浙江省杭州市西湖区翠苑中学2022-2023学年下学期七年级期中考试数学试卷

这是一份浙江省杭州市西湖区翠苑中学2022-2023学年下学期七年级期中考试数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列方程中，属于二元一次方程的是（ ）
A．B．xy＝1C．2x﹣3y＝1D．x2﹣3y＝5
2．下列计算正确的是（ ）
A．a3+a3＝a6B．a3•a2＝a6
C．a3÷a＝a2D．（﹣a3）2＝﹣a6
3．N95型口罩可阻隔直径为0.000003米的飞沫，用科学记数法可将数0.000003表示为（ ）
A．3×10﹣5B．0.3×10﹣5C．3×10﹣6D．30×10﹣7
4．如图，∠1的同位角是（ ）
A．∠2B．∠3C．∠4D．∠5
5．下列各式从左到右的变形，不是因式分解的是（ ）
A．x2﹣x＝x（x﹣1）B．x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2
C．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）D．x2+2x+1＝（x+1）2
6．如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠2，∠3分别是∠BAE，∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3＝（ ）
A．90°B．180°C．120°D．270°
7．下列结论正确的是（ ）
A．两直线被第三条直线所截，同位角相等
B．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C．平行于同一条直线的两条直线互相平行
D．过一点有且只有一条直线与这条直线平行
8．若M＝a2﹣ac+1，N＝ac﹣c2，则M与N的大小关系是（ ）
A．M＞NB．M≥NC．M＜ND．M≤N
9．已知10a＝20，100b＝50，则2a+4b﹣3的值是（ ）
A．9B．5C．3D．6
10．如图，用1块边长为a的大正方形，4块边长为b的小正方形和4块长为a（a＞b），密铺成正方形ABCD，已知ab＝2，（ ）
A．若a＝2b+1，则S＝16B．若a＝2b+2，则S＝25
C．若S＝25，则a＝2b+3D．若S＝16，则a＝2b+4
二、填空题。（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）因式分解：x2+x＝ ．
12．（4分）已知方程2y﹣x＝4，用含x的代数式表示y，则y＝ ．
13．（4分）如图，将△ABC沿着射线BC的方向平移，得到△DEF，EC＝7，则平移的距离为 ．
14．（4分）若a+b＝5，ab＝2，则a2+b2＝ ．
15．（4分）如果（x+m）（x﹣3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为 ．
16．（4分）已知关于x，y的二元一次方程组，（k为实数）
①当x与y互为相反数时，k＝2；
②6x﹣y的值与k无关；
③若8x•4y＝32，则解为k＝3；
④若am＝x，an＝y，且a2m﹣n＝1（a≠0），则x＝2或 x＝4．
以上说法正确的是 （填写序号）．
三、解答题。（本题有7小题，共66分）
17．（6分）解方程组：
（1）；
（2）．
18．（8分）计算：
（1）；
（2）（2x+y）（2x﹣y）﹣（x﹣2y）2．
19．（8分）如图，AD∥EF，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：DG∥AB；
（2）若DG是∠ADC的角平分线，∠ADB＝120°，求∠B的度数．
20．（10分）（1）先化简，再求值：[2x（x﹣y）﹣（x+y）（2x﹣y）]÷y+4x，y＝；
（2）若b＝2（a﹣），求4a2﹣b2﹣2b+3 的值．
21．（10分）某冬奥会纪念品专卖店计划同时购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具，据了解，4只“冰墩墩”和5只“雪容融”的进价共计1000元
（1）“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只进价分别是多少元？
（2）若该专卖店计划恰好用4500元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具（两种均购买），专卖店共有几种采购方案？请写出具体的购买方案；
（3）若“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只的售价分别是200元，100元，则在（2），请选出利润最大的采购方案，并求出最大利润．
22．（12分）如图1，将长方形纸片ABCD沿MN折叠得到图2，点A，B′，折叠后A′M与CN相交于点E．
（1）若∠B′NC＝52°，求∠A′MD的度数；
（2）设∠B′NC＝α，∠A′MN＝β．
①请用含α的代数式表示β；
②当MA′恰好平分∠DMN时，求∠A′MD的度数．
23．（12分）如图，在正方形ABCD中放入两张边长分别为a和b的正方形纸片，已知HK＝c，阴影部分面积分别记为S1，S2．
（1）用含a，b，c的代数式分别表示KI，GD；
（2）若c＝2，且S1＝S2，求2a+2b﹣ab的值；
（3）若a＝b，试说明S﹣3（S1﹣S2） 是完全平方式．
浙江省杭州市西湖区翠苑中学2022-2023学年下学期七年级期中考试数学试卷
参考答案
一、选择题。（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．下列方程中，属于二元一次方程的是（ ）
A．B．xy＝1C．2x﹣3y＝1D．x2﹣3y＝5
【分析】根据二元一次方程的定义判断即可．
【解答】解：A．是分式方程；
B．是二元二次方程；
C．符合二元一次方程的定义；
D．是二元二次方程．
故选：C．
【点评】本题考查解二元一次方程的定义，解题关键是熟知二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．
2．下列计算正确的是（ ）
A．a3+a3＝a6B．a3•a2＝a6
C．a3÷a＝a2D．（﹣a3）2＝﹣a6
【分析】分别根据合并同类项、幂的乘方法则、同底数幂的乘法及除法法则进行逐一解答．
【解答】解：A、由于a3和a3是同类项，可以合并，a6+a3＝2a5，原计算错误，故本选项不符合题意；
B、根据同底数幂的乘法法则，指数相加可知a3•a2＝a8，原计算错误，故本选项不符合题意；
C、根据同底数幂的除法法则，指数相减可知a3÷a＝a2，原计算正确，故本选项符合题意；
D、根据幂的乘方的运算法则底数不变，（﹣a3）2＝a6，原计算错误，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是同底数幂的乘法与除法，合并同类项及幂的乘方的运算法则，熟知以上知识是解答此题的关键．
3．N95型口罩可阻隔直径为0.000003米的飞沫，用科学记数法可将数0.000003表示为（ ）
A．3×10﹣5B．0.3×10﹣5C．3×10﹣6D．30×10﹣7
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000003＝3×10﹣3．
故选：C．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．如图，∠1的同位角是（ ）
A．∠2B．∠3C．∠4D．∠5
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，由此即可判断．
【解答】解，∠1的同位角是∠2．
故选：A．
【点评】本题考查同位角，关键是掌握同位角的定义．
5．下列各式从左到右的变形，不是因式分解的是（ ）
A．x2﹣x＝x（x﹣1）B．x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2
C．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）D．x2+2x+1＝（x+1）2
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解；结合题中所给的等式，运用上述的定义即可求解．
【解答】解：x2﹣x＝x（x﹣1），符合因式分解的定义；
x4﹣2x﹣1＝（x﹣3）2﹣2，没有把一个多项式化为几个整式的积的形式，则B符合题意；
x3﹣1＝（x+1）（x﹣7），符合因式分解的定义；
x2+2x+5＝（x+1）2，符合因式分解的定义，则D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查因式分解的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
6．如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠2，∠3分别是∠BAE，∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3＝（ ）
A．90°B．180°C．120°D．270°
【分析】先利用平行线的性质得到∠4+∠5＝180°，然后根据多边形的外角和为360°得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，从而得到∠1+∠2+∠3＝180°．
【解答】解：如图，∵AB∥CD，
∴∠4+∠5＝180°，
∵∠4+∠2+∠3+∠3+∠5＝360°，
∴∠1+∠8+∠3＝180°．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形内角与外角：多边形内角和为（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数），外角和永远为360°．也考查了平行线的性质．
7．下列结论正确的是（ ）
A．两直线被第三条直线所截，同位角相等
B．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C．平行于同一条直线的两条直线互相平行
D．过一点有且只有一条直线与这条直线平行
【分析】由平行线的判定与性质以及平行公理分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、两两条平行线被第三条直线所截，故选项A不符合题意；
B、同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
C、平行于同一条直线的两条直线互相平行；
D、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质以及平行公理等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
8．若M＝a2﹣ac+1，N＝ac﹣c2，则M与N的大小关系是（ ）
A．M＞NB．M≥NC．M＜ND．M≤N
【分析】根据整式的加减运算法则计算即可．
【解答】解：∵M＝a2﹣ac+1，N＝ac﹣c4，
∴M﹣N
＝a2﹣ac+1﹣ac+c8
＝（a﹣c）2+1，
∵（a﹣c）4≥0，
∴（a﹣c）2+3≥1，
∴M＞N，
故选：A．
【点评】本题考查的是整式的加减，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
9．已知10a＝20，100b＝50，则2a+4b﹣3的值是（ ）
A．9B．5C．3D．6
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方运算法则，进行计算即可解答．
【解答】解：∵10a＝20，100b＝50，
∴10a•100b＝20×50，
∴10a•102b＝103，
∴10a+2b＝103，
∴a+2b＝8，
∴2a+4b＝7，
∴2a+4b﹣8＝6﹣3＝7，
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方运算法则，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
10．如图，用1块边长为a的大正方形，4块边长为b的小正方形和4块长为a（a＞b），密铺成正方形ABCD，已知ab＝2，（ ）
A．若a＝2b+1，则S＝16B．若a＝2b+2，则S＝25
C．若S＝25，则a＝2b+3D．若S＝16，则a＝2b+4
【分析】正方形的边长是一个含有两个字母的代数式，根据已知条件，变成含一个字母的代数式，根据正方形面积已知，列一元二次方程，通过求根公式求出字母的值，再对选项加以判定．
【解答】解：由题意，正方形ABCD的边长为a+2b，
ab＝2，a＞b＞2，
若a＝2b+1，则正方形ABCD的边长为a+4b＝4b+1，
即6b2+b﹣2＝6，
解得：b＝（负值不合题意，
∴b＝，
∴S＝（4b+7）2＝（4×+1）2＝17，
∴选项A不正确；
若a＝2b+2，则正方形ABCD的边长为a+8b＝4b+2，
即b6+b﹣1＝0，
解得：（负值不合题意，
∴b＝，
∴S＝（2b+2）2＝（3×+2）2＝20，
∴选项B不正确；
若S＝25，则（a+7b）2＝25，
∵a+2b＞7，
∴a+2b＝5，
∴a＝5﹣2b，
∴b（5﹣2b）＝2，
即2b7﹣5b+2＝3，
解得：b1＝，b2＝2，
当b＝时，a＝5﹣8b＝4，
2b+5＝4，
此时，a＝2b+5；
当b＝2时，a﹣5﹣8b＝1，不合题意，
∴选项C正确；
若S＝16，则（a+2b）5＝16，
∵a+2b＞0，
∴a+5b＝4，
∴a＝4﹣7b，
∴b（4﹣2b）＝8，
即b2﹣2b+6＝0，
解得：b1＝b5＝1，
当b＝1时，a＝4﹣2b＝2，
∴a≠7b+4，
∴选项D不正确；
故选：C．
【点评】本题考查的是一元二次方程的几何背景，正确识图、一元二次方程求根公式是关键，
二、填空题。（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）因式分解：x2+x＝ x（x+1） ．
【分析】根据观察可知原式公因式为x，直接提取可得．
【解答】解：x2+x＝x（x+1）．
【点评】本题考查了提公因式法分解因式，通过观察可直接得出公因式，直接观察法是解此类题目的常用的方法．
12．（4分）已知方程2y﹣x＝4，用含x的代数式表示y，则y＝ ．
【分析】将x看作已知数求出y即可．
【解答】解：∵方程2y﹣x＝4，
∴3y＝x+4，
∴y＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y．
13．（4分）如图，将△ABC沿着射线BC的方向平移，得到△DEF，EC＝7，则平移的距离为 6 ．
【分析】根据平移的性质得到BE＝CF，再利用EF＝EC+CF＝13，然后求出CF的长，从而得到平移的距离．
【解答】解：∵△ABC沿着射线BC的方向平移，得到△DEF，
∴BE＝CF，
∵EF＝13，EC＝7，
∴CF＝EF﹣CE＝13﹣7＝7，
即平移的距离为6．
故答案为6．
【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．
14．（4分）若a+b＝5，ab＝2，则a2+b2＝ 21 ．
【分析】依据完全平方公式可知a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，然后代入计算即可．
【解答】解a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝25﹣4＝21．
故答案为：21．
【点评】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．
15．（4分）如果（x+m）（x﹣3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为 3 ．
【分析】把式子展开，找到所有x的一次项的所有系数，令其为0，可求出m的值．
【解答】解：∵（x+m）（x﹣3）＝x2﹣8x+mx﹣3m＝x2+（m﹣4）x﹣3m，
又∵结果中不含x的一次项，
∴m﹣3＝4，解得m＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．
16．（4分）已知关于x，y的二元一次方程组，（k为实数）
①当x与y互为相反数时，k＝2；
②6x﹣y的值与k无关；
③若8x•4y＝32，则解为k＝3；
④若am＝x，an＝y，且a2m﹣n＝1（a≠0），则x＝2或 x＝4．
以上说法正确的是 ②③④ （填写序号）．
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方和解二元一次方程组等知识点进行计算即可．
【解答】解：①当x与y互为相反数时，则x＝﹣y，
将其代入二元一次方程组，
即，
解得：，故①不正确；
②由题可知：4x+y+5（x﹣y）＝2k+2（4﹣k），
可得：6x﹣y＝8，
∴8x﹣y的值与k无关，故②正确；
③∵8x•4y＝32，
∴73x•26y＝25，
∴3x+2y＝5，
∴2x+y﹣x+y＝2k﹣4+k，即8x+2y＝3k﹣2，
可得；3k﹣4＝7，
解得：k＝3，故③正确；
④∵am＝x，an＝y，且a2m﹣n＝4（a≠0），
∴（am）2÷an＝8，即x2＝y，
∴（k≠0），
解得：x＝2或x＝2，
故④正确，
综上，正确的有②③④，
故答案为：②③④．
【点评】本题考查的是同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方和解二元一次方程组，熟练掌握上述知识点是解题的关键．
三、解答题。（本题有7小题，共66分）
17．（6分）解方程组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）应用代入消元法，求出方程组的解即可；
（2）应用加减消元法，求出方程组的解即可．
【解答】解：（1），
②代入①，可得：2（y﹣1）+y＝6，
解得y＝2，
把y＝2代入②，解得x＝7﹣1＝1，
∴原方程组的解是．
（2），
由①，可得：4x﹣3y＝12③，
②×4﹣③×2，可得x＝30，
把x＝30代入②，可得：3×30﹣2y＝18，
解得y＝36，
∴原方程组的解是．
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是关键．
18．（8分）计算：
（1）；
（2）（2x+y）（2x﹣y）﹣（x﹣2y）2．
【分析】（1）根据乘方的运算法则得﹣12016＝1，根据零指数幂的运算法则得（π﹣3.14）0＝1，根据负整数指数幂＝﹣8，然后再进行加减运算即可得出答案；
先利用平方差公式和完全平方公式得（2x+y）（2x﹣y）﹣（x﹣2y）2＝4x2﹣y2﹣（x2﹣4xy+4y2），然后去括号，合并同类项即可得出答案．
【解答】解：（1）
＝﹣1+1﹣
＝﹣1+1+2
＝8；
（2）（2x+y）（4x﹣y）﹣（x﹣2y）2
＝7x2﹣y2﹣（x2﹣4xy+4y6）
＝4x2﹣y8﹣x2+4xy﹣7y2）
＝3x7+4xy﹣5y8．
【点评】此题主要考查了实数的运算，整式的运算，熟练掌握乘方运算，零指数幂，负整数指数幂的运算法则，平方差公式和完全平方公式的结构特征是解决问题的关键．
19．（8分）如图，AD∥EF，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：DG∥AB；
（2）若DG是∠ADC的角平分线，∠ADB＝120°，求∠B的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质定理以及判定定理即可解答；
（2）根据角平分线的定义以及平行线的性质定理即可求解．
【解答】解：（1）证明：∵AD∥EF，
∴∠BAD+∠2＝180°，
∵∠1+∠3＝180°，
∴∠1＝∠BAD，
∴DG∥AB；
（2）∵∠ADB＝120°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝180°﹣120°＝60°，
∵DG是∠ADC的角平分线，
∴，
∵DG∥AB，
∴∠B＝∠GDC＝30°．
【点评】本题考查了平行线的性质定理和判定定理，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
20．（10分）（1）先化简，再求值：[2x（x﹣y）﹣（x+y）（2x﹣y）]÷y+4x，y＝；
（2）若b＝2（a﹣），求4a2﹣b2﹣2b+3 的值．
【分析】（1）根据单项式乘多项式、多项式乘多项式、多项式除以单项式的运算法则把原式化简，把y的值代入即可；
（2）根据等式的性质把已知等式变形，代入所求的式子计算即可．
【解答】解：（1）原式＝[2x2﹣8xy﹣（2x2﹣xy+8xy﹣y2）]÷y+4x
＝（8x2﹣3xy﹣5x2+xy﹣2xy+y4）÷y+4x
＝（﹣4xy+y8）÷y+4x
＝﹣4x+y+8x
＝y，
当x＝2023，y＝时；
（2）∵b＝3（a﹣），
∴b＝4a﹣1，
则原式＝4a4﹣（2a﹣1）4﹣2（2a﹣7）+3＝4a8﹣4a2+7a﹣1﹣4a+2+3＝4．
【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
21．（10分）某冬奥会纪念品专卖店计划同时购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具，据了解，4只“冰墩墩”和5只“雪容融”的进价共计1000元
（1）“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只进价分别是多少元？
（2）若该专卖店计划恰好用4500元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具（两种均购买），专卖店共有几种采购方案？请写出具体的购买方案；
（3）若“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只的售价分别是200元，100元，则在（2），请选出利润最大的采购方案，并求出最大利润．
【分析】（1）设“冰墩墩”毛绒玩具每只进价是x元，“雪容融”毛绒玩具每只进价是y元，利用总价＝单价×数量，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该专卖店购进m只“冰墩墩”毛绒玩具，n只“雪容融”毛绒玩具，利用总价＝单价×数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案；
（3）利用总利润＝每只的销售利润×销售数量，可求出选择各方案可获得的总利润，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设“冰墩墩”毛绒玩具每只进价是x元，“雪容融”毛绒玩具每只进价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：“冰墩墩”毛绒玩具每只进价是150元，“雪容融”毛绒玩具每只进价是80元；
（2）设该专卖店购进m只“冰墩墩”毛绒玩具，n只“雪容融”毛绒玩具，
根据题意得：150m+80n＝4500，
∴m＝30﹣n．
又∵m，n均为正整数，
∴或或，
∴该专卖店共有3种采购方案，
方案1：购进22只“冰墩墩”毛绒玩具，15只“雪容融”毛绒玩具；
方案7：购进14只“冰墩墩”毛绒玩具，30只“雪容融”毛绒玩具；
方案3：购进6只“冰墩墩”毛绒玩具，45只“雪容融”毛绒玩具；
（3）选择方案4可获得的总利润为（200﹣150）×22+（100﹣80）×15＝1400（元）；
选择方案2可获得的总利润为（200﹣150）×14+（100﹣80）×30＝1300（元）；
选择方案3可获得的总利润为（200﹣150）×8+（100﹣80）×45＝1200（元）．
∵1400＞1300＞1200，
∴当购进22只“冰墩墩”毛绒玩具，15只“雪容融”毛绒玩具时，最大利润是1400元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键．
22．（12分）如图1，将长方形纸片ABCD沿MN折叠得到图2，点A，B′，折叠后A′M与CN相交于点E．
（1）若∠B′NC＝52°，求∠A′MD的度数；
（2）设∠B′NC＝α，∠A′MN＝β．
①请用含α的代数式表示β；
②当MA′恰好平分∠DMN时，求∠A′MD的度数．
【分析】（1）根据平行线得性质求解；
（2）①根据平行线的性质及及折叠的性质求解；
②根据折叠的性质及角平分线的定义求解．
【解答】解：（1）∵NB′∥A′M，
∴∠A′EC＝∠B′NC＝52°，
∵CN∥MD，
∴∠A′MD＝∠A′EC＝52°；
（2）①由（1）得：∠A′MD＝∠B′NC＝α，
又∵2∠A′MN+∠A′MD＝180°，
∴β＝90°﹣；
②∵MA′恰好平分∠DMN，如图，
由翻折变换得：∠PMN＝∠NMA′，
∵MA′恰好平分∠DMN，
∴∠NMA′＝∠A′MD，
∴∠PMN＝∠NMA′＝∠A′MD，
∴∠A′MD＝180°÷5＝60°．
【点评】本题考查了平行线的性质，结合折叠的性质是解题的关键．
23．（12分）如图，在正方形ABCD中放入两张边长分别为a和b的正方形纸片，已知HK＝c，阴影部分面积分别记为S1，S2．
（1）用含a，b，c的代数式分别表示KI，GD；
（2）若c＝2，且S1＝S2，求2a+2b﹣ab的值；
（3）若a＝b，试说明S﹣3（S1﹣S2） 是完全平方式．
【分析】（1）通过KI＝HI﹣HK，GD＝AD﹣AG计算．
（2）先找到a，b的关系，再计算．
（3）根据完全平方公式的特征判断．
【解答】解：（1）KI＝HI﹣HK＝b﹣c，
GD＝AD﹣AG＝a+b﹣c﹣a＝b﹣c．
（2）S1＝GD×GL＝（a﹣c）（b﹣c）＝ab﹣ac﹣bc+c2，
S2＝c2．
∵S1＝S7．
∵ab﹣bc﹣ac＝0，
∴ab＝c（a+b），
∴2a+5b﹣ab＝2（a+b）﹣c（a+b）＝2（a+b）﹣4（a+b）＝0．
（3）当a＝b时，S1﹣S3＝ab﹣ac﹣bc＝a2﹣2ac，
S＝AD8＝（a+b﹣c）2＝（2a﹣c）4，
∴S﹣3（S1﹣S3）＝（2a﹣c）2﹣7a2+6ac
＝3a2﹣4ac+c4﹣3a2+3ac
＝（a+c）2．
∴S﹣3（S3﹣S2）是完全平方式．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，正确表示线段的长度是求解本题的关键．