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2024年中考数学必考考点专题24 平行四边形篇(解析版)
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这是一份2024年中考数学必考考点专题24 平行四边形篇(解析版),共19页。
平行四边形的定义:
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形的性质:
①边的性质:两组对边分别平行且相等。
②角的性质:对角相等,邻角互补。
③对角线的性质:对角线相互平分。即对角线交点是两条对角线的中点。
④对称性:平行四边形是一个中心对称图形,绕对角线交点旋转180°与原图形重合。
⑤面积计算:等于底乘底边上的高。等底等高的两个平行四边形的面积相等。
平行线间的距离:
平行线间的距离处处相等。
微专题
1.(2022•朝阳)将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上,∠EFG=90°,∠EGF=60°,∠AEF=50°,则∠EGC的度数为( )
A.100°B.80°C.70°D.60°
【分析】由平行四边形的性质可得AB∥DC,再根据三角形内角和定理,即可得到∠GEF的度数,依据平行线的性质,即可得到∠EGC的度数.
【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DC,
∴∠AEG=∠EGC,
∵∠EFG=90°,∠EGF=60°,
∴∠GEF=30°,
∴∠GEA=80°,
∴∠EGC=80°.
故选:B.
2.(2022•内江)如图,在▱ABCD中,已知AB=12,AD=8,∠ABC的平分线BM交CD边于点M,则DM的长为( )
A.2B.4C.6D.8
【分析】由平行四边形的得CD=AB=12,BC=AD=8,AB∥CD,再证∠CBM=∠CMB,则MC=BC=8,即可得出结论.
【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD=AB=12,BC=AD=8,AB∥CD,
∴∠ABM=∠CMB,
∵BM是∠ABC的平分线,
∴∠ABM=∠CBM,
∴∠CBM=∠CMB,
∴MC=BC=8,
∴DM=CD﹣MC=12﹣8=4,
故选:B.
3.(2022•大庆)如图,将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠,使点A落在E处.若∠1=56°,∠2=42°,则∠A的度数为( )
A.108°B.109°C.110°D.111°
【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得∠ABD=∠CDB=∠EBD,再由三角形的外角性质得∠ABD=∠CDB=28°,然后由三角形内角和定理即可得出结论.
【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
∴∠ABD=∠CDB,
由折叠的性质得:∠EBD=∠ABD,
∴∠ABD=∠CDB=∠EBD,
∵∠1=∠CDB+∠EBD=56°,
∴∠ABD=∠CDB=28°,
∴∠A=180°﹣∠2﹣∠ABD=180°﹣42°﹣28°=110°,
故选:C.
4.(2022•广东)如图,在▱ABCD中,一定正确的是( )
A.AD=CDB.AC=BDC.AB=CDD.CD=BC
【分析】根据平行四边形的性质即可得出答案.
【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,
故选:C.
5.(2022•无锡)如图,在▱ABCD中,AD=BD,∠ADC=105°,点E在AD上,∠EBA=60°,则的值是( )
A.B.C.D.
【分析】由等腰三角形的性质可求∠ADB=30°,∠DAB=75°,由直角三角形的性质和勾股定理可求CD,DE的长,即可求解.
【解答】解:如图,过点B作BH⊥AD于H,
设∠ADB=x,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC∥AD,∠ADC=∠ABC=105°,
∴∠CBD=∠ADB=x,
∵AD=BD,
∴∠DBA=∠DAB=,
∴x+=105°,
∴x=30°,
∴∠ADB=30°,∠DAB=75°,
∵BH⊥AD,
∴BD=2BH,DH=BH,
∵∠EBA=60°,∠DAB=75°,
∴∠AEB=45°,
∴∠AEB=∠EBH=45°,
∴EH=BH,
∴DE=BH﹣BH=(﹣1)BH,
∵AB===(﹣)BH=CD,
∴=,
故选:D.
6.(2022•湘潭)在▱ABCD中(如图),连接AC,已知∠BAC=40°,∠ACB=80°,则∠BCD=( )
A.80°B.100°C.120°D.140°
【分析】根据平行线的性质可求得∠ACD,即可求出∠BCD.
【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,∠BAC=40°,
∴AB∥CD,
∴∠ACD=∠BAC=40°,
∵∠ACB=80°,
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=120°,
故选:C.
7.(2022•乐山)如图,在平行四边形ABCD中,过点D作DE⊥AB,垂足为E,过点B作BF⊥AC,垂足为F.若AB=6,AC=8,DE=4,则BF的长为( )
A.4B.3C.D.2
【分析】根据平行四边形的性质可得S△ABC=S平行四边形ABCD,结合三角形及平行四边形的面积公式计算可求解.
【解答】解:在平行四边形ABCD中,S△ABC=S平行四边形ABCD,
∵DE⊥AB,BF⊥AC,
∴,
∵AB=6,AC=8,DE=4,
∴8BF=6×4,
解得BF=3,
故选:B.
8.(2022•淮安)如图,在▱ABCD中,CA⊥AB,若∠B=50°,则∠CAD的度数是 .
【分析】由平行四边形的性质得AD∥BC,则∠CAD=∠ACB,再由直角三角形的性质得∠ACB=90°﹣∠B=40°,即可得出结论.
【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠CAD=∠ACB,
∵CA⊥AB,
∴∠BAC=90°,
∵∠B=50°,
∴∠ACB=90°﹣∠B=40°,
∴∠CAD=∠ACB=40°,
故答案为:40°.
9.(2022•广州)如图,在▱ABCD中,AD=10,对角线AC与BD相交于点O,AC+BD=22,则△BOC的周长为 .
【分析】根据平行四边形对角线互相平分,求出OC+OB的长,即可解决问题.
【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=OC=AC,BO=OD=BD,AD=BC=10,
∵AC+BD=22,
∴OC+BO=11,
∴△BOC的周长=OC+OB+BC=11+10=21.
故答案为:21.
10.(2022•荆州)如图,点E,F分别在▱ABCD的边AB,CD的延长线上,连接EF,分别交AD,BC于G,H.添加一个条件使△AEG≌△CFH,这个条件可以是 .(只需写一种情况)
【分析】由平行四边形的性质得出AB∥CD,∠A=∠C,AB=CD,根据全等三角形的判定可得出结论.
【解答】解:添加BE=DF.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,∠A=∠C,AB=CD,
∴∠E=∠F,
∵BE=DF,
∴BE+AB=CD+DF,
即AE=CF,
在△AEG和△CFH中,
,
∴△AEG≌△CFH(ASA).
故答案为:BE=DF(答案不唯一).
11.(2022•常德)如图,已知F是△ABC内的一点,FD∥BC,FE∥AB,若▱BDFE的面积为2,BD=BA,BE=BC,则△ABC的面积是 .
【分析】连接DE,CD,由平行四边形的性质可求S△BDE=1,结合BE=BC可求解S△BDC=4,再利用BD=BA可求解△ABC的面积.
【解答】解:连接DE,CD,
∵四边形BEFD为平行四边形,▱BDFE的面积为2,
∴S△BDE=S▱BDFE=1,
∵BE=BC,
∴S△BDC=4S△BDE=4,
∵BD=BA,
∴S△ABC=3S△BDC=12,
故答案为:12.
12.(2022•苏州)如图,在平行四边形ABCD中,AB⊥AC,AB=3,AC=4,分别以A,C为圆心,大于AC的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,过M,N两点作直线,与BC交于点E,与AD交于点F,连接AE,CF,则四边形AECF的周长为 .
【分析】根据勾股定理得到BC==5,由作图可知,MN是线段AC的垂直平分线,求得EC=EA,AF=CF,推出AE=CE=BC=2.5,根据平行四边形的性质得到AD=BC=5,CD=AB=3,∠ACD=∠BAC=90°,同理证得AF=CF=2.5,于是得到结论.
【解答】解:∵AB⊥AC,AB=3,AC=4,
∴BC==5,
由作图可知,MN是线段AC的垂直平分线,
∴EC=EA,AF=CF,
∴∠EAC=∠ACE,
∵∠B+∠ACB=∠BAE+∠CAE=90°,
∴∠B=∠BAE,
∴AE=BE,
∴AE=CE=BC=2.5,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC=5,CD=AB=3,∠ACD=∠BAC=90°,
同理证得AF=CF=2.5,
∴四边形AECF的周长=EC+EA+AF+CF=10,
故答案为:10.
13.(2022•邵阳)如图,在等腰△ABC中,∠A=120°,顶点B在▱ODEF的边DE上,已知∠1=40°,则∠2= .
【分析】根据等腰三角形的性质和平行四边形的性质解答即可.
【解答】解:∵等腰△ABC中,∠A=120°,
∴∠ABC=30°,
∵∠1=40°,
∴∠ABE=∠1+∠ABC=70°,
∵四边形ODEF是平行四边形,
∴OF∥DE,
∴∠2=180°﹣∠ABE=180°﹣70°=110°,
故答案为:110°.
14.(2022•泰安)如图,四边形ABCD为平行四边形,则点B的坐标为 .
【分析】直接根据平移的性质可解答.
【解答】解:∵四边形ABCD为平行四边形,且A(﹣1,2),D(3,2),
∴点A是点D向左平移4个单位所得,
∵C(2,﹣1),
∴B(﹣2,﹣1).
故答案为:(﹣2,﹣1).
15.(2022•安徽)如图,▱OABC的顶点O是坐标原点,A在x轴的正半轴上,B,C在第一象限,反比例函数y=的图象经过点C,y=(k≠0)的图象经过点B.若OC=AC,则k= .
【分析】设出C点的坐标,根据C点的坐标得出B点的坐标,然后计算出k值即可.
【解答】解:由题知,反比例函数y=的图象经过点C,
设C点坐标为(a,),
作CH⊥OA于H,过A点作AG⊥BC于G,
∵四边形OABC是平行四边形,OC=AC,
∴OH=AH,CG=BG,四边形HAGC是矩形,
∴OH=CG=BG=a,
即B(3a,),
∵y=(k≠0)的图象经过点B,
∴k=3a•=3,
故答案为:3.
16.(2022•日照)如图,在平面直角坐标系中,平行四边形OABC的顶点O在坐标原点,点E是对角线AC上一动点(不包含端点),过点E作EF∥BC,交AB于F,点P在线段EF上.若OA=4,OC=2,∠AOC=45°,EP=3PF,P点的横坐标为m,则m的取值范围是( )
A.4<m<3+B.3﹣<m<4C.2﹣<m<3D.4<m<4+
【分析】先求得点A,C,B三个点坐标,然后求得AB和AC的解析式,再表示出EF的长,进而表示出点P的横坐标,根据不等式的性质求得结果.
【解答】解:可得C(,),A(4,0),B(4+,),
∴直线AB的解析式为:y=x﹣4,
∴x=y+4,
直线AC的解析式为:y=﹣,
∴x=4+y﹣2y,
∴点F的横坐标为:y+4,点E的横坐标为:4+y﹣2y,
∴EF=(y+4)﹣(4+y﹣2y)=2,
∵EP=3PF,
∴PF=EF=y,
∴点P的横坐标为:y+4﹣y,
∵0<y<,
∴4<y+4﹣y<3+,
故答案为:A.
17.(2022•南通)如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC⊥BC,BC=4,∠ABC=60°.若EF过点O且与边AB,CD分别相交于点E,F,设BE=x,OE2=y,则y关于x的函数图象大致为( )
A.B.
C.D.
【分析】过O点作OM⊥AB于M,由含30°角的直角三角形的性质及勾股定理可求解AB,AC的长,结合平行四边形的性质可得AO的长,进而求得OM,AM的长,设BE=x,则EM=5﹣x,利用勾股定理可求得y与x的关系式,根据自变量的取值范围可求得函数值的取值,即可判断函数的图象求解.
【解答】解:过O点作OM⊥AB于M,
∵AC⊥BC,∠ABC=60°,
∴∠BAC=30°,
∵BC=4,
∴AB=8,AC=,
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AO=AC=,
∴OM=AO=,
∴AM=,
设BE=x,OE2=y,则EM=AB﹣AM﹣BE=8﹣3﹣x=5﹣x,
∵OE2=OM2+EM2,
∴y=(x﹣5)2+3,
∵0≤x≤8,当x=8时y=12,
故符合解析式的图象为:
故选:C.
考点二:平行四边形的判定:
知识回顾
平行四边形的判定:
①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
∵AB∥DC,AB=DC,∴四边行ABCD是平行四边形
②两组对边分别相等(两组对边分别平行)的四边形是平行四边形。
符号语言:∵AB=DC,AD=BC(AB∥DC,AD∥BC),∴四边行ABCD是平行四边形.
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
∵∠ABC=∠ADC,∠DAB=∠DCB,∴四边行ABCD是平行四边形
④对角线相互平行的四边形是平行四边形。
∵OA=OC,OB=OD,∴四边行ABCD是平行四边形
微专题
18.(2022•河北)依据所标数据,下列一定为平行四边形的是( )
A.B.
C.D.
【分析】根据平行四边形的判定定理做出判断即可.
【解答】解:A、80°+110°≠180°,故A选项不符合条件;
B、只有一组对边平行不能确定是平行四边形,故B选项不符合题意;
C、不能判断出任何一组对边是平行的,故C选项不符合题意;
D、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,故D选项符合题意;
故选:D.
19.(2022•达州)如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,BC边的中点,点F在DE的延长线上.添加一个条件,使得四边形ADFC为平行四边形,则这个条件可以是( )
A.∠B=∠FB.DE=EFC.AC=CFD.AD=CF
【分析】利用三角形中位线定理得到DE∥AC,DE=AC,结合平行四边形的判定定理对各个选项进行判断即可.
【解答】解:∵D,E分别是AB,BC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE∥AC,DE=AC,
A、当∠B=∠F,不能判定AD∥CF,即不能判定四边形ADFC为平行四边形,故本选项不符合题意;
B、∵DE=EF,
∴DE=DF,
∴AC=DF,
∵AC∥DF,
∴四边形ADFC为平行四边形,故本选项符合题意;
C、根据AC=CF,不能判定AC=DF,即不能判定四边形ADFC为平行四边形,故本选项不符合题意;
D、∵AD=CF,AD=BD,
∴BD=CF,
由BD=CF,∠BED=∠CEF,BE=CE,不能判定△BED≌△CEF,不能判定CF∥AB,即不能判定四边形ADFC为平行四边形,故本选项不符合题意;
故选:B.
20.(2022•临沂)如图,在正六边形ABCDEF中,M,N是对角线BE上的两点.添加下列条件中的一个:①BM=EN;②∠FAN=∠CDM;③AM=DN;④∠AMB=∠DNE.能使四边形AMDN是平行四边形的是 (填上所有符合要求的条件的序号).
【分析】①连接AD,交BE于点O,证出OM=ON,由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得出结论;②证明△AON≌△DOM(ASA),由全等三角形的性质得出AN=DM,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得出结论;③不能证明△ABM与△DEN全等,则可得出结论;④证明△ABM≌△DEN(AAS),得出AM=DN,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得出结论.
【解答】解:①连接AD,交BE于点O,
∵正六边形ABCDEF中,∠BAO=∠ABO=∠OED=∠ODE=60°,
∴△AOB和△DOE是等边三角形,
∴OA=OD,OB=OE,
又∵BM=EN,
∴OM=ON,
∴四边形AMDN是平行四边形,故①符合题意;
②∵∠FAN=∠CDM,∠CDA=∠DAF,
∴∠OAN=∠ODM,
∴AN∥DM,
又∵∠AON=∠DOM,OA=OD,
∴△AON≌△DOM(ASA),
∴AN=DM,
∴四边形AMDN是平行四边形,故②符合题意;
③∵AM=DN,AB=DE,∠ABM=∠DEN,
∴△ABM与△DEN不一定全等,不能得出四边形AMDN是平行四边形,故③不符合题意;
④∵∠AMB=∠DNE,∠ABM=∠DEN,AB=DE,
∴△ABM≌△DEN(AAS),
∴AM=DN,
∵∠AMB+∠AMN=180°,∠DNM+∠DNE=180°,
∴∠AMN=∠DNM,
∴AM∥DN,
∴四边形AMDN是平行四边形,故④符合题意.
故答案为:①②④.
21.(2022•益阳)如图,在▱ABCD中,AB=8,点E是AB上一点,AE=3,连接DE,过点C作CF∥DE,交AB的延长线于点F,则BF的长为( )
A.5B.4C.3D.2
【分析】根据平行四边形的性质可知CD=AB=8,已知AE=3,则BE=5,再判定四边形DEFC是平行四边形,则DC=EF=8,BF=EF﹣BE,即可求出BF.
【解答】解:在▱ABCD中,AB=8,
∴CD=AB=8,AB∥CD,
∵AE=3,
∴BE=AB﹣AE=5,
∵CF∥DE,
∴四边形DEFC是平行四边形,
∴DC=EF=8,
∴BF=EF﹣BE=8﹣5=3.
故选:C.
22.(2022•赤峰)如图,剪两张对边平行的纸条,随意交叉叠放在一起,重合部分构成一个四边形ABCD,其中一张纸条在转动过程中,下列结论一定成立的是( )
A.四边形ABCD周长不变B.AD=CD
C.四边形ABCD面积不变D.AD=BC
【分析】由条件可知AB∥CD,AD∥BC,可证明四边形ABCD为平行四边形,可得到AD=BC.
【解答】解:由题意可知:AB∥CD,AD∥BC,
∴四边形ABCD为平行四边形,
∴AD=BC,
故选:D.
23.(2022•嘉兴)如图,在△ABC中,AB=AC=8,点E,F,G分别在边AB,BC,AC上,EF∥AC,GF∥AB,则四边形AEFG的周长是( )
A.8B.16C.24D.32
【分析】由EF∥AC,GF∥AB,得四边形AEFG是平行四边形,∠B=∠GFC,∠C=∠EFB,再由AB=AC=8和等量代换,即可求得四边形AEFG的周长.
【解答】解:∵EF∥AC,GF∥AB,
∴四边形AEFG是平行四边形,∠B=∠GFC,∠C=∠EFB,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∴∠B=∠EFB,∠GFC=∠C,
∴EB=EF,FG=GC,
∵四边形AEFG的周长=AE+EF+FG+AG,
∴四边形AEFG的周长=AE+EB+GC+AG=AB+AC,
∵AB=AC=8,
∴四边形AEFG的周长=AB+AC=8+8=16,
故选:B.