江苏省南通市海门区东洲国际学校2022-2023学年七年级下学期数学期中试题

这是一份江苏省南通市海门区东洲国际学校2022-2023学年七年级下学期数学期中试题，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．16的算术平方根是（ ）
A．4B．±4C．﹣4D．2
2．在平面直角坐标系中，点（2022，﹣2023）所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．下列条件不能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠3＝∠4B．∠1＝∠5
C．∠1+∠2＝180°D．∠3＝∠5
4．下列等式正确的是（ ）
A．＝±B．
C．D．
5．不等式2x+2≤6的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．下列命题中真命题是（ ）
A．同位角相等B．垂线段最短
C．相等的角是对顶角D．互补的角是邻补角
7．从甲地到乙地有一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km．下坡每小时走5km，从乙地到甲地需42min．设从甲地到乙地的上坡路程长x km，平路路程长为y km，由题意可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．若x＞y，且（a﹣4）x＜（a﹣4）y，则a的值可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
9．关于x、y的方程组的解是，其中y的值被盖住了，则m的值是（ ）
A．﹣1B．1C．2D．﹣2
10．如图，已知BC∥DE，BF平分∠ABC，则下列结论：①∠ACB＝∠E；②BF∥CD；④DF平分∠ADC，其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题（本大题共8小题，11～13每小题3分，14～18每小题3分，共29分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．在实数，0，，﹣1.414中，无理数有 个．
12．比较大小：已知m＞n，则﹣2m+1 ﹣2n+1．
13．如图，直线AD与BE相交于点O，∠COD＝90°，则∠AOB＝ ．
14．（4分）已知，，则＝ ．
15．（4分）以绳测井．若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，一份绳长比井深多5尺；若将绳子折成四等份，井深y尺，根据题意 ．
16．（4分）a为正整数，已知二元一次方程组有整数解2＝ ．
17．（4分）如图，在长方形纸片ABCD中，点E，BC上，将∠BFE沿着EF折叠；再将∠CFD沿着DF折叠，点C刚好落在EF上的点C′处，则∠B′FD的度数为 ．
18．（4分）已知点P（x﹣a，5﹣2x）在第一象限，要使x取值有4个整数 ．
三、解答题（本大题共8小题，共91分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）计算：
（1）；
（2）．
20．（12分）解下列方程：
（1）（3x+2）2＝16；
（2）．
21．（8分）解下列不等式组，并写出其整数解．
．
22．（10分）有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5t，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35t．3辆大货车与5辆小货车一次可以运货多少t？
23．（12分）如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，且∠2+∠3＝180°，试说明：AB∥GD．请补充说明过程
证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）．
∴∠ADB＝∠EFB＝90°（ ）．
∴EF∥AD（ ）．
∴ +∠2＝180°（ ）．
又∵∠2+∠3＝180°（已知）．
∴∠1＝∠3（ ）．
∴AB∥GD（ ）．
24．（12分）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车制造商开发了一款新能源汽车，工厂决定招聘部分新工人，他们经过培训后也能独立进行新能源汽车的安装．生产开始后；2名熟练工和5名新工人每月可以安装22辆新能源汽车．
（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆新能源汽车？
（2）如果工厂招聘n（0＜n＜10）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务
（3）在（2）的条件下，工厂给安装新能源汽车的每名熟练工人每月发放4000元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工（元）尽可能少？
25．（13分）如图①所示，已知直线AB∥CD，直线EF交AB、CD于点E、F
（1）求证：EG⊥FG；
（2）如图②所示，点P是EG反向延长线上一动点，当PF平分∠CFG时；
（3）若点P仍是EG反向延长线上一动点，当点P运动至∠CFP＝2∠PFG时，请直接写出∠P与∠DFG存在的数量关系．
26．（14分）定义：在平面直角坐标系中，点P（a，b）和点Q（c，d），则称点P、Q互为“友好点”．
（1）若点A为（2，1），则它的“友好点”A′坐标为 ；
（2）已知点B为（m，n+1），它的“友好点”B′（m﹣2，2n），求点B、B′的坐标；
（3）已知点P（m+1，y）与点互为“友好点”，求满足条件的整数n的值．
江苏省南通市海门区东洲国际学校2022-2023学年七年级下学期数学期中考试
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．16的算术平方根是（ ）
A．4B．±4C．﹣4D．2
【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果．
【解答】解：∵42＝16，
∴＝3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义．一个正数的算术平方根就是其正的平方根．
2．在平面直角坐标系中，点（2022，﹣2023）所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【解答】解：点（2022，﹣2023）横坐标为正，故所在的象限是第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查了象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
3．下列条件不能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠3＝∠4B．∠1＝∠5
C．∠1+∠2＝180°D．∠3＝∠5
【分析】根据平行线的判定定理求解判断即可．
【解答】解：由∠3＝∠4，根据内错角相等，故A不符合题意；
由∠8＝∠5，据同位角相等，故B不符合题意；
由∠1+∠5＝180°，∠1+∠3＝180°，根据同位角相等，故C不符合题意；
由∠3＝∠5，不能判定AB∥CD；
故选：D．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟记“同位角相等，两直线平行”、“内错角相等，两直线平行”及“同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键．
4．下列等式正确的是（ ）
A．＝±B．
C．D．
【分析】根据算术平方根的定义判断A、C、D；根据立方根的定义判断B．
【解答】解：A、＝，故本选项错误；
B、＝﹣3；
C、＝＝，故本选项正确；
D、负数没有算术平方根；
故选：C．
【点评】本题考查了立方根与算术平方根的定义，熟练掌握定义是解题的关键．
5．不等式2x+2≤6的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】求出不等式的解集，表示在数轴上即可．
【解答】解：解不等式2x+2≤7，得：x≤2，
将不等式解集表示在数轴上如下：
故选：B．
【点评】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．下列命题中真命题是（ ）
A．同位角相等B．垂线段最短
C．相等的角是对顶角D．互补的角是邻补角
【分析】根据平行线的性质、垂线段最短、对顶角、邻补角的概念判断．
【解答】解：两直线平行，同位角相等；
垂线段最短，B是真命题；
相等的角不一定是对顶角，C是假命题；
互补的角不一定是邻补角，D是假命题；
故选：B．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7．从甲地到乙地有一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km．下坡每小时走5km，从乙地到甲地需42min．设从甲地到乙地的上坡路程长x km，平路路程长为y km，由题意可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】去乙地时的路程和回来时是相同的，不过去时的上坡路和下坡路和回来时恰好相反，平路不变，已知上下坡的速度和平路速度，根据去时和回来时的时间关系，可列出方程组．
【解答】解：设从甲地到乙地上坡与平路分别为x km，y km，
由题意得：，
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．
8．若x＞y，且（a﹣4）x＜（a﹣4）y，则a的值可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】根据不等式的性质进行计算，即可解答．
【解答】解：∵x＞y，且（a﹣4）x＜（a﹣4）y，
∴a﹣2＜0，
∴a＜4，
∴a的值可能是7，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
9．关于x、y的方程组的解是，其中y的值被盖住了，则m的值是（ ）
A．﹣1B．1C．2D．﹣2
【分析】把x＝1代入第二个方程求出y的值，即可确定出m的值．
【解答】解：把x＝1代入x﹣y＝3得：y＝﹣5，
把x＝1，y＝﹣2代入x+my＝8得：1﹣2m＝2，
解得：m＝﹣2，
故选：D．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
10．如图，已知BC∥DE，BF平分∠ABC，则下列结论：①∠ACB＝∠E；②BF∥CD；④DF平分∠ADC，其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据平行线的性质求出∠ACB＝∠E，根据角平分线定义和平行线的性质求出∠ABF＝∠CBF＝∠ADC＝∠EDC，推出BF∥DC，再根据平行线的性质判断即可．
【解答】解：∵BC∥DE，
∴∠ACB＝∠E，
故①正确，符合题意；
∵BC∥DE，
∴∠ABC＝∠ADE，
∵BF平分∠ABC，DC平分∠ADE，
∴∠ABF＝∠CBF＝∠ABC∠ADE，
∴∠ABF＝∠CBF＝∠ADC＝∠EDC，
∴BF∥CD，
故②正确，符合题意；
∵BC∥DE，
∴∠BCD＝∠EDC，
∵∠ABF＝∠EDC，
∴∠ABF＝∠BCD，
故③正确，符合题意；
根据已知不能求出∠ADF＝∠CDF，
即不能得出DF平分∠ADC，
故④错误，不符合题意；
即正确的有3个，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线定义的应用，能灵活运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，11～13每小题3分，14～18每小题3分，共29分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．在实数，0，，﹣1.414中，无理数有 2 个．
【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
【解答】解：在实数，2，，﹣1.414中，，共2个．
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了无理数和有理数的特征和区别，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数．
12．比较大小：已知m＞n，则﹣2m+1 ＜ ﹣2n+1．
【分析】由不等式的性质：两边同时乘以﹣2得﹣2m＜﹣2n，两边同时加1得﹣2m+1＜﹣2n+1．
【解答】解：∵m＞n，
∴﹣2m＜﹣2n，
∴﹣7m+1＜﹣2n+6．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的三个性质是关键．
13．如图，直线AD与BE相交于点O，∠COD＝90°，则∠AOB＝ 20° ．
【分析】由题意可知∠DOE＝90°﹣∠COE，∠AOB与∠DOE是对顶角相等，由此得解．
【解答】解：∵已知∠COD＝90°，∠COE＝70°，
∴∠DOE＝90°﹣70°＝20°，
又∵∠AOB与∠DOE是对顶角，
∴∠AOB＝∠DOE＝20°，
故答案为：20°．
【点评】本题考查了对顶角与邻补角，利用余角的定义、对顶角的性质是解题关键．
14．（4分）已知，，则＝ 31.9 ．
【分析】根据算术平方根的定义进行解题即可．
【解答】解：∵＝＝×10，，
∴＝3.19×10＝31.9．
故答案为：31.5．
【点评】本题考查算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．
15．（4分）以绳测井．若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，一份绳长比井深多5尺；若将绳子折成四等份，井深y尺，根据题意 ．
【分析】此题不变的是井深，用代数式表示井深即可得方程．
此题中的等量关系有：
①将绳三折测之，绳多五尺；
②绳四折测之，绳多一尺．
【解答】解：设绳长x尺，井深y尺，可得：；
故答案为：．
【点评】此题考查方程组的应用，不变的是井深，用代数式表示井深是此题的关键．
16．（4分）a为正整数，已知二元一次方程组有整数解2＝ 4 ．
【分析】先利用加减消元法消去y，求出x，根据a为正整数和方程组有整数解，列出关于a的方程，求出a的值，再把求的x代入②求出y，最后根据y也是整数，对a的值进行取舍，然后解答后即可．
【解答】解：，
①+②得：，
∵a是正整数，
∴3+a＝5或3+a＝10，
解得：a＝8或7，
把代入②得：，
把a＝2代入得y＝5，
把a＝7代入得y＝6.5，
∵已知二元一次方程组有整数解，
∴a＝3不符合题意舍去，
∴a＝2，
∴a2＝22＝4，
故答案为：7．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤和方程解的定义．
17．（4分）如图，在长方形纸片ABCD中，点E，BC上，将∠BFE沿着EF折叠；再将∠CFD沿着DF折叠，点C刚好落在EF上的点C′处，则∠B′FD的度数为 45° ．
【分析】根据长方形的性质及∠AB′E＝30°这∠AEB'＝60°，则∠BEB'＝180°﹣∠AEB'＝120°，由折叠的性质得：∠BEF＝∠B'EF＝60°，∠B'FE＝∠BFE＝90°﹣∠BEF＝30°，则∠EFC＝180°﹣∠BFE＝150°，再将∠CFD沿着DF折叠，点C刚好落在EF上的点C′处，∠CFD＝∠C'FD＝75°，由此根据∠B′FD＝∠C'FD﹣∠B'FE可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为长方形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∵∠AB′E＝30°，
∴∠AEB'＝60°，
∴∠BEB'＝180°﹣∠AEB'＝120°，
由折叠的性质得：∠BEF＝∠B'EF＝1/2∠BEB'＝60°，∠B'FE＝∠BFE，
∴∠B'FE＝∠BFE＝90°﹣∠BEF＝30°，
∴∠EFC＝180°﹣∠BFE＝180°﹣30°＝150°，
∵将∠CFD沿着DF折叠，点C刚好落在EF上的点C′处，
∴∠CFD＝∠C'FD＝4/2∠EFC＝75°，
∴∠B′FD＝∠C'FD﹣∠B'FE＝75°﹣30°＝45°．
【点评】此题主要考查了长方形的性质，图形的折叠变换及性质，角的计算，准确识图，理解长方形的性质，熟练掌握图形的折叠变换及性质，角的计算是解决问题的关键．
18．（4分）已知点P（x﹣a，5﹣2x）在第一象限，要使x取值有4个整数 ﹣2≤a＜﹣1 ．
【分析】根据第一象限点的坐标特征可得：，然后进行计算可得a＜x＜2.5，再根据已知易得：﹣2≤a＜﹣1，即可解答．
【解答】解：∵点P（x﹣a，5﹣2x）在第一象限，
∴，
解不等式①得：x＞a，
解不等式②得：x＜2.5，
∴原不等式组的解集为：a＜x＜7.5，
∵要使x取值有4个整数，
∴﹣2≤a＜﹣1，
故答案为：﹣2≤a＜﹣8．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，点的坐标，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共91分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）首先计算乘方、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可；
（2）首先计算小括号里面的减法、加法，然后计算乘法、除法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：（1）
＝﹣16﹣（﹣3）+（5﹣）+2
＝﹣16+3+2﹣+2
＝﹣11+．
（2）
＝×12﹣
＝3﹣+4.5
＝6．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
20．（12分）解下列方程：
（1）（3x+2）2＝16；
（2）．
【分析】（1）直接用开平方法求解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1）（3x+2）3＝16，
两边直接开平方，得3x+2＝±5，
解得x1＝，x2＝﹣2；
（2）方程组整理得：，
①﹣②得：5y＝10，
解得：y＝2，
把y＝6代入②点到：x＝0
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
21．（8分）解下列不等式组，并写出其整数解．
．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：由3（x﹣2）＞6x﹣4得：x＜﹣1，
由+1≥，
则不等式组的解集为﹣3≤x＜﹣1，
所以其整数解为﹣3、﹣2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
22．（10分）有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5t，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35t．3辆大货车与5辆小货车一次可以运货多少t？
【分析】设1辆大货车一次可以运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨，根据“2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5t，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35t”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入（3x+5y）中即可得出结论．
【解答】第1题：解：设1辆大货车一次可以运货x吨，3辆小货车一次可以运货y吨，
依题意得：，
解得：，
∴8x+5y＝3×3+5×2.7＝24.5．
答：3辆大货车与5辆小货车一次可以运货24.5t．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
23．（12分）如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，且∠2+∠3＝180°，试说明：AB∥GD．请补充说明过程
证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）．
∴∠ADB＝∠EFB＝90°（ 垂直的定义 ）．
∴EF∥AD（ 同位角相等，两直线平行 ）．
∴ ∠BAD +∠2＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）．
又∵∠2+∠3＝180°（已知）．
∴∠1＝∠3（ 同角的补角相等 ）．
∴AB∥GD（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【分析】根据平行线的判定与性质求解即可．
【解答】证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）．
∴∠ADB＝∠EFB＝90°（垂直的定义）．
∴EF∥AD（同位角相等，两直线平行）．
∴∠BAD+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
又∵∠2+∠4＝180°（已知）．
∴∠1＝∠3（同角的补角相等）．
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：垂直的定义；同位角相等；∠BAD，同旁内角互补；内错角相等．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
24．（12分）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车制造商开发了一款新能源汽车，工厂决定招聘部分新工人，他们经过培训后也能独立进行新能源汽车的安装．生产开始后；2名熟练工和5名新工人每月可以安装22辆新能源汽车．
（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆新能源汽车？
（2）如果工厂招聘n（0＜n＜10）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务
（3）在（2）的条件下，工厂给安装新能源汽车的每名熟练工人每月发放4000元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工（元）尽可能少？
【分析】（1）设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，每名新工人每月可以安装y辆电动汽车．根据“1名熟练工和3名新工人每月可安装12辆新能源汽车”和“2名熟练工和5名新工人每月可以安装22辆新能源汽车”列方程组求解．
（2）设工厂有a名熟练工．根据新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，根据a，n都是正整数和0＜n＜10，进行分析n的值的情况；
（3）先列出代数式，根据使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能少两个条件进行分析．
【解答】解：（1）设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，每名新工人每月可以安装y辆电动汽车．
根据题意得：，
解得：．
答：每名熟练工每月可以安装6辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车．
（2）设工厂有a名熟练工．
根据题意，得12（6a+2n）＝360，
3a+n＝15，
n＝15﹣3a，
又∵a，n都是正整数，
所以n＝7，6，3．
即工厂有4种新工人的招聘方案：
①n＝9，a＝2，熟练工2人；
②n＝6，a＝3，熟练工6人；
③n＝3，a＝4，熟练工3人．
（3）结合（2）知：要使新工人的数量多于熟练工，则n＝9，a＝3；
根据题意得：W＝4000a+2400n＝4000a+2400（15﹣4a）＝36000﹣3200a．
要使工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能地少，则a应最大．
显然当n＝6，a＝3时，使新工人的数量多于熟练工．
【点评】本题主要考查二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题的关键是要能够理解题意，正确找到等量关系和不等关系，熟练解方程组和根据条件分析不等式中未知数的值．
25．（13分）如图①所示，已知直线AB∥CD，直线EF交AB、CD于点E、F
（1）求证：EG⊥FG；
（2）如图②所示，点P是EG反向延长线上一动点，当PF平分∠CFG时；
（3）若点P仍是EG反向延长线上一动点，当点P运动至∠CFP＝2∠PFG时，请直接写出∠P与∠DFG存在的数量关系．
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠BEF+∠DFE＝180°，再利用角平分线的定义可得：∠GEF＝∠BEF，∠GFE＝∠DFE，从而可得：∠GEF+∠GFE＝90°，然后利用三角形内角和定理可得∠G＝90°，即可解答；
（2）根据角平分线的定义可得∠PFG＝∠CFG，然后利用直角三角形的两个锐角互余以及等量代换可得∠P＝90°﹣∠CFG，再利用平角定义可得∠CFG＝180°﹣∠DFG，从而进行计算即可解答；
（3）利用（2）的思路进行计算，即可解答．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE＝180°，
∵EG平分∠BEF，FG平分∠EFD，
∴∠GEF＝∠BEF∠DFE，
∴∠GEF+∠GFE＝∠BEF+，
∴∠G＝180°﹣（∠GEF+∠GFE）＝90°，
∴EG⊥FG；
（2）∠P＝∠DFG，
理由：∵PF平分∠CFG，
∴∠PFG＝∠CFG，
∵∠G＝90°，
∴∠P＝90°﹣∠PFG
＝90°﹣∠CFG，
∵∠CFG＝180°﹣∠DFG，
∴∠P＝90°﹣（180°﹣∠DFG）
＝90°﹣90°+∠DFG
＝∠DFG，
即∠P＝∠DFG；
（3）∠P＝30°+∠DFG，
理由：∵∠CFP＝2∠PFG，
∴∠PFG＝∠CFG，
∵∠G＝90°，
∴∠P＝90°﹣∠PFG
＝90°﹣∠CFG，
∵∠CFG＝180°﹣∠DFG，
∴∠P＝90°﹣（180°﹣∠DFG）
＝90°﹣60°+∠DFG
＝30°+∠DFG，
即∠P＝30°+∠DFG．
【点评】本题考查了平行线的性质，垂线，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
26．（14分）定义：在平面直角坐标系中，点P（a，b）和点Q（c，d），则称点P、Q互为“友好点”．
（1）若点A为（2，1），则它的“友好点”A′坐标为 （1，﹣2） ；
（2）已知点B为（m，n+1），它的“友好点”B′（m﹣2，2n），求点B、B′的坐标；
（3）已知点P（m+1，y）与点互为“友好点”，求满足条件的整数n的值．
【分析】（1）设A′坐标为（x，y），根据“友好点”的定义得，由此解出x，y即可得点A′的坐标；
（2）根据“友好点”的定义得，由此解出m，n即可得出点B、B′的坐标；
（3）根据“友好点”的定义得m+1+﹣2＝0，由此得m＝1﹣，再根据3＜m＜5得3＜1﹣＜5，求出该不等式的整数解即可．
【解答】解：（1）设A′坐标为（x，y），
根据“友好点”的定义得：，解得：，
∴A′的坐标为（6，﹣2）．
故答案为：（1，﹣3）．
（2）∵点B（m，n+1）的“友好点”B′（m﹣2，
∴，解得：，
∴点B（4，0），﹣2）；
（3）根据“友好点”的定义得：m+2+﹣2＝5，
∴m＝1﹣，
∵2＜m＜5，
∴3＜7﹣＜5，
解得：﹣4＜n＜﹣4，
∴整数n为﹣7，﹣7．
【点评】此题主要考查了点的坐标，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，理解题意，根据“友好点”的定义列出方程组或一元一次不等式组，熟练掌握解二元一次方程组和一元一次不等式组的方法与技巧是解决问题的关键．