2024年中考数学必考考点专题30 圆篇（原卷版）

这是一份2024年中考数学必考考点专题30 圆篇（原卷版），共12页。试卷主要包含了数学小组研究如下问题等内容，欢迎下载使用。
知识回顾
圆的定义：
定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。
与圆有关的概念：
弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等。
连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。
垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
垂径定理的推论：
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题。
微专题
1．（2022•青海）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是⊙O中弦AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点D，并且AB＝4m，CD＝6m，则⊙O的半径长为 m．
2．（2022•牡丹江）⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AC的长为 ．
3．（2022•长沙）如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D为OC的中点，若OA＝7，则BC的长为 ．
第3题 第4题
4．（2022•自贡）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径为 厘米．
5．（2022•黑龙江）如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为 ．
第5题 第6题
6．（2022•上海）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，则这个花坛的面积为 .（结果保留π）
7．（2022•遵义）数学小组研究如下问题：遵义市某地的纬度约为北纬28°，求北纬28°纬线的长度．
小组成员查阅相关资料，得到如下信息：
信息一：如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；
信息二：如图2，赤道半径OA约为6400千米，弦BC∥OA，以BC为直径的圆的周长就是北纬28°纬线的长度；
（参考数据：π≈3，sin28°≈0.47，cs28°≈0.88，tan28°≈0.53）
根据以上信息，北纬28°纬线的长度约为 千米．
8．（2022•黄石）如图，圆中扇子对应的圆心角α（α＜180°）与剩余圆心角β的比值为黄金比时，扇子会显得更加美观，若黄金比取0.6，则β﹣α的度数是 ．
考点二：圆周角定理：
知识回顾
圆心角、弦以及弧之间的关系：
①定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
②推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧。
圆周角的定义：
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
圆周角定理的推论：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
圆的内接四边形：
①定义：四个顶点都在圆上的四边形叫做圆的内接四边形。
②性质： = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I：圆内接四边形的对角互补。
= 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。
微专题
（2022•襄阳）已知⊙O的直径AB长为2，弦AC长为，那么弦AC所对的圆周角的度数等于 ．
10．（2022•日照）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB＝12cm，BC＝5cm，则圆形镜面的半径为 ．
第10题 第11题
11．（2022•永州）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠ADC＝30°，则∠BOC＝ 度．
12．（2022•苏州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝28°，则∠D＝ °．
第12题 第13题
13．（2022•湖州）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是 EQ \* jc0 \* "Fnt:Times New Rman" \* hps16 \ \ad(\s \up 9(⌒),AB)所对的圆周角，则∠APD的度数是 ．
14．（2022•徐州）如图，A、B、C点在圆O上，若∠ACB＝36°，则∠AOB＝ ．
第14题 第15题
15．（2022•锦州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC＝130°，连接AC，则∠BAC的度数为 ．
16．（2022•雅安）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为 ．
第16题 第17题
17．（2022•甘肃）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，若∠ABC＝110°，则∠ADC＝ °．
考点三：切线
知识回顾
点与圆的位置关系：
点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为，点到圆心的距离，则有：
①点在圆外⇔
②点在圆上⇔
①点在圆内⇔
三角形的外接圆与外心：
经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆。圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫
做三角形的外心。
直线与圆的位置关系：
设⊙O的半径为，圆心O到直线的距离为，直线和圆的三种位置关系：
①相离：一条直线和圆没有公共点。直线和⊙O相离⇔。
②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点。直线和⊙O相切⇔。
③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线。直线和⊙O相交⇔。
切线的性质：
①圆的切线垂直于经过切点的半径。
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题。
切线的判定：
经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”。
微专题
18．（2022•常州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠ABC＝45°，AC＝，则⊙O的半径是 ．
第18题 第19题
19．（2022•黑龙江）如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，⊙O的半径为3cm．C为⊙O上一点，∠ACB＝60°，则AB的长为 cm．
20．（2022•玉林）如图，在5×7网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除△ABC外把你认为外心也是O的三角形都写出来 ．
21．（2022•凉山州）如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在格点上，则cs∠ACB的值是 ．
第21题 第22题
22．（2022•资阳）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，过点A作⊙O的切线AD．若∠B＝35°，则∠DAC的度数是 度．
23．（2022•衢州）如图，AB切⊙O于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连结BC．若∠A＝40°，则∠C的度数为 ．
第23题 第24题
24．（2022•盐城）如图，AB、AC是⊙O的弦，过点A的切线交CB的延长线于点D，若∠BAD＝35°，则∠C＝ °．
25．（2022•上海）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为 ．
26．（2022•泰州）如图，PA与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C在 EQ \* jc2 \* "Fnt:Times New Rman" \* hps20 \ \ad(\s \up 9(⌒),AmB)上，且与点A、B不重合．若∠P＝26°，则∠C的度数为 °．
27．（2022•宁波）如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点A．D是BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为 ．
第27题 第28题
28．（2022•金华）如图，木工用角尺的短边紧靠⊙O于点A，长边与⊙O相切于点B，角尺的直角顶点为C．已知AC＝6cm，CB＝8cm，则⊙O的半径为 cm．
29．（2022•湖北）如图，点P是⊙O上一点，AB是一条弦，点C是 EQ \* jc2 \* "Fnt:仿宋" \* hps20 \ \ad(\s \up 9(⌒),APB)上一点，与点D关于AB对称，AD交⊙O于点E，CE与AB交于点F，且BD∥CE．给出下面四个结论：
①CD平分∠BCE；②BE＝BD；③AE2＝AF•AB；④BD为⊙O的切线．
其中所有正确结论的序号是 ．
考点四：三角形的内切圆与内心
知识回顾
相交弦定理：
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
几何语言：若弦交于点，则。
推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
几何语言：若是直径，垂直于点，则。
弦切角定理：
（1）弦切角的定义：如图像∠ACP这样，顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
（2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半。等于这条弧所对的圆周角。即∠PCA=∠PBC。
3. 切线长定理：
（1）切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。
4. 切割线定理：
从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
几何语言：
∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线
∴PT2=PA•PB（切割线定理）。
推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
几何语言：
∵PBA，PDC是⊙O的割线
∴PD•PC=PA•PB
由上可知：PT2=PA•PB=PC•PD。
5. 三角形的内切圆与内心：
内切圆与内心的概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点。
微专题

30．（2022•恩施州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，⊙O为Rt△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留π） ．
31．（2022•泰州）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，O为内心，过点O的直线分别与AC、AB边相交于点D、E．若DE＝CD+BE，则线段CD的长为 ．
第31题 第32题 第33题
32．（2022•黔东南州）如图，在△ABC中，∠A＝80°，半径为3cm的⊙O是△ABC的内切圆，连接OB、OC，则图中阴影部分的面积是 cm2．（结果用含π的式子表示）
33．（2022•宜宾）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为 ．
考点五：正多边形与圆
知识回顾
正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆。
正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
微专题
34．（2022•长春）跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形ABC和等边三角形DEF组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若AB＝27厘米，则这个正六边形的周长为 厘米．
第34题 第35题
35．（2022•营口）如图，在正六边形ABCDEF中，连接AC，CF，则∠ACF＝ 度．
36．（2022•呼和浩特）如图，从一个边长是a的正五边形纸片上剪出一个扇形，这个扇形的面积为 （用含π的代数式表示）；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆直径为 ．
第36题 第37题 第38题
37．（2022•绥化）如图，正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于⊙O，且有公共顶点A，则∠BOH的度数为 度．
38．（2022•梧州）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正四边形，分别以点A，O为圆心，取大于OA的定长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交⊙O于点E，F．若OA＝1，则 EQ \* jc2 \* "Fnt:Times New Rman" \* hps20 \ \ad(\s \up 9(⌒),BE)，AE，AB所围成的阴影部分面积为 ．
39．（2022•宿迁）如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝6，点M在边AF上，且AM＝2．若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是 ．