2023-2024学年江西省上饶市余干县私立蓝天中学高一（下）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江西省上饶市余干县私立蓝天中学高一（下）第一次月考数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.sin120°的值为( )
A. 32B. 12C. − 32D. −12
2.已知角α的终边上一点是P(−4,3)，则sinα=( )
A. −45B. 35C. −43D. −34
3.在[0,2π]上与−π5终边相同的角是( )
A. 9π5B. 7π5C. 3π5D. π5
4.半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是( )
A. 1B. 2C. 4D. 8
5.若α是第四象限角，则点P(sinα,csα)在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
6.将函数f(x)=cs(2x+π3)向右平移2π3个单位，再将所得的函数图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象，则( )
A. g(x)=−csxB. g(x)=csx
C. g(x)=cs(x−π3)D. g(x)=cs(4x−π3)
7.如图是函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象，则该函数的解析式可以是( )
A. y=2sin(12x+π3)
B. y=2sin(12x−π3)
C. y=2sin(2x+π3)
D. y=2sin(2x−π3)
8.已知a=20.3，b=lg0.32，c=tan40°，则( )
A. a>b>cB. b>c>aC. c>b>aD. a>c>b
二、多选题：本题共4小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知下列各角：①−120°；②180°；③−240°；④495°，其中是第二象限角的是( )
A. ①B. ②C. ③D. ④
10.下列结论正确的是( )
A. sin(α−π2)=−csαB. cs(α−π)=−csα
C. tan(−α−π)=−tanαD. cs(5π2+α)=sinα
11.已知函数f(x)=cs(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于直线x=−7π12对称，则( )
A. f(0)= 32
B. 函数y=f(x)的图象关于点(2π3,0)对称
C. 函数f(x)在区间(19π24,π)上单调递增
D. 函数f(x)在区间[π12,5π6]上的值域为[−1, 32]
12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，也叫取整函数，则下列叙述正确的是( )
A. [csπ4]=0B. 函数y=csx−[csx]有3个零点
C. y=[csx]的最小正周期为2πD. y=[csx]的值域为{−1,0,1}
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知csα=13，则sin(α+3π2)= ______．
14.设函数f(x)(x∈R)是以2为最小正周期的周期函数，且当x∈[0,2]时，f(x)=(x−1)2，则f(3)= ______．
15.将函数f(x)=cs(2x−π6)的图象向左平移φ(0<φ<π2)个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x)是偶函数，则φ= ______．
16.函数f(x)=sin(ωx+π6)在(−π6,π6)上单调递增，且f(x)的图象向左平移π个单位后与原来的图象重合.若方程f(x)=−12在(5π12,11π12)上的解为x1，x2，则f(x1+x2)= ______．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
用弧度制写出终边在阴影部分的角的集合：
18.(本小题12分)
已知sinα=−23，求下列各三角函数的值：
(1)sin(3π+α)；
(2)cs(π2+α)；
(3)cs(5π2−α)．
19.(本小题12分)
一个扇形所在圆的半径为6，该扇形的周长为16．
(1)求该扇形圆心角的弧度数；
(2)求该扇形的面积．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=2sin(3x−π6)+a，且f(2π9)=3．
(1)求a的值；
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin(ωx−π3)，ω>0．
(1)当ω=2时，求f(x)在[0,π2]上的值域；
(2)若f(x)在[0,π]上单调递增，求实数ω的取值范围．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,|φ|<π2)的图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若将函数y=f(x)的图象上的所有点向右平移π12，再将横坐标伸长到原来的2倍，得到函数g(x)的图象，若函数y=g(x)−k在[0,76π]有零点，求实数k的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．
由题意利用诱导公式化简要求的式子，可得结果．
【解答】
解：sin120°=sin60°= 32，
故选：A．
2.【答案】B
【解析】解：由题意可得，x=−4、y=3、r=|OP|=5，故sinα=yr=35，
故选：B．
由题意可得，x=−4、y=3、r=|OP|=5，再由sinα=yr，运算求得结果．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：与−π5终边相同的角的集合为{θ|θ=−π5+2kπ,k∈Z}，
∵0≤θ≤2π，
∴取k=1时，θ=9π5．
故选：A．
写出与−π5终边相同的角的集合θ，结合θ的范围得答案．
本题考查终边相同角的集合，是基础题．
4.【答案】B
【解析】解：半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是：42=2．
故选：B．
根据已知条件，结合弧长公式，即可求解．
本题主要考查弧长公式，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：若α是第四象限角，则sinα<0，csα>0，
所以点P(sinα,csα)在第二象限．
故选：B．
由已知结合三角函数的定义即可求解．
本题主要考查了三角函数的定义，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：将函数f(x)=cs(2x+π3)向右平移2π3个单位，可得y=cs(2x−π)=−cs2x的图象；
再将所得的函数图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，
得到函数y=g(x)=−csx的图象．
故选：A．
由题意，利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，诱导公式，得出结论．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，诱导公式，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：根据函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象，可得A=2，34T=34×2πω=π12−(−2π3)，
解得ω=2，
再根据五点法作图可得2×π12+φ=π2，
解得φ=π3，
故f(x)=2sin(2x+π3).
故选：C．
由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：a=20.3>1，b=lg0.32<0，c=tan40°∈(0,1)，
所以a>c>b．
故选：D．
由已知结合指数函数及对数函数单调性即可比较a，b，c的大小．
本题主要考查了指数及对数函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
9.【答案】CD
【解析】解：对于①，−120°=−360°+240°，而240°是第三象限角，①不是；
对于②，180°角的终边为x轴非正半轴，②不是；
对于③，−240°=−360°+120°，120°是第二象限角，③是；
对于④，495°=360°+135°，135°是第二象限角，④是．
故选：CD．
求出给定的各个角与0°到360°间终边相同的角，即可作答．
本题主要考查了象限角的判断，属于基础题．
10.【答案】ABC
【解析】解：对于A，sin(α−π2)=−sin(π2−α)=−csα，故A正确；
对于B，cs(α−π)=cs(π−α)=−csα，故B正确；
对于C，tan(−α−π)=−tan(α+π)=−tanα，故C正确；
对于D，cs(5π2+α)=cs(2π+π2+α)=cs(π2+α)=−sinα，故D错误．
故选：ABC．
根据诱导公式逐一进行判断即可．
本题主要考查了诱导公式在三角函数化简中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：因为f(x)的图象关于直线x=−7π12对称，
所以φ−7π6=kπ，即φ=7π6+kπ，k∈Z，
因为0<φ<π，
所以φ=π6，
即f(x)=cs(2x+π6)，
f(0)=csπ6= 32，故A正确；
f(2π3)=cs3π2=0，所以函数y=f(x)的面象关于点(2π3,0)对称，故B正确；
令t=2x+π6，由x∈(19π24,π)，可得t∈(21π12,13π6)，
因为21π12<2π<13π6，所以函数f(x)在区间(19π24,π)上不是单调函数，故C不正确；
令t=2x+π6，由x∈[π12,5π6]，可得t∈[π3,11π6]，
所以cst∈[−1, 32]，
所以f(x)∈[−1, 32]，故D正确．
故选：ABD．
先根据对称轴求出函数解析式，结合选项逐个验证即可．
本题考查三角函数性质应用，属于中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，[csπ4]=[ 22]=0，A正确；
对于B，当x=kπ+π2，k∈Z时，csx=0时，有csx−[csx]=0，
即x=kπ+π2，k∈Z是函数y=csx−[csx]的零点，
同理：x=kπ，k∈Z也是函数y=csx−[csx]的零点，
故函数y=csx−[csx]的零点有无数个，B错误；
对于C，在区间[0,2π)上，y=[csx]=1,x=00,0对于D，由C的结论，y=[csx]的值域为{−1,0,1}，D正确．
故选：ACD．
根据题意，由“高斯函数”的定义分析A，由余弦函数和函数零点的定义分析B，将函数y=[csx]的解析式写出分段函数的形式，分析C、D，即可得答案．
本题考查函数的值域、周期和零点，关键是理解“高斯函数”的定义，属于中档题．
13.【答案】−13
【解析】解：sin(α+3π2)=−csα=−13．
故答案为：−13．
利用诱导公式化简求值．
本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．
14.【答案】0
【解析】解：因函数f(x)的周期为2，
故f(3)=f(1)=(1−1)2=0．
故答案为：0．
利用函数的周期，将自变量的值转化为解析式要求的自变量范围内即可求得．
本题主要考查函数周期性的应用，考查计算能力，属于基础题．
15.【答案】π12．
【解析】解：将函数f(x)=cs(2x−π6)的图象向左平移φ(0<φ<π2)个单位长度，
得到函数g(x)=cs(2x+2φ−π6)的图象．
若g(x)是偶函数，则2φ−π6=kπ，k∈Z，故φ=π12．
故答案为：π12．
由题意，利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的奇偶性，得出结论．
本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的奇偶性，属于基础题．
16.【答案】12
【解析】解：∵函数f(x)=sin(ωx+π6)在(−π6,π6)上单调递增，∴T2=πω≥π6+π6，即0<ω≤3．
∵f(x)的图象向左平移π个单位后与原来的图象重合，
∴T=2πω=π，∴ω=2，f(x)=sin(2x+π6).
方程f(x)=−12在(5π12,11π12)上的解为x1，x2，即sin(2x+π6)=−12在(5π12,11π12)上的解为x1，x2，
而此时，2x+π6∈(π,2π)，
故2x1+π6=7π6，2x2+π6=11π6，故x1+x2=4π3，
则f(x1+x2)=sin[2(x1+x2)+π6]=sin17π6=sin5π6=sinπ6=12．
故答案为：12．
由题意，利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，先求出函数的解析式和x1+x2的值，可得f(x1+x2)=sin[2((x1+x2)+π6]的值．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由图可知，边界对应射线所在终边的角分别为2kπ+π4，2kπ+2π3，k∈Z，
终边在阴影部分的角的集合为{α|2kπ+π4<α≤2kπ+2π3,k∈Z}；
(2)边界对应射线所在终边的角分别为2kπ，2kπ+π6，2kπ+π，2kπ+7π6，k∈Z，
∴终边在阴影部分的角的集合为：
{α|2kπ≤α≤2kπ+π6,k∈Z}∪{α|2kπ+π≤α≤2kπ+7π6,k∈Z}
={α|kπ≤α≤kπ+π6,k∈Z}．
【解析】首先找到对应边界的终边表示的角，再写成集合形式．
本题考查角的范围的表示方法，考查角度制与弧度制的转化，是基础题．
18.【答案】解：sinα=−23，
(1)sin(3π+α)=−sinα=23；
(2)cs(π2+α)=−sinα=23；
(3)cs(5π2−α)=sinα=−23．
【解析】由已知利用诱导公式即可计算求解．
本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
19.【答案】解：(1)因为扇形所在圆的半径为6，扇形的周长为16，
所以扇形所对的弧长为16−2×6=4，
所以该扇形圆心角的弧度数为α=46=23；
(2)该扇形的面积为S=12×4×6=12．
【解析】(1)求出扇形所对的弧长，再计算该扇形圆心角的弧度数；
(2)利用扇形的面积公式计算即可．
本题考查了扇形的周长与面积计算问题，是基础题．
20.【答案】解：(1)因为f(2π9)=3，所以2sin(3×2π9−π6)+a=3，
所以2sinπ2+a=3，即2+a=3，解得a=1．
(2)由(1)可得f(x)=2sin(3x−π6)+1，
则f(x)的最小正周期为T=2π3，
令2kπ−π2≤3x−π6≤2kπ+π2，k∈Z，
解得2kπ3−π9≤x≤2kπ3+2π9，k∈Z，
故f(x)的单调递增区间为[2kπ3−π9,2kπ3+2π9]，k∈Z．
【解析】(1)由f(2π9)=3，代入函数解析式从而可求解．
(2)由(1)可知f(x)=2sin(3x−π6)+1，从而可求解T=2π3，利用整体代换法从而可求解单调递增区间．
本题主要考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)f(x)=sin(ωx−π3)，ω>0．
当ω=2时，f(x)=sin(2x−π3)，
x∈[0,π2]⇒2x−π3∈[−π3,2π3]⇒sin(2x−π3)∈[− 32,1]；
即f(x)在[0,π2]上的值域为[− 32,1]；
(2)当x=0时，ω⋅0−π3=−π3∈[−π2,π2]，
又f(x)在[0,π]上单调递增，
所以πω−π3≤π2，
解得ω≤56，又ω>0，
所以0<ω≤56，即ω∈(0,56].
【解析】(1)当ω=2时，f(x)=sin(2x−π3)，利用正弦函数的性质可求得f(x)在[0,π2]上的值域；
(2)依题意，可得πω−π3≤π2，结合ω>0，可求得实数ω的取值范围．
本题考查正弦函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由图可知A=1，T4=7π12−π3=π4,T=π=2πω,ω=2，f(x)=sin(2x+φ)，
f(7π12)=f(x)=sin(7π6+φ)=−1，由于−π2<φ<π2,2π3<7π6+φ<5π3，
所以7π6+φ=3π2,φ=π3，所以f(x)=sin(2x+π3)．
(2)将函数y=f(x)的图象上的所有点向右平移π12，得到y=sin[2(x−π12)+π3]=sin(2x+π6)，
再将横坐标伸长到原来的2倍，得到函数g(x)=sin(x+π6)，
由x∈[0,7π6]得x+π6∈[π6,4π3]，此时g(x)∈[− 32,1]，
所以要使函数y=g(x)−k在[0,76π]有零点，则k∈[− 32,1]．
【解析】(1)根据函数图象，依次求得A，ω，φ的值，从而求得f(x)的解析式．
(2)根据三角函数图象变换的知识求得g(x)，根据g(x)在区间[0,76π]上的值域求得正确答案．
本题主要考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，考查运算求解能力，属于中档题．