2024年中考数学必考考点专题21 直角三角形篇（解析版）

这是一份2024年中考数学必考考点专题21 直角三角形篇（解析版），共23页。

直角三角形的概念：
有一个角是90°的三角形叫做直角三角形。
直角三角形的性质：
①直角三角形的两锐角互余。
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
③含30°的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
④直角三角形的两直角边的成绩等于斜边乘以斜边上的高线。
⑤直角三角形的勾股定理。
微专题
1．（2022•贺州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝56°，则∠A的度数为（ ）
A．34°B．44°C．124°D．134°
【分析】根据直角三角形的两锐角互余计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
则∠B+∠A＝90°，
∵∠B＝56°，
∴∠A＝90°﹣56°＝34°，
故选：A．
2．（2022•岳阳）如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C＝40°，则∠1的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】根据直角三角形的性质求出∠CED，再根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：在Rt△CDE中，∠CDE＝90°，∠DCE＝40°，
则∠CED＝90°﹣40°＝50°，
∵l∥AB，
∴∠1＝∠CED＝50°，
故选：C．
3．（2022•绍兴）如图，把一块三角板ABC的直角顶点B放在直线EF上，∠C＝30°，AC∥EF，则∠1＝（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【分析】根据平行线的性质，可以得到∠CBF的度数，再根据∠ABC＝90°，可以得到∠1的度数．
【解答】解：∵AC∥EF，∠C＝30°，
∴∠C＝∠CBF＝30°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠1＝180°﹣∠ABC﹣∠CBF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
故选：C．
4．（2022•大连）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN．直线MN与AB相交于点D，连接CD，若AB＝3，则CD的长是（ ）
A．6B．3C．1.5D．1
【分析】根据题意可知：MN是线段AC的垂直平分线，然后根据三角形相似可以得到点D为AB的中点，再根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，即可得到CD的长．
【解答】解：由已知可得，
MN是线段AC的垂直平分线，
设AC与MN的交点为E，
∵∠ACB＝90°，MN垂直平分AC，
∴∠AED＝∠ACB＝90°，AE＝CE，
∴ED∥CB，
∴△AED∽△ACB，
∴，
∴，
∴AD＝AB，
∴点D为AB的中点，
∵AB＝3，∠ACB＝90°，
∴CD＝AB＝1.5，故选：C．
5．（2022•永州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，点D为边AC的中点，BD＝2，则BC的长为（ ）
A．B．2C．2D．4
【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半和30°角所对的直角边等于斜边的一半即可得到结论．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为边AC的中点，BD＝2，
∴AC＝2BD＝4，
∵∠C＝60°，
∴∠A＝30°，
∴BC＝AC＝2，
故选：C．
6．（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE中点，连接BF．若AC＝16，BC＝12，则BF的长为（ ）
A．5B．4C．6D．8
【分析】利用勾股定理求得AB＝20；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度；结合题意知线段BF是△CDE的中位线，则BF＝CD．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，
∴AB＝＝20．
∵CD为中线，
∴CD＝AB＝10．
∵F为DE中点，BE＝BC，即点B是EC的中点，
∴BF是△CDE的中位线，
则BF＝CD＝5．
故选：A．
7．（2022•镇江）如图，在△ABC和△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，若DE＝1，则FG＝ ．
【分析】根据直角三角形的性质得出AB的长，进而利用三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：∵∠ADB＝90°，E是AB的中点，
∴AB＝2DE＝2，
∵F、G分别为AC、BC的中点，
∴FG是△ACB的中位线，
∴FG＝AB＝1，
故答案为：1．
8．（2022•西宁）如图，△ABC中，AB＝6，BC＝8，点D，E分别是AB，AC的中点，点F在DE上，且∠AFB＝90°，则EF＝ ．
【分析】利用三角形中位线定理得到DE＝BC．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DF＝AB．所以由图中线段间的和差关系来求线段EF的长度即可．
【解答】解：∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝4．
∵∠AFB＝90°，D是AB的中点，
∴DF＝AB＝3，
∴EF＝DE﹣DF＝4﹣3＝1．
故答案为：1．
9．（2022•梧州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是AB，AC边上的中点，连接CD，DE．如果AB＝5m，BC＝3m，那么CD+DE的长是 m．
【分析】根据三角形中位线定理可得DE的长，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得CD的长，进一步即可求出CD+DE的长．
【解答】解：∵点D，E分别是AB，AC边上的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC，
∵BC＝3m，
∴DE＝1.5m，
∵∠ACB＝90°，
∴CD＝AB，
∵AB＝5m，
∴CD＝2.5m，
∴CD+DE＝2.5+1.5＝4（m），
故答案为：4．
10．（2022•台州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点．若EF的长为10，则CD的长为 ．
【分析】根据三角形中位线定理求出AB，根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求出CD．
【解答】解：∵E，F分别为BC，CA的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝AB，
∴AB＝2EF＝20，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，AB＝20，
∴CD＝AB＝10，
故答案为：10．
考点二：勾股定理
知识回顾
勾股定理的内容：
在直角三角形中，两直角边的平方的和等于斜边的平方。若直角三角形的两直角边是，斜边是，则。
勾股数：
满足直角三角形勾股定理的三个正整数是一组勾股数。
勾股定理的逆定理：
若三角形的三条边分别是，且满足，则三角形是直角三角形，且∠C是直角。
特殊三角形三边的比：
①含30°的直角三角形三边的比例为（从小打大）：。
②45°的等腰直角三角形三边的比例为（从小到大）：。
两点间的距离公式：
若点与点，则线段AB的长度为：。
微专题
11．（2022•攀枝花）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形OABC．若OC＝，BC＝1，∠AOB＝30°，则OA的值为（ ）
A．B．C．D．1
【分析】根据勾股定理和含30°角的直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠OBC＝90°，OC＝，BC＝1，
∴OB＝＝＝2，
∵∠A＝90°，∠AOB＝30°，
∴AB＝OB＝1，
∴OA＝＝＝，
故选：A．
12．（2022•荆门）如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为120m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为（ ）
A．120mB．60mC．60mD．120m
【分析】根据底部是边长为120m的正方形求出BC的长，再由含30°角的直角三角形的性质求解AB的长，利用勾股定理求出AC的长即可．
【解答】解：如图，
∵底部是边长为120m的正方形，
∴BC＝×120＝60m，
∵AC⊥BC，∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝120m，
∴AC＝＝m．
故选：B．
13．（2022•百色）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．如已知△ABC中，∠A＝30°，AC＝3，∠A所对的边为，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（ ）
A．2B．2﹣3C．2或D．2或2﹣3
【分析】根据题意知，CD＝CB，作CH⊥AB于H，再利用含30°角的直角三角形的性质可得CH，AH的长，再利用勾股定理求出BH，从而得出答案．
【解答】解：如图，CD＝CB，作CH⊥AB于H，
∴DH＝BH，
∵∠A＝30°，
∴CH＝AC＝，AH＝CH＝，
在Rt△CBH中，由勾股定理得BH＝＝，
∴AB＝AH+BH＝＝2，AD＝AH﹣DH＝＝，
故选：C．
14．（2022•荆州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于D，E，连接CD．若CE＝AE＝1，则CD＝ ．
【分析】如图，连接BE，根据作图可知MN为AB的垂直平分线，从而得到AE＝BE＝3，然后利用勾股定理求出BC，AB，最后利用斜边上的中线的性质即可求解．
【解答】解：如图，连接BE，
∵CE＝AE＝1，
∴AE＝3，AC＝4，
而根据作图可知MN为AB的垂直平分线，
∴AE＝BE＝3，
在Rt△ECB中，BC＝＝2，
∴AB＝＝2，
∵CD为直角三角形ABC斜边上的中线，
∴CD＝AB＝．
故答案为：．
15．（2022•广元）如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（ ）
A．B．3C．2D．
【分析】利用勾股定理求出AB，再利用相似三角形的性质求出AE即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝6，AC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∵BD＝CB＝6，
∴AD＝AB﹣BC＝4，
由作图可知EF垂直平分线段AD，
∴AF＝DF＝2，
∵∠A＝∠A，∠AFE＝∠ACB＝90°，
∴△AFE∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
∴AE＝，
故选：A．
16．（2022•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（ ）
A．4B．6C．2D．3
【分析】在网格中，以MN为直角边构造一个等腰直角三角形，使PM最长，利用勾股定理求出即可．
【解答】解：如图所示：
∵BM＝NC＝4，BN＝CP＝2，且∠B＝∠C＝90°，
∴△BMN≌△CNP（SAS），
∴MN＝NP，∠BMN＝∠CNP，
∵∠BMN+∠BNM＝90°，
∴∠BNM+∠CNP＝90°，
∴∠MNP＝90°，
∴△NMP为等腰直角三角形，此时PM最长，
在Rt△BMN和Rt△NCP中，
根据勾股定理得：MN＝NP＝＝2，
则PM＝＝2．故选：C．
17．（2022•金华）如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是（3，1），（4，﹣2），下列各地点中，离原点最近的是（ ）
A．超市B．医院C．体育场D．学校
【分析】根据题意可以画出相应的平面直角坐标系，然后根据勾股定理，可以得到点O到超市、学校、体育场、医院的距离，再比较大小即可．
【解答】解：如右图所示，
点O到超市的距离为：＝，
点O到学校的距离为：＝，
点O到体育场的距离为：＝，
点O到医院的距离为：＝，
∵＜＝＜，
∴点O到超市的距离最近，
故选：A．
18．（2022•舟山）如图，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC＝∠BDE＝90°，点A在边DE的中点上，若AB＝BC，DB＝DE＝2，连结CE，则CE的长为（ ）
A．B．C．4D．
【分析】方法一：根据题意先作出合适的辅助线，然后根据勾股定理可以得到AB和BC的长，根据等面积法可以求得EG的长，再根据勾股定理求得EF的长，最后计算出CE的长即可．
方法二：延长ED到F，使得DE＝DF，连接CF，BF，然后根据全等三角形的判定和性质，以及勾股定理，可以求得CE的长．
【解答】解：方法一：作EF⊥CB交CB的延长线于点F，作EG⊥BA交BA的延长线于点G，
∵DB＝DE＝2，∠BDE＝90°，点A是DE的中点，
∴BE＝＝＝2，DA＝EA＝1，
∴AB＝＝＝，
∵AB＝BC，
∴BC＝，
∵＝，
∴，
解得EG＝，
∵EG⊥BG，EF⊥BF，∠ABF＝90°，
∴四边形EFBG是矩形，
∴EG＝BF＝，
∵BE＝2，BF＝，
∴EF＝＝＝，CF＝BF+BC＝+＝，
∵∠EFC＝90°，
∴EC＝＝＝，
故选：D．
方法二：延长ED到F，使得DE＝DF，连接CF，BF，如图所示，
∵BD＝DE＝2，∠BDE＝90°，
∴∠BDE＝∠BDF＝90°，EF＝4，
∴△BDE≌△BDF（SAS），
∴BE＝BF，∠BEA＝∠BFA＝45°，
∵∠EBA+∠ABF＝90°，∠ABF+∠FBC＝90°，
∴∠EBA＝∠FBC，
∵BE＝BF，BA＝BC，
∴△EBA≌△FBC（SAS），
∴∠BEA＝∠BFC＝45°，AE＝CF，
∴∠CFE＝∠BFC+∠AFB＝90°，
∵点A为DE的中点，
∴AE＝1，
∴CF＝1，
∴EC＝＝＝，
故选：D．
19．（2022•成都）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是 ．
【分析】设直角三角形两条直角边分别为a、b，斜边为c，由一元二次方程根与系数的关系可得a+b＝6，ab＝4，再由勾股定理即可求出斜边长．
【解答】解：设直角三角形两条直角边分别为a、b，斜边为c，
∵直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个实数根，
∴a+b＝6，ab＝4，
∴斜边c＝＝＝＝2，
故答案为：2．
20．（2022•南充）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE＝5，DF＝3，则下列结论错误的是（ ）
A．BF＝1B．DC＝3C．AE＝5D．AC＝9
【分析】根据角平分线的性质和和勾股定理，可以求得CD和CE的长，再根据平行线的性质，即可得到AE的长，从而可以判断B和C，然后即可得到AC的长，即可判断D；再根据全等三角形的判定和性质即可得到BF的长，从而可以判断A．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DF⊥AB，
∴∠1＝∠2，DC＝FD，∠C＝∠DFB＝90°，
∵DE∥AB，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴AE＝DE，
∵DE＝5，DF＝3，
∴AE＝5，CD＝3，故选项B、C正确；
∴CE＝＝4，
∴AC＝AE+EC＝5+4＝9，故选项D正确；
∵DE∥AB，∠DFB＝90°，
∴∠EDF＝∠DFB＝90°，
∴∠CDE+∠FDB＝90°，
∵∠CDE+∠DEC＝90°，
∴∠DEC＝∠FDB，
∵tan∠DEC＝，tan∠FDB＝，
∴，
解得BF＝，故选项A错误；
故选：A．
21．（2022•通辽）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为60°，AB＝6，若点P在直线AB上（不与点A，B重合），且∠PCB＝30°，则AP的长为 ．
【分析】题中60°的锐角，可能是∠A也可能是∠B；∠PCB＝30°可以分为点P在在线段AB上和P在线段AB的延长线上两种情况；直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，同时借助勾股定理求得AP的长度．
【解答】解：当∠A＝30°时，
∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠CBA＝60°，BC＝AB＝×6＝3，
由勾股定理得，AC＝3，
①点P在线段AB上，
∵∠PCB＝30°，∠CBA＝60°
∴∠CPB＝90°，
∴∠CPA＝90°，
在Rt△ACP中，∠A＝30°，
∴PC＝AC＝×3＝．
∴在Rt△APC中，由勾股定理得AP＝．
②点P在线段AB的延长线上，
∵∠PCB＝30°，
∴∠ACP＝90°+30°＝120°，
∵∠A＝30°，
∴∠CPA＝30°．
∵∠PCB＝30°，
∴∠PCB＝∠CPA，
∴BP＝BC＝3，
∴AP＝AB+BP＝6+3＝9．
当∠ABC＝30°时，
∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠A＝60°，AC＝AB＝×6＝3，
由勾股定理得，BC＝3，
①点P在线段AB上，
∵∠PCB＝30°，
∴∠ACP＝60°，
∴△ACP是等边三角形
∴AP＝AC＝3．
②点P在线段AB的延长线上，
∵∠PCB＝30°，∠ABC＝30°，
∴CP∥AP
这与CP与AP交于点P矛盾，舍去．
综上所得，AP的长为，9或3．
故答案为：，9或3．
22．（2022•武汉）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分别以△ABC的三边为边向外作三个正方形ABHL，ACDE，BCFG，连接DF．过点C作AB的垂线CJ，垂足为J，分别交DF，LH于点I，K．若CI＝5，CJ＝4，则四边形AJKL的面积是 ．
【分析】过点D作DM⊥CI于点M，过点F作FN⊥CI于点N，由正方形的性质可证得△ACJ≌△CDM，△BCJ≌△CFN，可得DM＝CJ，FN＝CJ，可证得△DMI≌△FNI，由直角三角形斜边上的中线的性质可得DI＝FI＝CI，由勾股定理可得MI，NI，从而可得CN，可得BJ与AJ，即可求解．
【解答】解：过点D作DM⊥CI，交CI的延长线于点M，过点F作FN⊥CI于点N，
∵△ABC为直角三角形，四边形ACDE，BCFG为正方形，过点C作AB的垂线CJ，CJ＝4，
∴AC＝CD，∠ACD＝90°，∠AJC＝∠CMD＝90°，∠CAJ+∠ACJ＝90°，BC＝CF，∠BCF＝90°，∠CNF＝∠BJC＝90°，∠FCN+∠CFN＝90°，
∴∠ACJ+∠DCM＝90°，∠FCN+∠BCJ＝90°，
∴∠CAJ＝∠DCM，∠BCJ＝∠CFN，
∴△ACJ≌△CDM（AAS），△BCJ≌△CFN（AAS），
∴AJ＝CM，DM＝CJ＝4，BJ＝CN，NF＝CJ＝4，
∴DM＝NF，
∴△DMI≌△FNI（AAS），
∴DI＝FI，MI＝NI，
∵∠DCF＝90°，
∴DI＝FI＝CI＝5，
在Rt△DMI中，由勾股定理可得：
MI＝＝＝3，
∴NI＝MI＝3，
∴AJ＝CM＝CI+MI＝5+3＝8，BJ＝CN＝CI﹣NI＝5﹣3＝2，
∴AB＝AJ+BJ＝8+2＝10，
∵四边形ABHL为正方形，
∴AL＝AB＝10，
∵四边形AJKL为矩形，
∴四边形AJKL的面积为：AL•AJ＝10×8＝80，
故答案为：80．
23．（2022•内江）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为4，则S1+S2+S3＝ ．
【分析】由勾股定理和乘法公式完成计算即可．
【解答】解：设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边是b，则：
S1＝（a+b）2，S2＝42＝16，S3＝（a﹣b）2，
且：a2+b2＝EF2＝16，
∴S1+S2+S3＝（a+b）2+16+（a﹣b）2＝2（a2+b2）+16
＝2×16+16
＝48．
故答案为：48．
24．（2022•永州）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则AE＝ ．
【分析】根据题意得出AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1，设AF＝DE＝CH＝BG＝x，结合图形得出AE＝x﹣1，利用勾股定理列方程求解．
【解答】解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1，
根据题意，设AF＝DE＝CH＝BG＝x，
则AE＝x﹣1，
在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2，
∴（x﹣1）2+x2＝52，
解得：x1＝4，x2＝﹣3（舍去），
∴x﹣1＝3，
故答案为：3．
25．（2022•湖北）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是 （结果用含m的式子表示）．
【分析】根据题意得2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】解：∵m为正整数，
∴2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，
根据勾股定理得，（2m）2+a2＝（a+2）2，
解得a＝m2﹣1，
∴弦是a+2＝m2﹣1+2＝m2+1，
故答案为：m2+1．
26．（2022•常州）如图，将一个边长为20cm的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形ABCD，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36cm时才会断裂．若∠BAD＝60°，则橡皮筋AC 断裂（填“会”或“不会”，参考数据：≈1.732）．
【分析】设AC与BD相交于点O，根据菱形的性质可得AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝BD，AD＝AB＝20cm，从而可得△ABD是等边三角形，进而可得BD＝20cm，然后再在Rt△ADO中，利用勾股定理求出AO，从而求出AC的长，即可解答．
【解答】解：设AC与BD相交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝BD，AD＝AB＝20cm，
∵∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝20cm，
∴DO＝BD＝10（cm），
在Rt△ADO中，AO＝＝＝10（cm），
∴AC＝2AO＝20≈34.64（cm），
∵34.64cm＜36cm，
∴橡皮筋AC不会断裂，
故答案为：不会．
27．（2022•常州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12．在Rt△DEF中，∠F＝90°，DF＝3，EF＝4．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF，Rt△DEF从起始位置（点D与点B重合）平移至终止位置（点E与点A重合），且斜边DE始终在线段AB上，则Rt△ABC的外部被染色的区域面积是 ．
【分析】如图，连接CF交AB于点M，连接CF′交AB于点N，过点F作FG⊥AB于点H，过点F′作F′H⊥AB于点H，连接FF′，则四边形FGHF′是矩形，Rt△ABC的外部被染色的区域是梯形MFF′N．求出梯形的上下底以及高，可得结论．
【解答】解：如图，连接CF交AB于点M，连接CF′交AB于点N，过点F作FG⊥AB于点H，过点F′作F′H⊥AB于点H，连接FF′，则四边形FGHF′是矩形，Rt△ABC的外部被染色的区域是梯形MFF′N．
在Rt△DEF中，DF＝3，EF＝4，
∴DE＝＝＝5，
在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，
∴AB＝＝＝15，
∵•DF•EF＝•DE•GF，
∴FG＝，
∴BG＝＝＝，
∴GE＝BE﹣BG＝，AH＝GE＝，
∴F′H＝FG＝，
∴FF′＝GH＝AB﹣BG﹣AH＝15﹣5＝10，
∵BF∥AC，
∴＝＝，
∴BM＝AB＝，
同法可证AN＝AB＝，
∴MN＝15﹣﹣＝，
∴Rt△ABC的外部被染色的区域的面积＝×（10+）×＝21，
故答案为：21．
28．（2022•泰州）如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1．“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为 ．
【分析】根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：如图，第一步到①，第二步到②，
故走两步后的落点与出发点间的最短距离为＝，
故答案为：．