2024年中考数学必考考点专题08 三角形综合篇（原卷版）

这是一份2024年中考数学必考考点专题08 三角形综合篇（原卷版），共16页。试卷主要包含了【图形定义】，问题提出等内容，欢迎下载使用。

角平分线的性质：
①平分角。
②角平分线上任意一点到角两边的距离相等。
角平分线的判定：
角的内部到角两边相等的点一定在角平分线上。
角平分线的尺规作图：
具体步骤：
①以角的顶点O为圆心，一定长度为半径画圆弧，圆弧与角的两边分别交于两点M、N。如图①。
②分别以点M与点N为圆心，大于MN长度的一半为半径画圆弧，两圆弧交于点P。如图②。
③连接OP，OP即为角的平分线。
垂直平分线的性质：
①垂直且平分线段。
②垂直平分线上任意一点到这条线段两个端点的距离相等。
垂直平分线的判定：
到线段两端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上。
垂直平分线的吃规作图：
具体步骤：
①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。如图①
②连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。如图②
中位线的性质：
三角形的中位线平行且等于第三边的一半。
等腰三角形的性质：
①等腰三角形的两腰相等。
②等腰三角形的两底角相等。（简称“等边对等角”）
③等腰三角形底边的中线、高线以及顶角平分线相互重合。（简称底边上三线合一）
等腰三角形的判定：
①有两条边相等的三角形是等腰三角形。
②有两个底角相等的三角形是等腰三角形。（等角对等边）
③若一个三角形某一边上存在“三线合一”，则三角形是等腰三角形。
等边三角形的性质：
①等边三角形的三条边都相等，三个角也相等，且三个角都等于60°。
②等边三角形三条边都存在“三线合一”
③等腰三角形是一个轴对称图形，有三条对称轴。
④等腰三角形的面积等于（为等腰三角形的边长）。
等腰三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形。
②三个角都相等（两个角是60°）的三角形是等腰三角形。
③底和腰相等的等腰三角形是等边三角形。
④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
直角三角形的性质：
①直角三角形的两锐角互余。
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
③含30°的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
④直角三角形的两直角边的成绩等于斜边乘以斜边上的高线。
⑤直角三角形的勾股定理。
勾股定理的内容：
在直角三角形中，两直角边的平方的和等于斜边的平方。若直角三角形的两直角边是，斜边是，则。
勾股定理的逆定理：
若三角形的三条边分别是，且满足，则三角形是直角三角形，且∠C是直角。
特殊三角形三边的比：
①含30°的直角三角形三边的比例为（从小打大）：。
②45°的等腰直角三角形三边的比例为（从小到大）：。
两点间的距离公式：
若点与点，则线段AB的长度为：。
专题练习
1．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A＝50°，∠ACE＝30°．
（1）求证：CE＝CM．
（2）若AB＝4，求线段FC的长．
2．如图1，将长为2a+3，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．
（1）用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长．
（2）当a＝3时，该小正方形的面积是多少？
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，点D在AC上，CD＝3，连接DB，AD＝DB，点P是边AC上一动点（点P不与点A，D，C重合），过点P作AC的垂线，与AB相交于点Q，连接DQ，设AP＝x，△PDQ与△ABD重叠部分的面积为S．
（1）求AC的长；
（2）求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．
4．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线．
（1）如图1，点E、F分别是线段BD、AD上的点，且DE＝DF，AE与CF的延长线交于点M，则AE与CF的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）如图2，点E、F分别在DB和DA的延长线上，且DE＝DF，EA的延长线交CF于点M．
①（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
②连接DM，求∠EMD的度数；
③若DM＝6，ED＝12，求EM的长．
5．【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、
例如：如图①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是BC和B'C'边上的高线，且AD＝A'D'、则△ABC和△A'B'C'是等高三角形．
【性质探究】
如图①，用S△ABC，S△A'B'C′分别表示△ABC和△A′B′C′的面积，
则S△ABC＝BC•AD，S△A'B'C′＝B′C′•A′D′，
∵AD＝A′D′
∴S△ABC：S△A'B'C′＝BC：B'C'．
【性质应用】
（1）如图②，D是△ABC的边BC上的一点．若BD＝3，DC＝4，则S△ABD：S△ADC＝ ；
（2）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S△ABC＝1，则S△BEC＝ ，S△CDE＝ ；
（3）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S△ABC＝a，则S△CDE＝ ．
6．在四边形ABCD中，O是边BC上的一点．若△OAB≌△OCD，则点O叫做该四边形的“等形点”．
（1）正方形 “等形点”（填“存在”或“不存在”）；
（2）如图，在四边形ABCD中，边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”．已知CD＝4，OA＝5，BC＝12，连接AC，求AC的长；
（3）在四边形EFGH中，EH∥FG．若边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”，求的值．
7．两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
（1）问题发现：
如图1，若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边．求证：BD＝CE；
（2）解决问题：
如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由．
8．在△ABC中，AC＝BC，点D在线段AB上，连接CD并延长至点E，使DE＝CD，过点E作EF⊥AB，交直线AB于点F．
（1）如图1，若∠ACB＝120°，请用等式表示AC与EF的数量关系： ．
（2）如图2．若∠ACB＝90°，完成以下问题：
①当点D，点F位于点A的异侧时，请用等式表示AC，AD，DF之间的数量关系，并说明理由；
②当点D，点F位于点A的同侧时，若DF＝1，AD＝3，请直接写出AC的长．
9．已知△ABC≌△DEC，AB＝AC，AB＞BC．
（1）如图1，CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形；
（2）如图2，将（1）中的△CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE的延长线相交于点F，用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，将（1）中的△CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于∠ABC），若∠BAD＝∠BCD，求∠ADB的度数．
10．问题提出
（1）如图1，AD是等边△ABC的中线，点P在AD的延长线上，且AP＝AC，则∠APC的度数为 ．
问题探究
（2）如图2，在△ABC中，CA＝CB＝6，∠C＝120°．过点A作AP∥BC，且AP＝BC，过点P作直线l⊥BC，分别交AB、BC于点O、E，求四边形OECA的面积．
问题解决
（3）如图3，现有一块△ABC型板材，∠ACB为钝角，∠BAC＝45°．工人师傅想用这块板材裁出一个△ABP型部件，并要求∠BAP＝15°，AP＝AC．工人师傅在这块板材上的作法如下：
①以点C为圆心，以CA长为半径画弧，交AB于点D，连接CD；
②作CD的垂直平分线l，与CD交于点E；
③以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交直线l于点P，连接AP、BP，得△ABP．
请问，若按上述作法，裁得的△ABP型部件是否符合要求？请证明你的结论．
11．如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E．P是边BC上的动点（不与B，C重合），连结AP，将△APC沿AP翻折得△APD，连结DC，记∠BCD＝α．
（1）如图，当P与E重合时，求α的度数．
（2）当P与E不重合时，记∠BAD＝β，探究α与β的数量关系．
12．综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：
如图1，在△ABC中，D是AB上一点，∠ADC＝∠ACB．求证∠ACD＝∠ABC．
独立思考：（1）请解答王老师提出的问题．
实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．
“如图2，延长CA至点E，使CE＝BD，BE与CD的延长线相交于点F，点G，H分别在BF、BC上，BG＝CD，∠BGH＝∠BCF．在图中找出与BH相等的线段，并证明．”
问题解决：（3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当∠BAC＝90°时，若给出△ABC中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求．该小组提出下面的问题，请你解答．
“如图3，在（2）的条件下，若∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝2，求BH的长．”
13．如图1，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AB＝4cm．点D从A点出发，沿线段AB向终点B运动．过点D作AB的垂线，与△ABC的直角边AC（或BC）相交于点E．设线段AD的长为a（cm），线段DE的长为h（cm）．
（1）为了探究变量a与h之间的关系，对点D在运动过程中不同时刻AD，DE的长度进行测量，得出以下几组数据：
在平面直角坐标系中，以变量a的值为横坐标，变量h的值为纵坐标，描点如图2﹣1；以变量h的值为横坐标，变量a的值为纵坐标，描点如图2﹣2．
根据探究的结果，解答下列问题：
①当a＝1.5时，h＝ ；当h＝1时，a＝ ．
②将图2﹣1，图2﹣2中描出的点顺次连接起来．
③下列说法正确的是 ．（填“A”或“B”）
A．变量h是以a为自变量的函数
B．变量a是以h为自变量的函数
（2）如图3，记线段DE与△ABC的一直角边、斜边围成的三角形（即阴影部分）的面积（cm2）为s．
①分别求出当0≤a≤2和2＜a≤4时，s关于a的函数表达式；
②当s＝时，求a的值．
14．已知CD是△ABC的角平分线，点E，F分别在边AC，BC上，AD＝m，BD＝n，△ADE与△BDF的面积之和为S．
（1）填空：当∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC时，
①如图1，若∠B＝45°，m＝5，则n＝ ，S＝ ；
②如图2，若∠B＝60°，m＝4，则n＝ ，S＝ ；
（2）如图3，当∠ACB＝∠EDF＝90°时，探究S与m，n的数量关系，并说明理由；
（3）如图4，当∠ACB＝60°，∠EDF＝120°，m＝6，n＝4时，请直接写出S的大小．
15．回顾：用数学的思维思考
（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC．
①BD，CE是△ABC的角平分线．求证：BD＝CE．
②点D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
（从①②两题中选择一题加以证明）
猜想：用数学的眼光观察
经过做题反思，小明同学认为：在△ABC中，AB＝AC，D为边AC上一动点（不与点A，C重合）．对于点D在边AC上的任意位置，在另一边AB上总能找到一个与其对应的点E，使得BD＝CE．进而提出问题：若点D，E分别运动到边AC，AB的延长线上，BD与CE还相等吗？请解决下面的问题：
（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，AB的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的字母），使得BD＝CE，并证明．
探究：用数学的语言表达
（3）如图3，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，E为边AB上任意一点（不与点A，B重合），F为边AC延长线上一点．判断BF与CE能否相等．若能，求CF的取值范围；若不能，说明理由．
变量a（cm）
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
变量h（cm）
0
0.5
1
1.5
2
1.5
1
0.5
0