2024年北京市朝阳区九年级中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个．
1. 年月日北京市第十六届人民代表大会第二次会议开幕，在政府工作报告中提到，年北京向天津、河北输出技术合同成交额元，将用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，直线，相交于点，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
4. 如果一个几何体的三视图都是矩形，那么这个几何体可能是（ ）
A. 三棱柱B. 长方体C. 圆柱D. 圆锥
5. 若，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 正十边形的内角和为（ ）
A. B. C. D.
7. 掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，向上一面的点数为5的概率是（ ）
A B. C. D.
8. 如图，四边形是正方形， 点分别在的延长线上， 且，设． 给出下面三个结论：①；②；③上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③
二、填空题 （共16分，每题2分）
9. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
10. 分解因式：3x2+6xy+3y2＝_____．
11. 方程的解为______．
12. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是_____．
13. 某种植户种植了棵新品种果树，为了解这棵果树的水果产量，随机抽取了棵进行统计，获取了它们的水果产量（单位：千克），数据整理如下：
根据以上数据，估计这棵果树中水果产量不低于千克的果树棵数为_____．
14. 在数学活动课上，小南利用镜子、尺子等工具测量学校教学楼高度（如图所示），当他刚好在点处的镜子中看到教学楼的顶部时，测得小南的眼睛与地面的距离，同时测得，，则教学楼高度_____．
15. 如图，是的外接圆，于点，交于点，若，，则的长为_____．

16. 甲、乙两位同学合作为班级联欢会制作四个游戏道具，每个道具的制作都需要拼装和上色两道工序，先由甲同学进行拼装，拼装完成后再由乙同学上色．两位同学完成每个道具各自的工序需要的时间（单位：分钟）如下表所示：
（1）如果按照的顺序制作，两位同学合作完成这四个道具的总时长最少为_______分钟；
（2）两位同学想用最短的时间完成这四个道具的制作，他们制作的顺序应该是_______．
三、解答题（共68分， 第17-19题， 每题5分， 第20-21题， 每题6分， 第22-23题， 每题5分， 第24题6分， 第25题5分， 第26题6分， 第27-28题， 每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算：
18 解不等式组：
19. 已知，求代数式 的值．
20. 如图，在中，，过点D作的平行线与的延长线相交于点 E．
（1）求证： 四边形是菱形；
（2）连接，若，求的长．
21. 燕几（即宴几）是世界上最早的一套组合桌，设计者是北宋进士黄伯思．全套燕几一共有七张桌子，每张桌子高度相同．其桌面共有三种尺寸，包括张长桌、张中桌和张小桌，它们的宽都相同．七张桌面可以拼成一个大的长方形，或者分开组合成不同的图形，其方式丰富多样，燕几也被认为是现代七巧板的前身．右图给出了《燕几图》中列出的名称为“函三”和“回文”的两种桌面拼合方式．若全套七张桌子桌面的总面积为平方尺，则长桌的长为多少尺？

22. 在平面直角坐标系中，正比例函数的图象和反比例函数 的图象都经过点．
（1）求该正比例函数和反比例函数的解析式；
（2）当时， 对于x的每一个值， 函数的值都大于反比例函数 的值，直接写出n的取值范围．
23. 某广场用月季花树做景观造型，先后种植了两批各棵，测量并获取了所有花树的高度 （单位：），数据整理如下：
a．两批月季花树高度频数：
b．两批月季花树高度的平均数、中位数、众数（结果保留整数）：
（1）写出表中，的值；
（2）在这两批花树中，高度的整齐度更好的是 （填“第一批”或“第二批”）；
（3）根据造型的需要，这两批花树各选用棵，且使它们高度的平均数尽可能接近．若第二批去掉了高度为和的两棵花树，则第一批去掉的两棵花树的高度分别是 和 ．
24. 如图，是的直径，点在上，是的中点，的延长线与过点的切线交于点，与的交点为．

（1）求证：；
（2）若的半径是，，求的长．
25. 某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式，在煮沸模式下将水加热至后自动进入保温模式，此时电热水壶开始检测壶中水温，若水温高于水壶不加热；若水温降至水壶开始加热，水温达到时停止加热……此后一直在保温模式下循环工作．某数学小组对壶中水量（单位：L），水温（单位： ）与时间（单位：分）进行了观测和记录，以下为该小组记录的部分数据．
表1从开始加热至水量与时间对照表
表2 1L水从开始加热，水温与时间对照表
对以上实验数据进行分析后，该小组发现，水壶中水量为时，无论在煮沸模式还是在保温模式下，只要水壶开始加热，壶中水温就是加热时间的一次函数．
（1）写出表中值；
（2）根据表2中的数据，补充完成以下内容：
①在下图中补全水温与时间的函数图象；
②当时， ；
（3）假设降温过程中，壶中水温与时间的函数关系和水量多少无关．某天小明距离出门仅有分钟，他往水壶中注入温度为 的水，当水加热至后立即关闭电源．出门前，他 （填“能”或“不能”）喝到低于的水．
26. 在平面直角坐标系中，抛物线 上有两点， 它的对称轴为直线．
（1）若该抛物线经过点，求t的值；
（2）当时，
①若， 则 0； （填“>”“=”或“<” ）
②若对于，都有，求t的取值范围．
27. 如图，在菱形中，，边上一点（不与点，重合）．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，连接交于点．
（1）依据题意，补全图形；
（2）求证：；
（3）用等式表示线段，，之间的数量关系．
28. 在平面直角坐标系中，的半径为，对于直线和线段，给出如下定义：若线段关于直线的对称图形是的弦（，分别为，的对应点），则称线段是关于直线的“对称弦”
（1）如图，点，，，，，的横、纵坐标都是整数．线段，，中，是关于直线的“对称弦”的是 ；
（2）是关于直线的“对称弦”，若点的坐标为，且，求点的坐标；
（3）已知直线和点，若线段是关于直线的“对称弦”，且，直接写出的值．
考生须知
1．本试卷共6页，共三道大题， 28道小题， 满分100分．考试时间120分钟．
2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、班级、姓名和考号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上， 在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束， 请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．
水果产量
果树棵数

A
B
C
D
甲
9
5
6
8
乙
7
7
9
3

第一批
第二批

平均数
中位数
众数
第一批
第二批

煮沸模式
保温模式
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