广东省东莞市东莞市沙田瑞风实验学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

这是一份广东省东莞市东莞市沙田瑞风实验学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版），文件包含广东省东莞市东莞市沙田瑞风实验学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题原卷版docx、广东省东莞市东莞市沙田瑞风实验学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。

一、单选题（每小题3分，共30分）
1. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同类二次根式的合并，及二次根式的乘除法则，分别进行各选项的判断即可．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，故A选项错误；
B、与3不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，故B选项错误；
C、，原式计算正确，故C选项正符合题意；
D、，原式计算错误，故D选项错误；
帮选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的加减及乘除运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握各部分的运算法则．
2. 矩形、菱形都具有的性质是（ ）
A. 对角线互相平分B. 对角线互相垂直且相等
C. 对角线相等D. 对角线互相垂直
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的性质．由矩形的性质和菱形的性质可直接求解．
【详解】解：∵菱形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线互相平分且相等，
∴矩形、菱形都具有的性质是对角线互相平分，
故选：A．
3. 如果，，那么( )
A. a>bB. a【答案】C
【解析】
【分析】根据分母有理化可将化简为，即得出答案．
【详解】∵b＝==，
又∵a=2＋，
∴a=b．
故选C．
【点睛】本题主要考查分母有理化．掌握分母有理化的方法是解题关键．
4. 如图，菱形ABCD的对角线AC＝6，BD＝8，则菱形ABCD的周长为（ ）
A. 5B. 10C. 20D. 40
【答案】C
【解析】
【分析】由菱形的性质可求得OA与OB的长，在Rt△ABO中，由勾股定理求得边AB的长，即可求解．
【详解】解：设AC与BD的交点为O，
∵菱形ABCD中，AC=6，BD=8，
∴OA=AC=3，OB=BD=4，AC⊥BD，
∴，
∴菱形ABCD周长=4×5=20，
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质以及勾股定理．注意掌握菱形的对角线互相垂直且平分定理的应用是解此题的关键．
5. 如图，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，字母所代表的正方形的边长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理求出字母所代表的正方形的面积，根据正方形的性质计算，得到答案．
【详解】如图，
∵是直角三角形，
则由勾股定理得：，
∴字母所代表的正方形的面积，
∴字母所代表的正方形的边长为，
故选：．
【点睛】此题考查的是勾股定理的应用、正方形的面积，熟知如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么是解决问题的关键．
6. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的乘、除法、二次根式的性质，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的乘、除法、二次根式的性质，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
7. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件可得，即可求解．
【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
8. 如图，以Rt△ABC为直径分别向外作半圆，若S1＝10，S3＝8，则S2＝（ ）
A. 2B. 6C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理，得：AB2+BC2＝AC2，再根据圆面积公式，可以证明：S1+S2＝S3．即S2＝10﹣8＝2．
【详解】∵AB2+BC2＝AC2，；
；
；
S2+S3＝＝S1，
故S2＝S1﹣S3＝10﹣8＝2．
故选A．
【点睛】注意根据圆面积公式结合勾股定理证明：S1+S2＝S3，即直角三角形中，以直角边为直径的两个半圆面积的和等于以斜边为直径的半圆面积．
9. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平方根的性质、立方根的性质以及绝对值的性质即可求出答案．
【详解】A、原式＝0.3，故A不符合题意．
B、原式＝＝，故B不符合题意．
C、原式＝﹣3，故C符合题意．
D、原式＝﹣5，故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了平方根的性质、立方根的性质以及绝对值的性质，正确进行平方根与立方根的计算是关键，要注意平方根与算术平方根的区别．
10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点（B在A左侧），交y轴于点C．且，分别以为边向外作正方形，正方形．记它们的面积分别为，面积记为，当时，b的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先确定得到，利用正方形的性质，由得到，求出得到，于是可设交点式，然后把代入求出即可得到的值．
【详解】解：当时，，则，
，
，
，
，
整理得，解得，
，
设抛物线解析式为，
把代入得，解得，
抛物线解析式为，
即，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和正方形的性质．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 代数式有意义时，x应满足的条件是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数得到．
【详解】解：由题意，得，
解得．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
12. 计算：___________．
【答案】
【解析】
【分析】先化简两个二次根式，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查的是二次根式的加减运算，掌握“二次根式的化简与合并同类二次根式”是解本题的关键．
13. 勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦”．即（a为勾，b为股，c为弦），若“勾”为2，“股”为3，则“弦”是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题干中的定义求解即可．
【详解】解：“弦”是，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查勾股定理，理解题干中定义是解题关键．
14. 如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为__________．

【答案】30海里
【解析】
【分析】根据题意得出：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，再利用勾股定理得出BP的长，求出答案．
【详解】由题意可得：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，
故AB=2AP=60（海里），
则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为：
BP=（海里）
故答案为30海里.
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确应用勾股定理是解题关键．
15. 在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，则△ABC的面积是________．
【答案】12
【解析】
【分析】作AH⊥BC于H，由等腰三角形的性质得BH=3，再利用勾股定理求出AH的长，从而得出面积．
【详解】解：作AH⊥BC于H，
∵AB=AC，BC=6，
∴BH=BC=3，
由勾股定理得，AH==4，
∴△ABC的面积是×BC×AH=×6×4=12，
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
16. 如图，正方形ABCD中，AD=4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则△EMN的周长是_____．
【答案】
【解析】
【详解】试题解析：如图1，过E作PQ⊥DC，交DC于P，交AB于Q，连接BE，
∵DC∥AB，
∴PQ⊥AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD=45°，
∴△PEC是等腰直角三角形，
∴PE=PC，
设PC=x，则PE=x，PD=4﹣x，EQ=4﹣x，
∴PD=EQ，
∵∠DPE=∠EQF=90°，∠PED=∠EFQ，
∴△DPE≌△EQF，
∴DE=EF，
易证明△DEC≌△BEC，
∴DE=BE，
∴EF=BE，
∵EQ⊥FB，
∴FQ=BQ=BF，
∵AB=4，F是AB的中点，
∴BF=2，
∴FQ=BQ=PE=1，
∴CE=，
Rt△DAF中，DF=，
∵DE=EF，DE⊥EF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DE=EF=，
∴PD==3，
如图2，
∵DC∥AB，
∴△DGC∽△FGA，
∴，
∴CG=2AG，DG=2FG，
∴FG=，
∵AC=，
∴CG= ，
∴EG=，
连接GM、GN，交EF于H，
∵∠GFE=45°，
∴△GHF是等腰直角三角形，
∴GH=FH=，
∴EH=EF﹣FH=，
∴∠NDE=∠AEF，
∴tan∠NDE=tan∠AEF=，
∴，
∴EN=，
∴NH=EH﹣EN=，
Rt△GNH中，GN= ，
由折叠得：MN=GN，EM=EG，
∴△EMN的周长=EN+MN+EM=
考点：1.折叠；2.正方形的性质.
三、解答题
17. 计算：
【答案】-1- .
【解析】
【详解】【分析】按顺序先分别进行二次根式的化简、绝对值的化简、0次幂的计算、特殊角的三角函数值，然后再按运算顺序进行计算即可.
【详解】原式=
=
=.
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握0次幂的运算法则、特殊角的三角函数值是解本题的关键.
18. 如图，有一斜坡长，坡顶离地面高度为，求的长度及此斜坡的倾斜角的度数．
【答案】长，此斜坡的倾斜角为
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理，解直角三角形的应用-坡度坡角问题，由勾股定理可求出，在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而求出的度数，即可解答．
【详解】解：在中，，
∴
又，
则，
答：长，此斜坡的倾斜角为．
19. 在杭州西湖风景游船处，如图，在离水面高度为5m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为13m，此人以0.5m/s的速度收绳．10s后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）

【答案】
【解析】
【分析】在中，利用勾股定理计算出长，再根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，接下来再利用，计算即可求得长．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∵此人以0.5m/s的速度收绳．10s后船移动到点D的位置，
∴，
∴，
∴．
答：船向岸边移动了米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，求出10s后的值是解题的关键．
20. 已知：如图，中，，是的平分线，于点E，于点F．求证：四边形是正方形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定，正方形的判定，角平分线的性质，解题关键是掌握正方形的判定方法，并利用角平分线的性质证得．由，得，结合已知，根据矩形的判定“有三个角是直角的四边形是矩形”，可得四边形为矩形，再根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得，然后根据正方形的判定“一组邻边相等的矩形是正方形”，即可证得结论．
【详解】证明：∵，，
∴，
又∵，
∴四边形为矩形，
∵是的平分线，且，，
∴，
∴矩形为正方形．
四、综合题
21. 如图，已知和均是直角三角形，，，于点．
（1）求证：≌；
（2）若点是的中点，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）cm
【解析】
【分析】（1）根据即可证明结论；
（2）结合（1）可得cm，根据点是的中点，可得cm，根据勾股定理即可求出的长．
【详解】解：（1）证明：，
，
，
，
，
，
在和中，
，
；
（2），
cm，
点是的中点，
cm，
cm，
中，根据勾股定理，得
cm．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
22. （1）计算：
（2）已知：如图，在中，，点D、E、F分别是各边的中点，求证：四边形是菱形．
【答案】（1）（2）证明见详解
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的混合运算以及菱形的判定．
（1）本题主要考查了实数的混合运算，先化简绝对值，求算术平方根以及立方根，最后计算加减．
（2）由D、E、F分别是三边的中点，可得出，，，由，即可得出，即可证明四边形为菱形．
【详解】解：（1）
（2）证明：∵D、E、F分别是三边的中点，
∴，，，
∴四边形为平行四边形．
又∵，
∴．
∴四边形为菱形．
23. 如图，一架梯子长25m，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面24m．
（1）这个梯子底端离墙有多少米？
（2）如果梯子顶端下滑了4m，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4m吗？说明理由．
【答案】（1）7m；（2）不是滑动了4m而是滑动了8m，理由见解析
【解析】
【分析】（1）设梯子为AB，墙根为C，则AB＝25m，AC＝24m，然后利用勾股定理求解即可；
（2）设下滑后梯子的位置如图所示，则，即可得到，利用勾股定理求出即可求出，由此即可得到答案．
【详解】解：（1）由题意，设梯子为AB，墙根为C，则AB＝25m，AC＝24m，
∴由勾股定理得，BC2＋AC2＝AB2，
∴BC＝＝7m．
∴梯子底端离墙有7m．
（2）如果梯子顶端下滑了4m，那么梯子的底部在水平方向不是滑动了4m，理由如下：
设下滑后梯子的位置如图所示，
由题意得：，
∴，
在中，，
∴，
∴梯子底端在水平方向不是滑动了4m，而是滑动了8m．
【点睛】本题主要考查了勾股定理应用，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理．
24. 如图，在中，，，．点D从点C出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（）．过点D作于点F，连接，．
（1）的长为 ，的长为 ；的长为 ，的长为 （用含t的代数式表示）；
（2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由；
（3）当t为何值时，为直角三角形？请说明理由．
【答案】（1）5、10、t、2t
（2）能，
（3）秒或4秒时，为直角三角形，理由见详解
【解析】
【分析】（1）由直角三角形的性质、勾股定理以及点运动的规律即可求解；
（2）首先得出四边形为平行四边形，进而利用菱形的判定与性质得出时，求出t的值，进而得出答案；
（3）利用①当时；②当时；③当时，分别分析得出即可．
【小问1详解】
∵在中，，，，
∴，
∴设，则，由勾股定理得，
，
得，
故，，
根据运动特点可知：，，
故答案为：，，，；
【小问2详解】
能．理由如下：
∵，，，
∴，
∴．
∵，，
∴．
又，
∴四边形为平行四边形．
若使平行四边形为菱形，则需，
∵，，
∴．
根据，可得，解得.
即当时，四边形为菱形．
【小问3详解】
①时，即有，如图，
∴，
∴，
∴在中，，
∵，，
即：，；
②时，即有，如图，
在（2）已证明四边形为平行四边形，即，
∴，
在中，，，
∴，
∴在中，，
∴，
即： ，解得．
③时，此种情况不存在．
故当秒或4秒时，为直角三角形．
【点睛】此题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．
25. 如图，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图象与边、分别交于点D、E，且．点M是线段上的一个动点．
（1）求b的值；
（2）连接，若三角形的面积与四边形的面积之比为，求点M的坐标；
（3）设点N是平面内的一点，以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，求点N的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）或或
【解析】
【分析】（1）先求出点坐标，则，再根据矩形的性质，用表示点坐标，利用待定系数法可解；
（2）根据（1）所求，结合梯形面积公式求出四边形的面积，进而求出的面积，再根据三角形面积公式求出点M的横坐标，即可得到答案；
（3）以、、、为顶点的四边形是菱形，分三种情况讨论，分别以，，为对角线，分别求出点坐标即可．
【小问1详解】
解：在中，当时，，
∴点坐标，
∴，
，
，
∵点B的坐标为，
∴，
∴
∴点的坐标为，
把代入得：，
解得：；
【小问2详解】
解：由（1）得，
∴，
∴，
∵三角形的面积与四边形的面积之比为，
∴，
设点的横坐标为，
∴，
解得，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如图（1）所示，当为菱形对角线时，则点M在线段的垂直平分线上，且点M与点N关于对称
∴点M的纵坐标为，
在中，当时，，
∴，
∴
如图（2）所示，当为菱形边时，设点M坐标为，
由菱形的性质可得，
∴，，
∴，
∴或（舍去），
∴；
当为菱形的边时，如图，设点M坐标为，
∴，
∴，，
∴，
解得或（舍去），
∴；
综上所述，点N的坐标为或或．
【点睛】本题是一次函数的综合题目，考查矩形的性质，菱形的性质，四边形的面积等知识，解题关键是掌握菱形的性质进行分类讨论，并且能够利用一次函数图象上点的坐标特征，用点的坐标表示线段长．