2024年湘豫名校联考高考数学三模试卷（含解析）

这是一份2024年湘豫名校联考高考数学三模试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知等差数列{bn}的公差为d(d≠0)，且b2024=b20+b24，则b1d的值为( )
A. 1980B. 1981C. 1982D. 1983
2.已知椭圆E：x2+y2a2=1经过点(12, 3)，则E的长轴长为( )
A. 1B. 2C. 4D. 2 3
3.已知α，β是两个不同的平面，m，l是两条不同的直线，若m⊂α，α∩β=l，则“m/​/l”是“m//β”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.若a>1，则alg(lga)−(lga)lga的值是( )
A. 零B. 正数C. 负数D. 以上皆有可能
5.当0≤x0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且离心率为e= 5，过点F2的直线l与C的一条渐近线垂直相交于点D，则tan∠DF1F2=( )
A. 13B. 12C. 2D. 3
7.若偶函数f(x)=|cs(ωx+φ)|+|sin(ωx+φ)|(ω>0,|φ|0)交于A，B两点，点C是以AB为直径的圆与Γ的一个交点(不同于A，B)，点C在AB上的投影为点M，直线y=x+1为Γ的一条切线．
(1)证明：|CM|为定值；
(2)求△ACM与△BCM的内切圆半径之和的取值范围．
19.(本小题17分)
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n=n0(n0∈N*)时命题成立；
(2)(归纳递推)以“当n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n=k+1时命题也成立”．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法．
已知集合A为有理数集Q的一个子集，且满足以下条件：
①0∈A且12∈A；
②对任意的x∈Q，存在唯一的a∈A，满足{x}={a}，其中{y}=y−[y]，[y]表示不超过y的最大整数；
③若a∈A，nm∈A(m∈N*,n∈Z)，则am+nm∈A．
证明：
(1)14∈A；
(2)对任意的m∈N*，对每一个整数k(0≤k1，
令b=lga，则b=lga>lg1=0，
alg(lga)−(lga)lga=(10b)lgb−bb=10lgbb−bb=0．
故选：A．
根据已知条件，结合对数的运算性质，即可求解．
本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：sin2x+3cs2x+3csx=2sinxcsx+3×2cs2xcsx=2sinx+6csx=2 10sin(x+φ)(其中sinφ=3 1010，csφ= 1010)，
由条件知00,|φ|0，
解得b=4，
所以Γ的方程为y2=4x，
此时A(a,2 a)，B(a,−2 a)，
不妨设C(x0,y0)，
因为CA⋅CB=0，
即(x0−a)(x0−a)+(y0−2 a)(y0+2 a)=0，
因为点C在曲线y2=4x上，
所以y02=4x0，
解得x0=a−4，
则点C的横坐标为a−4，
所以|CM|=xM−xC=a−(a−4)=4，
故|CM|为定值，定值为4；
(2)不妨设△ACM，△BCM内切圆的半径分别为r1，r2，
此时r1=12(|AM|+|CM|−|AC|)，r2=12(|CM|+|BM|−|BC|)，
不妨设△ABC的内切圆半径为R，
此时R=12(|AC|+|BC|−|AB|)，
所以r1+r2=12(2|CM|+|AM|+|BM|−|AC|−|BC|)
=12(2|CM|+|AB|−2R−|AB|)=|CM|−R=4−R，
因为R= 2( a+ a(a−4)+ a− a(a−4)− 2a)= 2( 2a+4 a− 2a)
=4 2a 2a+4 a+ 2a=4 2 2+4 a+ 2，
易知函数y=R(a)在[4,+∞)上单调递增，
所以4 2−4≤R