2024年中考数学必考考点专题15 一次函数的应用与综合篇（解析版）

这是一份2024年中考数学必考考点专题15 一次函数的应用与综合篇（解析版），共23页。试卷主要包含了物理实验证实，定义等内容，欢迎下载使用。

一次函数的图像与性质：
一次函数与轴的交点坐标公式为：；与轴的交点坐标公式为：。
一次函数的平移：
①左右平移，自变量上进行加减。左加右减。
即若向左移动了个单位，则平移后的函数解析式为：；
若向右移动了个单位，则平移后的函数解析式为：。
②上下平移，解析式整体后面进行加减。上加下减。
即若向上移动了个单位，则平移后的函数解析式为：；
若向下移动了个单位，则平移后的函数解析式为：。
一次函数的对称变换：
①若一次函数关于轴对称，则自变量不变，函数值变为相反数。
即关于轴的函数解析式为：，即。
②若一次函数关于轴对称，则函数值不变，自变量变成相反数。
即关于轴的函数解析式为：，即。
③若一次函数关于原点对称，则自变量与函数值均变成相反数。
即关于原点的函数解析式为：，即。
待定系数法求函数解析式：
具体步骤：
①设函数解析式——。
②找点——经过函数图像上的点。
③带入——将找到的点的坐标带入函数解析式中得到方程（或方程组）。
④解——解③中得到的方程（或方程组），求出的值。
⑤反带入——将求出的的值带入函数解析式中得到函数解析式。
一次函数与一元一次方程：
①若一次函数的图像经过点，则一元一次方程的解为。
②若一次函数的图像与一次函数的图像的交点坐标为，则一元一次方程的解为。
一次函数与二元一次方程组：
若一次函数的图像与一次函数的图像的交点坐标为，则二元一次方程组的解为。
一次函数与不等式：
①若一次函数的图像经过点，则不等式的解集取点上方所在图像所对应的自变量范围；不等式的解集取点下方所在图像所对应的自变量范围。
②若一次函数的图像与一次函数的图像的交点坐标为，则不等式的解集取函数的图像在图像上方的部分所对应的自变量的范围；不等式的解集取函数的图像在图像下方的部分所对应的自变量的范围。这两部分都是以两个函数的交点为分界点存在。
分段函数：
在一次函数的实际应用中，最常见为分段函数。分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际。
关键点：①分段函数各段的函数解析式。
②各个拐点的实际意义。
③函数交点的实际意义。
一次函数的综合：
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值。
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题。
微专题
1．物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）满足函数关系y＝kx+15．下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当弹簧长度为20cm时，求所挂物体的质量．
【分析】（1）把x＝2，y＝19代入y＝kx+15中，即可算出k的值，即可得出答案；
（2）把y＝20代入y＝2x+15中，计算即可得出答案．
【解答】解：（1）把x＝2，y＝19代入y＝kx+15中，
得19＝2k+15，
解得：k＝2，
所以y与x的函数关系式为y＝2x+15（x≥0）；
（2）把y＝20代入y＝2x+15中，
得20＝2x+15，
解得：x＝2.5．
所挂物体的质量为2.5kg．
2．如图，直线y＝x+1与x轴交于点A，点A关于y轴的对称点为A′，经过点A′和y轴上的点B（0，2）的直线设为y＝k x+b．
（1）求点A′的坐标；
（2）确定直线A′B对应的函数表达式．
【分析】（1）利用直线解析式求得点A坐标，利用关于y轴的对称点的坐标的特征解答即可；
（2）利用待定系数法解答即可．
【解答】解：（1）令y＝0，则x+1＝0，
∴x＝﹣2，
∴A（﹣2，0）．
∵点A关于y轴的对称点为A′，
∴A′（2，0）．
（2）设直线A′B的函数表达式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线A′B对应的函数表达式为y＝﹣x+2．
3．在“看图说故事”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步走回家．小明离家的距离y（km）与他所用的时间x（min）的关系如图所示：
（1）小明家离体育场的距离为 km，小明跑步的平均速度为 km/min；
（2）当15≤x≤45时，请直接写出y关于x的函数表达式；
（3）当小明离家2km时，求他离开家所用的时间．
【分析】（1）根据图象可以直接看到小明家离体育场的距离为2.5km，小明跑步的平均速度为：路程÷时间；
（2）是分段函数，利用待定系数法可求；
（3）小明离家2km时，有两个时间，第一个时间是小明从家跑步去体育场的过程中存在离家2km，利用路程÷速度可得此时间，第二个时间利用BC段解析式可求得．
【解答】解：（1）小明家离体育场的距离为2.5km，小明跑步的平均速度为＝km/min；
故答案为：2.5，；
（2）如图，B（30，2.5），C（45，1.5），
设BC的解析式为：y＝kx+b，
则，
解得：，
∴BC的解析式为：y＝﹣x+4.5，
∴当15≤x≤45时，y关于x的函数表达式为：y＝；
（3）当y＝2时，﹣x+4.5＝2，
∴x＝，
2＝12，
∴当小明离家2km时，他离开家所用的时间为12min或min．
4．6月13日，某港口的潮水高度y（cm）和时间x（h）的部分数据及函数图象如下：
（1）数学活动：
①根据表中数据，通过描点、连线（光滑曲线）的方式补全该函数的图象．
②观察函数图象，当x＝4时，y的值为多少？当y的值最大时，x的值为多少？
（2）数学思考：
请结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论．
（3）数学应用：
根据研究，当潮水高度超过260cm时，货轮能够安全进出该港口．请问当天什么时间段适合货轮进出此港口？
【分析】（1）①先描点，然后画出函数图象；
②利用数形结合思想分析求解；
（2）结合函数图象增减性及最值进行分析说明；
（3）结合函数图象确定关键点，从而求得取值范围．
【解答】解：（1）①如图：
②通过观察函数图象，当x＝4时，y＝200，当y值最大时，x＝21；
（2）该函数的两条性质如下（答案不唯一）：
①当2≤x≤7时，y随x的增大而增大；
②当x＝14时，y有最小值为80；
（3）由图象，当y＝260时，x＝5或x＝10或x＝18或x＝23，
∴当5＜x＜10或18＜x＜23时，y＞260，
即当5＜x＜10或18＜x＜23时，货轮进出此港口．
5．某商店决定购进A、B两种北京冬奥会纪念品．若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元．
（1）求购进A、B两种纪念品的单价；
（2）若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且购进B种纪念品数量不少于20件，那么该商店共有几种进货方案？
（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？求出最大利润．
【分析】（1）设某商店购进A种纪念品每件需a元，购进B种纪念品每件需b元，根据条件建立二元一次方程组求出其解即可；
（2）设某商店购进A种纪念品x个，购进B种纪念品y个，根据条件的数量关系建立不等式组求出其解即可；
（3）设总利润为W元，根据总利润＝两种商品的利润之和列出函数解析式，再根据函数的性质求值即可．
【解答】解：（1）设该商店购进A种纪念品每件需a元，购进B种纪念品每件需b元，
由题意，得，
解得，
∴该商店购进A种纪念品每件需50元，购进B种纪念品每件需100元；
（2）设该商店购进A种纪念品x个，购进B种纪念品y个，
根据题意，得50x+100y＝10000，
由50x+100y＝10000得x＝200﹣2y，
把x＝200﹣2y代入x≥6y，解得y≤25，
∵y≥20，
∴20≤y≤25且为正整数，
∴y可取得的正整数值是20，21，22，23，24，25，
与y相对应的x可取得的正整数值是160，158，156，154，152，150，
∴共有6种进货方案；
（3）设总利润为W元，
则W＝20x+30y＝﹣10y+4000，
∵﹣10＜0，
∴W随y的增大而减小，
∴当y＝20时，W有最大值，W最大＝﹣10×20+4000＝3800（元），
∴当购进A种纪念品160件，B种纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润是3800元．
6．当我们将一条倾斜的直线进行上下平移时，直线的左右位置也发生着变化．下面是关于“一次函数图象平移的性质”的探究过程，请补充完整．
（1）如图1，将一次函数y＝x+2的图象向下平移1个单位长度，相当于将它向右平移了 个单位长度；
（2）将一次函数y＝﹣2x+4的图象向下平移1个单位长度，相当于将它向 （填“左”或“右”）平移了 个单位长度；
（3）综上，对于一次函数y＝k x+b（k≠0）的图象而言，将它向下平移m（m＞0）个单位长度，相当于将它向 （填“左”或“右”）（k＞0时）或将它向 （填“左”或“右”）（k＜0时）平移了n（n＞0）个单位长度，且m，n，k满足等式 ．
【分析】（1）根据“上加下减，左加右减”的平移规律即可得到结论；
（2）根据“上加下减，左加右减”的平移规律即可得到结论；
（3）根据（1）（2）题得出结论即可．
【解答】解：（1）∵将一次函数y＝x+2的图象向下平移1个单位长度得到y＝x+2﹣1＝（x﹣1）+2，
∴相当于将它向右平移了1个单位长度，
故答案为：1；
（2）将一次函数y＝﹣2x+4的图象向下平移1个单位长度得到y＝﹣2x+4﹣1＝﹣2（x+）+4，
∴相当于将它向左平移了个单位长度；
故答案为：左；；
（3）综上，对于一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象而言，将它向下平移m（m＞0）个单位长度，相当于将它向右（填“左”或“右”）（k＞0时）或将它向左（填“左”或“右”）（k＜0时）平移了n（n＞0）个单位长度，且m，n，k满足等式m＝n|k|．
故答案为：右；左；m＝n|k|（或：当k＞0时，m＝nk，当k＜0时，m＝﹣nk）．
7．为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克．
（1）求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
（2）若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
【分析】（1）设乙种水果的进价为x元，则甲种水果的进价为（1﹣20%）x元，由题意：用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果（150﹣m） 千克，利润为w元，由题意得w＝﹣m+450，再由甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，得m≥2 （150﹣m），然后由一次函数的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）设乙种水果的进价为x元，则甲种水果的进价为（1﹣20%）x元，
由题意得：，
解得：x＝5，
经检验：x＝5是原方程的解，且符合题意，
则5×（1﹣20%）＝4，
答：甲种水果的进价为4元，则乙种水果的进价为5元；
（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果（150﹣m） 千克，利润为w元，
由题意得：w＝（6﹣4）m+（8﹣5）（150﹣m）＝﹣m+450，
∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，
∴m≥2 （150﹣m），
解得：m≥100，
∵﹣1＜0，则w随m的增大而减小，
∴当m＝100时，w最大，最大值＝﹣100+450＝350，
则150﹣m＝50，
答：购进甲种水果100千克，乙种水果50千克才能获得最大利润，最大利润为350元．
8．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数y＝﹣|x|的图象，并探究该函数性质．
（1）绘制函数图象
①列表：下列是x与y的几组对应值，其中a＝ ．
②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（2，a）；
③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；
（2）探究函数性质
请写出函数y＝﹣|x|的一条性质： ；
（3）运用函数图象及性质
①写出方程﹣|x|＝5的解 ；
②写出不等式﹣|x|≤1的解集 ．
【分析】（1）①把x＝2代入解析式即可得a的值；
②③按要求描点，连线即可；
（2）观察函数图象，可得函数性质；
（3）①由函数图象可得答案；②观察函数图象即得答案．
【解答】解：（1）①列表：当x＝2时，a＝﹣|2|＝1，
故答案为：1；
②描点，③连线如下：
（2）观察函数图象可得：y＝﹣|x|的图象关于y轴对称，
故答案为：y＝﹣|x|的图象关于y轴对称（答案不唯一）；
（3）①观察函数图象可得：当y＝5时，x＝1或x＝﹣1，
∴﹣|x|＝5的解是x＝1或x＝﹣1，
故答案为：x＝1或x＝﹣1；
②观察函数图象可得，当x≤﹣2或x≥2时，y≤1，
∴﹣|x|≤1的解集是x≤﹣2或x≥2，
故答案为：x≤﹣2或x≥2．
9．某乡镇新打造的“田园风光”景区今年计划改造一片绿化地，种植A、B两种花卉，已知3盆A种花卉和4盆B种花卉的种植费用为330元，4盆A种花卉和3盆B种花卉的种植费用为300元．
（1）每盆A种花卉和每盆B种花卉的种植费用各是多少元？
（2）若该景区今年计划种植A、B两种花卉共400盆，相关资料表明：A、B两种花卉的成活率分别为70%和90%，景区明年要将枯死的花卉补上相同的新花卉，但这两种花卉在明年共补的盆数不多于80盆，应如何安排这两种花卉的种植数量，才能使今年该项的种植费用最低？并求出最低费用．
【分析】（1）设每盆A种花卉种植费用为x元，每盆B种花卉种植费用为y元，根据题意列出关于x、y的二元一次方程组，求解即可；
（2）设种植A种花卉的数量为m盆，则种植B种花卉的数量为（400﹣m）盆，种植两种花卉的总费用为w元，由题意：这两种花卉在明年共补的盆数不多于80盆，列出一元一次不等式，解得m≤200，再由题意得w＝﹣30m+24000，然后由一次函数的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）设每盆A种花卉种植费用为x元，每盆B种花卉种植费用为y元，根据题意，
得：，
解得：，
答：每盆A种花卉种植费用为30元，每盆B种花卉种植费用为60元；
（2）设种植A种花卉的数量为m盆，则种植B种花卉的数量为（400﹣m）盆，种植两种花卉的总费用为w元，
根据题意，得：（1﹣70%）m+（1﹣90%）（400﹣m）≤80，
解得：m≤200，
w＝30m+60（400﹣m）＝﹣30m+24000，
∵﹣30＜0，
∴w随m的增大而减小，
当m＝200时，w的最小值＝﹣30×200+24000＝18000，
答：种植A、B两种花卉各200盆，能使今年该项的种植费用最低，最低费用为18000元．
10．定义：对于一次函数y1＝ax+b、y2＝cx+d，我们称函数y＝m（ax+b）+n（cx+d）（ma+nc≠0）为函数y1、y2的“组合函数”．
（1）若m＝3，n＝1，试判断函数y＝5x+2是否为函数y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“组合函数”，并说明理由；
（2）设函数y1＝x﹣p﹣2与y2＝﹣x+3p的图象相交于点P．
①若m+n＞1，点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方，求p的取值范围；
②若p≠1，函数y1、y2的“组合函数”图象经过点P．是否存在大小确定的m值，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变？若存在，请求出m的值及此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由y＝5x+2＝3（x+1）+（2x﹣1），可知函数y＝5x+2是函数y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“组合函数”；
（2）①由得P（2p+1，p﹣1），当x＝2p+1时，y＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p）＝（p﹣1）（m+n），根据点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方，有p﹣1＞（p﹣1）（m+n），而m+n＞1，可得p＜1；
②由函数y1、y2的“组合函数”y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p）图象经过点P，知p﹣1＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p），即（p﹣1）（1﹣m﹣n）＝0，而p≠1，即得n＝1﹣m，可得y＝（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m，令y＝0得（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m＝0，即（3﹣4m）p+（2m﹣1）x﹣2m＝0，即可得m＝时，“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变，Q（3，0）．
【解答】解：（1）函数y＝5x+2是函数y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“组合函数”，理由如下：
∵3（x+1）+（2x﹣1）＝3x+3+2x﹣1＝5x+2，
∴y＝5x+2＝3（x+1）+（2x﹣1），
∴函数y＝5x+2是函数y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“组合函数”；
（2）①由得，
∴P（2p+1，p﹣1），
∵y1、y2的“组合函数”为y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p），
∴x＝2p+1时，y＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p）＝（p﹣1）（m+n），
∵点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方，
∴p﹣1＞（p﹣1）（m+n），
∴（p﹣1）（1﹣m﹣n）＞0，
∵m+n＞1，
∴1﹣m﹣n＜0，
∴p﹣1＜0，
∴p＜1；
②存在m＝时，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变，Q（3，0），理由如下：
由①知，P（2p+1，p﹣1），
∵函数y1、y2的“组合函数”y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p）图象经过点P，
∴p﹣1＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p），
∴（p﹣1）（1﹣m﹣n）＝0，
∵p≠1，
∴1﹣m﹣n＝0，有n＝1﹣m，
∴y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p）＝m（x﹣p﹣2）+（1﹣m）（﹣x+3p）＝（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m，
令y＝0得（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m＝0，
变形整理得：（3﹣4m）p+（2m﹣1）x﹣2m＝0，
∴当3﹣4m＝0，即m＝时，x﹣＝0，
∴x＝3，
∴m＝时，“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变，Q（3，0）．
11．某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/kg、12元/kg，这两种苹果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的关系如图所示．
（1）写出图中点B表示的实际意义；
（2）分别求甲、乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为akg时，它们的利润和为1500元，求a的值．
【分析】（1）根据图形即可得出结论；
（2）用待定那个系数法分别求出甲、乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式即可；
（3）分0≤a≤30和30＜a≤120两种情况列方程求解即可．
【解答】解：（1）图中点B表示的实际意义为当销量为60kg时，甲、乙两种苹果的销售额均为1200元；
（2）设甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y甲＝kx（k≠0），
把（60，1200）代入解析式得：1200＝60k，
解得k＝20，
∴甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y甲＝20x（0≤x≤120）；
当0≤x≤30时，设乙种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y乙＝k′x（k′≠0），
把（30，750）代入解析式得：750＝30k′，
解得：k′＝25，
∴y乙＝25x；
当30≤x≤120时，设乙种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y乙＝mx+n（m≠0），
则，
解得：，
∴y乙＝15x+300，
综上，乙种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y乙＝；
（3）①当0≤a≤30时，
根据题意得：（20﹣8）a+（25﹣12）a＝1500，
解得：a＝60＞30，不合题意；
②当30＜a≤120时，
根据题意得：（20﹣8）a+（15﹣12）a+300＝1500，
解得：a＝80，
综上，a的值为80．
12．为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg．
（1）求出0≤x≤2000和x＞2000时，y与x之间的函数关系式；
（2）若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于1600kg，且不高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润＝销售额﹣成本），请求出w（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案；
（3）为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不低于15000元，求a的最大值．
【分析】（1）分当0≤x≤2000时，当x＞2000时，利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意可知，分当1600≤x≤2000时，当2000＜x≤4000时，分别列出w与x的函数关系式，根据一次函数的性质可得出结论；
（3）根据题意可知，降价后，w与x的关系式，并根据利润不低于15000，可得出a的取值范围．
【解答】解：（1）当0≤x≤2000时，设y＝k′x，根据题意可得，2000k′＝30000，
解得k′＝15，
∴y＝15x；
当x＞2000时，设y＝kx+b，
根据题意可得，，
解得，
∴y＝13x+4000．
∴y＝．
（2）根据题意可知，购进甲种产品（6000﹣x）千克，
∵1600≤x≤4000，
当1600≤x≤2000时，w＝（12﹣8）×（6000﹣x）+（18﹣15）•x＝﹣x+24000，
∵﹣1＜0，
∴当x＝1600时，w的最大值为﹣1×1600+24000＝22400（元）；
当2000＜x≤4000时，w＝（12﹣8）×（6000﹣x）+18x﹣（13x+4000）＝x+20000，
∵1＞0，
∴当x＝4000时，w的最大值为4000+20000＝24000（元），
综上，w＝；
当购进甲产品2000千克，乙产品4000千克时，利润最大为24000元．
（3）根据题意可知，降价后，w＝（12﹣8﹣a）×（6000﹣x）+（18﹣2a）x﹣（13x+4000）＝（1﹣a）x+20000﹣6000a，
当x＝4000时，w取得最大值，
∴（1﹣a）×4000+20000﹣6000a≥15000，解得a≤0.9．
∴a的最大值为0.9．
13．已知A、B两地之间有一条长440千米的高速公路．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止，两车距A地的路程y（千米）与各自的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式；
（3）当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程．
【分析】（1）由甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇可求出m＝2，根据以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地知n＝6；
（2）用待定系数法可得y＝60x+80，（2≤x≤6）；
（3）求出乙的速度，即可得乙到A地所用时间，即可求得甲车距A地的路程为300千米．
【解答】解：（1）由题意知：m＝200÷100＝2，
n＝m+4＝2+4＝6，
故答案为：2，6；
（2）设y＝kx+b，将（2，200），（6，440）代入得：
，
解得，
∴y＝60x+80，（2≤x≤6）；
（3）乙车的速度为（440﹣200）÷2＝120（千米/小时），
∴乙车到达A地所需时间为440÷120＝（小时），
当x＝时，y＝60×+80＝300，
∴甲车距A地的路程为300千米．
14．为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，两个商店的优惠活动如下：
甲：所有商品按原价8.5折出售；
乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折．
设需要购买体育用品的原价总额为x元，去甲商店购买实付y甲元，去乙商店购买实付y乙元，其函数图象如图所示．
（1）分别求y甲，y乙关于x的函数关系式；
（2）两图象交于点A，求点A坐标；
（3）请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算．
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以分别写出y甲，y乙关于x的函数关系式；
（2）根据（1）中的结果和题意，令0.85x＝0.7x+90，求出x的值，再求出相应的y的值，即可得到点A的坐标．
（3）根据函数图象和（2）中点A的坐标，可以写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算．
【解答】解：（1）由题意可得，
y甲＝0.85x，
当0≤x≤300时，y乙＝x，
当x＞300时，y乙＝300+（x﹣300）×0.7＝0.7x+90，
则y乙＝；
（2）令0.85x＝0.7x+90，
解得x＝600，
将x＝600代入0.85x得，0.85×600＝510，
即点A的坐标为（600，510）；
（3）由图象可得，
当x＜600时，去甲体育专卖店购买体育用品更合算；当x＝600时，两家体育专卖店购买体育用品一样合算；当x＞600时，去乙体育专卖店购买体育用品更合算．
15．在平面直角坐标系中，P（a，b）是第一象限内一点，给出如下定义：k1＝和k2＝两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k．
（1）求点P（6，2）的“倾斜系数”k的值；
（2）①若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，请写出a和b的数量关系，并说明理由；
②若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，且a+b＝3，求OP的长；
（3）如图，边长为2的正方形ABCD沿直线AC：y＝x运动，P（a，b）是正方形ABCD上任意一点，且点P的“倾斜系数”k＜，请直接写出a的取值范围．
【分析】（1）根据“倾斜系数”k的定义直接计算即可；
（2）①根据“倾斜系数”k的定义分情况得出结论即可；
②根据“倾斜系数”k的定义求出P点坐标，进而求出OP的值即可；
（3）根据k的取值，分情况求出a的取值范围即可．
【解答】解：（1）由题意知，k＝＝3，
即点P（6，2）的“倾斜系数”k的值为3；
（2）①∵点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，
∴＝2或＝2，
即a＝2b或b＝2a，
∴a和b的数量关系为a＝2b或b＝2a；
②由①知，a＝2b或b＝2a
∵a+b＝3，
∴或，
∴OP＝＝；
（3）由题意知，满足条件的P点在直线y＝x和直线y＝x之间，
①当P点与D点重合时，且k＝时，P点在直线y＝x上，a有最小临界值，
如图：此时a＜b，
连接OD，延长DA交x轴于E，
此时＝，
则，
解得a＝，
此时B点的坐标为（，），
且k＝＝
∴a＞+1；
②当P点与B点重合时，且k＝时，P点在直线y＝x上，a有最小临界值，
如图：此时a＞b，
连接OB，延长CB交x轴于F，
此时＝，
则＝，
解得a＝3+，
此时D（，），
且k＝＝，
∴a＞+3；
综上所述，若点P的“倾斜系数”k＜，则a＞+3．
16．在一条平坦笔直的道路上依次有A，B，C三地，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，到达A地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速前往C地，结果乙比甲早2分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是两人距B地路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数图象．
请解答下列问题：
（1）填空：甲的速度为 米/分钟，乙的速度为 米/分钟；
（2）求图象中线段FG所在直线表示的y（米）与时间x（分钟）之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案．
【分析】（1）利用速度＝路程÷时间，找准甲乙的路程和时间即可得出结论；
（2）根据（1）中的计算可得出点G的坐标，设直线FG的解析式为：y＝kx+b，将F，G的坐标代入，求解方程组即可；
（3）根据题意可知存在三种情况，然后分别计算即可．
【解答】解：（1）根据题意可知D（1，800），E（2，800），
∴乙的速度为：800÷1＝800（米/分钟），
∴乙从B地到C地用时：2400÷800＝3（分钟），
∴G（6，2400）．
∴H（8，2400）．
∴甲的速度为2400÷8＝300（米/分钟），
故答案为：300；800；
（2）设直线FG的解析式为：y＝kx+b（k≠0），且由图象可知F（3，0），
由（1）知G（6，2400）．
∴，
解得，．
∴直线FG的解析式为：y＝800x﹣2400（3≤x≤6）．
（3）由题意可知，AB相距800米，BC相距2400米．
∵O（0，0），H（8，2400），
∴直线OH的解析式为：y＝300x，
∵D（1，800），
∴直线OD的解析式为：y＝800x，
当0≤x≤1时，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，即甲乙朝相反方向走，
∴令800x+300x＝600，解得x＝．
∵当2≤x≤3时，甲从B继续往C地走，乙从A地往B地走，
∴300x+800﹣800（x﹣2）＝600解得x＝（不合题意，舍去）
∵当x＞3时，甲从B继续往C地走，乙从B地往C地走，
∴300x+800﹣800（x﹣2）＝600或800（x﹣2）﹣（300x+800）＝600，
解得x＝或x＝6．
综上，出发分钟或分钟或6分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米．的取值
的取值
所在象限
随的变化情况
大致图像
（图像交于轴正半轴）
一二三象限
随增大而增大
（图像交于轴负半轴）
一三四象限
（图像交于轴正半轴）
一二四象限
随减小而减小
（图像交于轴负半轴）
二三四象限
x
0
2
5
y
15
19
25
x（h）
…
11
12
13
14
15
16
17
18
…
y（cm）
…
189
137
103
80
101
133
202
260
…
x
……
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
4
5
……
y
……
﹣3.8
﹣2.5
﹣1
1
5
5
a
﹣1
﹣2.5
﹣3.8
……