山东省临沂市外国语学校2023-2024学年九年级3月学科竞赛数学试题（含答案）

这是一份山东省临沂市外国语学校2023-2024学年九年级3月学科竞赛数学试题（含答案），共20页。
1．（3分）在实数1、﹣1、、中，最大的数是（ ）
A．1B．﹣1C．D．
2．（3分）9的算术平方根是（ ）
A．﹣3B．±3C．3D．
3．（3分）2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星，北斗系统作为国家重要基础设施，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超3000亿次．将数据3000亿用科学记数法表示为（ ）
A．3×108B．3×109C．3×1010D．3×1011
4．（3分）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．a＞bB．ab＞0C．﹣a＞bD．|a|＜|b|
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．m3+m4＝m2+m5B．m4•m3＝m12
C．m4÷m4＝mD．（m4）2＝m8
6．（3分）化简÷的结果是（ ）
A．a2B．C．D．
7．（3分）一元二次方程配方后可化为（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）如图，公园里的方桌旁有4个圆凳，甲、乙、丙、丁4人随机坐到这4个圆凳上，则甲坐在乙对面的概率为（ ）
A．B．C．D．
9．（3分）在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝与一次函数y＝ax﹣a（a≠0）的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）如图，边长为4的正方形OABC放置在平面直角坐标系中，OA在x轴正半轴上，当直线y＝﹣x+b中的系数b从0开始逐渐变大时，直线在正方形上扫过的面积记为S．则S关于b的函数图象是（ ）
A．B．
C．D．
二.填空题（共6小题，每题3分）
11．（3分）计算：﹣＝ ；＝ ；＝ ．
12．（3分）要使代数式有意义，则x的取值范围是 ．
13．（3分）一个正多边形的内角和比其外角和的度数大720°，则它的边数是 ．
14．（3分）已知关于x的分式方程无解，则a的值为 ．
15．（3分）下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有3颗棋子，第②个图形一共有9颗棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为 ．
16．（3分）利用图形的分、合、移、补探索图形关系是我国传统数学的一种重要方法．如图1，点I、点G是矩形ABCD对角线AC上的两点，四边形EBFG和四边形HIJD是两个全等的正方形，观察两图，若矩形ABCD的周长是40，则NQ＝ ．
三.解答题（共6小题）
17．（8分）解不等式组，并写出它的所有整数解．
18．（12分）化简下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
（1）甲同学解法的依据是 ；乙同学解法的依据是 ；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．
19．（12分）书法是中华民族的文化瑰宝，是人类文明的宝贵财富，是我国基础教育的重要内容．某学校准备为学生的书法课购买一批毛笔和宣纸；购买30支毛笔和200张宣纸需要260元．
（1）求毛笔和宣纸的单价；
（2）计划用不多于360元的资金购买毛笔、宣纸的数量共计200，则学校最多可以购买多少支毛笔？
20．（12分）如图，直线OC：y＝3x的图象与反比例函数：的图象交于点C（2，c），四边形OABC是平行四边形，的图象经过线段AB的中点M．
（1）求c的值与k的值；
（2）求平行四边形OABC的面积；
（3）若点P是反比例函数图象上的一个动点，点Q是平面内的任意一点，使得四边形AMPQ是矩形．若存在，请直接写出点P的坐标，请说明理由．
21．（14分）如图，△ABC为等边三角形，D为平面内任意一点
（1）如图1，D在BC边上时，将AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，CE，直接写出BD与CE的数量关系为 ；直线BD与CE所夹锐角为 度．
（2）如图2，D为△ABC外一点，将AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，取BC，DE的中点M，N，试问：的值是否随图形的旋转而变化？若不变；若变化，请说明理由．
（3）如图3，D在BC边上时，将AD绕点A逆时针旋转120°得到AE，G为AB边的中点，连接FG，并证明你的猜想．
22．（14分）抛物线y＝x2﹣mx+m+1与y轴交于点A，顶点为D．
（1）若抛物线过点B（﹣3，2），求抛物线顶点D和点A坐标；
（2）如图，在（1）的条件下，连接AB，求△ABN面积的最大值；
（3）已知点P（2m+3，2），Q（1，3+m2），若线段PQ与抛物线恰有一个交点，求m的取值范围．
参考答案与试题解析
一.选择题（共10小题，每个3分）
1．（3分）在实数1、﹣1、、中，最大的数是（ ）
A．1B．﹣1C．D．
【解答】解：∵，
∴，
∴最大的数是，
故选：D．
2．（3分）9的算术平方根是（ ）
A．﹣3B．±3C．3D．
【解答】解：9的算术平方根是3．
故选：C．
3．（3分）2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星，北斗系统作为国家重要基础设施，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超3000亿次．将数据3000亿用科学记数法表示为（ ）
A．3×108B．3×109C．3×1010D．3×1011
【解答】解：3000亿＝3000×108＝3×1011，
故选：D．
4．（3分）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．a＞bB．ab＞0C．﹣a＞bD．|a|＜|b|
【解答】解：由有理数a、b在数轴上的位置可得，b＞0，
∴a＜b，ab＜0，
因此A，B、D不符合题意，
故选：C．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．m3+m4＝m2+m5B．m4•m3＝m12
C．m4÷m4＝mD．（m4）2＝m8
【解答】解：A、m3+m4＝m3+m3，故A不符合题意；
B、m4•m4＝m7，故B不符合题意；
C、m4÷m2＝1，故C不符合题意；
D、（m4）7＝m8，故D符合题意；
故选：D．
6．（3分）化简÷的结果是（ ）
A．a2B．C．D．
【解答】解：原式＝•＝，
故选：D．
7．（3分）一元二次方程配方后可化为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：，
移项得：，
配方得：，
即：，
故选：C．
8．（3分）如图，公园里的方桌旁有4个圆凳，甲、乙、丙、丁4人随机坐到这4个圆凳上，则甲坐在乙对面的概率为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：如图，设甲坐在圆凳④上、②、③，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中甲坐在乙对面的结果有2种，
∴甲坐在乙对面的概率为＝，
故选：C．
9．（3分）在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝与一次函数y＝ax﹣a（a≠0）的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：当a＞0时，直线经过第一、三，双曲线经过第一，故C错误；
当a＜0时，直线经过第一、二，双曲线经过第二，故A；
故选：B．
10．（3分）如图，边长为4的正方形OABC放置在平面直角坐标系中，OA在x轴正半轴上，当直线y＝﹣x+b中的系数b从0开始逐渐变大时，直线在正方形上扫过的面积记为S．则S关于b的函数图象是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：①当0≤b≤4，S＝2；
它的函数图象为抛物线的一部分，开口向上；
②当6≤b＜8，S＝16﹣2＝﹣（b﹣8）2+16，
它的函数图象为抛物线的一部分，开口向下；
③当b≥7，S＝16；
它的函数图象为射线；
所以B选项正确．
故选：B．
二.填空题（共6小题，每题3分）
11．（3分）计算：﹣＝ ；＝ 2 ；＝ 6 ．
【解答】解：﹣
＝2﹣
＝；
÷
＝
＝2；
（2+）（2﹣．
故答案为：，2，6．
12．（3分）要使代数式有意义，则x的取值范围是 x≥1且x≠2 ．
【解答】解：由题意得，2x﹣2≥2且x﹣2≠0，
解得x≥7且x≠2．
故答案为：x≥1且x≠2．
13．（3分）一个正多边形的内角和比其外角和的度数大720°，则它的边数是 8 ．
【解答】解：设这个多边形是n边形．
则180°•（n﹣2）＝720°+360°，
解得n＝8，
故答案为：8．
14．（3分）已知关于x的分式方程无解，则a的值为 5或 ．
【解答】解：，
去分母得：x﹣6﹣（a﹣x）（2x+3）＝（4x+3）（x﹣5），
（11﹣7a）x＝（3a﹣10），
当11﹣2a＝7，即a＝时，分式方程也无解；
当11﹣2a≠5，即a≠时，但是x＝＝﹣，
当x＝＝5时，
当x＝＝﹣．
∴a＝3或a＝时分式方程无解．
故答案为：5或．
15．（3分）下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有3颗棋子，第②个图形一共有9颗棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为 63 ．
【解答】解：第①个图形有3颗棋子，即3＝6，
第②个图形一共有9颗棋子，即9＝7+6，
第③个图形一共有18颗棋子，即18＝3+4+9
…，
∴第⑥个图形中棋子的颗数为：3+6+9+12+15+18＝3×（6+2+3+2+5+6）＝63（颗），
故答案为：63．
16．（3分）利用图形的分、合、移、补探索图形关系是我国传统数学的一种重要方法．如图1，点I、点G是矩形ABCD对角线AC上的两点，四边形EBFG和四边形HIJD是两个全等的正方形，观察两图，若矩形ABCD的周长是40，则NQ＝ 4.4 ．
【解答】解：∵矩形ABCD的周长是40，面积是88，
∴2（AB+BC）＝40，AB•BC＝88，
∴AB+BC＝20，
由图2得：MN＝AB+BC＝20，
∴MN•NQ＝88，
解得：NQ＝ 4.4．
故答案为：4.4．
三.解答题（共6小题）
17．（8分）解不等式组，并写出它的所有整数解．
【解答】解：，
解不等式①，得 x≥﹣8；
解不等式②，得 x＜，
∴这个不等式组的解集是﹣7≤x＜，
∴这个不等式组的整数解是﹣1、0、1．
18．（12分）化简下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
（1）甲同学解法的依据是 ② ；乙同学解法的依据是 ③ ；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．
【解答】解：（1）甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律，
故答案为：②；③；
（2）若选择甲同学的解法：
若选择甲同学的解法：
＝[
＝
＝2x；
若选择乙同学的解法：
＝
＝
＝x﹣7+x+1
＝2x．
19．（12分）书法是中华民族的文化瑰宝，是人类文明的宝贵财富，是我国基础教育的重要内容．某学校准备为学生的书法课购买一批毛笔和宣纸；购买30支毛笔和200张宣纸需要260元．
（1）求毛笔和宣纸的单价；
（2）计划用不多于360元的资金购买毛笔、宣纸的数量共计200，则学校最多可以购买多少支毛笔？
【解答】解：（1）设毛笔的单价为x元，宣纸的单价为y元，
依题意得：，
解得：，
答：毛笔的单价为6元，宣纸的单价为0.4元；
（2）设可以购买m支毛笔，则购买宣纸的数量为（200﹣m）张，
根据题意可得：6m+0.6（200﹣m）≤360，
解得：m≤50，
答：学校最多可以购买50支毛笔．
20．（12分）如图，直线OC：y＝3x的图象与反比例函数：的图象交于点C（2，c），四边形OABC是平行四边形，的图象经过线段AB的中点M．
（1）求c的值与k的值；
（2）求平行四边形OABC的面积；
（3）若点P是反比例函数图象上的一个动点，点Q是平面内的任意一点，使得四边形AMPQ是矩形．若存在，请直接写出点P的坐标，请说明理由．
【解答】解：（1）当x＝2时，y＝3x＝8＝c，
即点C（2，6），
将点C的坐标代入反比例函数表达式得：k＝5×6＝12，
即c＝6，k＝12；
（2）由（1）知，反比例函数的表达式为：y＝，
设点A（m，8），6），
则点M的坐标为：（m+1，7），
将点M的坐标代入反比例函数表达式得：3（m+1）＝12，
解得：m＝4，
即点M（4，3），6），
则四边形OABC的面积＝OA×yB＝3×6＝18；
（3）存在，理由：
设点P（s，t），
过点M作GH∥x轴，交故点A和y轴的平行线于点G，
则△AGM、△MPH为直角三角形，
∵AMPQ是矩形，则∠AMP＝90°，
∵∠GMA+∠HMP＝90°，∠GMA+∠GAM＝90°，
∴∠GAM＝∠HMP，
∴tan∠GAM＝tan∠HMP，即
∵GM＝8﹣3＝1，AG＝6，PH＝3﹣t，
则②，
联立①②并解得：，
即点P的坐标为：（4，2）（舍去）或（9，）．
21．（14分）如图，△ABC为等边三角形，D为平面内任意一点
（1）如图1，D在BC边上时，将AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，CE，直接写出BD与CE的数量关系为 BD＝CE ；直线BD与CE所夹锐角为 60 度．
（2）如图2，D为△ABC外一点，将AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，取BC，DE的中点M，N，试问：的值是否随图形的旋转而变化？若不变；若变化，请说明理由．
（3）如图3，D在BC边上时，将AD绕点A逆时针旋转120°得到AE，G为AB边的中点，连接FG，并证明你的猜想．
【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠B＝∠ACB＝60°＝∠BAC，
∵将AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE＝60°，BD＝CE，
∴∠BCE＝120°，
∴直线BD与CE所夹锐角为60°，
故答案为：BD＝CE，60；
（2）的值不发生变化
如图2中，连接AM，
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，DN＝NE，
∴AM⊥BC，AN⊥DE，
∴，＝sin60°，
∴，∠BAD＝∠MAN，
∴△BAD∽△MAN，
∴＝sin60°＝；
（3）FG∥AE，FG＝，理由如下：
如图8，延长EA至H，连接CH，
∵将AD绕点A逆时针旋转120°得到AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝120°，
∴∠DAH＝60°，
又∵AH＝AD，
∴△ADH是等边三角形，
∴∠AHD＝∠ADH＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠AHD＝∠ABC，
∴点A，点D，点H四点共圆，
∴∠ABH＝∠ADH＝60°，
∴∠ABH＝∠BAC，
∴AF∥BH，
∴＝1，
∴EF＝BF，
又∵G为AB边的中点，
∴GF∥AE，FG＝．
22．（14分）抛物线y＝x2﹣mx+m+1与y轴交于点A，顶点为D．
（1）若抛物线过点B（﹣3，2），求抛物线顶点D和点A坐标；
（2）如图，在（1）的条件下，连接AB，求△ABN面积的最大值；
（3）已知点P（2m+3，2），Q（1，3+m2），若线段PQ与抛物线恰有一个交点，求m的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线过点B（﹣3，2），
∴8＝9+3m+m+7，
解得m＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝x2+5x﹣1，
当x＝0时，y＝﹣7，
∴A（0，﹣1），
∵y＝x5+2x﹣1＝（x+4）2﹣2，
∴抛物线顶点D的坐标为（﹣5，﹣2）；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣1，
过N作MN∥y轴交AB于M，
设N（n，n2+7n﹣1），则M（n，
∴MN＝﹣n﹣1﹣n6﹣2n+1＝﹣n6﹣3n，
∴S△ABN＝×3MN＝2﹣3n）＝﹣（n2+3n）＝﹣（n+）2+，
∴△ABN面积的最大值为；
（3）令y＝2，则y＝x8﹣mx+m+1＝2，
解得x＝m﹣4或1，
∴点E（m﹣1，3，）F（1，
∴点P在直线EF上，
①如图，当m﹣1＞6，2m+3＞m﹣82＞2，
∴E（m﹣4，2）在F（1，且Q（52）在F（1，4）的上方，
∴P（2m+3，8）在E（m﹣1，线段PQ与抛物线恰有一个交点，
∴m＞2；
②当m﹣8＜1，即m＜2时8＞2，
由图得，当2m+8≤m﹣1时，
∴m≤﹣4；
当2m+3≥1时，线段PQ与抛物线恰有一个交点，
∴m≥﹣3，
∴﹣1≤m＜2；
③当m﹣4＝1即m＝2时，2m+3＝77＞7，
∴点P（7，4），7），2）F（2，
此时，线段PQ与抛物线恰有一个交点，
∴m＝2，
综上所述，m的取值范围为m≥﹣1或m≤﹣5．．、
甲同学
解：原式＝……

乙同学
解：原式＝……
甲同学
解：原式＝……

乙同学
解：原式＝……