江西省抚州市第一中学2022-2023学年八年级下学期期中考试数学试卷（含解析）

这是一份江西省抚州市第一中学2022-2023学年八年级下学期期中考试数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）推进生态文明建设，实行垃圾分类和资源化利用是每个公民义不容辞的责任．下列四幅图是垃圾分类标志图案，则四幅图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．x（a﹣b）＝ax﹣bxB．8a2b＝2a⋅4ab
C．ax+bx+c＝x（a+b）+cD．y2﹣1＝（y+1）（y﹣1）
3．（3分）不等式组的解集是x＞4，那么m的取值范围是（ ）
A．m≤4B．m≥4C．m＜4D．m＝4
4．（3分）在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（ ）
A．三边垂直平分线的交点
B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三条高所在直线的交点
5．（3分）多项式x2﹣4x+m因式分解的结果为（x+3）（x+n），则m+n的值是（ ）
A．21B．﹣28C．1D．2
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将等边△OAB绕点A旋转180°，得到△O1AB1，再将△O1AB1绕点O1旋转180°，得到△O1A1B2，再将△O1A1B2绕点A1旋转180°，得到△O2A1B3，…，按此规律进行下去，若点B（2，0），则点B6的坐标为（ ）
A．（6，6）B．（6，8）C．（8，6）D．（8，8）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）已知a﹣b＝3，ab＝2，则a2b﹣ab2的值为 ．
8．（3分）若9b2﹣a2＝（3b+a）（ ），则括号内应填的代数式是 ．
9．（3分）将点P（﹣3，2）先向右平移3个单位，再向下平移4个单位，得到的点P′的坐标为 ．
10．（3分）如果关于x的不等式组无解，那么m的取值范围是 ．
11．（3分）五一到来之际，某百货商场将进行促销活动，某种商品进价1000元，出售时标价为1500元，若本次打折销售要保证利润不低于20%，则最多可打 折．
12．（3分）已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为长方形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为 ．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）因式分解：
（1）2m2﹣4mn．
（2）x2（x﹣y）+（y﹣x）．
14．（6分）解不等式组并把解集在数轴上表示出来．
15．（6分）如图，△ABC中，∠B＝15°，∠ACB＝30°，AB＝4cm，点C是线段AD的中点，把△ABC按逆时针方向旋转一定角度后恰好与△ADE重合．
（1）旋转中心是点 ，旋转的度数是 ．
（2）求AE的长．
16．（6分）如图，请用无刻度的直尺按下列要求画图（保留画图痕迹）
（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC，M，N分别是边AB，AC上的点，且BM＝CN，请画出∠BAC的角平分线.
（2）如图②，△ABC和△ACD均为等边三角形，点E是AB的中点，请画出线段BC的垂直平分线．
17．（6分）观察下列算式，完成问题：
算式①：42﹣22＝12＝4×3，
算式②：62﹣42＝20＝4×5，
算式③：82﹣62＝28＝4×7，
算式④：102﹣82＝36＝4×9，
（1）按照以上四个算式的规律，请写出算式⑤： ．
（2）上述算式用文字表示为：“任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍”．若设两个连续偶数分别记为2k和2k+2（k为整数），请证明上述命题成立．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）如图，平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣5，3），C（﹣2，2）．
（1）平移△ABC到△A1B1C1，其中点A的对应点A1的坐标为（3，3），请在图中画出△A1B1C1；
（2）以点O为旋转中心，将△A1B1C1按顺时针方向旋转180°得△A2B2C2，请在图中画出△A2B2C2；
（3）△A2B2C2与△ABC关于某点成中心对称，请直接写出该点的坐标为 ．
19．（8分）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝3x与直线l2：y＝kx+b交于点A（a，3），点B（2，4）在直线l2上．
（1）求a的值；
（2）求直线l2的解析式；
（3）直接写出关于x的不等式3x＜kx+b的解集．
20．（8分）如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若BD＝CD，BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）请猜想AB+AC与AE之间的数量关系，并给予证明．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）北京2022年冬奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到大家的喜爱，某超市计划从批发店购进冰墩墩、雪容融吉祥物造型的钥匙扣挂件．若购进10个冰墩墩、25个雪容融造型的钥匙扣挂件费用为400元．若购进20个冰墩墩，30个雪容融造型的钥匙扣挂件费用为600元．
（1）冰墩墩、雪容融两种钥匙扣挂件的每个进价分别是多少元？
（2）冰墩墩、雪容融两种钥匙扣挂件的每个售价分别为25元和18元，该超市计划购进这两种钥匙扣挂件的总费用不低于2100元且不超过2200元．若购进这两种钥匙扣挂件共200个且全部售出，则冰墩墩钥匙扣挂件为多少个时，超市所获得总利润最大？最大利润为多少元？
22．（9分）方法探究：
已知二次多项式x2﹣4x﹣21，我们把x＝﹣3代入多项式，发现x2﹣4x﹣21＝0，由此可以推断多项式中有因式（x+3）．设另一个因式为（x+k），多项式可以表示成x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x+k），则有x2﹣4x﹣21＝x2+（k+3）x+3k，因为对应项的系数是对应相等的，即k+3＝﹣4，解得k＝﹣7，因此多项式分解因式得：x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x﹣7）．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”．
问题解决：
（1）对于二次多项式x2﹣4，我们把x＝ 代入该式，会发现x2﹣4＝0成立；
（2）对于三次多项式x3﹣x2﹣3x+3，我们把x＝1代入多项式，发现x3﹣x2﹣3x+3＝0，由此可以推断多项式中有因式（x﹣1），设另一个因式为（x2+ax+b），多项式可以表示成x3﹣x2﹣3x+3＝（x﹣1）（x2+ax+b），试求出题目中a，b的值；
（3）对于多项式x3+4x2﹣3x﹣18，用“试根法”分解因式．
六、（本大题共1小题，共12分）
23．（12分）【问题呈现】
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是斜边AB上的一点，连接CD，试说明AD、BD、CD之间的数量关系，并说明理由．
【解决策略】
小敏同学思考后是这样做的：如图1将△CAD绕点C逆时针旋转90°，得到△CBE，连接DE，经过推理使问题得到解决．
请回答：
（1）△DBE的形状是 ，△DCE的形状是 ．
（2）写出AD、BD、CD之间的数量关系，并说明理由．
【方法感悟】
若条件中出现等线段共端点，可以考虑旋转某个三角形，把分散的条件或结论集中到一个三角形中．
（3）如图2，在四边形ABCD中，∠BCD＝45°，∠ADB＝90°，AD＝BD，若CB＝2，CD＝4，求AC的长．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）推进生态文明建设，实行垃圾分类和资源化利用是每个公民义不容辞的责任．下列四幅图是垃圾分类标志图案，则四幅图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意；
故选：A．
2．（3分）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．x（a﹣b）＝ax﹣bxB．8a2b＝2a⋅4ab
C．ax+bx+c＝x（a+b）+cD．y2﹣1＝（y+1）（y﹣1）
【解答】解：A、是整式的乘法运算，故本选项不符合题意；
B、是整式的乘法运算，故本选项不符合题意；
C、不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项符合题意；
故选：D．
3．（3分）不等式组的解集是x＞4，那么m的取值范围是（ ）
A．m≤4B．m≥4C．m＜4D．m＝4
【解答】解：，
解不等式①得：x＞4，
∵不等式组的解集是x＞4，
∴m≤4，
故选：A．
4．（3分）在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（ ）
A．三边垂直平分线的交点
B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三条高所在直线的交点
【解答】解：根据题意得：当木凳所在位置到A、B、C三个顶点的距离相等时，游戏公平，
∵线段垂直平分线上的到线段两端的距离相等，
∴凳子应放的最适当的位置是在△ABC的三边垂直平分线的交点．
故选：A．
5．（3分）多项式x2﹣4x+m因式分解的结果为（x+3）（x+n），则m+n的值是（ ）
A．21B．﹣28C．1D．2
【解答】解：由x2﹣4x+m因式分解为（x+3）（x+n），得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），
∴x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n，
∴﹣4＝n+3，m＝3n，
解得n＝﹣7，m＝﹣21，
∴m+n＝﹣21﹣7＝﹣28．
故选：B．
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将等边△OAB绕点A旋转180°，得到△O1AB1，再将△O1AB1绕点O1旋转180°，得到△O1A1B2，再将△O1A1B2绕点A1旋转180°，得到△O2A1B3，…，按此规律进行下去，若点B（2，0），则点B6的坐标为（ ）
A．（6，6）B．（6，8）C．（8，6）D．（8，8）
【解答】解：由△ABO是等边三角形，B（2，0）知，
A（1，），
∵等边△OAB绕点A旋转180°，得到△O1AB1，
∴点B1与B关于点A对称，点O1与O关于点A对称，
∴B1（0，2），O1（2，2），
同理B2（4，2），B3（2，4），B4（6，4），B5（4，6），B6（8，6），
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）已知a﹣b＝3，ab＝2，则a2b﹣ab2的值为 6 ．
【解答】解：∵a﹣b＝3，ab＝2，
∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝2×3＝6．
故答案为：6．
8．（3分）若9b2﹣a2＝（3b+a）（ ），则括号内应填的代数式是 3b﹣a ．
【解答】解：9b2﹣a2＝（3b+a）（3b﹣a），
故答案为：3b﹣a．
9．（3分）将点P（﹣3，2）先向右平移3个单位，再向下平移4个单位，得到的点P′的坐标为 （0，﹣2） ．
【解答】解：点P（﹣3，2）先向右平移5个单位，再向下平移4个单位后得到点P′，
则点P′的坐标为（﹣3+3，2﹣4），
即（0，﹣2），
故答案为：（0，﹣2）．
10．（3分）如果关于x的不等式组无解，那么m的取值范围是 m≤1 ．
【解答】解：∵x的不等式组无解，
∴m+1≤3﹣m，
解得：m≤1，
故答案为：m≤1．
11．（3分）五一到来之际，某百货商场将进行促销活动，某种商品进价1000元，出售时标价为1500元，若本次打折销售要保证利润不低于20%，则最多可打 八 折．
【解答】解：设该商品打x折销售，
依题意得：1500×﹣1000≥1000×20%，
解得：x≥8，
∴该商品最多可打八折．
故答案为：八．
12．（3分）已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为长方形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为 （2，4）或（3，4）或（8，4） ．
【解答】解：显然PO≠PD，不考虑；
当OD＝PD（P在右边）时，根据题意画出图形，如图所示：
过P作PQ⊥x轴交x轴于Q，在直角三角形DPQ中，PQ＝4，PD＝OD＝OA＝5，
根据勾股定理得：DQ＝3，故OQ＝OD+DQ＝5+3＝8，则P1（8，4）；
当PD＝OD（P在左边）时，根据题意画出图形，如图所示：
过P作PQ⊥x轴交x轴于Q，在直角三角形DPQ中，PQ＝4，PD＝OD＝5，
根据勾股定理得：QD＝3，故OQ＝OD﹣QD＝5﹣3＝2，则P2（2，4）；
当PO＝OD时，根据题意画出图形，如图所示：
过P作PQ⊥x轴交x轴于Q，在直角三角形OPQ中，OP＝OD＝5，PQ＝4，
根据勾股定理得：OQ＝3，则P3（3，4），
综上，满足题意的P坐标为（2，4）或（3，4）或（8，4）．
故答案为：（2，4）或（3，4）或（8，4）．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）因式分解：
（1）2m2﹣4mn．
（2）x2（x﹣y）+（y﹣x）．
【解答】解：（1）2m2﹣4mn＝2m（m﹣2n）；
（2）x2（x﹣y）+（y﹣x）
＝（x﹣y）（x2﹣1）
＝（x﹣y）（x+1）（x﹣1）．
14．（6分）解不等式组并把解集在数轴上表示出来．
【解答】解：，
解不等式①得：x＞﹣；
解不等式②得x≤6；
所以，不等式组的解集是﹣＜x≤6，
将解集表示在数轴上：
15．（6分）如图，△ABC中，∠B＝15°，∠ACB＝30°，AB＝4cm，点C是线段AD的中点，把△ABC按逆时针方向旋转一定角度后恰好与△ADE重合．
（1）旋转中心是点 A ，旋转的度数是 135° ．
（2）求AE的长．
【解答】解：（1）旋转中心是点A，旋转角∠BAC＝180°﹣∠B﹣ACB＝135°，
故答案为：A，135°；
（2由点C是线段AD的中点，
得AE＝AC＝＝＝＝2．
16．（6分）如图，请用无刻度的直尺按下列要求画图（保留画图痕迹）
（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC，M，N分别是边AB，AC上的点，且BM＝CN，请画出∠BAC的角平分线.
（2）如图②，△ABC和△ACD均为等边三角形，点E是AB的中点，请画出线段BC的垂直平分线．
【解答】解：（1）如图①，∠BAC的角平分线；
（2）如图②，线段BC的垂直平分线．
17．（6分）观察下列算式，完成问题：
算式①：42﹣22＝12＝4×3，
算式②：62﹣42＝20＝4×5，
算式③：82﹣62＝28＝4×7，
算式④：102﹣82＝36＝4×9，
（1）按照以上四个算式的规律，请写出算式⑤： 122﹣102＝44＝4×11 ．
（2）上述算式用文字表示为：“任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍”．若设两个连续偶数分别记为2k和2k+2（k为整数），请证明上述命题成立．
【解答】解：（1）算式⑤：122﹣102＝44＝4×11，
故答案为：122﹣102＝44＝4×11；
（2）证明：
根据题意，可列：
（2k+2）2﹣（2k）2
＝4k2+8k+4﹣4k2
＝4（2k+1），
∵4（2k+1）是4的奇数倍，
∴任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）如图，平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣5，3），C（﹣2，2）．
（1）平移△ABC到△A1B1C1，其中点A的对应点A1的坐标为（3，3），请在图中画出△A1B1C1；
（2）以点O为旋转中心，将△A1B1C1按顺时针方向旋转180°得△A2B2C2，请在图中画出△A2B2C2；
（3）△A2B2C2与△ABC关于某点成中心对称，请直接写出该点的坐标为 （﹣3，1） ．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
（3）△A2B2C2与△ABC关于点（﹣3，1）成中心对称．
故答案为（﹣3，1）．
19．（8分）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝3x与直线l2：y＝kx+b交于点A（a，3），点B（2，4）在直线l2上．
（1）求a的值；
（2）求直线l2的解析式；
（3）直接写出关于x的不等式3x＜kx+b的解集．
【解答】解：（1）直线 l1：y＝3x 与直线 l2：y＝kx+b 交于点 A（a，3），所以3a＝3．
解得a＝1．
（2）由（1）得点 A（1，3），
直线 l2：y＝kx+b 过点 A（1，3），点 B （ 2，4 ），
所以，解得
所以直线 l2 的解析式为 y＝x+2，
（3）不等式3x＜kx+b的解集为x＜1．
20．（8分）如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若BD＝CD，BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）请猜想AB+AC与AE之间的数量关系，并给予证明．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
在Rt△DBE和Rt△DCF中，
，
∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC．
（2）解：AB+AC＝2AE，证明如下：
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，
∴AB+AC＝AB+AF+CF＝AB+AE+BE＝2AE．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）北京2022年冬奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到大家的喜爱，某超市计划从批发店购进冰墩墩、雪容融吉祥物造型的钥匙扣挂件．若购进10个冰墩墩、25个雪容融造型的钥匙扣挂件费用为400元．若购进20个冰墩墩，30个雪容融造型的钥匙扣挂件费用为600元．
（1）冰墩墩、雪容融两种钥匙扣挂件的每个进价分别是多少元？
（2）冰墩墩、雪容融两种钥匙扣挂件的每个售价分别为25元和18元，该超市计划购进这两种钥匙扣挂件的总费用不低于2100元且不超过2200元．若购进这两种钥匙扣挂件共200个且全部售出，则冰墩墩钥匙扣挂件为多少个时，超市所获得总利润最大？最大利润为多少元？
【解答】解：（1）设冰墩墩钥匙扣挂件每个的进价是x元，雪容融钥匙扣挂件每个的进价是y元，根据题意，得：
．
解得：．
答：冰墩墩钥匙扣挂件每个的进价是15元，雪容融钥匙扣挂件每个的进价是10元；
（2）设利润为w元，购进冰墩墩钥匙扣挂件为a个．
w＝（25﹣15）a+（18﹣10）（200﹣a）＝2a+1600．
∵该超市计划购进这两种钥匙扣挂件的总费用不低于2100元且不超过2200元，
∴2100≤15a+10（200﹣a）≤2200．
解得：20≤a≤40．
∵2＞0，
∴w随a的增大而增大．
∴a＝40时，w最大．最大值为：2×40+1600＝1680（元）．
答：购进冰墩墩钥匙扣挂件为40个时，超市所获得总利润最大，最大利润1680元．
22．（9分）方法探究：
已知二次多项式x2﹣4x﹣21，我们把x＝﹣3代入多项式，发现x2﹣4x﹣21＝0，由此可以推断多项式中有因式（x+3）．设另一个因式为（x+k），多项式可以表示成x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x+k），则有x2﹣4x﹣21＝x2+（k+3）x+3k，因为对应项的系数是对应相等的，即k+3＝﹣4，解得k＝﹣7，因此多项式分解因式得：x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x﹣7）．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”．
问题解决：
（1）对于二次多项式x2﹣4，我们把x＝ ±2 代入该式，会发现x2﹣4＝0成立；
（2）对于三次多项式x3﹣x2﹣3x+3，我们把x＝1代入多项式，发现x3﹣x2﹣3x+3＝0，由此可以推断多项式中有因式（x﹣1），设另一个因式为（x2+ax+b），多项式可以表示成x3﹣x2﹣3x+3＝（x﹣1）（x2+ax+b），试求出题目中a，b的值；
（3）对于多项式x3+4x2﹣3x﹣18，用“试根法”分解因式．
【解答】解：（1）当x＝±2时，x2﹣4＝0，
故答案为：±2；
（2）由题意可知x3﹣x2﹣3x+3＝（x﹣1）（x2+ax+b），
∴x3﹣x2﹣3x+3＝x3﹣（1﹣a）x2﹣（a﹣b）x﹣b，
∴1﹣a＝1，b＝﹣3，
∴a＝0，b＝﹣3；
（3）当x＝2时，x3+4x2﹣3x﹣18＝8+16﹣6﹣18＝0，
∴多项式有因式（x﹣2），
设另一个因式为（x2+ax+b），
∴x3+4x2﹣3x﹣18＝（x﹣2）（x2+ax+b），
∴x3+4x2﹣3x﹣18＝x3+（a﹣2）x2﹣（2a﹣b）x﹣2b，
∴a﹣2＝4，2b＝18，
∴a＝6，b＝9，
∴x3+4x2﹣3x﹣18＝（x﹣2）（x2+6x+9）＝（x﹣2）（x+3）2．
六、（本大题共1小题，共12分）
23．（12分）【问题呈现】
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是斜边AB上的一点，连接CD，试说明AD、BD、CD之间的数量关系，并说明理由．
【解决策略】
小敏同学思考后是这样做的：如图1将△CAD绕点C逆时针旋转90°，得到△CBE，连接DE，经过推理使问题得到解决．
请回答：
（1）△DBE的形状是 直角三角形 ，△DCE的形状是 等腰直角三角形 ．
（2）写出AD、BD、CD之间的数量关系，并说明理由．
【方法感悟】
若条件中出现等线段共端点，可以考虑旋转某个三角形，把分散的条件或结论集中到一个三角形中．
（3）如图2，在四边形ABCD中，∠BCD＝45°，∠ADB＝90°，AD＝BD，若CB＝2，CD＝4，求AC的长．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠ABC＝45°，
∵△CAD绕点C逆时针旋转90°，得到△CBE，
∴CD＝CE，∠DCE＝90°，∠CBE＝∠A＝45°，
∴△DCE是等腰直角三角形，
∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝45°+45°＝90°，
∴△DBE是直角三角形，
故答案为：直角三角形，等腰直角三角形；
（2）BD2+AD2＝2CD2．
理由：∵△CAD绕点C逆时针旋转90°，得到△CBE，
∴AD＝BE，
∵∠DBE＝90°，
∴BD2+BE2＝DE2，
∵∠DCE＝90°，
∴CD2+CE2＝2CD2＝DE2，
∴BD2+AD2＝2CD2．
（3）过点D作DE⊥DC，交CB的延长线于E，连接AE，如图2，
∵∠BCD＝45°，
∴△DCE是直角三角形，
由（2）可知△ADE≌△BDC，
∴∠AED＝∠BCD＝45°，AE＝BC，
∵∠DEC＝45°，
∴∠AEC＝∠AED+∠DEC＝90°，
∵DC＝4，BC＝2，
∴CE＝DC＝4，AE＝2，
∴AC＝6．