四川省泸州市江阳区蓝田中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷+

这是一份四川省泸州市江阳区蓝田中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷+，共18页。试卷主要包含了下列式子没有意义的是，下列二次根式中，最简二次根式是，下列各式计算正确的是等内容，欢迎下载使用。
A．B．C．D．
2．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
3．在下列以a、b、c长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ）
A．a＝6，b＝8，c＝10B．a＝5，b＝12，c＝13
C．a＝3，b＝4，c＝5D．a＝2，b＝3，c＝4
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，则AB的长是（ ）
A．20B．10C．5D．
5．已知实数x、y满足，则xy的值是（ ）
A．5B．﹣5C．6D．﹣6
6．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD＝20，则△AOB的周长为（ ）
A．28B．18C．14D．24
7．菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行
B．对角线互相平分
C．两组对角线分别相等，对角线互相垂直
D．对角线互相垂直
8．下列各式计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，则这个点表示的实数是（ ）
A．2.5B．2C．D．
10．如图，Rt△ABC中，AB＝9，∠B＝90°，将△ABC折叠，折痕为MN，则线段BN的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
11．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE=（ ）
A．B．C．D．
12．如图，在正方形ABCD的外侧作等边△CDE，对角线AC与BD相交于点O，若OF＝1，则AB的长度为（ ）
A．2B．C．2D．3
二、填空题（本大题共4小题，每题3分，共12分）
13．化简＝ ．
14．如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A⇒B⇒C所走的路程为 m．
15．矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝4，则BC的长为 ．
16．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，连接AE，EF，G，EF的中点，连接GH．若∠B＝45°，则GH的最小值为 ．
三、解答题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）
17．（6分）计算：．
18．（6分）如图所示，在离水面高度5米的岸上有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子与水平的夹角为30°，问：
（1）未开始收绳的时候，图中绳子BC的长度是多少米？
（2）收绳8秒后船向岸边移动了多少米？（结果保留根号）
19．（6分）如图，在▱ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，求证:AE=CF.
四、解答题（本大题共2个小题，每小题7分；共14分）
20．（7分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，D为AB上一点，CD＝4
（1）求证：∠BDC＝90°；
（2）求AC的长．
21．（7分）计算：．
五、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分）
22．（8分）已知：如图，有一块凹四边形土地ABCD，∠ADC＝90°，CD＝3m，AB＝13m，求这块四边形土地的面积．
23．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，连接BM，DN．
（1）求证：四边形BMDN是菱形；
（2）若AB＝4，AD＝8，求MD的长．
六、解答题（本大题2个小题，每小题12分，共24分）
24．（12分）已知，．
（1）求a+b和ab的值．
（2）利用（1）题中的结论求代数式a2b+ab2和的值．
25．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
四川省泸州市江阳区蓝田中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷
参考答案
一、选择题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1．下列式子没有意义的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，可得答案．
【解答】解：A、没有意义；
B、有意义；
C、有意义；
D、有意义；
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数是非负数是解题关键．
2．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、被开方数含分母，故A选项错误；
B、＝2，不是最简二次根式；
C、满足最简二次根式的定义，故C选项正确；
D、，被开方数含能开得尽方的因数，故D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了满足是最简二次根式的两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
3．在下列以a、b、c长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ）
A．a＝6，b＝8，c＝10B．a＝5，b＝12，c＝13
C．a＝3，b＝4，c＝5D．a＝2，b＝3，c＝4
【分析】根据直角三角形的判定，符合a2+b2＝c2即可；反之不符合的不能构成直角三角形．
【解答】解：A、因为62+62＝102，故能构成直角三角形；
B、因为62+122＝133，故能构成直角三角形；
C、因为32+22＝56，故能构成直角三角形；
D、因为22+32＝13≠53，故不能构成直角三角形；
故选：D．
【点评】应熟记常用勾股数：3，4，5；6，8，10；5，12，13…，解答此类问题就可以正确快速的解答了．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，则AB的长是（ ）
A．20B．10C．5D．
【分析】根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，
则AB＝2CD＝2×6＝10，
故选：B．
【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，熟记在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
5．已知实数x、y满足，则xy的值是（ ）
A．5B．﹣5C．6D．﹣6
【分析】先根据非负数的性质求出x与y的值，再代入进行求值即可．
【解答】解：由题可知，
，
解得，
则xy＝2×（﹣3）＝﹣8．
故选：D．
【点评】本题考查非负数的性质、绝对值以及算术平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
6．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD＝20，则△AOB的周长为（ ）
A．28B．18C．14D．24
【分析】由平行四边形的性质得OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，则OA+OB＝（AC+BD）＝10，所以OA+OB+AB＝18，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，
∴OA＝OC＝ACBD，
∵AC+BD＝20，AB＝8，
∴OA+OB＝（AC+BD）＝，
∴OA+OB+AB＝10+8＝18，
∴△AOB的周长为18，
故选：B．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、三角形的周长等知识，求得OA+OB＝（AC+BD）＝10是解题的关键．
7．菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行
B．对角线互相平分
C．两组对角线分别相等，对角线互相垂直
D．对角线互相垂直
【分析】由菱形的性质可直接求解．
【解答】解：菱形的性质有两组对边平行，两组对边相等，平行四边形的性质有，两组对边相等，
∴菱形具有而平行四边形不具有的性质是对角线互相垂直，
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
8．下列各式计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的性质与化简、二次根式的加减法的运算法则分别判断即可．
【解答】解：与不是同类二次根式，
∴+不能合并，
故A选项错误，不符合题意；
，
故B选项错误，不符合题意；
＝＝3，
故C选项正确，符合题意；
＝2，
故D选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
9．如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，则这个点表示的实数是（ ）
A．2.5B．2C．D．
【分析】本题利用实数与数轴的关系及直角三角形三边的关系（勾股定理）解答即可．
【解答】解：由勾股定理可知，
∵OB＝，
∴这个点表示的实数是．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的运用和如何在数轴上表示一个无理数的方法，解决本题的关键是根据勾股定理求出OB的长．
10．如图，Rt△ABC中，AB＝9，∠B＝90°，将△ABC折叠，折痕为MN，则线段BN的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】设BN＝x，则由折叠的性质可得DN＝AN＝9﹣x，根据中点的定义可得BD＝3，在Rt△BND中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．
【解答】解：设BN＝x，由折叠的性质可得DN＝AN＝9﹣x，
∵D是BC的中点，
∴BD＝3，
在Rt△NBD中，x8+32＝（3﹣x）2，
解得x＝4．
即BN＝3．
故选：C．
【点评】此题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强．
11．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE=（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据菱形的性质得出BO、CO的长，在Rt△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AE，可得出AE的长度．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CO＝AC＝8cmBD＝8cm，
∴BC＝＝2cm，
∴S菱形ABCD＝＝×6×8＝24cm4，
∵S菱形ABCD＝BC×AE，
∴BC×AE＝24，
∴AE＝cm，
故选：D．
【点评】此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种计算方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．
12．如图，在正方形ABCD的外侧作等边△CDE，对角线AC与BD相交于点O，若OF＝1，则AB的长度为（ ）
A．2B．C．2D．3
【分析】先根据正方形和等边三角形的性质证明△ADE是等腰三角形，求出∠DAE＝∠DEA，再求出∠OAF＝30°，在直角三角形OAF中即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∠CDE＝∠DEC＝60°，AC⊥BD，
∴AD＝DE，∠ADE＝90°+60°＝150°，
∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣150°）＝15°，
∴AF＝6OF＝2，
∴OA＝，
∴AB＝，
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质和等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质以及等腰三角形的判定方法；根据正方形和等边三角形的性质弄清各个角之间的关系是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每题3分，共12分）
13．化简＝ 3 ．
【分析】利用二次根式的运算法则进行化简即可．
【解答】解：＝×＝5，
故答案为：3．
【点评】本题考查利用二次根式的运算法则将其化为最简二次根式，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
14．如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A⇒B⇒C所走的路程为 m．
【分析】由图形可以看出AB＝BC，要求AB的长，可以看到，AB、BC分别是直角边为1、2的两个直角三角形的斜边，就可以运用勾股定理求出．
【解答】解：折线分为AB、BC两段，
AB、BC分别看作直角三角形斜边，
由勾股定理得AB＝BC＝＝米．
小明沿图中所示的折线从A⇒B⇒C所走的路程为+＝米．
【点评】命题立意：本题考查勾股定理的应用．
求两点间的距离公式是以勾股定理为基础的，网格中两个格点间的距离当然离不开构造直角三角形，可以看到，AB、BC分别是直角边为1、2的两个直角三角形的斜边，容易计算AB+BC＝．
15．矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝4，则BC的长为 2 ．
【分析】由矩形的性质可得到OA＝OB，于是可证明△ABO为等边三角形，于是可求得AB＝4，然后依据勾股定理可求得BC的长．
【解答】解：如图，∵四边形ABCD为矩形，
∴OA＝OB＝AC＝4．
∵OA＝OB，∠AOB＝60°，
∴△OAB为等边三角形．
∴AB＝2．
在Rt△ABC中，BC＝．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查的是矩形的性质、等边三角形的性质和判定、勾股定理的应用，求得AB的长是解题的关键．
16．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，连接AE，EF，G，EF的中点，连接GH．若∠B＝45°，则GH的最小值为 ．
【分析】连接AF，利用三角形中位线定理，可知GH＝AF，求出AF的最小值即可解决问题．
【解答】解：连接AF，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝2，
∵G，H分别为AE，
∴GH是△AEF的中位线，
∴GH＝AF，
当AF⊥BC时，AF最小，
则∠AFB＝90°，
∵∠B＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF＝AB＝＝，
∴GH＝，
即GH的最小值为，
故答案为：．
【点评】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）
17．（6分）计算：．
【分析】先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．
【解答】解：
＝8+﹣+
＝2+8﹣+
＝2+3﹣．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．（6分）如图所示，在离水面高度5米的岸上有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子与水平的夹角为30°，问：
（1）未开始收绳的时候，图中绳子BC的长度是多少米？
（2）收绳8秒后船向岸边移动了多少米？（结果保留根号）
【分析】（1）利用30°的正弦值可得未开始收绳子的时候，图中绳子BC的长度；
（2）利用30°的余弦值可得未开始收绳子的时候AB长，易得收绳后BC长，利用勾股定理可得收绳后AB长，让未收绳时AB长减去收绳后AB长即为船向岸边移动的距离．
【解答】解：（1）解：（1）如图，在Rt△ABC中，
＝sin30°，
∴BC＝＝10米；
（2）未收绳时AB＝5÷tan30°＝2米，收绳8秒后，只有5米，
在Rt△ACD中，由AC＝5米，
根据勾股定理得船到河岸的距离AD＝＝米，
所以移动距离DB＝AB﹣AD＝（6﹣）米．
【点评】本题考查解直角三角形在实际生活中的应用，用到的知识点为：知道对边求斜边，可用正弦值，用除法；知道对边，求邻边，用除法，用正切值．
19．（6分）如图，在▱ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，求证:AE=CF.
【分析】根据平行四边形性质得出AB＝DC，AB∥CD，推出∠ABE＝∠CDF，根据全等三角形的判定推出△BAE≌△DCF，则可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△BAE和△DCF中，
，
∴△BAE≌△DCF（ASA），
∴AE＝CF．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
四、解答题（本大题共2个小题，每小题7分；共14分）
20．（7分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，D为AB上一点，CD＝4
（1）求证：∠BDC＝90°；
（2）求AC的长．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理判断即可；
（2）根据勾股定理求出AC即可．
【解答】（1）证明：∵BC＝5，CD＝4，
∴42+33＝52，
∴∠BDC＝90°；
（2）解：在Rt△ADC中，∠ADC＝180°﹣90°＝90°，
依题意有AC3＝（AB﹣3）2+CD5，即AC2＝（AC﹣3）2+42，
解得AC＝．
故AC的长为．
【点评】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
21．（7分）计算：．
【分析】先利用平方差公式计算，然后合并即可．
【解答】解：原式＝9﹣8﹣+1
＝2﹣．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式是解决问题的关键．
五、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分）
22．（8分）已知：如图，有一块凹四边形土地ABCD，∠ADC＝90°，CD＝3m，AB＝13m，求这块四边形土地的面积．
【分析】连接AC，根据解直角△ADC求AC，求证△ABC为直角三角形，根据四边形ABCD的面积＝△ABC面积﹣△ACD面积即可计算．
【解答】解：连接AC，
∵∠ADC＝90°，AD＝4m，
∴AC＝＝5m．
∵BC＝12，AB＝13，
∴AC2+BC7＝AB2．
∴△ABC为直角三角形且∠ACB＝90°，
S△ABC＝×5×12＝30（m2），S△ACD＝×3×2＝6（m2）
∴这块四边形土地的面积30﹣2＝24 （m2）．
【点评】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了根据勾股定理判定直角三角形，本题中求证△ABC是直角三角形是解题的关键．
23．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，连接BM，DN．
（1）求证：四边形BMDN是菱形；
（2）若AB＝4，AD＝8，求MD的长．
【分析】（1）根据矩形性质求出AD∥BC，推出∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO，证△DMO≌△BNO，推出OM＝ON，得出平行四边形BMDN，推出菱形BMDN；
（2）根据菱形性质求出DM＝BM，在Rt△AMB中，根据勾股定理得出BM2＝AM2+AB2，推出x2＝x2﹣16x+64+16，求出即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO，
∵在△DMO和△BNO中，
，
∴△DMO≌△BNO（AAS），
∴OM＝ON，
∵OB＝OD，
∴四边形BMDN是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴平行四边形BMDN是菱形．
（2）解：∵四边形BMDN是菱形，
∴MB＝MD，
设MD长为x，则MB＝DM＝x，
在Rt△AMB中，BM2＝AM2+AB7
即x2＝（8﹣x）5+42，
解得：x＝4，
所以MD长为5．
【点评】本题考查了矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理等知识点的应用，对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
六、解答题（本大题2个小题，每小题12分，共24分）
24．（12分）已知，．
（1）求a+b和ab的值．
（2）利用（1）题中的结论求代数式a2b+ab2和的值．
【分析】（1）根据已知条件求出a+b和ab的值即可；
（2）根据（1）中所求的a+b和ab的值，求出a2+b2的值，然后把第一个代数式提取公因式ab进行分解因式，再把ab和a+b的值代入计算，最后把第二个代数式通分再代入求值计算即可．
【解答】解：（1）∵，，
∴，
；
（2）∵，
∴，
∴a2b+ab4
＝ab（a+b）
＝
＝；
＝
＝
＝
＝12．
【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值和分式的化简求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式和分式的通分．
25．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
【分析】（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD＝BD，根据菱形的判定推出即可；
（3）求出∠CDB＝90°，再根据正方形的判定推出即可．
【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD；
（2）解：四边形BECD是菱形，
理由是：∵D为AB中点，
∴AD＝BD，
∵CE＝AD，
∴BD＝CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴CD＝BD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴四边形BECD是菱形；
（3）当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形
解：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，
∴∠ABC＝∠A＝45°，
∴AC＝BC，
∵D为BA中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵四边形BECD是菱形，
∴菱形BECD是正方形，
即当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．
【点评】本题考查了正方形的判定、平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．