2024年甘肃省庆阳市西峰区黄官寨实验学校中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年甘肃省庆阳市西峰区黄官寨实验学校中考数学一模试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.某种生物细胞的直径约为0.000506m，将0.000506用科学记数法表示为( )
A. 0.506×10−3B. 5.06×10−4C. 5.06×10−5D. 506×10−5
3.不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组可能是( )
A. x<−3x≤−1B. x<−3x≥−1C. x>−3x≤−1D. x>−3x≥−1
4.下列计算错误的是( )
A. 12÷ 3=2B. 8=2 2C. 2⋅ 3= 6D. 2+ 3= 5
5.点P(−2,1)关于x轴对称的点的坐标是( )
A. (−2,−1)B. ( 2，−1)C. ( 2，1)D. (1,−2)
6.如图，直线AB/​/CD，OG是∠EOB的平分线，∠EFD=70°，则∠BOG的度数是( )
A. 70°
B. 20°
C. 35°
D. 40°
7.已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3：4，则△ABC与△DEF的面积比为( )
A. 4：3B. 3：4C. 16：9D. 9：16
8.八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍。设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是( )
A. 10x−102x=20B. 102x−10x=20C. 10x−102x=13D. 102x−10x=13
9.已知x2+x−5=0，则式子(x−1)2−x(x−3)+(x+2)(x−2)的值为( )
A. 1B. 2C. 5D. 20
10.如图，梯形ABCD中，AB//DC，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F，且AE=EF=FB=5，DE=12，动点P从点C出发，沿C→B→A→D的方向以每秒1个单位长度的速度运动到点D停止，设运动时间为t秒，y=S△CDP，则y与t之间的函数图象大致是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.因式分解a3−2a2+a=______．
12.计算：(−6ab3)(−a2)= ______．
13.△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA= 32，csB=12，则∠C=______．
14.若−2xm−ny2与3x4y2m+n是同类项，则m−3n的立方根是______．
15.如图，一只蚂蚁沿着棱长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为______．
16.如图，在△ABC中，BC=6，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是优弧EF上的一点，且∠EPF=50°，则图中阴影部分的面积是______．
17.如图，将长16cm，宽8cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则EC的长是______cm．
18.如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．例如：称图中的数1，5，12，22…为五边形数，则第7个五边形数是______．
三、计算题：本大题共1小题，共4分。
19.解不等式组4x−3<5xx−42+x+26≤13
四、解答题：本题共8小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题4分)
计算：( 3−2)0+(13)−1+4cs30°−| 3− 27|．
21.(本小题5分)
先化简，再求值：a2−b2a2−ab÷(a+2ab+b2a)，其中a=−2，b=3．
22.(本小题7分)
如图，某校数学兴趣小组为测得大厦AB的高度，在大厦前的平地上选择一点C，测得大厦顶端A的仰角为30°，再向大厦方向前进80米，到达点D处(C、D、B三点在同一直线上)，又测得大厦顶端A的仰角为45°，请你计算该大厦的高度．(精确到0.1米，参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)
23.(本小题6分)
在一个不透明的布袋里装有4个标号为1、2、3、4的小球，它们的材质、形状、大小完全相同，小凯从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小敏从剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y，这样确定了点P的坐标(x,y)．
(1)请你运用画树状图或列表的方法，写出点P所有可能的坐标；
(2)求点P(x,y)在函数y=−x+5图象上的概率．
24.(本小题7分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1=ax+b(a,b为常数，且a≠0)与反比例函数y2=mx(m为常数，且m≠0)的图象交于点A(−2,1)、B(1,n)．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)连结OA、OB，求△AOB的面积；
(3)直接写出当y125.(本小题7分)
如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，∠ADE=∠CDF．
(1)求证：AE=CF；
(2)连结DB交EF于点O，延长OB至点G，使OG=OD，连结EG、FG，判断四边形DEGF是否是菱形，并说明理由．
26.(本小题9分)
如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．
(1)判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)求证：BC2=CD⋅2OE；
(3)若cs∠BAD=35，BE=6，求OE的长．
27.(本小题10分)
如图，抛物线y=−12x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A(−1,0)，C(0,2)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D.该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
2.【答案】B
【解析】解：0.000506=5.06×10−4．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
本题考查科学记数法的表示方法，掌握形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数是关键．
3.【答案】B
【解析】解：如右图所示，
x<−3或x≥−1．
故选：B．
根据数轴表示不等式组的解集．向左表示小于，向右表示大于．
本题考查了再数轴上表示不等式组的解集．注意空心表示不包括−3，实心表示包括−1．
4.【答案】D
【解析】解：(A) 12÷ 3= 12÷3= 4=2，故正确；
(B) 8= 2×4= 4× 2=2 2，故正确；
(C) 2× 3= 2×3= 6，故正确；
(D)由于 2与 3不是同类二次根式，故不能合并，故错误；
故答案选：(D)
利用根式运算的性质即可求出答案．
本题考查二次根式的混合运算，要注意是同类二次根式才能进行合并．
5.【答案】A
【解析】解：∵两点关于x轴对称，
∴所求点的横坐标为−2，纵坐标为−1，
即(−2,−1)，
故选：A．
让横坐标不变，纵坐标为原来点的纵坐标的相反数即可求得所求点的坐标．
考查两点关于x轴对称的知识；用到的知识点为：两点关于x轴对称，横坐标相等，纵坐标互为相反数．
6.【答案】C
【解析】解：∵AB/​/CD，
∴∠BOE=∠EFD=70°，
∵OG平分∠EOB，
∴∠BOG=12∠BOE=35°；
故选：C．
先由平行线的性质得出∠BOE=∠EFD=70°，再根据角平分线的定义求出∠BOG的度数即可．
本题考查的是平行线的性质、角平分线定义，用到的知识点为；两直线平行，同位角相等．
7.【答案】D
【解析】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为3：4，
∴△DEF与△ABC的面积比为32：42，即△ABC与△DEF的面积比为9：16．
故选：D．
已知相似三角形的相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可直接得出答案．
此题考查了相似三角形的性质，掌握“相似三角形的面积比等于相似比的平方”是解答本题的关键．
8.【答案】C
【解析】【分析】
根据“一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达”可以列出相应的方程，从而可以得到哪个选项是正确的．
【解答】解：20分钟=13小时
由题意可得，
10x−102x=13
故选C．
9.【答案】B
【解析】解：原式=(x2−2x+1)−(x2−3x)+(x2−4)
=x2−2x+1−x2+3x+x2−4
=x2+x−3，
∵x2+x−5=0，
∴x2+x=5，
则原式=5−3=2．
故选：B．
原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：在Rt△ADE中AD= AE2+DE2=13，在Rt△CFB中，BC= BF2+CF2=13
①点P在BC上运动：
过点P作PM⊥CD于点M，则PM=CPsin∠B=1213t，
此时y=12EF×PM=3013t，为一次函数；
②点P在DC上运动，y=12EF×DE=30；
③点P在AD上运动，过点P作PN⊥CD于点N，则PN=DPsin∠B=1213(AD+CD+BC−t)=12(31−t)13，
则y=12EF×PN=30(31−t)13=为一次函数．
综上可得选项A的图象符合．
故选A．
分三段考虑，①点P在BC上运动，②点P在BC上运动，③点P在AD上运动，分别求出y与t的函数表达式，继而可得出函数图象．
本题考查了动点问题的函数图象，解答本题的关键是分段讨论y与t的函数关系式，
11.【答案】a(a−1)2
【解析】解：原式=a(a2−2a+1)
=a(a−1)2．
故答案为：a(a−1)2．
原式提取a，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12.【答案】6a3b3
【解析】解：(−6ab3)(−a2)
=(−6)×(−1)⋅(a⋅a2)⋅b3
=6a3b3，
故答案为：6a3b3．
直接根据运算法则进行计算即可．
本题主要考查单项式乘单项式，掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键．
13.【答案】60°
【解析】解：∵△ABC中，∠A、∠B都是锐角sinA= 32，csB=12，
∴∠A=∠B=60°．
∴∠C=180°−∠A−∠B=180°−60°−60°=60°．
故答案为：60°．
先根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和定理求出∠C即可作出判断．
本题考查的是特殊角的三角函数值及三角形内角和定理，比较简单．
14.【答案】2
【解析】解：若−2xm−ny2与3x4y2m+n是同类项，
∴m−n=42m+n=2，
解方程得：m=2n=−2．
∴m−3n=2−3×(−2)=8．
8的立方根是2．
故答案为：2．
根据同类项的定义可以得到m，n的值，继而求出m−3n的立方根．
本题考查了同类项的概念以及立方根的求法，解体的关键是根据定义求出对应m、n的值．
15.【答案】2 103
【解析】解：将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时AB最短，
∵△BCM∽△ACN，
∴MBAN=MCNC，即42=MCNC=2，即MC=2NC，
∴CN=13MN=23，
在Rt△ACN中，根据勾股定理得：AC= AN2+CN2=2 103，
故答案为：2 103．
将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，此时AB最短，根据三角形MCB与三角形ACN相似，由相似得比例得到MC=2NC，求出CN的长，利用勾股定理求出AC的长即可．
此题考查了平面展开−最短路径问题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练求出CN的长是解本题的关键．
16.【答案】6−109π
【解析】解：连接AD，
∵BC是切线，点D是切点，
∴AD⊥BC，
∴∠EAF=2∠EPF=100°，
∴S扇形AEF=100π×22360=109π，
S△ABC=12AD⋅BC=12×2×6=6，
∴S阴影部分=S△ABC−S扇形AEF=6−109π.
故答案为：6−109π.
由于BC切⊙A于D，连接AD可知AD⊥BC，从而可求出△ABC的面积；根据圆周角定理，易求得∠EAF=2∠EPF=100°，圆的半径为2，可求出扇形AEF的面积；图中阴影部分的面积=△ABC的面积−扇形AEF的面积．
本题考查了扇形面积的计算，同时用到了圆周角定理和切线的概念及性质等知识，解决本题的关键是利用圆周角与圆心角的关系求出扇形的圆心角的度数，难度一般．
17.【答案】10
【解析】解：由折叠性质可知：DE=D′E，∠D=∠D′=90°，
设CE=x，则DE=D′E=(16−x)cm，
在Rt△CED′中，D′E2+CD′2=CE2，
∴(16−x)2+82=x2，
解得：x=10，
∴CE=10cm．
故答案为：10．
由折叠性质可知：DE=D′E，∠D=∠D′=90°，设CE=x，用含x的式子表示D′E，在Rt△CED′中，由勾股定理得出方程，即可求出CE．
本题考查勾股定理、折叠的性质等知识点．熟练掌握折叠的性质，由勾股定理求出CE的长是解题的关键．
18.【答案】70
【解析】解：∵第1个五边形数为1，
第2个五边形数为1+4=5，
第3个五边形数为1+4+7=12，
第4个五边形数为1+4+7+10=22，
∴第5个五边形数为1+4+7+10+13=35，
第6个五边形数为1+4+7+10+13+16=51，
第7个五边形数为1+4+7+10+13+16+19=70．
故答案为70．
观察图形得到第1个五边形数为1，第2个五边形数为1+4=5，第3个五边形数为1+4+7=12，第4个五边形数为1+4+7+10=22，即每个五边形数是从1开始，后面的数都比前面一个数大3的几个数的和，且数的个数等于序号数，则第7个五边形数为1+4+7+10+13+16+19．
本题考查了规律型：图形的变化类：通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
19.【答案】解：原不等式组整理为5x−4x>−33(x−4)+x+2≤2，
化简得x>−3x≤3，
∴不等式组的解集为：−3故答案为：−3【解析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分．
本题主要考查了一元一次不等式组，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
20.【答案】解：原式=1+3+4× 32−(3− 3)=1+3+2 3−3+ 3=1+3 3．
【解析】本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简、绝对值和特殊角的三角函数5个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
21.【答案】解：a2−b2a2−ab÷(a+2ab+b2a)
=(a+b)(a−b)a(a−b)÷(a2a+2ab+b2a)，
=(a+b)(a−b)a(a−b)÷a2+2ab+b2a，
=(a+b)(a−b)a(a−b)÷a2+2ab+b2a，
=(a+b)(a−b)a(a−b)×a(a+b)2，
=1a+b，
当a=−2，b=3时，
原式=1a+b，
=1−2+3，
=1．
【解析】本题考查了分式的化简求值，为了降低计算的难度，杜绝繁琐的计算，本题代数式结构简单，化简后的结果简单，计算简单，把考查重点放在化简的规则和方法上．这道求代数式值的题目，不应考虑把a、b的值直接代入，通常做法是先把代数式化简，然后再代入求值．分式的四则运算是整式四则运算的进一步发展，是有理式恒等变形的重要内容之一．在计算时，首先要弄清楚运算顺序，先去括号，再进行分式的乘除．
22.【答案】解：设AB=x，
在Rt△ACB和Rt△ADB中，
∵∠C=30°，∠ADB=45°，CD=80
∴DB=x，AC=2x，BC= (2x)2−x2= 3x，
∵CD=BC−BD=80，
3x−x=80，
∴x=40( 3+1)≈109.3米．
答：该大厦的高度是109.3米．
【解析】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．
先设AB=x；根据题意分析图形：本题涉及到两个直角三角形Rt△ACB和Rt△ADB，应利用其公共边BA构造等量关系，解三角形可求得DB、CB的数值，再根据CD=BC−BD=80，进而可求出答案．
23.【答案】解：列表得：
(1)点P所有可能的坐标有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)共12种；

(2)∵共有12种等可能的结果，其中在函数y=−x+5图象上的有4种，
即：(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)
∴点P(x,y)在函数y=−x+5图象上的概率为：P=412=13．
【解析】(1)首先根据题意画出表格，即可得到P的所以坐标；
(2)然后由表格求得所有等可能的结果与数字x、y满足y=−x+5的情况，再利用概率公式求解即可求得答案
此题考查的是用列表法或树状图法求概率与不等式的性质．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
24.【答案】解：(1)∵A(−2,1)，
∴将A坐标代入反比例函数解析式y2=mx中，得m=−2，
∴反比例函数解析式为y=−2x；
将B坐标代入y=−2x，得n=−2，
∴B坐标(1,−2)，
将A与B坐标代入一次函数解析式中，得−2a+b=1a+b=−2，
解得a=−1，b=−1，
∴一次函数解析式为y1=−x−1；
(2)设直线AB与y轴交于点C，
令x=0，得y=−1，
∴点C坐标(0,−1)，
∴S△AOB=S△AOC+S△COB=12×1×2+12×1×1=32；
(3)由图象可得，当y11．
【解析】(1)将A坐标代入反比例函数解析式中求出m的值，即可确定出反比例函数解析式；将B坐标代入反比例解析式中求出n的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式中求出a与b的值，即可确定出一次函数解析式；
(2)设直线AB与y轴交于点C，求得点C坐标，S△AOB=S△AOC+S△COB，计算即可；
(3)由图象直接可得自变量x的取值范围．
本题属于反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，三角形面积的求法，坐标与图形性质，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
25.【答案】(1)证明：在正方形ABCD中，AD=CD，∠A=∠C=90°，
在△ADE和△CDF中，
∠ADE=∠CDFAD=CD∠A=∠C=90°，
∴△ADE≌△CDF(ASA)，
∴AE=CF；
(2)四边形DEGF是菱形．
理由如下：在正方形ABCD中，AB=BC，
∵AE=CF，
∴AB−AE=BC−CF，
即BE=BF，
∵△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，
∴BD垂直平分EF，
又∵OG=OD，
∴四边形DEGF是菱形．
【解析】(1)根据正方形的性质可得AD=CD，∠A=∠C=90°，然后利用“角边角”证明△ADE和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=CF；
(2)求出BE=BF，再求出DE=DF，再根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线可得BD垂直平分EF，然后根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形证明．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，熟记各性质并确定出全等三角形是解题的关键．
26.【答案】(1)证明：连接OD，BD，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，
∴CE=DE=BE=12BC，
∴∠C=∠CDE，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∵∠ABC=90°，即∠C+∠A=90°，
∴∠ADO+∠CDE=90°，即∠ODE=90°，
∴DE⊥OD，又OD为圆的半径，
∴DE为⊙O的切线；
(2)证明：∵E是BC的中点，O点是AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴AC=2OE，
∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，
∴△ABC∽△BDC，
∴BCCD=ACBC，即BC2=AC⋅CD．
∴BC2=2CD⋅OE；
(3)解：∵cs∠BAD=35，
∴sin∠BAC=BCAC=45，
又∵BE=6，E是BC的中点，即BC=12，
∴AC=15．
又∵AC=2OE，
∴OE=12AC=152．
【解析】本题考查了切线的判定，垂径定理以及相似三角形的判定与性质等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可．
(1)连接OD，BD，由AB为圆O的直径，得到∠ADB为直角，可得出三角形BCD为直角三角形，E为斜边BC的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半，得到CE=DE，利用等边对等角得到一对角相等，再由OA=OD，利用等边对等角得到一对角相等，由直角三角形ABC中两锐角互余，利用等角的余角相等得到∠ADO与∠CDE互余，可得出∠ODE为直角，即DE垂直于半径OD，可得出DE为圆O的切线；
(2)证明OE是△ABC的中位线，则AC=2OE，然后证明△ABC∽△BDC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得；
(3)在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的长，根据三角形中位线定理OE的长即可求得．
27.【答案】解：(1)把A(−1,0)，C(0,2)代入y=−12x2+mx+n，
得−12−m+n=0n=2，解得m=32n=2，
∴抛物线解析式为y=−12x2+32x+2；
(2)存在．
抛物线的对称轴为直线x=−322×(−12)=32，
则D(32,0)，
∴CD= OD2+OC2= (32)2+22=52，
如图1，当CP=CD时，则P1(32,4)；
当DP=DC时，则P2(32,52)，P3(32,−52)，
综上所述，满足条件的P点坐标为(32,4)或(32,52)或(32,−52)；
(3)当y=0时，−12x2+32x+2=0，解得x1=−1，x2=4，
则B(4,0)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B(4,0)，C(0,2)代入得4k+b=0b=2，
解得k=−12b=2，
∴直线BC的解析式为y=−12x+2，
设E(x,−12x+2)(0≤x≤4)，则F(x,−12x2+32x+2)，
∴FE=−12x2+32x+2−(−12x+2)=−12x2+2x，
∵S△BCF=S△BEF+S△CEF=12⋅4⋅EF=2(−12x2+2x)=−x2+4x，
而S△BCD=12×2×(4−32)=52，
∴S四边形CDBF=S△BCF+S△BCD
=−x2+4x+52，
=−(x−2)2+132(0≤x≤4)，
当x=2时，S四边形CDBF有最大值，最大值为132，此时E点坐标为(2,1)．
【解析】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数的解析式；理解坐标与图形性质；灵活应用三角形的面积公式；学会运用分类讨论的思想解决数学问题．
(1)直接把A点和C点坐标代入y=−12x2+mx+n得m、n的方程组，然后解方程组求出m、n即可得到抛物线解析式；
(2)先利用抛物线对称轴方程求出抛物线的对称轴为直线x=−32，则D(32,0)，则利用勾股定理计算出CD=52，然后分类讨论：如图1，当CP=CD时，利用等腰三角形的性质易得P1(32,4)；当DP=DC时，易得P2(32,52)，P3(32,−52)；
(3)先根据抛物线与x轴的交点问题求出B(4,0)，再利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=−12x+2，利用一次函数图象上点的坐标特征和二次函数图象上点的坐标特征，设E(x,−12x+2)(0≤x≤4)，则F(x,−12x2+32x+2)，则FE=−12x2+2x，由于△BEF和△CEF共底边，高的和为4，则S△BCF=S△BEF+S△CEF=12⋅4⋅EF=−x2+4x，加上S△BCD=52，所以S四边形CDBF=S△BCF+S△BCD=−x2+4x+52(0≤x≤4)，然后根据二次函数的性质求四边形CDBF的面积最大，并得到此时E点坐标．
y
x
(x,y)
1
2
3
4
1
(1,2)
(1,3)
(1,4)
2
(2,1)
(2,3)
(2,4)
3
(3,1)
(3,2)
(3,4)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)