2023-2024学年甘肃省天水二中高二（下）第一次检测数学试卷（4月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年甘肃省天水二中高二（下）第一次检测数学试卷（4月份）（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列导数运算正确的是( )
A. (2x2+3)′=4x+3B. (csπ2)′=−sinπ2
C. ( x)′=12 xD. (e−x)′=e−x
2.若离散型随机变量X的分布列如表所示．
则实数a的值为( )
A. a=−2或a=13B. a=−2C. a=13D. a=2或a=−13
3.已知f(x)=x3−2xf′(1)，则f′(2)等于( )
A. 11B. 10C. 8D. 1
4.已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图，则下列叙述正确的是( )
A. 函数f(x)在(−∞,−4)上单调递减B. 函数f(x)在x=2处取得极小值
C. 函数f(x)在x=−4处取得极值D. 函数f(x)只有一个极值点
5.已知函数f(x)=x3−ax在(−1,1)上单调递减，则实数a的取值范围为( )
A. (1,+∞)B. [3,+∞)C. (−∞,1]D. (−∞,3]
6.已知函数f(x)=xlnx，g(x)=ax2−x.若经过点A(1,0)存在一条直线l与曲线y=f(x)和y=g(x)都相切，则a=．( )
A. −1B. 1C. 2D. 3
7.为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位学生在某旅行社实习期间，把“研学游”项目分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在该旅行社前几年接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：
该实习生在省内有意向明年组织高一“研学游”的学校中，随机抽取3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响).设这3所学校中，选择“科技体验游”的学校数为随机变量X，则X的数学期望是( )
A. 65B. 25C. 1D. 2
二、多选题：本题共4小题，共23分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.对于函数f(x)=lnxx，下列说法正确的有( )
A. f(x)在x=e处取得极大值1eB. f(x)在x=e处取得最大值1e
C. f(x)有两个不同零点D. f(2)9.下列说法正确的有( )
A. 曲线的切线与曲线有且只有一个公共点
B. 设函数y=lnx+x2，则导函数y′>0恒成立
C. 函数h(t)=−4.9t2+5t+11在t=2附近单调递增
D. 某质点沿直线运动，位移y(单位：m)与时间(单位：s)之间的关系为y(t)=12t2+2t，则t=2s时的瞬间时速度为4m/s
10.某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛(每人被选中的机会均等)，记A为“男生甲被选中”，B为“男生乙和女生丙至少一个被选中”，则下列结论中正确的是( )
A. P(A)=37B. P(B)=27C. P(AB)=935D. P(B|A)=35
11.已知函数f(x)及其导数f′(x0)，若存在x0使得f(x0)=f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”.给出下列四个函数，其中有“巧值点”的函数是( )
A. f(x)=x2B. f(x)=e−xC. f(x)=lnxD. f(x)=tanx
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线y=cs(2x+π6)在x=π6处切线的斜率为______．
13.在A，B，C三地爆发了流感，这三个地区分别有350,3100,340的人患了流感．假设这三个地区人口数的比为6：5：4，现从这三个地区中任选一人，这个人患流感的概率是______．
14.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(−1)=0，当x>0时，xf′(x)−f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
甲、乙两人练习投篮，每次投篮命中的概率分别为13，12，设每人每次投篮是否命中相互之间没有影响．
(Ⅰ)如果甲、乙两人各投篮1次，求两人投篮都没有命中的概率；
(Ⅱ)如果甲投篮3次，求甲至多有1次投篮命中的概率．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=x3−3ax2+2bx在点x=1处有极小值−1．
(1)确定a，b的值，
(2)求f(x)的单调区间和极值．
17.(本小题15分)
某校高二年级学生参加全市的数学调研考试(满分150分)，现从甲班和乙班分别随机抽取了10位同学的考试成绩，统计得到如表．
(1)若分别从甲、乙两班的这10位同学中各抽取一人，求被取出的两人的成绩均不低于120分的概率；
(2)考虑甲、乙两班这20位同学的成绩，从不低于130分的同学中任意抽取3人，随机变量X表示被抽取的成绩不低于140分的人数，求X的分布列和数学期望．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=ex−ax+1(a∈R)．
(1)若函数f(x)的图象在点P(0,f(0))处的切线l与直线3x−y−6=0平行，求切线l的方程；
(2)若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=alnx+2a2x+x，a≠0
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当a∈(−∞,0)时，记函数f(x)的最小值为g(a)，求证：g(a)≤12e2．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：对A，∵(2x2+3)′=4x，∴A错误；
对B，∵(csπ2)′=0，∴B错误；
对C，∵( x)′=12 x，∴C正确；
对D，∵(e−x)′=−e−x，∴D错误．
故选：C．
根据导数公式，求导法则即可求解．
本题考查导数公式，求导法则，属基础题．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查离散型随机变量的分布列等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
利用离散型随机变量X的分布列的性质直接求解．
【解答】
解：由离散型随机变量X的分布列得：
0≤4a−1≤10≤3a2+a≤14a−1+3a2+a=1，
解得a=13．
故选：C．
3.【答案】B
【解析】解：∵f(x)=x3−2xf′(1)，
∴f′(x)=3x2−2f′(1)，
令x=1得，f′(1)=3−2f′(1)，解得f′(1)=1，
∴f′(x)=3x2−2，
∴f′(2)=3×4−2=10，
故选：B．
先求出导函数，令x=1求出f′(1)的值，进而求出f′(2)的值．
本题主要考查了导数的运算，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：由导函数f′(x)的图象可知，在(−∞,−4)上，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，故A选项错误；
在−4的左右，f′(x)>0，所以函数f(x)在x=−4处不能取得极值，故C选项错误；
当x>2时，f′(x)<0；当x<2时，f′(x)≥0，
即函数f(x)在(−∞,2)上单调递增，在(2,+∞)上单调递减，
即函数f(x)在x=2出取得极大值，且是函数f(x)的唯一极值点，故B选项错误，D选项正确．
故选：D．
由图象得出函数f(x)的单调性以及极值．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查逻辑推理能力，属于中档题．
5.【答案】B
【解析】解：∵函数f(x)=x3−ax在(−1,1)内单调递减，
∴f′(x)=3x2−a≤0在(−1,1)内恒成立，
即a≥3x2在(−1,1)内恒成立，
∵3x2<3，
∴a≥3，
故选：B．
求出导函数，令导函数小于等于0在(−1,1)内恒成立，分离出参数a，求出函数的范围，得到a的范围．
解决函数在区间上的单调性已知求参数的范围的问题，递增时令导函数大于等于0恒成立；递减时，令导数小于等于0恒成立．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了利用导数研究函数的切线方程，考查了方程思想，属于基础题．
先求得f(x)在A(1,0)处的切线方程，然后与g(x)=ax2−x联立，由Δ=0求解．
【解答】
解：∵f(x)=xlnx，∴f′(x)=1+lnx，∴f′(1)=1+ln1=1，∴k=1，
∴曲线y=f(x)在A(1,0)处的切线方程为y=x−1，
由y=x−1y=ax2−x，得ax2−2x+1=0，由Δ=4−4a=0，解得a=1．
故选：B．
7.【答案】A
【解析】解：依题意知，学校选择“科技体验游”的概率为25，选择“民俗人文游”的概率为25，选择“自然风光游”的概率为15．
X可能的取值为0，1，2，3．
则P(X=0)=C30×(35)3=27125，
P(X=1)=C31×(25)1×(35)2=54125，
P(X=2)=C32×(25)2×(35)1=36125，
P(X=3)=C33×(25)3=8125．
X的分布列为：
E(X)=0×27125+1×54125+2×36125+3×8125=65．
故选：A．
由题意，先得到选择“科技体验游”的概率与其它选择的概率，则可以写出选择“科技体验游”的学校数为随机变量X可能取值为0，1，2，3的概率，即可得到分布列，再根据数学期望定义计算出数学期望．
本题考查了随机变量的分布列及求数学期望，属于基础题．
8.【答案】ABD
【解析】解：函数的导数f′(x)=1−lnxx2(x>0)，
令f′(x)=0得x=e，则当00，函数为增函数，
当x>e时，f′(x)<0，函数f(x)为减函数，
则当x=e时，函数取得极大值，极大值为f(e)=1e，故A正确；
由A知当x=e时，函数取得最大值，最大值为f(e)=1e，故B正确；
由f(x)=0，得lnx=0，得x=1，即函数f(x)只有一个零点，故C错误；
∵f(2)=f(4)=ln44=2ln24=ln22，由x>e时，函数f(x)为减函数，知f(3)>f(π)>f(4)，
故f(2)故选：ABD．
求导可知f(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，从而可判断ABD，令f(x)=0得x=1，所以函数f(x)只有一个零点，可判断C．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：对于A，曲线的切线与曲线可以有多个交点，故A错误；
对于B，因为函数y=lnx+x2的定义域为(0,+∞)，所以y′=1x+2x=2x2+1x>0，故B正确；
对于C，因为函数h(t)=−4.9t2+5+11，所以h′(t)=−9.8t+5，所以h′(2)=−19.6+5<0，
所以函数h(t)=−4.9t2+5t+11在t=2附近单调递减，故C错误；
对于D，因为y(t)=12t2+2t，所以y′(t)=t+2，
所以y′(2)=4，所以t=2s时的瞬间时速度为4m/s，故D正确．
故选：BD．
根据曲线的切线的定义即可判断选项A的正误；利用导数与0的大小关系即可判断选项B的正误；求出h′(2)，判断其与0的大小关系即可判断选项C的正误；求出y′(2)即可判断选项D的正误．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
10.【答案】ACD
【解析】解：∵P(A)=C62C73=1535=37，∴A正确，
∵P(B)=1−C53C73=1−27=37，∴B错误，
∵P(AB)=C41C73×2+1C73=835+135=935，∴C正确，
在男生甲被选中的情况下，基本事件总数n=C62=15，
男生乙和女生丙至少一个被选中包含的基本事件个数m=C21C41+C22=9，
∴P(B|A)=915=35，∴D正确，
故选：ACD．
利用古典概型，条件概率，排列组合求解即可．
本题考查概率的求法，考查古典概型，条件概率，排列组合等基础知识，是中档题．
11.【答案】AC
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，由f(x0)=f′(x0)得2x0=x02，解得：x0=0或2，所以选A；
对于B中，由f(x0)=f′(x0)得−ex0=ex0，变形可得ex0=0，显然无解，所以不选B；
对于C，由f(x0)=f′(x0)得lnx0=1x0，因为函数y=lnx0与y=1x0图像有交点，所以存在x0使得lnx0=1x0成立，所以选C；
对于D，由f(x0)=f′(x0)得tanx0=(sinx0csx0)′=1cs2x0得sinx0csx0=1得sin2x0=2>1，显然无解，所以不选D．
故选：AC．
根据题意，依次分析选项；对于每个选项中的函数看方程f(x0)=f′(x0)是否有解进行判断即可．
本题考查导数的计算，注意理解“巧值点”的定义，属于中档题．
12.【答案】−2
【解析】解：由f(x)=cs(2x+π6)，得：f′(x)=−2sin(2x+π6)，
所以f′(π6)=−2sin(2×π6+π6)=−2，
故答案为：−2．
直接利用复合函数的导数公式求出原函数的导函数，然后在导函数解析式中，取x=π6即可求出答案．
本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题
13.【答案】0.054
【解析】解：设事件D表示这个人患流感，A1，A2，A3表示这个人分别来自A，B，C三地，
由已知得P(D|A1)=350，P(D|A2)=3100，P(D|A3)=340，
P(A1)=615=25，P(A2)=515=13，P(A3)=415，
从这三个地区中任选一人，这个人患流感的概率是：
P(D)=P(D|A1)P(A1)+P(D|A2)P(A2)+P(D|A3)P(A3)
=350×25+3100×13+340×415=0.054．
故答案为：0.054．
利用全概率公式直接求解．
本题考查概率的求法，考查全概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】(−∞,−1)∪(0,1)
【解析】解：设g(x)=f(x)x，则g(x)的导数为：
g′(x)=xf′(x)−f(x)x2，
∵当x>0时总有xf′(x)即当x>0时，g′(x)恒小于0，
∴当x>0时，函数g(x)=f(x)x为减函数，
又∵g(−x)=f(−x)−x=−f(x)−x=f(x)x=g(x)，
∴函数g(x)为定义域上的偶函数
又∵g(−1)=f(−1)−1=0，
∴函数g(x)的大致图象如图所示：
数形结合可得，不等式f(x)>0⇔x⋅g(x)>0
⇔x>0g(x)>0或x<0g(x)<0，
⇔0∴f(x)>0成立的x的取值范围是(−∞,−1)∪(0,1)．
故答案为：(−∞,−1)∪(0,1)．
构造函数g(x)=f(x)x，利用g(x)的导数判断函数g(x)的单调性与奇偶性，
画出函数g(x)的大致图象，结合图形求出不等式f(x)>0的解集．
本题考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式的应用问题，是综合题目．
15.【答案】(I)解：记“甲、乙两人各投篮1次，且都没有命中”为事件A.(1分)
因为甲每次投篮命中的概率为13，所以甲投篮一次且没有命中的概率为1−13=23.(2分)
同理，乙投篮一次且没有命中的概率为1−12=12.(3分)
所以P(A)=(1−13)×(1−12)=13．
答：甲、乙两人各投篮1次，且都没有命中的概率为13.(6分)
(II)解：记“甲投篮3次，且至多有1次投篮命中”为事件B.(7分)
因为甲每次投篮命中的概率为13，所以甲投篮3次，且都没命中的概率为C30×(1−13)3=827，(9分)
甲投篮3次，且恰有1次投篮命中的概率为C31×13×(1−13)2=49(11分)
所以P(B)=827+49=2027．
答：甲投篮3次，且至多有1次投篮命中的概率为2027.(13分)
【解析】(I)记“甲、乙两人各投篮1次，且都没有命中”为事件A，则甲投篮一次且没有命中的概率为1−13=23，同理，乙投篮一次且没有命中的概率为1−12=12，
再把这2个概率值相乘，即得所求．
(II)记“甲投篮3次，且至多有1次投篮命中”为事件B，求出甲投篮3次，且都没命中的概率，再求出甲投篮3次，且恰有1次投篮命中的概率，相加即得所求
本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，互斥事件的概率加法公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，属于中档题．
16.【答案】解：(1)∵函数f(x)=x3−3ax2+2bx，
∴f′(x)=3x2−6ax+2b，
∵函数f(x)=x3−3ax2+2bx在点x=1处有极小值−1，
∴f′(1)=3−6a+2b=0，…①
f(1)=1−3a+2b=−1，…②
解①②得a=13，b=−12．
(2)由(1)得f(x)=x3−x2−x，
f′(x)=3x2−2x−1，令f′(x)=0得x=1或x=−13，
在区间(−∞,−13)和(1,+∞)上，函数f(x)为增函数；
在区间(−13,1)内，函数f(x)为减函数．
∴f(x)的极大值为f(−13)=527，f(x)的极小值为f(1)=−1．
【解析】本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值以及函数的单调性的应用，考查转化思想以及计算能力．
(1)先求导函数，利用函数f(x)在x=1处取得极小值是−1，可得f′(1)=0，f(1)=−1，从而可求a、b的值；
(2)利用(1)得到的函数的解析式，通过导函数为0，求出极值点，然后通过导数的正负判断函数的单调性，求解函数的单调区间以及函数的极值即可．
17.【答案】解：(1)设事件A为“被取出的两人的成绩均不低于120分”，则由表格可知，甲、乙两班中成绩不低于120分的人数分别为7人和6人，
即PA=16C71⋅C110C101⋅C=2150．
所以被取出的两人的成绩均不低于120分的概率为2150．
(2)由已知可得甲、乙两班的这20位同学中，分数不低于130分的有7人，分数不低于140分的有3人，
设随机变量X的可能取值为0，1，2，3．
所以P(X=0)=03C43CC73=435，P(X=1)=13C42CC73=1835，P(X=2)=23C41CC73=1235，P(X=3)=33C40CC73=135．
即X的分布列为
所以E(X)=0×435+1×1835+2×1235+3×135=97．
【解析】(1)直接利用概率公式计算即可．
(2)先确定离散型随机变量的所有取值，再求出对应的概率即可求分布列与方差．
本题主要考查离散型随机变量分布列与期望，属于中档题．
18.【答案】解：(1)函数f(x)=ex−ax+1(a∈R)的导数为f′(x)=ex+a(x+1)2，
可得函数f(x)的图象在点P(0,f(0))处的切线l的斜率为1+a，
由切线l与直线3x−y−6=0平行，可得1+a=3，解得a=2，
则切点为(0,−1)，切线l的方程为y=3x−1；
(2)函数f(x)有两个零点等价为f(x)=0有两个不等的实根，
即a=(x+1)ex有两个不等的实根．
设g(x)=(x+1)ex，g′(x)=(x+2)ex，
当x>−2时，g′(x)>0，g(x)递增；当x<−2时，g′(x)<0，g(x)递减，
可得g(x)在x=−2处取得极小值，且为最小值−e−2，
且x<−1时，g(x)<0，x>−1时，g(x)>0，g(x)递增，
所以当−e−2则a的取值范围是(−e−2,0)．
【解析】(1)求得f(x)的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件，解方程可得a，求得切点，由直线的斜截式方程可得所求切线的方程；
(2)由题意可得a=(x+1)ex有两个不等的实根．设g(x)=(x+1)ex，求得导数和单调性、极值和最值，画出图象，可得所求取值范围．
本题考查函数的导数的运用：求切线的方程和单调性、极值和最值，以及函数的零点个数问题，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)f(x)的定义域为{x|x>0}，f′(x)=ax−2a2x2+1=x2+ax−2a2x=(x−a)(x+2a)x2(x>0)
①当a>0时，因为x>0，
由f′(x)>0得(x−a)(x+2a)>0，解得x>a；
由f′(x)<0得(x−a)(x+2a)<0，解得0∴函数f(x)在(a,+∞)上单调递增，在(0,a)上单调递减；
①当a<0时，因为x>0，
由f′(x)>0得(x−a)(x+2a)>0，解得x>−2a；
由f′(x)<0得(x−a)(x+2a)<0，解得0∴函数f(x)在(−2a,+∞)上单调递增，在(0,−2a)上单调递减；
(2)证明：由(1)知，当a∈(−∞,0)时，函数f(x)的最小值为g(a)，且g(a)=f(−2a)=aln(−2a)−3a，
∴g′(a)=ln(−2a)−2，
令g′(a)=0，得a=−12e2．
当a变化时，g′(a)，g(a)的变化情况如下表：
∴−12e2是g(a)在(−∞,0)上的唯一极值点，且是极大值点，从而也是g(a)的最大值点．
∴g(a)max=g(−12e2)=−12e2ln[−2×(−12e2)]−3(−12e2)=−12e2lne2+32e2=12e2．
∴当a∈(−∞,0)时，g(a)≤12e2．
【解析】(1)求导函数，分类讨论，利用导数的正负，即可确定函数f(x)的单调性；
(2)由(1)知，当a∈(−∞,0)时，函数f(x)的最小值为g(a)，且g(a)=f(−2a)=aln(−2a)−3a，求导数，求出函数的最大值，即可证得结论．
本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，解题的关键是正确求导，考查了运算能力和转化能力，属于难题X
0
1
P
4a−1
3a2+a
研学游类型
科技体验游
民俗人文游
自然风光游
学校数
40
40
20
班级
考试成绩(单位：分)
甲班
106，112，117，120，125，129，129，135，141，146
乙班
103，114，116，119，124，128，131，134，139，143
X
0
1
2
3
P
27125
54125
36125
8125
X
0
1
2
3
P
435
1835
1235
135
a
(−∞,−12e2)
−12e2
(−12e2,0)
g′(a)
+
0
−
g(a)
↑
极大值
↓