2024年陕西省西安市鄠邑区高考数学三模试卷（理科）（含解析）

这是一份2024年陕西省西安市鄠邑区高考数学三模试卷（理科）（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若集合A={x| x≤2}，B={−3,−1,0,1,3}，则A∩B=( )
A. {0,1}B. {−1,0,1}C. {0,1,3}D. {−3,−1,0,1,3}
2.已知复数z=3+i，则z−iz−1的虚部为( )
A. −3B. −35C. 3D. 35
3.已知椭圆C：y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为 53，则( )
A. 3a=4bB. a=2bC. a=3bD. 2a=3b
4.若过点P(0,1)可作圆x2+y2−2x−4y+a=0的两条切线，则a的取值范围是( )
A. (3,+∞)B. (−1,3)C. (3,5)D. (5,+∞)
5.已知α和β是两个平面，a，b，c是三条不同的直线，且α∩β=a，b⊂α，c⊂β，则“b/​/c”是“a/​/b”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，a1+a4+a7=2，a2+a5+a8=4，则S9=( )
A. 12B. 14C. 16D. 18
7.已知φ>0，函数f(x)=sin(2x+φ)，∀x∈R，f(x)≤|f(4π3)|，则φ的最小值为( )
A. π6B. 5π6C. 4π3D. 11π3
8.在研究变量x与y之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据(x1,y1)，(x2,y2)，…，(x5,y5)，(6,28)，(0,28)，利用此样本数据求得的经验回归方程为y =107x+1667，现发现数据(6,28)和(0,28)误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为y =4x+m，且i=15yi=140，则m=( )
A. 8B. 12C. 16D. 20
9.已知函数f(x)=x2−3x,x∈[0,2],2f(x−2),x∈(2,+∞),则f(x)在点(5,f(5))处的切线方程为( )
A. 4x−y−28=0B. 4x+y−12=0C. x−4y−12=0D. x+4y−22=0
10.方程xy=2160的非负整数解的组数为( )
A. 40B. 28C. 22D. 12
11.如图，用相同的球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，且只有1个球；第2堆有2层4个球，其中第1层有1个球，第2层有3个球；…；第n堆有n层共Sn个球，第1层有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，….已知S20=1540，则n=120n2=( )
A. 2290B. 2540C. 2650D. 2870
12.已知定义在R上的函数f(x)满足f(2+x)−f(2−x)=4x.若f(2x−3)的图象关于点(2,1)对称，且f(0)=0，则f(1)+f(2)+…+f(50)=( )
A. 0B. 50C. 2509D. 2499
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量|a|=1，b=(1,1)，|a+b|=2，则a⋅b= ______．
14.若x，y满足约束条件x+2y−6≤0,x−y+3≥0,y−1≥0,则目标函数z=2x+y的最大值为______．
15.已知F1，F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F1的直线交双曲线的左支于A，B两点，∠BAF2=2π3，|AF2|：|BF2|=3：7，则双曲线的离心率为______．
16.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=5，AD=3，AA1=4，平面α/​/平面A1ABB1，则α截四面体ACD1B1所得截面面积的最大值为______．
三、解答题：本题共7小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,2tanA1+tan2A=asinBb．
(1)求A；
(2)若b+c= 3a,△ABC的面积为2 33，求△ABC的周长．
18.(本小题12分)
在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB/​/CD，AB⊥BC，DC=BC=2，AB=4．
(1)证明：BD⊥AP．
(2)若△PAD为等边三角形，求直线PC与平面PBD所成角的正弦值．
19.(本小题12分)
假设某同学每次投篮命中的概率均为12．
(1)若该同学投篮4次，求恰好投中2次的概率．
(2)该同学参加投篮训练，训练计划如下：先投n(n∈N+,n≤33)个球，若这n个球都投进，则训练结束，否则额外再投100−3n个.试问n为何值时，该同学投篮次数的期望值最大？
20.(本小题12分)
设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，已知点F到圆E：(x+3)2+y2=1上一点的距离的最大值为6．
(1)求抛物线C的方程．
(2)设O是坐标原点，点设抛物线P(2,4)，A，B是抛物线C上异于点P的两点，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点(异于点O)，且O是线段MN的中点，试判断直线AB是否经过定点.若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=ex−mx，g(x)=x−mlnx．
(1)是否存在实数m，使得f(x)和g(x)在(0,+∞)上的单调区间相同？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
(2)已知x1，x2是f(x)的零点，x2，x3是g(x)的零点．
(i)证明：m>e．
(ii)证明：122.(本小题5分)
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=1+tcsα,y=tsinα(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2+4ρcsθ+1=0．
(1)求直线l和曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l和曲线C恰有一个公共点，求tanα．
23.(本小题5分)
已知函数f(x)=|2x+a|+|x−2|．
(1)若a=2，求不等式f(x)≥12的解集；
(2)对于任意的x∈[−5,−2]，都有f(x)<2a，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：集合A={x| x≤2}，B={−3,−1,0,1,3}，
依题意得A={x| x≤2}=[0,4]，
则A∩B={0,1,3}．
故选：C．
利用交集定义、不等式性质直接求解．
本题考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：z−iz−1=32+i=3(2−i)22−i2=65−35i，其虚部为−35．
故选：B．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：由题可知ca= 53，∴a2−b2a2=59，
∴4a2=9b2，
∴2a=3b．
故选：D．
根据椭圆的几何性质，化归转化，即可求解．
本题考查椭圆的几何性质，属基础题．
4.【答案】C
【解析】解：圆x2+y2−2x−4y+a=0，即圆(x−1)2+(y−2)2=5−a，
则圆心为(1,2)，5−a>0，∴a<5.由于过点P(0,1)作出圆的两条切线，
则点P在圆外，∴2>5−a，∴a>3，∴3则a的取值范围是(3,5)．
故选：C．
圆外的点作圆的切线有两条，由此可列不等式．
本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：已知α∩β=a，b⊂α，c⊂β，当b/​/c时，∵b⊄β，∴b/​/β，
又α∩β=a，∴a/​/b．
当a/​/b时，若a与c相交，则b与c异面．
∴“b/​/c”是“a/​/b”的充分不必要条件．
故选：A．
由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系结合充分必要条件的判定得答案．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
6.【答案】B
【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，则a2+a5+a8a1+a4+a7=q(a1+a4+a7)a1+a4+a7=q=2，
则a3+a6+a9=2(a2+a5+a8)=8，
所以S9=a1+a4+a7+a2+a5+a8+a3+a6+a9=2+4+8=14．
故选：B．
根据已知条件，结合等比数列的性质，即可求解．
本题主要考查等比数列的前n项和，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：由题意可得f(4π3)为函数f(x)的最值，
则直线x=4π3是函数f(x)的一条对称轴，则8π3+φ=π2+kπ，
解得φ=−13π6+kπ，k∈Z，
因为φ>0，所以φ的最小值为−13π6+3π=5π6．
故选：B．
根据∀x∈R，f(x)≤|f(4π3)|可得x=4π3为对称轴，故有8π3+φ=π2+kπ，可以求出φ的值．
本题考查正弦函数的对称轴与最值，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：∵i=15yi=140，
∴y1+y2+y3+y4+y5+28+28=140+28+28=196，
∴y−=17×(y1+y2+y3+y4+y5+28+28)=28，
又∵(x−,y−)在经验回归方程y =107x+1667上，
∴28=107x−+1667，解得x−=3，
∴i=15xi=3×7−6−0=15，
∴x−′=i=15xi5=3，y−′=i=15yi5=1405=28，
又∵(x−′,y−′)在经验回归方程y =4x+m上，
∴28=4×3+m，
解得m=16．
故选：C．
由题意求出y−=28，根据点(x−,y−)在经验回归方程y =107x+1667上求出x−，进而求出x−′，再结合点(x−′,y−′)在经验回归方程y =4x+m上即可求出m的值．
本题主要考查了经验回归方程的性质，考查了平均数的计算，属于中档题．
9.【答案】B
【解析】解：由已知可得，当x∈(0,2]时，f(x)=x2−3x，则f′(x)=2x−3，
当x∈(4,6]时，x−4∈(0,2]，f(x)=2f(x−2)=4f(x−4)，则f′(x)=4f′(x−4)，
∴f(5)=4f(1)=−8，f′(5)=4f′(1)=−4．
则所求的切线方程为y−(−8)=−4(x−5)，
即4x+y−12=0．
故选：B．
由已知可得，当x∈(4,6]时，f(x)=2f(x−2)=4f(x−4)，则f′(x)=4f′(x−4)，由此求解f(5)与f′(5)的值，再由直线方程的点斜式得答案．
本题考查函数的性质及应用，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是中档题．
10.【答案】A
【解析】解：因为2160=24×33×5，
所以2160的因数有5×4×2=40个，
又xy=2160，
则x、y为2160的正约数，
故方程xy=2160的非负整数解的组数为40．
故选：A．
结合排列、组合及简单计数问题求解．
本题考查了排列、组合及简单计数问题，属中档题．
11.【答案】D
【解析】解：在第n(n≥2)堆中，从第2层起，第n层的球的个数比第n−1层的球的个数多n，
记第n层球的个数为an，则an−an−1=n(n≥2)，
即a1=1，a2−a1=2，a3−a2=3，…，an−an−1=n，
相加可得an=1+2+3+...+n=12n(n+1)，
在第n堆中，Sn=a1+a2+a3+⋯+an=12[(12+22+32+⋯+n2)+(1+2+3+⋯+n)]
=12[(12+22+32+⋯+n2)+12n(n+1)]，
当n=20时，S20=12(n=120n2+210)=1540，
解得n=120n2=2870．
故选：D．
记第n层球的个数为an，由累加求和可得an，再由数列的分组求和，结合等差数列的求和公式，计算可得所求和．
本题考查数列的运用，以及数列的分组求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
12.【答案】D
【解析】解：因为f(2x−3)的图象关于点(2,1)对称，
所以f(2x−3)+f(2(4−x)−3)=2，即f(2x−3)+f(5−2x)=2，
用x代替2x，得f(x−3)+f(5−x)=2，
即f(x−3)=−f(5−x)+2，
所以f(x)的图象关于点(1,1)对称．
所以f(1+x)+f(1−x)=2，
由f(2+x)−f(2−x)=4x，可得f(2+x)−2x=f(2−x)+2x，
即f(2+x)−2(2+x)=f(2−x)−2(2−x)．
令g(x)=f(x)−2x，则g(2+x)=g(2−x)，
则g(x)的图象关于直线x=2对称．
又因为g(1+x)+g(1−x)=f(1+x)−2(1+x)+f(1−x)−2(1−x)=f(1+x)+f(1−x)−4=2−4=−2，
则g(x)的图象关于点(1,−1)对称，
即g(1+x)+g(1−x)=−2，g(2+x)+g(−x)=−2，
又g(2+x)=g(2−x)，
所以g(2−x)+g(−x)=−2，
即g(2+x)+g(x)=−2，
g(4+x)+g(x+2)=−2，
所以g(x+4)=g(x)，
故g(x)是以4为周期的函数，
因为g(0)=f(0)−2×0=0，g(1)=−1，g(2)=−2−g(0)=−2，g(3)=g(1)=−1，
所以g(0)+g(1)+g(2)+g(3)=−4，即g(1)+g(2)+g(3)+g(4)=−4，
所以f(1)+f(2)+⋯+f(50)=g(1)+g(2)+⋯+g(50)+2(1+2+⋯+50)
=−4×12−1−2+2550=2499．
故选：D．
根据f(2x−3)的图象关于点(2,1)对称，判断f(x)的图象关于点(1,1)对称，由f(2+x)−f(2−x)=4x，得出g(x)的图象关于直线x=2对称，且g(x)的图象关于点(1,−1)对称，判断g(x)是周期函数，由此求解即可．
本题考查了抽象函数的应用问题，也考查了推理与运算能力，属于难题．
13.【答案】12
【解析】解：由题意，|b|= 2，
则|a+b|= (a+b)2
= a2+2a⋅b+b2
= 1+2a⋅b+2=2，
解得a⋅b=12．
故答案为：12．
由数量积的性质计算可得结论．
本题考查平面向量数量积的运算，属基础题．
14.【答案】9
【解析】解：由约束条件作出可行域如图，
由图可知，当l：z=2x+y过点(4,1)时，z取得最大值，且最大值为9．
故答案为：9．
由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
15.【答案】 435
【解析】解：根据题意可设|AF2|=3m，则|BF2|=7m，
由余弦定理可得cs∠BAF2=|AB|2+|AF2|2−|BF2|22|AB||AF2|=−12，
所以|AB|2+9m2−49m22|AB|×3m=−12，
化简整理可解得|AB|=5m，
又|AF2|+|F2B|−|AB|=4a，所以5m=4a，即m=4a5，
在△F1F2A中，|AF1|=2a5，|AF2|=12a5，|F1F2|=2c，
所以cs∠F1AF2=|AF1|2+|AF2|2−|F1F2|22|AF1||AF2|，解得c2a2=4325，
则所求双曲线的离心率为 435．
故答案为： 435．
根据双曲线的几何性质，余弦定理，即可求解．
本题考查双曲线的离心率的求解，余弦定理的应用，方程思想，化归转化思想，属中档题．
16.【答案】10
【解析】解：平面α截四面体ACD1B1的截面如图所示，
设B1TB1C1=λ，则TRTW=TMTU=VNVU=VSVW=λ，
所以四边形NSRM为平行四边形，
且MR//UW，MN//TV，
在矩形UVWT中，UV=4，VW=5，TM=5λ，MU=5(1−λ)，
TR=4λ，RW=4(1−λ)，
则S平行四边形NSRM=S平行四边形UVWT−2S△NVS−2S△SWR=20−20[λ2+(1−λ)2]，
∵0<λ<1，∴1−λ>0，
由基本不等式可得λ2+(1−λ)2≥[λ+(1−λ)]22=12，
∴20−20[λ2+(1−λ)2]≤20−20×12=10，
当且仅当λ=1−λ，即λ=12时，等号成立．
故答案为：10．
利用平行线法先找到截面，再用割补法求截面的面积．
本题考查立体几何中的截面问题，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由2tanA1+tan2A=2sinAcsAsin2A+cs2A=2sinAcsA，
又asinBb=sinAsinBsinB=sinA，
所以2sinAcsA=sinA，又A∈(0,π)，sinA≠0，
所以csA=12，则A=π3；
(2)因为△ABC的面积为2 33，
所以12bcsinA=2 33，解得bc=83，
由余弦定理可得a2=c2+b2−2bccsA=c2+b2−bc=(b+c)2−3bc，
因为b+c= 3a，所以a2=( 3a)2−8，
解得a=2，则b+c=2 3，
所以△ABC周长为2 3+2..
【解析】(1)由三角恒等变换及正弦定理，可求得csA=12，从而求得角A；
(2)由三角形面积求得bc，结合余弦定理，求得a+c，即可求得三角形周长．
本题考查三角恒等变换及正弦定理、余弦定理的应用，属中档题．
18.【答案】(1)证明：因为AB⊥BC，DC=BC=AB2=2，
所以BD=2 2，∠DBA=π4，
由余弦定理可得AD2=AB2+BD2−2AB⋅BDcs∠ABD，
即AD2=42+(2 2)2−2×4×2 2× 22，
即AD2=8，
解得AD=2 2，
所以AD2+BD2=AB2，
则AD⊥BD，
因为平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，且AD⊥BD，BD⊂平面ABCD，
所以BD⊥平面PAD，因为AP⊂平面PAD，
所以BD⊥AP．
(2)解：分别DA，DB的方向为x轴，y轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

则D(0,0,0)，B(0,2 2,0)，P( 2,0, 6)，C(− 2, 2,0)，
所以PC=(−2 2, 2,− 6)，DP=( 2,0, 6)，DB=(0,2 2,0)，
设平面PBD的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅DP=0,n⋅DB=0,即 2x+ 6z=0,2 2y=0,
令z=−1，得x= 3，则n=( 3,0,−1)，
设直线PC与平面PBD所成的角为θ，
则sinθ=|PC⋅n||PC||n|= 64×2= 68，
所以直线PC与平面PBD所成角的正弦值为 68．
【解析】(1)根据勾股定理证出AD⊥BD，再结合平面PAD⊥平面ABCD，得出BD⊥平面PAD，即可得证；
(2)建立空间直角坐标系，求出平面PBD的法向量，利用向量的夹角公式即可求解．
本题考查线面垂直的判定以及向量法的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)若该同学投篮4次，则恰好投中2次的概率P=C42×(12)2×(1−12)2=38．
(2)设该同学投篮的次数为X，则X的分布列为：
E(X)=n2n+(100−2n)×(1−12n)=3n−1002n−2n+100．
令f(n)=3n−1002n−2n+100(n∈N+)，
则f(n+1)−f(n)=3n−972n+1−2n+98−(3n−1002n−2n+100)=103−3n−2n+22n+1，
当n≤4时，f(n+1)>f(n)，
当n≥5时，f(n+1)所以f(1)f(6)>f(7)⋯，
故当n=5时，该同学投篮次数的期望值最大．
【解析】(1)由n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式求解即可；
(2)设该同学投篮的次数为X，可得X的分布列，从而可得X的数学期望，利用函数的单调性即可求解期望的最大值．
本题主要考查n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，离散型随机变量的期望，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)易知抛物线C的焦点F(p2,0)，
因为点F到圆E上一点的距离的最大值为p2+3+1=6，
解得p=4，
则抛物线C的方程为y2=8x；
(2)不妨设直线AB的方程为x=ty+m，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立x=ty+my2=8x，消去x并整理得y2−8ty−8m=0，
此时Δ=64t2+32m>0，
由韦达定理得y1+y2=8t，y1y2=−8m，
易知直线PA的方程为y−4=y1−4x1−2(x−2)，
令x=0，
解得yM=4x1−2y1x1−2，
同理得yN=4x2−2y2x2−2，
因为O是线段MN的中点，
所以4x1−2y1x1−2+4x2−2y2x2−2=0，
整理得8x1x2−8(x1+x2)−2(x1y2+x2y1)+4(y1+y2)=0，
即(y1y2)28−(y1+y2)2+2y1y2−14y1y2(y1+y2)+4(y1+y2)=0，
因为y1+y2=8t，y1y2=−8m，
所以m2−8t2−2m+2tm+4t=0，
整理得(m−2t)(m+4t−2)=0，
若m+4t−2=0，
此时直线AB经过点P，不符合题意；
若m−2t=0，
此时直线AB的方程为x=ty+2t，经过定点(0,−2)．
【解析】(1)由题意，根据题目所给信息列出等式求出p的值，进而可得抛物线的方程；
(2)设出直线AB的方程和A，B两点的坐标，将直线AB的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得到y1+y2=8t，y1y2=−8m，推出直线PA的方程，令x=0，求出点M的纵坐标，同理得点N的纵坐标，根据O是线段MN的中点，列出等式再进行求解即可．
本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
21.【答案】(1)解：函数f(x)=ex−mx，g(x)=x−mlnx，
则f′(x)=ex−m，g′(x)=1−mx=x−mx．
当m≤0时，f′(x)≥0，g′(x)≥0，
∴f(x)和g(x)都在(0,+∞)上单调递增，符合题意．
当m>0时，若f(x)和g(x)都在(0,+∞)上的单调区间相同，
则f(x)和g(x)有相同的极值点，
由f′(x)=0，可得x=lnm，由g′(x)=0，可得x=m，
∴lnm=m．
令h(m)=lnm−m，则h′(m)=1m−1=1−mm，
∴h(m)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
则h(m)≤h(1)=−1，∴lnm=m无解．
综上，存在m，使得f(x)和g(x)在(0,+∞)上的单调区间相同，
m的取值范围是(−∞,0]．
(2)证明：(i)由题意，f(x)有两个零点，f′(x)=ex−m．
若m≤0，则f′(x)≥0，∴f(x)在R上单调递增，不符合题意．
若m>0，当xlnm时，f′(x)>0，
所以f(x)在(−∞,lnm)上单调递减，在(lnm,+∞)上单调递增，
且当x→−∞时，f(x)→−∞，当x→+∞时，f(x)→+∞，
∴f(lnm)=m−mlnm<0，解得m>e，得证．
(ii)令f(x)=0，g(x)=0，得ex=mx，x=mlnx，
即exx=m>0，xlnx=m>0.令m(x)=exx(x>0)，n(x)=xlnx(x>1)，
则m′(x)=ex(x−1)x2，n′(x)=lnx−1(lnx)2．
当x∈(0,1)时，m′(x)<0，m(x)单调递减，
当x∈(1,+∞)时，m′(x)>0，m(x)单调递增．
当x∈(1,e)时，n′(x)<0，n(x)单调递减，
当x∈(e,+∞)时，n′(x)>0，n(x)单调递增．
在同一坐标平面内作出函数m(x)=exx(x>0)与函数n(x)=xlnx(x>1)的图象，
它们有公共点A(x2,y2)，如图，

故0由ex1x1=x2lnx2，得ex1x1=elnx2lnx2，即m(x1)=m(lnx2)，又0由ex2x2=x3lnx3，得ex2lnex2=x3lnx3，即m(ex2)=n(x3)，又ex2>e，∴x3=ex2．
由ex2x2=x2lnx2，得x22=ex2⋅lnx2=x3x1，即x1x3=x22，
故x1x2x3=x23∈(1,e3)．
【解析】(1)对f(x)，g(x)求导，再对m分类讨论，结合两函数有相同的单调区间，求解m的取值范围即可；
(2)(i)由f(x)有两个零点，利用导数可求出f(x)的最小值，由最小值小于0即可证明m>e；
(ii)由f(x)=0和g(x)=0可得exx=m>0，xlnx=m>0.令m(x)=exx(x>0)，n(x)=xlnx(x>1)，利用导数分别判断两函数的单调性，作出两函数图象，数形结合，转化求解即可得证．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查不等式的证明，考查数形结合思想与运算求解能力，属于难题．
22.【答案】解：(1)直线l的参数方程为x=1+tcsα,y=tsinα(t为参数)，消去参数t，
整理得：当α=π2时，直线的方程为x=1；
当α≠π2时，直线的方程为yx−1=tanα，即y=tanα(x−1)．
y=tanα(x−1)可得l的直角坐标方程为sinα⋅x−csα⋅y−sinα=0．
由x=ρcsθy=ρsinθ，可得C的直角坐标方程为x2+y2+4x+1=0，即(x+2)2+y2=3．
(2)由(1)可知，C是以(−2,0)为圆心， 3为半径的圆．
因为l和C恰有一个公共点，所以|−2sinα−sinα| sin2α+cs2α= 3，
解得tanα=± 22．
【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程和极坐标方程及直角坐标方程之间进行转换；
(2)利用点到直线的距离公式求出三角函数的正切值．
本题考查的知识点：参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
23.【答案】解：(1)已知函数f(x)=|2x+a|+|x−2|，
若a=2，则f(x)=|2x+2|+|x−2|，
当x≥2时，原不等式转化为3x≥12，解得x≥4，
当−1当x≤−1时，原不等式转化为−3x≥12，解得x≤−4，
综上，原不等式的解集为(−∞,−4]∪[4,+∞)；
(2)对于任意的x∈[−5,−2]，都有f(x)<2a，
因为x∈[−5,−2]，所以f(x)<2a等价于|2x+a|−x+2<2a，
即|2x+a|<2a+x−2，则2x+a>−2a−x+22x+a<2a+x−2，整理得a>−x+23a>x+2，
则a>173，故a的取值范围为(173,+∞)．
【解析】(1)由题意f(x)=|2x+2|+|x−2|，利用零点分段讨论法即可求解；
(2)由题意f(x)<2a等价于|2x+a|−x+2<2a，整理得a>−x+23a>x+2，即可求解．
本题考查了函数的恒成立问题，属于中档题．X
n
100−2n
P
12n
1−12n