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2023-2024学年广东省深圳市南山外国语学校等学校联考八年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年广东省深圳市南山外国语学校等学校联考八年级（下）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图形既是中心对称图形也是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.已知aA. ac23.下列由左到右的变形，属于因式分解的是( )
A. (x+2)(x−2)=x2−4B. x2−4=(x+2)(x−2)
C. x2−4+3x=(x+2)(x−2)+3xD. x2+4x−2=x(x+4)−2
4.如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为( )
A. 90°
B. 95°
C. 100°
D. 105°
5.如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，∠AOB=30°，点D在边OB上，且OD=DP=2.则线段PC的长度为( )
A. 3
B. 2
C. 1
D. 12
6.如图，一次函数y=k1x+b1和y=kx+b的图象分别与x轴交于点A(−1,0)、B(2,0)，则关于x的不等式组kx+b>0k1x+b1>0的解集是( )
A. x<−1
B. x>−1
C. x<2
D. −17.下列命题中，其逆否命题是真命题的命题个数有( )
(1)线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等；
(2)对顶角相等；
(3)在三角形中，相等的角所对的边也相等；
(4)到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
8.若关于x的一元一次不等式组x−1<0x−a>0无解，则a的取值范围是( )
A. a≥1B. a>1C. a≤−1D. a<−1
9.如图，△ABC是等边三角形，点P在△ABC内，PA=2，将△PAB绕点A逆时针旋转得到△QAC，则△APQ的面积等于( )
A. 5
B. 6
C. 3
D. 2 3
10.如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°；②AD=PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四边形ABDE=74S△ABP；⑤S△APH=S△ADE，其中正确的结论有个．( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.因式分解：2x2−2= ．
12.已知等腰三角形其中一个内角为70°，则这个等腰三角形的顶角度数为______．
13.某电器商场促销，海尔某型号冰箱的售价是2500元，进价是1800元，商场为保证利润率不低于5%，则海尔该型号冰箱最多降价______元．
14.已知关于x的不等式组x−a≤04−3x<5的整数解共有4个，则a的取值范围是 ．
15.已知如图，△ABC为等边三角形，点D在AC上，点E在CB延长线上，连接AE、DE，AE=DE，AD=2，BE=4，则AE= ______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
16.分解因式：
(1)3a(x−y)−3b(x−y)；
(2)−m3+6m2−9m．
四、解答题：本题共6小题，共49分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
解不等式组：3(x+2)≥2x+52x−1+3x2<1，并把解集在数轴上表示出来．
18.(本小题7分)
在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系△ABC是格点三角形(顶点在网格线的交点上)．
(1)作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点坐标A1(______)，B1(______)，C1(______)；
(2)把△A1B1C1向上平移4个单位长度得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；
(3)△A2B2C2与△ABC成中心对称，请直接写出对称中心的坐标(______).
19.(本小题8分)
如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DG相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．
(1)求证：BE=CF；
(2)若AB=15，AC=9，求BE的长．
20.(本小题9分)
为了迎接“五一”的到来，某网店上架了A、B两款产品，已知10个A产品和15个B产品的售价为2400元；30个A产品和20个B产品的售价为5200元．
(1)每个A产品和B产品的售价分别为多少元？
(2)已知A产品和B产品的成本分别为80元/个和50元/个.“五一”后，这两款产品持续热销，于是网店再购进了这两款产品共600个，其中B产品的数量不超过A产品数量的2倍，且购进总价不超过37800元.为回馈新老客户，网店决定对A产品降价10%后再销售，而B产品售价不变，若“五一”后网店再购进的这两款产品全部售出，则A产品购进多少个时该网店当月销售利润最大？最大利润为多少？
21.(本小题10分)
提出问题：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”.例如，16=52−32，16就是一个智慧数，在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是哪个数？
解决问题：小颖的方法是一个一个找出来：3=22−12，5=32−22，7=42−32，8=32−12，9=52−42，11=62−52……
小明认为小颖的方法太麻烦.他想到：设k是正整数，由于：
(1)(k+1)2−k2= ______= ______，所以，除1外，所有的奇数都是智慧数．
(2)又因为(k+1)2−(k−1)2= ______= ______，所以，除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数．
还剩什么数没搞清楚呢？还剩被4除余2的数.小亮认为，如果4k+2是智慧数，那么必有两个正整数m和n，使得4k+2=m2−n2，即2(2k+1)=(m+n)(m−n)①
因为m+n和m−n这两个数的奇偶性相同，所以①式中等号右边要么是4的倍数，要么是奇数，而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数，可见等式左、右两边不相等，所以4k+2不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数．
得出结论：由此，可得结论，把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数．
应用结论：
(3)下列偶数中是智慧数的是______
A.2014
B.2018
C.2020
D.2022
(4)在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是______．
拓展应用：
(5)已知智慧数按从小到大的顺序构成如下列：
3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，21，23，24，25，……
则第2025个智慧数是______．
22.(本小题9分)
平移、旋转、翻折是几何图形的最基本的三种图形变换，利用图形变换可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的．
(1)探究发现：如图1，P是等边△ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求∠APB的度数．
解：将△APC绕点A旋转到△AP′B的位置，连接PP′，则△APP′是______三角形．
∵PP′=PA=3，PB=4，PB′=PC=5，
∴P′P2+PB2=P′B2∴△BPP′为______三角形．∴∠APB的度数为______．
(2)类比延伸：如图2，在正方形ABCD内部有一点P.连接PA、PB、PC，若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长；
(3)拓展迁移：如图3，若点P是正方形ABCD外一点，PA=3，PB=1，PC= 11，求∠APB的度数．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】
解：A.不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2.【答案】D
【解析】解：A.aB.a1−3b，故B不成立；
C.aD.a故选：D．
根据不等式的性质逐一判断即可解题．
本题考查了不等式的性质，注意不等式的两边都乘或除以一个负数，不等号的方向改变．
3.【答案】B
【解析】解：A、是整式的乘法，故A错误；
B、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B正确；
C、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C错误；
D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D错误；
故选：B．
根据因式分解的定义，可得答案．
本题考查了因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．
4.【答案】D
【解析】【分析】
由CD=AC，∠A=50°，根据等腰三角形的性质，可求得∠ADC的度数，又由题意可得：MN是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得：CD=BD，则可求得∠B的度数，继而求得答案．
【解答】
解：∵CD=AC，∠A=50°，
∴∠ADC=∠A=50°，
根据题意得：MN是线段BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
∴∠BCD=∠B，
∴∠B=12∠ADC=25°，
∴∠ACB=180°−∠A−∠B=105°，
故选D．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，能求出∠PDE=30°是解此题的关键．
过P作PE⊥OB于E，根据角平分线性质求出PC=PE，求出DP//OA，根据平行线的性质求出∠PDE=∠AOB=30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出PE即可．
【解答】
解：过P作PE⊥OB于E，
∵点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA，
∴PC=PE，∠AOP=∠BOP，
∵OD=DP，
∴∠BOP=∠DPO，
∴∠AOP=∠DPO，
∴PD//OA，
∴∠PDE=∠AOB，
∵∠AOB=30°，
∴∠PDE=30°，
∵∠PEO=90°，DP=2，
∴PE=12DP=1，
∴PC=1，
故选：C．
6.【答案】D
【解析】解：一次函数y=k1x+b1和y=kx+b的图象分别与x轴交于点A(−1,0)、B(2,0)，
根据图象可知，y=k1x+b1>0的解集为：x>−1，
y=kx+b>0的解集为：x<2，
∴不等式组kx+b>0k1x+b1>0的解集是−1故选：D．
根据图象可知y=k1x+b1>0的解集和y=kx+b>0的解集，即可确定不等式组的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：(1)线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等，正确，故逆否命题正确；
(2)对顶角相等，正确，故逆否命题正确；
(3)在同一个三角形中，相等的角所对的边也相等，错误，故逆否命题错误；
(4)到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，正确，故逆否命题正确．
所以(1)(2)(4)正确．
故选C．
根据原命题、逆命题、否命题、逆否命题四者之间的关系，原命题与逆否命题的真假性一致，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，对顶角相等的性质，等腰三角形的性质对各小题判断后即可进行解答．
本题考查了线段垂直平分线的性质，对顶角相等的性质，等角对等边的性质，是基础题，需熟练掌握．
8.【答案】A
【解析】解：解x−1<0x−a>0得，
x<1x>a，
∵x−1<0x−a>0无解，
∴a≥1．
故选：A．
将不等式组解出来，根据不等式组x−1<0x−a>0无解，求出a的取值范围．
本题考查了解一元一次不等式组，会根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值．一般方法是先解不等式组，再根据解集求出特殊值．
9.【答案】C
【解析】解：∵将△PAB绕点A逆时针旋转得到△QAC，
∴PA=PC=2，∠CAB=∠PAQ=60°，
∴△PAQ是等边三角形，
∴△APQ的面积= 34×22= 3，
故选：C．
由旋转的性质可得PA=PC=2，∠CAB=∠PAQ=60°，可证△PAQ是等边三角形，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：在△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAD+∠ABE=12(∠CAB+∠CBA)=45°，
∴∠APB=180°−(∠BAD+∠ABE)=135°，故①正确．
∴∠BPD=180°−∠APB=45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠FPB=90°+45°=135°，
∴∠APB=∠FPB，
在△ABP和△FBP中，
∠ABP=∠FBPBP=BP∠APB=∠FPB，
∴△ABP≌△FBP(ASA)，
∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，
∴∠PAH=∠BAP=∠PFD，
在△APH和△FPD中，
∠APH=∠FPD=90°PA=PF∠PAH=∠PFD，
∴△APH≌△FPD(ASA)，
∴PH=PD，
∴AD=AP+PD=PF+PH.故②正确．
∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，
∴S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD，
∵∠HPD=90°，
∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD，
∴HD//EP，
∴S△EPH=S△EPD，
∴S△APH=S△AED，故⑤正确，
∵S四边形ABDE=S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD
=S△ABP+(S△AEP+S△EPH)+S△PBD
=S△ABP+S△APH+S△PBD
=S△ABP+S△FPD+S△PBD
=S△ABP+S△FBP
=2S△ABP，故④不正确．
若DH平分∠CDE，则∠CDH=∠EDH，
∵DH//BE，
∴∠CDH=∠CBE=∠ABE，
∴∠CDE=∠ABC，
∴DE//AB，这个显然与条件矛盾，故③错误，
综上所述，正确的结论有3个，
故选：B．
①正确．利用三角形内角和定理以及角平分线的定义即可解决问题．
②正确．证明△ABP≌△FBP，推出PA=PF，再证明△APH≌△FPD，推出PH=PD即可解决问题．
③错误．利用反证法，假设成立，推出矛盾即可．
④错误，可以证明S四边形ABDE=2S△ABP．
⑤正确．由DH//PE，利用等高模型解决问题即可．
本题考查了角平分线的定义，三角形全等的判定方法，三角形内角和定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
11.【答案】2(x+1)(x−1)
【解析】首先提公因式2，再利用平方差进行二次分解．
解：原式=2(x2−1)=2(x+1)(x−1)．
故答案为：2(x+1)(x−1)．
此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
12.【答案】70°或40°
【解析】解：分两种情况：
当70°的角是底角时，则顶角度数为40°；
当70°的角是顶角时，则顶角为70°．
综上所述，这个等腰三角形的顶角度数为70°或40°，
故答案为：70°或40°．
等腰三角形的一个内角是70°，则该角可能是底角，也可能是顶角，注意分类计算．
考查了等腰三角形的性质，在解决此类问题的时候，要注意将问题的所有可能的情况找出，分别进行计算．
13.【答案】610
【解析】解：设海尔该型号冰箱降价x元，根据题意可得：
2500−1800−x≥5%×1800，
解得：x≤610，
答：海尔该型号冰箱最多降价610元．
故答案为：610．
直接利用利润率=利润÷进价，进而得出不等式求出答案．
此题主要考查了一元一次不等式的应用，正确得出不等关系是解题关键．
14.【答案】3≤a<4
【解析】解：x−a≤0①4−3x<5②，
解不等式①，得：x≤a，
解不等式②，得：x>−13，
∵关于x的不等式组x−a≤04−3x<5的整数解共有4个，
则这四个整数解为：0，1，2，3，
当3≤a<4时，不等式组的整数解为：0，1，2，3，
∴3≤a<4．
故答案为：3≤a<4．
先求出不等式组的解集，根据一元一次不等式组有四个整数解进行分析，即可得到答案．
本题考查了解一元一次不等式组的知识；解题的关键是正确求得一元一次不等式组的解集．
15.【答案】2 19
【解析】解：过E点作EF//AB，交CA的延长线于点F，过E点作EG⊥AC，垂足为G，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=∠C=60°，AC=BC，
∵EF//AB，
∴∠CEF=∠ABC=60°，∠F=∠BAC=60°，
∴△EFC为等边三角形，
∴EF=EC=FC，∠F=∠C=60°，
∴AF=BE=4，
∵EA=ED，
∴∠EAD=∠EDA，
∴∠EAF=∠EDC，
在△EAF和△EDC中，
∠EAF=∠EDC∠F=∠CEF=EC
∴△EAF≌△EDC(AAS)，
∴DC=AF=4，
∵AD=2，
∴AC=AD+DC=2+4=6，
∴EF=FC=AC+AF=6+4=10，
∵EG⊥AC，
∴FG=5，AG=1，
由勾股定理得EG2=EF2−FG2=AE2−AG2，
∴102−52=AE2−12，
解得AE=2 19，
故答案为2 19．
过E点作EF//AB，交CA的延长线于点F，过E点作EG⊥AC，垂足为G，由等边三角形ABC可证明△AFC也是等边三角形，通过证明△EAF≌△EDCKE求解AC的长，即可求得等边三角形EFC的边长，由等边三角形的性质可得AG的长，利用勾股定理可求解AE．
本题主要考查等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，通过画辅助线作等边△EFC是解题的关键．
16.【答案】解：(1)原式=3(x−y)(a−b)；
(2)原式=−m(m2−6m+9)
=−m(m−3)2．
【解析】【分析】
本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键．
(1)找出公因式，利用提公因式法分解；
(2)先提公因式，再套用完全平方公式．
17.【答案】解：解不等式3(x+2)≥2x+5，得：x≥−1，
解不等式2x−1+3x2<1，得：x<3，
则不等式组的解集为−1≤x<3，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18.【答案】3，0 5，−3 1，−1 0，2
【解析】解：(1)如图1，△A1B1C1为所求作的三角形；
根据图可知，A1(3,0)，B1(5,−3)，C1(1,−1)．
故答案为：3，0；5，−3；1，−1；
(2)如图2，△A2B2C2为所求作的三角形；
(3)连接BB2、CC2，则BB2、CC2的交点即为对称中心，如图3，
∵B(−5,3)，B2(5,1)，
∴对称中心的坐标为(−5+52,3+12)，
即对称中心的坐标为(0,2)．
故答案为：(0,2)．
(1)根据中心对称的性质作出点A、B、C的对应点A1，B1，C1，然后顺次连接即可；
(2)根据平移特点先作出点A1，B1，C1平移后的对应点A2，B2，C2，然后顺次连接即可；
(3)连接两组对称点的交点即为对称中心，然后根据中点坐标公式求出此点的坐标即可．
此题考查中心对称图形的画法，平移图形的画法，中心对称的性质及平移的性质，对称中心的确定方法，正确掌握中心对称的性质及平移的性质是解题的关键．
19.【答案】(1)证明：连接CD，如图所示：
∵DG是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD平分∠BAC，
∴DE=DF，∠BED=∠DCF=90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
BD=CDDE=DF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴BE=CF；
(2)解：由(1)得：BE=CF，
设BE=CF=x，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
AD=ADDE=DF，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，
∴AE=AF，
∵AB=15，AC=9，
∴15−x=9+x，
解得：x=3，
∴BE=3．
【解析】(1)连接CD，根据垂直平分线性质可得BD=CD，可证Rt△BDE≌Rt△CDF，即可得出BE=CF；
(2)设BE=CF=x，证明Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，则AE=AF，得15−x=9+x，解得x=3即可．
本题考查了直角三角形全等的判定与性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识；熟练掌握线段垂直平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键．
20.【答案】解：(1)设每个A产品的售价为x元，每个B产品的售价为y元，
根据题意得：10x+15y=240030x+20y=5200，
解得：x=120y=80．
答：每个A产品的售价为120元，每个B产品的售价为80元；
(2)设“五一”后网店再次购进m个A产品，则购进(600−m)个B产品，
根据题意得：600−m≤2m80m+50(600−m)≤37800，
解得：200≤m≤260．
设“五一”后网店再购进的这两款产品全部售出后获得的总利润为w元，则w=[120×(1−10%)−80]m+(80−50)(600−m)，
即w=−2m+18000，
∵−2<0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=200时，w取得最大值，最大值=−2×200+18000=17600．
答：A产品购进200个时该网店当月销售利润最大，最大利润为17600元．
【解析】(1)设每个A产品的售价为x元，每个B产品的售价为y元，根据“10个A产品和15个B产品的售价为2400元；30个A产品和20个B产品的售价为5200元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设“五一”后网店再次购进m个A产品，则购进(600−m)个B产品，根据“购进B产品的数量不超过A产品数量的2倍，且购进总价不超过37800元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，设“五一”后网店再购进的这两款产品全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润=每个的销售利润×销售数量(购进数量)，可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
21.【答案】(k+1−k)(k+1+k) 2k+1 (k+1−k+1)(k+1+k−1) 4k C 2701 2703
【解析】解：(1)(k+1)2−k2=(k+1−k)(k+1+k)=2k+1，所以，除1外，所有的奇数都是智慧数．
故答案为：(k+1−k)(k+1+k)，2k+1；
(2)又因为(k+1)2−(k−1)2=(k+1−k+1)(k+1+k−1)=4k，所以，除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数．
还剩什么数没搞清楚呢？还剩被4除余2的数．小亮认为，如果4k+2是智慧数，那么必有两个正整数m和n，使得4k+2=m2−n2，即2(2k+1)=(m+n)(m−n)①
因为m+n和m−n这两个数的奇偶性相同，所以①式中等号右边要么是4的倍数，要么是奇数，而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数，可见等式左、右两边不相等，所以4k+2不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数．
得出结论：由此，可得结论，把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数．
故答案为：(k+1−k+1)(k+1+k−1)，4k；
(3)∵2014÷4=503……2，
2018÷4=504……2，
2020÷4=505，
2022÷4=505……2，
∴是智慧数的是C．
故答案为：C；
(4)把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数，
又∵(2024−1)÷3=674……1，
∴第2022个智慧数在1+674+1=676(组)，并且是第1个数，即675×4+1=2701．
故答案为：2701；
(5)观察可知，智慧数按从小到大顺序可按3个数分一组，从第2组开始每组的第一个数都是4的倍数，
∴第n组的第一个数为4n(n≥2，且n为正整数)．
∵2025÷3=675，
∴第2025个智慧数是第675组中的第3个数，即为4×675+3=2703．
故答案为：2703．
(1)根据平方差公式即可求解；
(2)根据平方差公式即可求解；
(3)除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；
(4)综合(1)和(2)可得，除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；
(5)观察可知，智慧数按从小到大顺序可按3个数分一组，从第2组开始每组的第一个数都是4的倍数，则第n组的第一个数为4n(n≥2，且n为正整数)，用2025除以3可知2025是第675组的第3个数，用4乘以675，再加上3即可得出答案．
本题考查了同余问题，新定义“智慧数”以及平方差公式的运用，解题关键是根据题目条件挖掘素材，得到方法，本题属于基础题，难度不大，题中文字较多，很多学生不喜欢这样的文字题，解决该类型题时，只要仿照文中给定的办法即可得出结论．
22.【答案】等边 直角 150°
【解析】解：将△APC绕点A旋转到△APB′的位置，连接PP′，则△APP′是等边三角形，
∵PP′=PA=3，PB=4，PB′=PC=5，
∴P′P2+PB2=P′B2，
∴△BPP′为直角三角形，
∴∠APB的度数=90°+60°=150°，
故答案为：等边；直角；150°；
(2)如图1，把△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△BCP′，
则P′B=PB=4，P′C=PA=2，
∵旋转角是90°，
∴∠PBP′=90°，
∴△BPP′是等腰直角三角形，
∴PP′= 2PB=4 2，∠PP′B=45°，
∵∠APB=135°，
∴∠CP′B=∠APB=135°，
∴∠PP′C=135°−45°=90°，
在Rt△PP′C中，由勾股定理得，PC= P′P2+P′C2= 32+4=6；
(3)将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，
∴△ABP′≌△CBP，
∴∠PBP′=90°，BP′=BP=1，AP′=CP= 11，
在Rt△PBP′中，BP=BP′=1，
∴∠BPP′=45°，根据勾股定理得，PP′= 2BP= 2，
∵AP=3，
∴AP2+PP′2=9+2=11，
∵AP′2=( 11)2=11，
∴AP2+PP′2=AP′2，
∴△APP′是直角三角形，且∠APP′=90°，
∴∠APB=∠APP′−∠BPP′=90°−45°=45°．
(1)将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，则△BPE为等边三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度数；
(2)把△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△BCP′，根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状可得P′B=PB，P′C=PA，然后求出△BPP′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出PP′，∠PP′B=45°，再求出∠PP′C=90°，然后利用勾股定理列式计算即可得解；
(3)将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，由旋转的性质可得∠PBP′=90°，BP′=BP=1，AP′=CP= 11，由等腰直角三角形的性质可得∠BPP′=45°，PP′= 2BP= 2，由勾股定理的逆定理可求∠APP′=90°，即可求解；
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是解本题的关键．
1.下列图形既是中心对称图形也是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.已知a
A. (x+2)(x−2)=x2−4B. x2−4=(x+2)(x−2)
C. x2−4+3x=(x+2)(x−2)+3xD. x2+4x−2=x(x+4)−2
4.如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为( )
A. 90°
B. 95°
C. 100°
D. 105°
5.如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，∠AOB=30°，点D在边OB上，且OD=DP=2.则线段PC的长度为( )
A. 3
B. 2
C. 1
D. 12
6.如图，一次函数y=k1x+b1和y=kx+b的图象分别与x轴交于点A(−1,0)、B(2,0)，则关于x的不等式组kx+b>0k1x+b1>0的解集是( )
A. x<−1
B. x>−1
C. x<2
D. −1
(1)线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等；
(2)对顶角相等；
(3)在三角形中，相等的角所对的边也相等；
(4)到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
8.若关于x的一元一次不等式组x−1<0x−a>0无解，则a的取值范围是( )
A. a≥1B. a>1C. a≤−1D. a<−1
9.如图，△ABC是等边三角形，点P在△ABC内，PA=2，将△PAB绕点A逆时针旋转得到△QAC，则△APQ的面积等于( )
A. 5
B. 6
C. 3
D. 2 3
10.如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°；②AD=PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四边形ABDE=74S△ABP；⑤S△APH=S△ADE，其中正确的结论有个．( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.因式分解：2x2−2= ．
12.已知等腰三角形其中一个内角为70°，则这个等腰三角形的顶角度数为______．
13.某电器商场促销，海尔某型号冰箱的售价是2500元，进价是1800元，商场为保证利润率不低于5%，则海尔该型号冰箱最多降价______元．
14.已知关于x的不等式组x−a≤04−3x<5的整数解共有4个，则a的取值范围是 ．
15.已知如图，△ABC为等边三角形，点D在AC上，点E在CB延长线上，连接AE、DE，AE=DE，AD=2，BE=4，则AE= ______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
16.分解因式：
(1)3a(x−y)−3b(x−y)；
(2)−m3+6m2−9m．
四、解答题：本题共6小题，共49分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
解不等式组：3(x+2)≥2x+52x−1+3x2<1，并把解集在数轴上表示出来．
18.(本小题7分)
在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系△ABC是格点三角形(顶点在网格线的交点上)．
(1)作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点坐标A1(______)，B1(______)，C1(______)；
(2)把△A1B1C1向上平移4个单位长度得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；
(3)△A2B2C2与△ABC成中心对称，请直接写出对称中心的坐标(______).
19.(本小题8分)
如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DG相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．
(1)求证：BE=CF；
(2)若AB=15，AC=9，求BE的长．
20.(本小题9分)
为了迎接“五一”的到来，某网店上架了A、B两款产品，已知10个A产品和15个B产品的售价为2400元；30个A产品和20个B产品的售价为5200元．
(1)每个A产品和B产品的售价分别为多少元？
(2)已知A产品和B产品的成本分别为80元/个和50元/个.“五一”后，这两款产品持续热销，于是网店再购进了这两款产品共600个，其中B产品的数量不超过A产品数量的2倍，且购进总价不超过37800元.为回馈新老客户，网店决定对A产品降价10%后再销售，而B产品售价不变，若“五一”后网店再购进的这两款产品全部售出，则A产品购进多少个时该网店当月销售利润最大？最大利润为多少？
21.(本小题10分)
提出问题：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”.例如，16=52−32，16就是一个智慧数，在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是哪个数？
解决问题：小颖的方法是一个一个找出来：3=22−12，5=32−22，7=42−32，8=32−12，9=52−42，11=62−52……
小明认为小颖的方法太麻烦.他想到：设k是正整数，由于：
(1)(k+1)2−k2= ______= ______，所以，除1外，所有的奇数都是智慧数．
(2)又因为(k+1)2−(k−1)2= ______= ______，所以，除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数．
还剩什么数没搞清楚呢？还剩被4除余2的数.小亮认为，如果4k+2是智慧数，那么必有两个正整数m和n，使得4k+2=m2−n2，即2(2k+1)=(m+n)(m−n)①
因为m+n和m−n这两个数的奇偶性相同，所以①式中等号右边要么是4的倍数，要么是奇数，而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数，可见等式左、右两边不相等，所以4k+2不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数．
得出结论：由此，可得结论，把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数．
应用结论：
(3)下列偶数中是智慧数的是______
A.2014
B.2018
C.2020
D.2022
(4)在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是______．
拓展应用：
(5)已知智慧数按从小到大的顺序构成如下列：
3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，21，23，24，25，……
则第2025个智慧数是______．
22.(本小题9分)
平移、旋转、翻折是几何图形的最基本的三种图形变换，利用图形变换可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的．
(1)探究发现：如图1，P是等边△ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求∠APB的度数．
解：将△APC绕点A旋转到△AP′B的位置，连接PP′，则△APP′是______三角形．
∵PP′=PA=3，PB=4，PB′=PC=5，
∴P′P2+PB2=P′B2∴△BPP′为______三角形．∴∠APB的度数为______．
(2)类比延伸：如图2，在正方形ABCD内部有一点P.连接PA、PB、PC，若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长；
(3)拓展迁移：如图3，若点P是正方形ABCD外一点，PA=3，PB=1，PC= 11，求∠APB的度数．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】
解：A.不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2.【答案】D
【解析】解：A.a
C.a
根据不等式的性质逐一判断即可解题．
本题考查了不等式的性质，注意不等式的两边都乘或除以一个负数，不等号的方向改变．
3.【答案】B
【解析】解：A、是整式的乘法，故A错误；
B、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B正确；
C、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C错误；
D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D错误；
故选：B．
根据因式分解的定义，可得答案．
本题考查了因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．
4.【答案】D
【解析】【分析】
由CD=AC，∠A=50°，根据等腰三角形的性质，可求得∠ADC的度数，又由题意可得：MN是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得：CD=BD，则可求得∠B的度数，继而求得答案．
【解答】
解：∵CD=AC，∠A=50°，
∴∠ADC=∠A=50°，
根据题意得：MN是线段BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
∴∠BCD=∠B，
∴∠B=12∠ADC=25°，
∴∠ACB=180°−∠A−∠B=105°，
故选D．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，能求出∠PDE=30°是解此题的关键．
过P作PE⊥OB于E，根据角平分线性质求出PC=PE，求出DP//OA，根据平行线的性质求出∠PDE=∠AOB=30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出PE即可．
【解答】
解：过P作PE⊥OB于E，
∵点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA，
∴PC=PE，∠AOP=∠BOP，
∵OD=DP，
∴∠BOP=∠DPO，
∴∠AOP=∠DPO，
∴PD//OA，
∴∠PDE=∠AOB，
∵∠AOB=30°，
∴∠PDE=30°，
∵∠PEO=90°，DP=2，
∴PE=12DP=1，
∴PC=1，
故选：C．
6.【答案】D
【解析】解：一次函数y=k1x+b1和y=kx+b的图象分别与x轴交于点A(−1,0)、B(2,0)，
根据图象可知，y=k1x+b1>0的解集为：x>−1，
y=kx+b>0的解集为：x<2，
∴不等式组kx+b>0k1x+b1>0的解集是−1
根据图象可知y=k1x+b1>0的解集和y=kx+b>0的解集，即可确定不等式组的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：(1)线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等，正确，故逆否命题正确；
(2)对顶角相等，正确，故逆否命题正确；
(3)在同一个三角形中，相等的角所对的边也相等，错误，故逆否命题错误；
(4)到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，正确，故逆否命题正确．
所以(1)(2)(4)正确．
故选C．
根据原命题、逆命题、否命题、逆否命题四者之间的关系，原命题与逆否命题的真假性一致，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，对顶角相等的性质，等腰三角形的性质对各小题判断后即可进行解答．
本题考查了线段垂直平分线的性质，对顶角相等的性质，等角对等边的性质，是基础题，需熟练掌握．
8.【答案】A
【解析】解：解x−1<0x−a>0得，
x<1x>a，
∵x−1<0x−a>0无解，
∴a≥1．
故选：A．
将不等式组解出来，根据不等式组x−1<0x−a>0无解，求出a的取值范围．
本题考查了解一元一次不等式组，会根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值．一般方法是先解不等式组，再根据解集求出特殊值．
9.【答案】C
【解析】解：∵将△PAB绕点A逆时针旋转得到△QAC，
∴PA=PC=2，∠CAB=∠PAQ=60°，
∴△PAQ是等边三角形，
∴△APQ的面积= 34×22= 3，
故选：C．
由旋转的性质可得PA=PC=2，∠CAB=∠PAQ=60°，可证△PAQ是等边三角形，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：在△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAD+∠ABE=12(∠CAB+∠CBA)=45°，
∴∠APB=180°−(∠BAD+∠ABE)=135°，故①正确．
∴∠BPD=180°−∠APB=45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠FPB=90°+45°=135°，
∴∠APB=∠FPB，
在△ABP和△FBP中，
∠ABP=∠FBPBP=BP∠APB=∠FPB，
∴△ABP≌△FBP(ASA)，
∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，
∴∠PAH=∠BAP=∠PFD，
在△APH和△FPD中，
∠APH=∠FPD=90°PA=PF∠PAH=∠PFD，
∴△APH≌△FPD(ASA)，
∴PH=PD，
∴AD=AP+PD=PF+PH.故②正确．
∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，
∴S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD，
∵∠HPD=90°，
∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD，
∴HD//EP，
∴S△EPH=S△EPD，
∴S△APH=S△AED，故⑤正确，
∵S四边形ABDE=S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD
=S△ABP+(S△AEP+S△EPH)+S△PBD
=S△ABP+S△APH+S△PBD
=S△ABP+S△FPD+S△PBD
=S△ABP+S△FBP
=2S△ABP，故④不正确．
若DH平分∠CDE，则∠CDH=∠EDH，
∵DH//BE，
∴∠CDH=∠CBE=∠ABE，
∴∠CDE=∠ABC，
∴DE//AB，这个显然与条件矛盾，故③错误，
综上所述，正确的结论有3个，
故选：B．
①正确．利用三角形内角和定理以及角平分线的定义即可解决问题．
②正确．证明△ABP≌△FBP，推出PA=PF，再证明△APH≌△FPD，推出PH=PD即可解决问题．
③错误．利用反证法，假设成立，推出矛盾即可．
④错误，可以证明S四边形ABDE=2S△ABP．
⑤正确．由DH//PE，利用等高模型解决问题即可．
本题考查了角平分线的定义，三角形全等的判定方法，三角形内角和定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
11.【答案】2(x+1)(x−1)
【解析】首先提公因式2，再利用平方差进行二次分解．
解：原式=2(x2−1)=2(x+1)(x−1)．
故答案为：2(x+1)(x−1)．
此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
12.【答案】70°或40°
【解析】解：分两种情况：
当70°的角是底角时，则顶角度数为40°；
当70°的角是顶角时，则顶角为70°．
综上所述，这个等腰三角形的顶角度数为70°或40°，
故答案为：70°或40°．
等腰三角形的一个内角是70°，则该角可能是底角，也可能是顶角，注意分类计算．
考查了等腰三角形的性质，在解决此类问题的时候，要注意将问题的所有可能的情况找出，分别进行计算．
13.【答案】610
【解析】解：设海尔该型号冰箱降价x元，根据题意可得：
2500−1800−x≥5%×1800，
解得：x≤610，
答：海尔该型号冰箱最多降价610元．
故答案为：610．
直接利用利润率=利润÷进价，进而得出不等式求出答案．
此题主要考查了一元一次不等式的应用，正确得出不等关系是解题关键．
14.【答案】3≤a<4
【解析】解：x−a≤0①4−3x<5②，
解不等式①，得：x≤a，
解不等式②，得：x>−13，
∵关于x的不等式组x−a≤04−3x<5的整数解共有4个，
则这四个整数解为：0，1，2，3，
当3≤a<4时，不等式组的整数解为：0，1，2，3，
∴3≤a<4．
故答案为：3≤a<4．
先求出不等式组的解集，根据一元一次不等式组有四个整数解进行分析，即可得到答案．
本题考查了解一元一次不等式组的知识；解题的关键是正确求得一元一次不等式组的解集．
15.【答案】2 19
【解析】解：过E点作EF//AB，交CA的延长线于点F，过E点作EG⊥AC，垂足为G，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=∠C=60°，AC=BC，
∵EF//AB，
∴∠CEF=∠ABC=60°，∠F=∠BAC=60°，
∴△EFC为等边三角形，
∴EF=EC=FC，∠F=∠C=60°，
∴AF=BE=4，
∵EA=ED，
∴∠EAD=∠EDA，
∴∠EAF=∠EDC，
在△EAF和△EDC中，
∠EAF=∠EDC∠F=∠CEF=EC
∴△EAF≌△EDC(AAS)，
∴DC=AF=4，
∵AD=2，
∴AC=AD+DC=2+4=6，
∴EF=FC=AC+AF=6+4=10，
∵EG⊥AC，
∴FG=5，AG=1，
由勾股定理得EG2=EF2−FG2=AE2−AG2，
∴102−52=AE2−12，
解得AE=2 19，
故答案为2 19．
过E点作EF//AB，交CA的延长线于点F，过E点作EG⊥AC，垂足为G，由等边三角形ABC可证明△AFC也是等边三角形，通过证明△EAF≌△EDCKE求解AC的长，即可求得等边三角形EFC的边长，由等边三角形的性质可得AG的长，利用勾股定理可求解AE．
本题主要考查等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，通过画辅助线作等边△EFC是解题的关键．
16.【答案】解：(1)原式=3(x−y)(a−b)；
(2)原式=−m(m2−6m+9)
=−m(m−3)2．
【解析】【分析】
本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键．
(1)找出公因式，利用提公因式法分解；
(2)先提公因式，再套用完全平方公式．
17.【答案】解：解不等式3(x+2)≥2x+5，得：x≥−1，
解不等式2x−1+3x2<1，得：x<3，
则不等式组的解集为−1≤x<3，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18.【答案】3，0 5，−3 1，−1 0，2
【解析】解：(1)如图1，△A1B1C1为所求作的三角形；
根据图可知，A1(3,0)，B1(5,−3)，C1(1,−1)．
故答案为：3，0；5，−3；1，−1；
(2)如图2，△A2B2C2为所求作的三角形；
(3)连接BB2、CC2，则BB2、CC2的交点即为对称中心，如图3，
∵B(−5,3)，B2(5,1)，
∴对称中心的坐标为(−5+52,3+12)，
即对称中心的坐标为(0,2)．
故答案为：(0,2)．
(1)根据中心对称的性质作出点A、B、C的对应点A1，B1，C1，然后顺次连接即可；
(2)根据平移特点先作出点A1，B1，C1平移后的对应点A2，B2，C2，然后顺次连接即可；
(3)连接两组对称点的交点即为对称中心，然后根据中点坐标公式求出此点的坐标即可．
此题考查中心对称图形的画法，平移图形的画法，中心对称的性质及平移的性质，对称中心的确定方法，正确掌握中心对称的性质及平移的性质是解题的关键．
19.【答案】(1)证明：连接CD，如图所示：
∵DG是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD平分∠BAC，
∴DE=DF，∠BED=∠DCF=90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
BD=CDDE=DF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴BE=CF；
(2)解：由(1)得：BE=CF，
设BE=CF=x，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
AD=ADDE=DF，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，
∴AE=AF，
∵AB=15，AC=9，
∴15−x=9+x，
解得：x=3，
∴BE=3．
【解析】(1)连接CD，根据垂直平分线性质可得BD=CD，可证Rt△BDE≌Rt△CDF，即可得出BE=CF；
(2)设BE=CF=x，证明Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，则AE=AF，得15−x=9+x，解得x=3即可．
本题考查了直角三角形全等的判定与性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识；熟练掌握线段垂直平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键．
20.【答案】解：(1)设每个A产品的售价为x元，每个B产品的售价为y元，
根据题意得：10x+15y=240030x+20y=5200，
解得：x=120y=80．
答：每个A产品的售价为120元，每个B产品的售价为80元；
(2)设“五一”后网店再次购进m个A产品，则购进(600−m)个B产品，
根据题意得：600−m≤2m80m+50(600−m)≤37800，
解得：200≤m≤260．
设“五一”后网店再购进的这两款产品全部售出后获得的总利润为w元，则w=[120×(1−10%)−80]m+(80−50)(600−m)，
即w=−2m+18000，
∵−2<0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=200时，w取得最大值，最大值=−2×200+18000=17600．
答：A产品购进200个时该网店当月销售利润最大，最大利润为17600元．
【解析】(1)设每个A产品的售价为x元，每个B产品的售价为y元，根据“10个A产品和15个B产品的售价为2400元；30个A产品和20个B产品的售价为5200元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设“五一”后网店再次购进m个A产品，则购进(600−m)个B产品，根据“购进B产品的数量不超过A产品数量的2倍，且购进总价不超过37800元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，设“五一”后网店再购进的这两款产品全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润=每个的销售利润×销售数量(购进数量)，可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
21.【答案】(k+1−k)(k+1+k) 2k+1 (k+1−k+1)(k+1+k−1) 4k C 2701 2703
【解析】解：(1)(k+1)2−k2=(k+1−k)(k+1+k)=2k+1，所以，除1外，所有的奇数都是智慧数．
故答案为：(k+1−k)(k+1+k)，2k+1；
(2)又因为(k+1)2−(k−1)2=(k+1−k+1)(k+1+k−1)=4k，所以，除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数．
还剩什么数没搞清楚呢？还剩被4除余2的数．小亮认为，如果4k+2是智慧数，那么必有两个正整数m和n，使得4k+2=m2−n2，即2(2k+1)=(m+n)(m−n)①
因为m+n和m−n这两个数的奇偶性相同，所以①式中等号右边要么是4的倍数，要么是奇数，而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数，可见等式左、右两边不相等，所以4k+2不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数．
得出结论：由此，可得结论，把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数．
故答案为：(k+1−k+1)(k+1+k−1)，4k；
(3)∵2014÷4=503……2，
2018÷4=504……2，
2020÷4=505，
2022÷4=505……2，
∴是智慧数的是C．
故答案为：C；
(4)把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数，
又∵(2024−1)÷3=674……1，
∴第2022个智慧数在1+674+1=676(组)，并且是第1个数，即675×4+1=2701．
故答案为：2701；
(5)观察可知，智慧数按从小到大顺序可按3个数分一组，从第2组开始每组的第一个数都是4的倍数，
∴第n组的第一个数为4n(n≥2，且n为正整数)．
∵2025÷3=675，
∴第2025个智慧数是第675组中的第3个数，即为4×675+3=2703．
故答案为：2703．
(1)根据平方差公式即可求解；
(2)根据平方差公式即可求解；
(3)除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；
(4)综合(1)和(2)可得，除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；
(5)观察可知，智慧数按从小到大顺序可按3个数分一组，从第2组开始每组的第一个数都是4的倍数，则第n组的第一个数为4n(n≥2，且n为正整数)，用2025除以3可知2025是第675组的第3个数，用4乘以675，再加上3即可得出答案．
本题考查了同余问题，新定义“智慧数”以及平方差公式的运用，解题关键是根据题目条件挖掘素材，得到方法，本题属于基础题，难度不大，题中文字较多，很多学生不喜欢这样的文字题，解决该类型题时，只要仿照文中给定的办法即可得出结论．
22.【答案】等边 直角 150°
【解析】解：将△APC绕点A旋转到△APB′的位置，连接PP′，则△APP′是等边三角形，
∵PP′=PA=3，PB=4，PB′=PC=5，
∴P′P2+PB2=P′B2，
∴△BPP′为直角三角形，
∴∠APB的度数=90°+60°=150°，
故答案为：等边；直角；150°；
(2)如图1，把△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△BCP′，
则P′B=PB=4，P′C=PA=2，
∵旋转角是90°，
∴∠PBP′=90°，
∴△BPP′是等腰直角三角形，
∴PP′= 2PB=4 2，∠PP′B=45°，
∵∠APB=135°，
∴∠CP′B=∠APB=135°，
∴∠PP′C=135°−45°=90°，
在Rt△PP′C中，由勾股定理得，PC= P′P2+P′C2= 32+4=6；
(3)将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，
∴△ABP′≌△CBP，
∴∠PBP′=90°，BP′=BP=1，AP′=CP= 11，
在Rt△PBP′中，BP=BP′=1，
∴∠BPP′=45°，根据勾股定理得，PP′= 2BP= 2，
∵AP=3，
∴AP2+PP′2=9+2=11，
∵AP′2=( 11)2=11，
∴AP2+PP′2=AP′2，
∴△APP′是直角三角形，且∠APP′=90°，
∴∠APB=∠APP′−∠BPP′=90°−45°=45°．
(1)将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，则△BPE为等边三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度数；
(2)把△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△BCP′，根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状可得P′B=PB，P′C=PA，然后求出△BPP′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出PP′，∠PP′B=45°，再求出∠PP′C=90°，然后利用勾股定理列式计算即可得解；
(3)将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，由旋转的性质可得∠PBP′=90°，BP′=BP=1，AP′=CP= 11，由等腰直角三角形的性质可得∠BPP′=45°，PP′= 2BP= 2，由勾股定理的逆定理可求∠APP′=90°，即可求解；
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是解本题的关键．
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