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内蒙古赤峰市2024届高三上学期开学考试理科数学试题
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这是一份内蒙古赤峰市2024届高三上学期开学考试理科数学试题，文件包含精品解析内蒙古赤峰市2024届高三上学期开学考试理科数学试题原卷版docx、精品解析内蒙古赤峰市2024届高三上学期开学考试理科数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则＝（ ）
A. B. C. D.
2. 复数z的虚部为1，且，则z＝（ ）
A. B. C. D.
3 若，则＝（ ）
A B. C. D.
4. 函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A B. C. D.
5. 已知抛物线C：的顶点为O，经过点，且F为抛物线C的焦点，若，则p＝（ ）
A. B. 1C. D. 2
6. 某公司统计了2023年1月至6月的月销售额（单位：万元），并与2022年比较，得到同比增长率数据，绘制了如图所示的统计图，则下列说法正确的是（ ）
注：同比增长率（今年月销售额去年同期月销售额）去年同期月销售额.
A. 2023年1月至6月的月销售额的极差为6
B. 2023年1月至6月的月销售额逐月递增
C. 2023年1月至6月的月销售额的中位数为9.5
D. 2022年5月的月销售额为8万元
7. 已知，且，函数在上单调，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 一个封闭的圆锥形容器内装水若干，如图①所示，锥体内的水面高度为，将锥顶倒置，如图②所示，水面高度为，已知该封闭的圆锥形容器的高为h，且，忽略容器的厚度，则（ ）
A. B. C. D.
9. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明代科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动，如图2，将筒车抽象为一个半径为10的圆O，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，以筒车的中心O为原点，线段OA，OB所在的直线分别为x，y轴建立如图所示的直角坐标系（A，B为圆O上的点），分别用，表示t秒后A，B两点的纵坐标，则的最大值为（ ）
A. 50B. 75C. D. 100
10. 已知函数的定义域为R，，，则下列说法不正确的是（ ）
A. B.
C. 是奇函数D. 是偶函数
11. 如图，在正方体中，，点、分别为、的中点，则四面体外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
12. 已知，分别为双曲线Ε：的左、右焦点，过原点O的直线l与E交于A，B两点（点A在第一象限），延长交E于点C，若，，则双曲线E的离心率为（ ）
A. B. 2C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13. 已知向量，，若，则______.
14. 若x，y满足约束条件，则的最小值为______.
15. 位于数轴上的粒子A每次向左或向右移动一个单位长度，若前一次向左移动一个单位长度，则后一次向右移动一个单位长度的概率为，若前一次向右移动一个单位长度，则后一次向右移动一个单位长度的概率为，若粒子A第一次向右移动一个单位长度的概率为，则粒子A第二次向左移动的概率为______.
16. 在锐角中，角的对边分别为，若，，则a的取值范围是______.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 已知为正项等比数列，，记为数列的前项和，，.
（1）求的通项公式；
（2）求.
18. “摸奖游戏”是商场促销最为常见的形式之一，某摸奖游戏的规则如下：第一次在装有2个红球、2个白球的A袋中随机取出2个球，第二次在装有1个红球、1个白球、1个黑球的B袋中随机取出1个球，两次取球相互独立，两次取球合在一起称为一次摸奖，取出的3个球的颜色与获得的积分对应如下表.
（1）设一次摸奖中所获得的积分为X，求X的分布列和期望；
（2）记甲在这次游戏获得0积分为事件M，甲在B袋中摸到黑球为事件N，判断事件M，N是否相互独立，并说明理由.
19. 如图，在正四棱台中，.
（1）证明：；
（2）若正四棱台的高为3，过的平面α与平行，求平面α与平面夹角的余弦值.
20. 已知椭圆：右顶点为，点在圆：上运动，且的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）不经过点的直线与交于，两点，且直线和的斜率之积为1.求直线被圆截得的弦长.
21. 已知函数，，是的导函数.
（1）证明：存在唯一零点；
（2）若关于x的不等式有解，求a的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线与的直角坐标方程；
（2）已知直线l的极坐标方程为，直线l与曲线，分别交于A，B（异于点O）两点，若，求α.
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若对任意的，存在，使得，求的取值范围.
所取球的情况
球同色
三球均不同色
其他情况
所获得积分
100
60
0
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则＝（ ）
A. B. C. D.
2. 复数z的虚部为1，且，则z＝（ ）
A. B. C. D.
3 若，则＝（ ）
A B. C. D.
4. 函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A B. C. D.
5. 已知抛物线C：的顶点为O，经过点，且F为抛物线C的焦点，若，则p＝（ ）
A. B. 1C. D. 2
6. 某公司统计了2023年1月至6月的月销售额（单位：万元），并与2022年比较，得到同比增长率数据，绘制了如图所示的统计图，则下列说法正确的是（ ）
注：同比增长率（今年月销售额去年同期月销售额）去年同期月销售额.
A. 2023年1月至6月的月销售额的极差为6
B. 2023年1月至6月的月销售额逐月递增
C. 2023年1月至6月的月销售额的中位数为9.5
D. 2022年5月的月销售额为8万元
7. 已知，且，函数在上单调，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 一个封闭的圆锥形容器内装水若干，如图①所示，锥体内的水面高度为，将锥顶倒置，如图②所示，水面高度为，已知该封闭的圆锥形容器的高为h，且，忽略容器的厚度，则（ ）
A. B. C. D.
9. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明代科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动，如图2，将筒车抽象为一个半径为10的圆O，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，以筒车的中心O为原点，线段OA，OB所在的直线分别为x，y轴建立如图所示的直角坐标系（A，B为圆O上的点），分别用，表示t秒后A，B两点的纵坐标，则的最大值为（ ）
A. 50B. 75C. D. 100
10. 已知函数的定义域为R，，，则下列说法不正确的是（ ）
A. B.
C. 是奇函数D. 是偶函数
11. 如图，在正方体中，，点、分别为、的中点，则四面体外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
12. 已知，分别为双曲线Ε：的左、右焦点，过原点O的直线l与E交于A，B两点（点A在第一象限），延长交E于点C，若，，则双曲线E的离心率为（ ）
A. B. 2C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13. 已知向量，，若，则______.
14. 若x，y满足约束条件，则的最小值为______.
15. 位于数轴上的粒子A每次向左或向右移动一个单位长度，若前一次向左移动一个单位长度，则后一次向右移动一个单位长度的概率为，若前一次向右移动一个单位长度，则后一次向右移动一个单位长度的概率为，若粒子A第一次向右移动一个单位长度的概率为，则粒子A第二次向左移动的概率为______.
16. 在锐角中，角的对边分别为，若，，则a的取值范围是______.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 已知为正项等比数列，，记为数列的前项和，，.
（1）求的通项公式；
（2）求.
18. “摸奖游戏”是商场促销最为常见的形式之一，某摸奖游戏的规则如下：第一次在装有2个红球、2个白球的A袋中随机取出2个球，第二次在装有1个红球、1个白球、1个黑球的B袋中随机取出1个球，两次取球相互独立，两次取球合在一起称为一次摸奖，取出的3个球的颜色与获得的积分对应如下表.
（1）设一次摸奖中所获得的积分为X，求X的分布列和期望；
（2）记甲在这次游戏获得0积分为事件M，甲在B袋中摸到黑球为事件N，判断事件M，N是否相互独立，并说明理由.
19. 如图，在正四棱台中，.
（1）证明：；
（2）若正四棱台的高为3，过的平面α与平行，求平面α与平面夹角的余弦值.
20. 已知椭圆：右顶点为，点在圆：上运动，且的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）不经过点的直线与交于，两点，且直线和的斜率之积为1.求直线被圆截得的弦长.
21. 已知函数，，是的导函数.
（1）证明：存在唯一零点；
（2）若关于x的不等式有解，求a的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线与的直角坐标方程；
（2）已知直线l的极坐标方程为，直线l与曲线，分别交于A，B（异于点O）两点，若，求α.
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若对任意的，存在，使得，求的取值范围.
所取球的情况
球同色
三球均不同色
其他情况
所获得积分
100
60
0
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