1,1)，则a−b=(2,0)−(1,1)=(1,−1)．
所以(a−b)⋅b=1×(−1)+1×1=0．
则(a−b)⊥b．
故选C．
由给出的两个向量的坐标，求出a−b的坐标，然后直接进行数量积的坐标运算求解．
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，考查了利用数量积判断两个向量的垂直关系，解答的关键是熟记数量积的坐标运算公式，是基础题．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查两个向量垂直的性质，两个向量的夹角公式的应用．属于基础题．
利用两个向量垂直，数量积等于0，得到a2=b2=2a⋅b，代入两个向量的夹角公式得到夹角的余弦值，进而得到夹角．
【解答】
解：∵(a−2b)⊥a，(b−2a)⊥b，
∴(a−2b)⋅a=a2−2a⋅ b=0，(b−2a)⋅b=b2−2a⋅b=0，
∴a2=b2=2a⋅b，设a与b的夹角为θ，
则由两个向量的夹角公式得csθ=a⋅b|a|⋅ |b|=a⋅ba2=a⋅b2a ⋅b=12，
∴θ=π3．
故选：B．
5.【答案】A
【解析】解：a⋅b=2×(−4)+2 3×4 3=16，
且|b|= (−4)2+(4 3)2=8，
所以a在b方向上的投影向量为a⋅b|b|⋅b|b|=168×18(−4,4 3)=(−1, 3)．
故选：A．
根据题意，由投影向量的定义，代入计算，即可得到结果．
本题主要考查投影向量的定义，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：在△ABC中，A=60°，a2=bc，
又a2=b2+c2−2bccs60°=b2+c2−bc，
∴b2+c2−2bc=0，解得b=c，
∴△ABC一定是等边三角形，
故选：D．
利用余弦定理，结合题意可得答案．
本题考查三角形形状的判断，考查余弦定理的应用，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：∵2a−c6=csCcsB且b=6，∴2a−cb=csCcsB，
根据正弦定理得，2sinA−sinCsinB=csCcsB，
整理得2sinAcsB=sinBcsC+sinCcsB=sinA，
∵A∈(0,π2)，∴sinA>0，
∴2csB=1，解得csB=12，B=π3，
∵asinA=bsinB=csinC=2R=6 32=4 3，
∴a=4 3sinA，c=4 3sinC，
∴△ABC的面积S=12acsinB=12 3sinA⋅sinC=12 3sinAsin(2π3−A)
∴S=12 3sinA( 32csA+12sinA)
=12 3( 32csAsinA+12sin2A)
=6 3( 32sin2A+1−cs2A2)
=6 3( 32sin2A−12cs2A+12)
=6 3sin(2A−π6)+3 3，
∵△ABC为锐角三角形，∴0∴π6∴sin(2A−π6)∈(12,1],
∴S=6 3sin(2A−π6)+3 3∈(6 3,9 3]．
故选：C．
首先利用正弦定理求出角B，再利用三角形面积公式结合正弦定理化边为角，再根据三角恒等变换转化为三角函数求范围即可．
本题考查正弦定理和三角函数的恒等变换，以及正弦函数的性质，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查平面向量的数量积运算，考查化归与转化思想，训练了利用基本不等式求最值，属于较难题．
由已知结合正余弦定理求得a，b，c的值，建立平面直角坐标系，再由向量等式求得x 3+y=1，然后利用基本不等式求最值．
【解答】
解：∵sinB=csAsinC，∴由正弦定理可得，b=c⋅csA，
再由余弦定理可得，b=c⋅b2+c2−a22bc，整理得a2+b2=c2，即∠C=90°，
又S△ABC= 36AB⋅AC= 32，∴AB⋅AC=3，
即|AB|⋅|AC|⋅cs∠BAC=b2=3，得b= 3，
∴S△ABC=12ab= 32，得a=1，从而c= 12+( 3)2=2．
以CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
可得C(0,0)，A( 3,0)，B(0,1)，
P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得CP=λCA+(1−λ)CB=( 3λ,1−λ)，(0≤λ≤1)，设CA|CA|=e1，CB|CB|=e2，|e1|=|e2|=1，e1=(1,0)，e2=(0,1)，
由CP=xCA|CA|+yCB|CB|=(x,0)+(0,y)=(x,y)，
得x= 3λ，y=1−λ，则x 3+y=1(x≥0,y≥0)，求1x+ 3y的最小值，则x，y均不为0，
则1x+ 3y=(1x+ 3y)(x 3+y)= 33+ 3+yx+xy≥4 33+2 yx⋅xy=4 33+2．
当且仅当x=y时等号成立．
故选：A．
9.【答案】AD
【解析】解：∵AB= 3，AC=1，B=π6，
∴由正弦定理可得：ABsinC=ACsinB，
∴sinC=AB⋅sinBAC= 32，
∴C=π3，A=π2，S=12AB⋅ACsinA= 32
或C=2π3，A=π6，S=12AB⋅ACsinA= 34．
故选：AD．
先由正弦定理求得sinC的值，进而求得C，根据三角形内角和求得A，最后利用三角形面积公式求得答案．
本题主要考查了正弦定理和三角形面积公式的应用．考查了学生对解三角形基础知识的灵活运用．
10.【答案】AC
【解析】解：对于A选项，|AB|=|BA|，A正确；
对于B选项，若a为零向量，也满足向量a与向量b平行，B错误；
对于C选项，两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同，C正确；
对于D选项，有向线段可以用来表示向量，但不能说向量就是有向线段，D错误．
故选：AC．
根据平面向量的定义及性质进行判断．
本题考查的知识点：向量的定义，主要考查学生的理解能力，属于基础题．
11.【答案】BCD
【解析】解：∵在山顶P处测得小车在A处的俯角为30°，山顶P处测得小车在B处的俯角为45°，
∴∠OAP=30°，∠OBP=45°，
设OP=xkm，∵OP⊥OA，OP⊥OB，
∴OA= 3xkm.OB=xkm．
∵AB=7.5×160×20=52km，
∴由余弦定理可知，cs∠AOB=OA2+OB2−AB22OA⋅OB=4x2−2542 3x2=−3 38，
解得x=1，即OP=1km，故A错误；
从而PA=2km.故C正确；
∵sin∠AOB= 1−cs2∠AOB= 378，设O到AB的距离为h，
∴由等面积法可得12⋅AB⋅h=12OA⋅OBsin∠AOB，即52h= 3×1× 378，
解得h= 11120，即O到AB的距离为 11120km，
则最大仰角的正切值为POh=20 111111.故D正确；
又AO>BO，所以最小仰角为30°.故B正确；
故答案为：BCD．
设OP=xkm，依题意，利用余弦定理可求得x=1，进而可求得PA及小车从A到B的行驶过程中观测P点的最大仰角的正切值及最小仰角的值，从而可得答案．
本题考查解三角形，着重考查余弦定理与等面积法的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：对A，若b=0，则a//b,b//c，但a/​/c不一定成立，故A错误；
对B，若a⋅b=a⋅c.且a≠0，则|a|⋅|b|cs〈a,b〉=|a|⋅|c|cs〈a,c〉，即|b|cs〈a,b〉=|c|cs〈a,c〉，并不能推出b=c，故B错误；
对C，因为|a|=6,|b|=3,a⋅b=|a|⋅|b|cs〈a,b〉=12，故cs〈a,b〉=23，所以a在b上的投影向量是|a|cs〈a,b〉⋅b|b|=43b，故C正确；
对D，OA⋅(AB|AB|+CA|CA|)=0，则AO⋅AB|AB|=AO⋅AC|AC|，
故|AO|⋅|AB|AB||cs∠OAB=|AO|⋅|AC|AC||cs∠OAC，
故cs∠OAB=cs∠OAC，所以∠OAB=∠OAC，即O在∠BAC的角平分线上，
同理O在∠ABC，∠BCA的角平分线上，故O为△ABC的内心，故D错误；
故选：ABD．
对A，举反例b=0判断即可；
对B，根据数量积的运算分析即可；
对C，根据条件可得cs〈a,b〉，进而根据投影向量的公式求解即可；
对D，根据OA⋅(AB|AB|+CA|CA|)=0，结合数量积的公式可得∠OAB=∠OAC，再同理判断即可．
本题主要考查向量的平行关系，向量投影的计算，向量运算与三角形外心的关系等知识，属于中等题．
13.【答案】3
【解析】解：因为向量b=(2,1)，c=(1,−1)，所以b−2c=(0,3)，
所以|b−2c|= 02+32=3．
故答案为：3．
首先根据向量的加法和数乘运算求得b−2c的坐标，再利用向量的模的坐标公式求得结果．
本题考查了平面向量的数量积与模长计算问题，是基础题．
14.【答案】 2
【解析】【分析】
本题考查平面向量数量积的运算，向量的模的几何意义，是基础题．
已知a ,b是平面内两个互相垂直的单位向量，设a=(1,0) ,b=(0,1)，通过c=(x,y)，化简(a−c)⋅(b−c)=0，根据关系式，求|c|最大值．
【解答】
解：已知a ,b是平面内两个互相垂直的单位向量，
设a=(1,0) ,b=(0,1)，令c=(x,y)，
则a−c=(x−1,y) ,b−c=(x,y−1)，
即(a−c)⋅(b−c)=x2+y2−x−y=0，
它表示以(12,12)为圆心， 22为半径的圆，可知|c|最大值是 2．
故答案为： 2．
15.【答案】−175
【解析】解：如图可知，BC=AC−AB，
∵M是AB中点，∴CM=AM−AC=12AB−AC，
∵AC=3AN，∴BN=AN−AB=13AC−AB，
设BP=λBN，则BP=λ(13AC−AB)，
CP=μCM，则CP=μ(12AB−AC)，
∵BP=BC+CP，∴λ3AC−λAB=AC−AB+μ2AB−μAC，
∴(λ3+μ−1)AC=(λ+μ2−1)AB，
∵AB与AC不共线，∴λ3+μ−1=0λ+μ2−1=0，解得λ=35μ=45，
∴BP=15AC−35AB，CP=25AB−45AC，
∴AP=AB+BP=AB+15AC−35AB=25AB+15AC．
∴AP⋅BC=(25AB+15AC)⋅(AC−AB)
=−25AB2+15AB⋅AC+15AC2
=−25|AB|2+15×|AB|×|AC|×cs∠BAC+15|AC|2
=−25×16+15×4×3×12+15×9
=−175．
故答案为：−175．
以向量AB，AC为基底，表示出向量AP，BC，计算数量积即可求解．
本题考查了平面向量的线性运算及数量积运算，考查了数形结合思想，属于中档题．
16.【答案】6
【解析】解：如图，设△ABC角A，B，C所对边长分别为a，b，c，
△ABC′，△CAB′，△BCA′都是正三角形，
在△AO1B中，∠AO1B=120°，∠O1AB=∠O1BA=30°，
可得AO1= 33AB= 33c′，同理AO3= 33b′，
在正三角形O1O2O3中，面积为S= 34O1O32= 3，
解得O1O3=2，又∠BAC=60°，可得∠O1AO3=120°，
在△AO1O3中，O1O32=AO12+AO32−2AO1⋅AO3⋅cs120°，即b2+c2+bc=12，
在△ABC中，a2=b2+c2−2bccs∠BAC，则a= b2+c2−bc= 12−2bc，
又b+c= b2+c2+2bc= 12+bc，又12=b2+c2+bc≥3bc，得0∴a+b+c= 12−2bc+ 12+bc,0令x=bc，x∈(0,4]，
所以a+b+c=f(x)= 12−2x+ 12+x，
由题意可知f(x)在(0,4]上单调递减，
所以当x=4，即bc=4时，△ABC的周长最小，最小值为f(4)=6．
故答案为：6．
设△ABC角A，B，C所对边长分别为a，b，c，将AO1，AO3分别用c，b表示，由△O1O2O3面积为 3求O1O3=2，在△AO1O3中，由余弦定理可得b2+c2+bc=12，进而可得a+b+c= 12−2bc+ 12+bc,0本题考查三角形中的几何计算，属中档题．
17.【答案】解：(1)因为b=(2,y),c=(2,−4)，且b⊥c，
所以2×2−4y=0，解得y=1，则b=(2,1)，
因为a=(x,2),a//b，所以x−2×2=0，解得x=4，
所以a=(4,2)，b=(2,1)；
(2)因为a=(4,2)，b=(2,1)，c=(2,−4)，
所以a+kb=(4+2k,2+k)，a−c=(2,6)，
因为向量(a+kb)与(a−c)互相垂直，
则2×(4+2k)+6(2+k)=0，解得k=−2．
【解析】(1)根据向量垂直和平行的坐标表示，即可求解；
(2)根据向量垂直的坐标表示，即可求解．
本题考查平面向量平行与垂直的坐标表示和平面向量的数量积运算，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由c=a2+bcsA．
则sinC=12sinA+sinBcsA，
则sin(A+B)=12sinA+sinBcsA，
即sinAcsB+csAsinB=12sinA+sinBcsA，
即sinAcsB=12sinA，
又sinA>0，
则csB=12，
又0则B=π3；
(2)已知b=3 6，a+c=9，
由余弦定理可得：
b2=a2+c2−2accsB，
即a2+c2−ac=54，
即(a+c)2−3ac=54，
即ac=9，
则△ABC的面积为12acsinB=12×9× 32=9 34．
【解析】(1)由三角恒等变换结合正弦定理及求解即可；
(2)由余弦定理结合三角形面积公式求解即可．
本题考查了三角恒等变换，重点考查了正弦定理及余弦定理，属基础题．
19.【答案】解：(1)若m⊥n，则m⋅n=acsB+(b−2c)csA=0，
即acsB+bcsA−2ccsA=0，根据正弦定理可知，
sinAcsB+sinBcsA=2sinCcsA，即sin(A+B)=2sinCcsA，
因为sin(A+B)=sinC，且sinC>0，
所以csA=12，又A∈(0,π)，则A=π3；
(2)由正弦定理可知，bsinB=csinC=asinA=6sinπ3=4 3，
则b=4 3sinB，c=4 3sinC，
所以△ABC的周长a+b+c=4 3sinB+4 3sinC+6
=4 3sinB+4 3sin(B+π3)+6
=6 3sinB+6csB+6=12sin(B+π6)+6，
因为△ABC为锐角三角形，且∠A=π3，∴B∈(π6,π2)，
所以B+π6∈(π3,2π3)
所以sin(B+π6)∈( 32,1)，则12sin(B+π6)+6的范围为(6 3+6,18]．
所以△ABC的周长的取值范围为(6 3+6,18]．
【解析】(1)首先利用向量垂直的坐标表示，再结合三角函数恒等变换，即可求解角A；
(2)利用正弦定理表示△ABC的周长，再根据三角函数的性质求周长的取值范围．
本题主要考查向量垂直与数量积关系、正弦定理、诱导公式、两角和与差的正弦公式等基础知识，考查了考生运算求解的能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由已知可得CD=40×12=20，
△BDC中，根据余弦定理求得cs∠BDC=212+202−3122×21×20=−17，
∴sin∠BDC=4 37．
(2)由已知可得∠BAD=20°+40°=60°，
∴sin∠ABD=sin(∠BDC−60°)=4 37×12−(−17)× 32=5 314．
△ABD中，由正弦定理可得AD=BD×sin∠ABDsin∠BAD=21×sin∠ABDsin∠BAD=15，
∴t=1540×60=22.5分钟．
即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A．
【解析】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系的应用，两角和差的正弦公式的应用，属于中档题．
(1)由已知可得CD=20，△BDC中，根据余弦定理求得cs∠BDC的值，再利用同角三角函数的基本关系求得sin∠BDC的值．
(2)由已知可得∠BAD=60°，由此可得sin∠ABD=sin(∠BDC−60°)的值，再由正弦定理求得AD的值，由此求得海警船到达A的时间．
21.【答案】解：(1)以A为原点，AB，AD分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(6,0)，D(0,3)，C(3,3)，

因为AB/​/CD，AB=6，CD=3，
所以△ABO∽△CDO，所以OAOC=OBOD=ABCD=2，
所以点O(2,2)，
设M(m,0)，则OM=(m−2,−2)，BD=(−6,3)，
因为OM⊥BD，所以OM⋅BD=−6(m−2)−6=0，解得m=1，
所以M(1,0)，AM=(1,0)，
所以AM⋅BD=−6．
(2)由(1)知，AC=(3,3)，
设AN=λAC=(3λ,3λ)，λ∈[0,1]，则MN=(3λ−1,3λ)，
所以AN⋅MN=3λ(3λ−1)+3λ⋅3λ=3λ(6λ−1)=18(λ−112)2−18，
因为λ∈[0,1]，
所以当λ=1时，AN⋅MN取得最大值，为15；
当λ=112时，AN⋅MN取得最小值，为−18，
故AN⋅MN的取值范围为[−18,15]．
【解析】(1)以A为原点，建立平面直角坐标系，根据△ABO∽△CDO，可求得点O的坐标，设M(m,0)，由OM⋅BD=0，求得m=1，再由平面向量数量积的坐标运算，得解；
(2)设AN=λAC=(3λ,3λ)，λ∈[0,1]，用含λ的式子表示出AN⋅MN，再根据二次函数的图象与性质，得解．
本题考查平面向量在几何中的应用，遇到规则图形，一般采用建立坐标系，将问题转化为平面向量的坐标运算可简化试题难度，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)∵D是BC中点，且AB=1，AC=2，AD= 32，
∴AD=12(AB+AC)，∴AD2=14(AB+AC)2，
∴34=14(1+4+2AB⋅AC)，∴AB⋅AC=−1，
∴cs∠BAC=AB⋅AC|AB||AC|=−12，
∴sin∠BAC= 32，
∴S△ABC=12AB⋅AC⋅sin∠BAC= 32；
(2)∵AE=λ(AB|AB|+AC|AC|)=λAB+λ2AC，且B，E，C三点共线，
∴λ+λ2=1，解得λ=23．
【解析】(1)根据题意AD=12(AB+AC)，两边平方即可求出AB⋅AC=−1，从而可求出cs∠BAC=−12，进而求出sin∠BAC= 32，然后根据三角形的面积公式即可求出△ABC的面积；
(2)可以得出AE=λAB+λ2AC，然后根据B，E，C三点共线即可得出λ+λ2=1，解出λ即可．
本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，三角形的面积公式，三点A，B，C共线时，由OB=λOA+μOC得出λ+μ=1，考查了计算能力，属于基础题．