安徽省安庆市潜山市十校联考2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟；
2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的；
3.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回.
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的.
1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次根式的化简，判断是否为最简二次根式．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案．
【详解】解：∵，故A选项不是最简二次根式；
∵，故C选项不是最简二次根式；
∵，故D选项不是最简二次根式；
故选：B．
2. 已知，两条直角边的长分别为2、3，则它的斜边的长为（ ）
A. B. 4C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理，已知两条直角边，运用勾股定理可求出斜边的长．
【详解】解：∵的两条直角边的长分别为2、3，
∴，
故选：D．
3. 已知x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的解，则－4b+2c=（ ）
A. 8B. －8C. 4D. －4
【答案】A
【解析】
【分析】由x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的一个解，将x=2代入原方程，即可求得2b-c的值，从而得解．
【详解】解：∵x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的一个根，
∴4+2b-c =0，
∴2b-c =-4．
∴－4b+2c=-2(2b-c)=-2×(-4)=8．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义．解题的关键是将x=2代入原方程，利用整体思想求解．
4. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据配方法可直接进行排除选项．
【详解】解：用配方法解方程可得：；
故选C．
【点睛】本题主要考查配方法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的加减乘除法则依次判断
【详解】解：A. 与不是同类二次根式，不能合并，故错误；
B. ，故正确；
C. ，故错误；
D. ，故错误；
故选：B
【点睛】此题考查了二次根式计算法则，正确掌握二次根式的加减乘除计算法则是解题的关键
6. 已知a，b，c为常数，，则关于x的一元二次方程的根的情况为（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法判定
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可．
【详解】解：由题意得，，
∵，
∴，
∴，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
7. 如图，原来从A村到B村，需要沿路A→C→B（）绕过两地间的一片湖，在A， B间建好桥后，就可直接从A村到B村．已知，，那么，建好桥后从 A村到B村比原来减少的路程为（ ）
A. 2kmB. 4kmC. 10 kmD. 14 km
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用勾股定理得出的长，进而得出答案．
【详解】解：由题意可得：
则打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为：（km）．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出的长是解题关键．
8. 如图，的直角边在数轴上，点A表示，且，若以点为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（ ）
A. B. C. 1.2D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用勾股定理求出的长，进而得到的长，即可得出结果．本题考查勾股定理与无理数，解题的关键是利用勾股定理求出的长．
【详解】解：由勾股定理，得：，
，
∵点表示的数为，
∴点P表示数为；,
故选D．
9. 随着新能源电动汽车的快速增加，绵阳市正在快速推进全市电动汽车的充电桩建设，已知到2023年底，绵阳全市约有万个充电桩，根据规划到2025年底，全市的充电桩数量将会达到万个，则从2023年底到2025年底，全市充电桩数量的年平均增长率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键．根据题意列出方程即可得到答案．
【详解】解：设全市充电桩数量年平均增长率为，
根据题意得，
解得（舍去），
故全市充电桩数量的年平均增长率为．
故选C．
10. 如图，四个全等的直角三角形围成正方形和正方形，连接，分别交，于点． 已知，正方形的面积为24，则图中阴影部分的面积之和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正方形的面积可得正方形边长的平方，设，则，根据勾股定理可得的平方的值，再根据题意可得，然后可得阴影部分的面积之和为梯形的面积．
【详解】解：，
，
设，
则，
，
，
根据题意可知：
，，
，
，
，
，
阴影部分的面积之和为：





．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明、全等图形、梯形的面积，首先要正确理解题意，然后会利用勾股定理和梯形的面积解题．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 如果有意义，那么的取值范围是 ____．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可．
【详解】解：∵有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
12. 已知a，b是一元二次方程的两个根，则______.
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系；根据一元二次方程根与系数的关系可知， ，将通分后代入即可求出答案．
【详解】解：，是一元二次方程的两个根，
根据根与系数的关系可知：， ，
．
故答案为：．
13. 勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），….分析上面勾股数组可以发现，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为_____.
【答案】（11，60，61）
【解析】
【分析】由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…可得第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）=60，进而得出（11，60，61）．
【详解】由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），可得
第4组勾股数中间的数为4×（9+1）=40，即勾股数为（9，40，41）；
第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）=60，即（11，60，61）．
故答案为：（11，60，61）．
【点睛】本题主要考查了勾股数，解题的关键是找出数据之间的关系，掌握勾股定理．
14. 新定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
（1）方程______“倍根方程”（填“是”或“不是”）；
（2）若是“倍根方程”，则______．
【答案】 ①. 是 ②. 4或16##16或4
【解析】
【分析】本题主要考查了新定义“倍根方程”、解一元二次方程等知识，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法，如直接开方法、配方法、公式法、因式分解法等．
（1）利用因式分解法解方程，然后根据“倍根方程”的定义判断即可；
（2）解方程，然后分是8的2倍、8是的2倍两种情况讨论，即可获得答案．
【详解】解：（1），
∴，
∴，，
∵4是2的2倍，
∴方程是“倍根方程”；
（2）解方程，
可得，，
∵是“倍根方程”，
∴当是8的2倍时，即有，
当8是的2倍时，即有．
故答案为：（1）是；（2）4或16．
三、（本大题共2小题，每小题8分、满分16分）
15. 计算：．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先算括号里，再算除法即可．
【详解】解：
．
16. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】对于形如标准形式的一元二次方程根据求根公式：，求解即可．
【详解】解：，
，，，
△，
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，关键是熟练运用一元二次方程的求根公式．
四、（本大题共2小题、每小题8分、满分16分）
17. 如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，求图中阴影部分的面积（结果保留根号）．

【答案】
【解析】
【分析】根据小正方形的面积得到边长即可得到大正方形的边长，根据阴影部分的面积=大正方形的面积-两个小正方形的面积即可得出答案．
【详解】解：∵两个小正方形的面积为2和5，
∴两个小正方形的边长为和
∴大正方形的边长为：
∴阴影部分的面积
【点睛】本题考查了二次根式的应用，根据小正方形的面积得到边长，进而得到大正方形的边长是解题的关键．
18. 小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：
①测得水平距离的长为15米：
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
【答案】（1）21.6米
（2）8米
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．
（1）根据勾股定理求出的长即可得出结果；
（2）根据勾股定理求出的长即可得出结果．
【小问1详解】
解：由勾股定理得，（米，
（米；
【小问2详解】
如图，由勾股定理得，
（米，
（米，
他应该往回收线8米．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；
（2）若一元二次方程的两根为，，且满足，求m的值.
【答案】（1）详见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．一元二次方程的两个根，，满足，．
（1）根据一元二次方程根的判别式进行判断即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可．
【小问1详解】
证明：∵
，
∵，
∴，
∴无论m取任何实数，方程总有实数根；
【小问2详解】
解：∵，，，
∴，
解得，
故m的值为．
20. 如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，求这块菜地的面积．
【答案】这块菜地的面积为
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的实际应用，连接，利用勾股定理得到，进而利用勾股定理的逆定理证明，最后根据四边形的面积的面积的面积进行求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵，，，
∴．
∵，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴四边形的面积的面积的面积
答：这块菜地的面积为．
六、（本题满分12分）
21. 我国某巨型摩天轮的最低点距离地面，圆盘半径为．摩天轮的圆周上均匀地安装了若干个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱．小明、小丽先后从摩天轮的底部入舱出发开始观光，当小明观光到点P时，小丽到点Q，此时，且小丽距离地面．

（1）与全等吗？为什么？
（2）求此时两人所在座舱距离地面的高度差．
【答案】（1），理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）分别证明，，即可利用证明；
（2）由全等三角形的性质可得，再根据线段之间的关系求出，进而利用勾股定理求出，则，由此可得两人所在座舱距离地面的高度差为．
小问1详解】
解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵小丽到点Q，且小丽距离地面，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴两人所在座舱距离地面的高度差为．
【点睛】本题主要考查了全等三角形性质与判定，勾股定理，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
七、（本题满分12分）
22. 城市露营成为一种新的周末生活方式，某公司向厂家购买了精英型帐篷和豪华型帐篷两种产品．已知购买2顶精英型帐篷和1顶豪华型帐篷成本为900元，1顶精英型帐篷比1顶豪华型帐篷少450元．
（1）求购进的精英型帐篷和豪华型帐篷的单价各是多少？
（2）该公司准备将购进的精英型帐篷进行零售，经过市场调研发现，每顶精英型帐篷售价为200元时，每天销量为60顶，售价每降低1元每天可多售出5顶．该公司现决定对精英型帐篷进行降价销售，若降价m元，请用含有m的式子直接表示出该公司精英型帐篷每天的销量；
（3）在（2）问条件下，若该公司每天销售精英型帐篷的利润为4400元，求精英型帐篷的售价．
【答案】（1）每顶精英型帐篷成本为150元，豪华型帐篷的成本为600元．
（2）降价m元，该公司精英型帐篷每天的销量为顶；
（3）精英型帐篷的售价为元或元．
【解析】
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，连接题意确定相等关系是解本题的关系；
（1）设每顶精英型帐篷成本是x元，豪华型帐篷的成本分别是y元，利用“购买2顶精英型帐篷和1顶豪华型帐篷成本为900元，1顶精英型帐篷比1顶豪华型帐篷少450元”建立方程组求解即可；
（2）由原有的销售量加上增加的销售量即可得到答案；
（3）由每顶帐篷的利润乘以销售量等于总利润建立方程求解即可．
【小问1详解】
解：设每顶精英型帐篷成本是x元，豪华型帐篷的成本分别是y元，根据题意得：
，解得，
答：每顶精英型帐篷成本为150元，豪华型帐篷的成本为600元．
【小问2详解】
降价m元，该公司精英型帐篷每天的销量为顶；
【小问3详解】
由题意可得：，
整理得：，
解得：，，
∴或，
∴精英型帐篷的售价为元或元．
八、（本题满分14分）
23. 阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值.
解：设，则原方程变为，整理得，，
∴，∵，∴.
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化.
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程.
（1）已知实数x，y满足，求的值；
（2）设a，b满足等式，求的值；
（3）若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数.
【答案】（1）
（2）
（3）这四个连续正整数为1，2，3，4
【解析】
【分析】（1）设，则，解得：，由，得，即可求解，
（2）设，则，或，由，得，即可求解，
（3）设最小正整数为x，则，即：，设，则，解得：，，由x为正整数，得，解得，即可求解，
本题考查了换元法，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化．
【小问1详解】
解：设，则，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，
【小问2详解】
解：设，则，
∴，
解得：或，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，
【小问3详解】
解：设最小正整数为x，则，即：，
设，则，
解得：，，
∵x为正整数，
∴，
解得，（舍去），
故答案为：这四个连续正整数为1，2，3，4．