河北省石家庄市赵县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级等信息填写在答题卡相应位置上。
2．答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。
3．答非选择题时，用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试卷上作答无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分）
1. 下列根式是最简二次根式（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据最简二次根式的概念，逐一判断选项，即可．
【详解】解：A、=，故本选项不符合题意，
B、=，故本选项不符合题意，
C、是最简二次根式，故本选项符合题意，
D、，故本选项不符合题意．
故选:C．
【点睛】本题主要考查最简二次根式，掌握最简二次根式的定义：“根号内不含分母，不含平方因式的二次根式，叫做最简二次根式”，是解题的关键．
2. 下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A. 2，3，4B. ，，C. 1，，2D. ，，8
【答案】C
【解析】
【分析】利用勾股定理的逆定理，判定选项中的值能否组成直角三角形即可．
【详解】解：∵，
故A选项中不能组成直角三角形，错误；
∵，
故B选项中不能组成直角三角形，错误；
∵，
故C选项中能组成直角三角形，正确；
∵，
故D选项中不能组成直角三角形，错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是勾股定理的逆定理，掌握定理的内容是解题的关键．
3. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式里面被开方数即可求解．
【详解】解：由题意知：被开方数，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，必须保证被开方数大于等于0．
4. 下列计算不正确的是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】根据二次根式的加减法，合并同类二次根式，可知，故正确；
根据二次根式的乘法，可知，故正确；
根据二次根式的性质和化简，由分母有理化可得，故正确；
根据二次根式的加减，可知与不是同类二次根式，故不正确.
故选D.
5. 在下列命题中，正确的是（ ）
A. 对角线相等的四边形是平行四边形B. 有一个角是直角的四边形是矩形
C. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查命题及平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定，根据判定定理逐个判断即可得到答案
【详解】解：由题意可得，
对角线相等的四边形不一定是平行四边形，故A不正确，不符合题意，
有一个角是直角的平行四边形是矩形，故B不正确，不符合题意，
有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故C正确，符合题意，
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故D不正确，不符合题意，
故选：C．
6. 如图，平行四边形中，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质结合已知条件即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
7. 如图，有一个绳索拉直的木马秋干，绳索AB的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即DE=3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（ ）
A. 1米B. 米
C. 2米D. 4米
【答案】A
【解析】
【分析】如图（见解析），过点C作于点F，先利用勾股定理求出AF的长，再根据线段的和差即可得．
【详解】如图，过点C作于点F，则米，
由题意得：米，
在中，由勾股定理得：（米），
则（米），
即木马上升的高度为1米，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、线段的和差，熟练掌握勾股定理是解题关键．
8. 如图，在□ABCD中，ABAC，若AB=4，AC=6，则BD的长是（ ）
A. 11B. 10C. 9D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】利用平行四边形的性质可知AO=3，在Rt△ABO中利用勾股定理可得BO=5，则BD=2BO=10．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD=2BO，AO=OC=3．
在Rt△ABO中，利用勾股定理可得：BO=
∴BD=2BO=10．
故选B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理．解题的技巧是平行四边形转化为三角形问题解决．
9. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】利用数轴得出，，进而利用二次根式的性质化简求出即可．
【详解】解：由数轴可得：，，
∴，
则
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式性质与化简，掌握二次根式的化简方法是关键．
10. 如图，在一个长为，宽为的矩形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点处爬过木块到达点处需要走的最短路程是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查勾股定理解决最短距离问题，将长方体木块拉伸，结合两点间距离及勾股定求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，如图所示，
，
∴，
∴最短路程是：，
故选：A．
11. 如图，在中，为边上一动点，于，于，动点从点出发，沿着匀速向终点运动，则线段的值大小变化情况是（ ）

A. 一直增大B. 一直减小C. 先减小后增大D. 先增大后减少
【答案】C
【解析】
【分析】连接，先判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，即可判断出动点P从点B出发，沿着匀速向终点C运动，线段的值大小变化情况．
【详解】如图，连接．

∵
∴四边形是矩形，
∴，
由垂线段最短可得时，最短，则线段的值最小，
∴动点P从点B出发，沿着匀速向终点C运动，则线段的值大小变化情况是先减小后增大．
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出时，线段的值最小是解题的关键．
12. 如果正整数、、满足符式，那么正整数、、叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依据每列数的规律，即可得到，，，进而得出的值．
【详解】解：由题可得，，，，
，，，（且n为正整数）
当时，
解得：，
，，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股数，满足的三个正整数，称为勾股数．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13. 若最简二次根式与能合并，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得与是同类二次根式，并且被开方数相同，进而可得方程，再解即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了同类二次根式，关键是掌握把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
14. 若，则代数式的值为_______．
【答案】3
【解析】
【分析】将变形为，整体代入即可得出结果
【详解】，
．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，将变形为是解题得关键．
15. 如图，矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为________．

【答案】3
【解析】
【分析】矩形的对角线相等且互相平分，所以过交点的把矩形分成面积相等的两部分，通过面积的等量代换可求出解．
【详解】解：矩形的对角线和相交于点，
四边形里面的空白三角形的面积和四边形中阴影三角形的面积相等．
求阴影部分的面积可看成求四边形的面积．
阴影部分的面积为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质，矩形的对角线相等且互相平分，过交点的线段把矩形分成面积相等的两部分．
16. 在平面直角坐标系中，已知点、、，在坐标平面内找一点D，使得以A，B，C，D四点组成的四边形为平行四辺形，请写出D点坐标_________．
【答案】，，
【解析】
【分析】需要分类讨论：以为边的平行四边形和以为对角线的平行四边形．
【详解】解：①当为边且为邻边时：如图

因为点、，
所以点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得点，
相应的点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得点，
，
；
②当为边且为邻边时：如图

因为点、，
所以点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得点，
相应的点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得点，
，
；
③当为对角线时：如图

因为点、，
所以点先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得点，
相应的点先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得点，
，
；
故答案为：，， ．
【点睛】本题考查平行四边形的判定及点的平移问题，解题关键是准确作出对应图形，利用数形结合思想解决．
三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. （1）计算：；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查二次根式的运算．
（1）先化简二次根式，再运算即可；
（2）先去括号，再进行二次根式的运算即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
18. 一个三角形的三边长分别为，，．
（1）求它的周长（要求结果化简）；
（2）请你给出一个适当的的值，使它的周长为整数，并求出此时三角形的周长．
【答案】（1）
（2）当时，这个三角形的周长是（答案不唯一）
【解析】
【分析】（1）把三角形的三边长相加，即为三角形的周长．运用二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并；
（2）根据（1）中的结果，选择一个符合题意的的值即可．
【小问1详解】
解：一个三角形的三边长分别为为，，，
这个三角形的周长是：
，
，
这个三角形的周长是：．
【小问2详解】
当时，这个三角形的周长是：
．
∴当时，这个三角形的周长是（答案不唯一）．
【点睛】本题考查二次根式的应用．解答本题的关键是掌握二次根式的性质与运算法则．
19. 定义：如图，点M、N把线段分割成，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段的勾股分割点．

（1）已知M、N把线段分割成，若，，，则点M、N是线段的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长．
【答案】（1）点M、N是线段的勾股分割点，理由见解析
（2）或
【解析】
【分析】（1）由，，，可得，根据勾股定理逆定理得出以为边的三角形是一个直角三角形，再根据线段勾股分割点的定义即可判断；
（2）设，则,分两种情形①当为斜边时，依题意，②当为斜边时，依题意，分别列出方程即可解决问题．
【小问1详解】
点M、N是线段的勾股分割点，理由如下：
∵，，
∴，
∴
∴以为边的三角形是直角三角形
∴点M、N是线段的勾股分割点；
小问2详解】
设
∵，
∴
∵点M、N是线段的勾股分割点，且为直角边
∴①若为斜边，则
即，
解得：
②若为斜边，则
即，
解得：
综上所述，BN的长为或．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是理解新定义，学会分类讨论，注意不能漏解，属于中考常考题型．
20. 如图，在四边形中，，，，．

（1）求的度数；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（）由，，可得，，进而由勾股定理的逆定理可得为直角三角形，利用角的和差关系即可求出；
（）由四边形的面积，计算即可求解；
本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形性质，四边形的面积，利用勾股定理的逆定理得出是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴直角三角形，，
∴；
【小问2详解】
解：四边形的面积．
21. 阅读下面的材料，解答后面所给出的问题：两个含二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．例如：与、与．
（1）请你写出两个二次根式，使它们互为有理化因式：______，这样化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分母、分子同乘分母的有理化因式的方法就可以了．
例如：．
（2）请仿照上述方法化简：；
（3）比较与的大小．
【答案】（1）与（答案不唯一）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查二次根式的化简运算，掌握分母有理化的规则是解题的关键．
（1）根据定义，写出符合题意的两个二次根式即可；
（2）按照定义进行化简即可；
（3）先化简两个式子，再比较大小即可．
【小问1详解】
解：与互为有理化因式（答案不唯一）
与互为有理化因式
故答案为：与（答案不唯一）；
【小问2详解】
；
【小问3详解】
，，且
．
22. 如图所示，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，交BE于点G．
（1）若∠EFG＝32°，求∠FEG的度数；
（2）求证：AF＝DE．
【答案】（1）∠FEG=58°；
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质以及角平分线的定义，即可得到∠EGF=90°，再根据三角形内角和定理，即可得到∠FEG的度数；
（2）根据平行四边形的性质可得：AB=CD，AD∥BC，根据平行线性质和角平分线的定义求出∠ABE=∠AEB，推出AB=AE，同理求出DF=CD，证明AE=DF即可．
【小问1详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
又∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠GBC+∠GCB=（∠ABC+∠BCD）=×180°=90°，
∴∠EGF=90°，
又∵∠EFG=32°，
∴∠FEG=90°-32°=58°；
【小问2详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
同理可得：DF=CD，
∴AE=DF，即AF+EF=DE+EF，
∴AF=DE．
【点睛】本题考查了平行四边形性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质等知识的运用，能综合运用平行四边形的性质进行推理是解此题的关键．
23. 如图所示，菱形的对角线相交于点，过点作，且，连接，连接交于点．
（1）求证：；
（2）若菱形的边长为8，，求的长．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理．
（1）先证四边形是平行四边形，再证四边形是矩形即可；
（2）由菱形的边长为8，可得是等边三角形，再求得的长，可得的长，最后用勾股定理求即可．
【小问1详解】
证明：四边形是菱形
，
即
四边形是平行四边形
四边形是矩形
；
【小问2详解】
菱形的边长为8，
是等边三角形
由（1）知，四边形是矩形
．
24. 如图，我把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
（1）性质探究：如图1．已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2．
（2）解决问题：已知AB＝5，BC＝4，分别以△ABC的边BC和AB向外作等腰Rt△BCQ和等腰Rt△ABP．
①如图2，当∠ACB＝90°，连接PQ，求PQ；
②如图3，当∠ACB≠90°，点M、N分别是AC、AP中点连接MN．若MN＝，则S△ABC＝ ．

【答案】（1）详见解析；（2）①，②
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理即可得出结论；
（2）①根据SAS可证明△PBC≌△ABQ，得∠BPC＝∠BAQ，得∠PDA＝90°，可求出PQ的长；
②连接PC、AQ交于点D，同①可证△PBC≌△ABQ，则AQ＝PC且AQ⊥PC，由MN＝2，可知AQ＝PC＝4．延长QB作AE⊥QE，求出BE的长，则答案可求出．
【详解】解：（1）证明：如图中，

∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2；
（2）①如图，连接PC、AQ交于点D，

∵△ABP和△CBQ都是等腰直角三角形，
∴PB＝AB，CB＝BQ，∠ABP＝∠CBQ＝90°，
∴∠PBC＝∠ABQ，
∴△PBC≌△ABQ（SAS），
∴∠BPC＝∠BAQ，
又∵∠BPC+∠CPA+∠BAP＝90°，
即∠BAQ+∠CPA+∠BAP＝90°，
∴∠PDA＝90°，
∴PC⊥AQ，
利用（1）中的结论：AP2+CQ2＝AC2+PQ2
即（5）2+（4）2＝32+PQ2；
∴PQ＝．
②如图，连接PC、AQ交于点D，

同①可证△PBC≌△ABQ（SAS），AQ＝PC且AQ⊥PC，
∵M、N分别是AC、AP中点，
∴MN＝，
∵MN＝2，
∴AQ＝PC＝4．
延长QB作AE⊥QE，
则有AE2+BE2＝25，AE2+QE2＝48，
∵EQ＝4+BE，
∴（4+BE）2﹣BE2＝23，
解得BE＝，
∴S△ABC＝BC×BE＝＝．
故答案为：．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、中位线定理、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．