湖南省怀化市2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（总分：120分，考试时间：120分钟）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1. 使、、三个式子都有意义，x的取值范围是（ ）
A. B. 且
C. 且D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，零指数幂有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，零指数幂有意义的条件是底数不为0，分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可．
【详解】解：∵使、、三个式子都有意义，
∴，
∴且，
故选：C．
2. 下列命题中真命题是（ ）
A. 4的平方根是2B. 数据2，0，3，2，3的方差是
C. 数据3，5，4，1，的中位数是4D. 对角线相等的四边形是矩形
【答案】B
【解析】
【分析】根据平方根的性质判断选项A；首先计算这组数据的平均数，然后根据方差的计算公式求这组数据的方差，即可判断选项B；将这组数据从小到大排列，然后根据中位数的定义分析判断选项C；根据矩形的判定定理判断选项D．
【详解】解：∵4的平方根是，
∴该命题假命题，选项A不符合题意；
∵，
∴数据2，0，3，2，3的方差是：，
∴该命题是真命题，选项B符合题意；
∵数据3，5，4，1，从小到大排列为，1，3，4，5，
故这组数控的中位数是3，
∴该命题假命题，选项C不符合题意；
∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴该命题是假命题，选项D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了真假命题判断、平方根、方差、中位数、矩形的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
3. 表示数的点在数轴上的位置如图所示，下列选项中一定成立的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据点在数轴上的位置，确定出大小关系，再根据不等式的性质进行判断即可．
【详解】解：由图可知：，
A、，∴，选项错误，不符合题意；
B、，选项错误，不符合题意；
C、，选项正确，符合题意；
D、，选项错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查实数与数轴．不等式的性质．根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，是解题的关键．
4. 如图，小东展示了“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程，点为直线上一点，过点的一条直线分别交两条平行线于点，，则有，这一步的依据是（ ）
A. 同位角相等，两直线平行B. 三角形中位线定理
C. 平行线分线段成比例D. 相似三角形的对应边成比例
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可．
【详解】解：由题意可知：，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
5. 将正三角形、正方形、正五边形按如图所示的方式摆放，其中正方形和正五边形的下底边是水平共线的．如果，那么（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正多边形的内角和和外角和定理，平角的定义，正确运用正多边形的外角和定理是解题的关键．
【详解】如图，，
∴，，，．
故选B．
6. 一个三角形的一边长为12，另外两边长是一元二次方程的两根，则这个三角形外接圆的半径是（ ）
A. B. 5C. D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】先求出方程的解，再根据直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半作答．
【详解】解：，
因式分解得，
解得，
∵，
∴这个三角形是直角三角形，且斜边为13，
∴这个三角形外接圆的半径是斜边长的一半即，
故选C．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，勾股定理和求三角形外接圆的半径，熟记直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半是解题的关键．
7. 已知一个圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了圆锥的三视图，求圆锥的侧面积，勾股定理，先由三视图得到该圆锥的高为，底面圆半径为，则由勾股定理可得母线长为，再根据圆锥侧面积底面周长母线长进行求解即可．
【详解】解：由三视图可知，该圆锥的高为，底面圆半径为，
∴母线长为，
∴这个圆锥的侧面积为，
故选：B．
8. 对任意非负数，若记，给出下列说法，其中正确的个数为（ ）
①；
②，则；
③；
④对任意大于3的正整数，有．
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了代数式求值、解分式方程、数字类规律题等知识点，找出相关规律是解题的关键．
将代入即可判断①，解方程，即可判断②，分别计算，，， ，……即可判断③，同理分别求得，找到规律，进而即可判断④．
【详解】解：∵，
当时，，故①错误，
∵，即，解得：，经检验是原方程的解，故②正确；
∵，，， ，……
∴，故③正确；
∵，，，……
∴
，故④错误，
综上，正确的有2个．
故选：C．
9. 如图，在中，，．点D在上，延长到E，使得，过点B作，交射线于点F，设，，则y关于x的函数图象大致为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】通过已知证明和全等，和全等，再通过得出的各边关系表示出y与x的关系式即可得出结论．
【详解】解：过E作于G，如图所示：

在和中，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
∴y关于x的函数图象大致为开口向上的抛物线，当时，y有最小值4，
当和2时，y有最大值8，
故选：A．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，动点的函数关系与图象，勾股定理等知识，利用全等三角形的判定和性质解决动点的函数问题是解题的关键．
10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边分别在y轴和x轴上，已知对角线，．F是边上一点，过点F的反比例函数的图象与边交于点E，若将沿翻折后，点C恰好落在上的点M处，则k的值为（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查矩形性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，已知正切值求边长及反比例函数图象上点的坐标特征．解题的关键是求出，，表示出，，，利用相似的性质求出．作交OB于点G，利用．．求出，，表示出，，进一步求出，，，证明，利用相似的性质求出，再利用勾股定理即可求出k的值．
【详解】解：作交OB于点G，
∵矩形的对角线．．
∴，，即，
∵E，F分别在AC，BC上，且在反比例函数上，
∴，，
∵将沿翻折后，点恰好落在上的点处，
∴，，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得：，
又∵，
即，解得：．
故选：D．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 若，则的值为_____________．
【答案】3
【解析】
【分析】通过完全平方公式化为，得到，即可得到．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：3
【点睛】此题考查运用完全平方公式进行因式分解，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
12. 已知关于的方程有两个实数根，请写出一个符合条件的的值______ ．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据条件有两个实数根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．还要注意二次项系数不为和被开方数．
【详解】解：关于方程的有两个实数根，
∴，
解得：且．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式，找出关于的一元一次不等式组是解题的关键．
13. 如图，点A，B，C，D在上，，，则_________．
【答案】##100度
【解析】
【分析】本题考查了同弧上的圆周角的性质、三角形内角和等相关知识点，解题的关键是将已知角度与待求角度集中在同一个三角形内．
利用同弧上的圆周角相等得到，然后利用三角形内角和定理即可求解．
详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
14. 以下是小亮的妈妈做晚饭的食材准备及加工时间列表，有一个炒菜锅，一个电饭煲，一个煲汤锅，两个燃气灶可用，做好这顿晚餐一般情况下至少需要______________分钟．
【答案】33
【解析】
【分析】节约时间又不使每道程序互相矛盾的情况下进行分析解决问题．
【详解】解：根据题意，可以这样安排：
先准备米饭（3分钟），然后使用电饭煲加工米饭（30分钟）.
在加工米饭的同时，准备汤菜（5分钟），然后使用煲汤锅加工汤（6分钟）
煲汤的同时摘菜（5+5=10分钟），炒菜（6+8=14分钟），即炒菜和汤共需29分钟，
∴妈妈做好这顿饭，最少需要30+3=33分钟.
故答案为：33．
【点睛】本题属于合理安排时间问题，要抓住既节约时间又不使工序矛盾来进行分析设计．
15. 如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝20，那么阴影部分的面积是__________．

【答案】30
【解析】
【分析】由图可得五边形面积为正方形ABCD的面积加上梯形DCGF的面积，根据阴影部分面积为五边形面积减去空白部分两个三角形面积列式计算即可．
【详解】解：由图可知，
五边形ABGFD的面积=正方形ABCD的面积+梯形DCGF的面积
=a2+(a+b)b
= ，
阴影部分的面积=五边形ABGFD的面积-三角形ABD的面积-三角形BCF的面积
=
=
=，
∵a+b=10，ab=20，
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=102-2×20=60，
∴阴影部分的面积为=30．
故答案为：30．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用，根据题意列出阴影部分面积的表达式是解决本题的关键．
16. 魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形，和都是正方形．如果图中与的面积比为，那么的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】证明，可得，而与的面积比为，即得，设，则，在中，有，又，故．
【详解】解：都是正方形，
，
，
，
，
与的面积比为，
，
设，则，
，
在中，
，
由“青朱出入图”可知：，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握正方形性质和相似三角形的判定定理．
17. 如图，平行四边形A的对角线、相交于点，，，，点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动．连接并延长交于点，设点的运动时间为秒，在点的运动过程中，当是等腰三角形时，的值为______．
【答案】或或
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰梯形、等腰三角形的判定与性质、含角直角三角形的性质，正确分三种情况讨论是解题关键．
若是等腰三角形，分两种情况，第一种，第二种，第三种，分别计算即可求出点的运动时间．
【详解】解：如图所示，作点、、使得，，，
当点分别运动到点、、时，是等腰三角形，
①当点运动到点：
此时，
又，且，
四边形为等腰梯形，
，
②当点运动到点：
此时，
，
③当点运动到点：，
作交于点，
，
根据等腰三角形三线合一得：
，
．
答：点的运动时间为或或．
18. 如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y=x的图象，点A1的坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线l于点D1，以A1D1为边作正方形A1B1C1D1；过点C1作直线l的垂线，垂足为A2，交x轴于点B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2D2；过点C2作x轴的垂线，垂足为A3，交直线l于点D3，以A3D3为边作正方形A3B3C3D3，…，按此规律操作下所得到的正方形AnBnCnDn的面积是_____．
【答案】（）n﹣1
【解析】
【分析】根据正比例函数的性质得到∠D1OA1=45°，分别求出正方形A1B1C1D1的面积、正方形A2B2C2D2的面积，总结规律解答．
【详解】∵直线l为正比例函数y=x的图象，
∴∠D1OA1=45°，
∴D1A1=OA1=1，
∴正方形A1B1C1D1的面积=1=（）1﹣1，
由勾股定理得，OD1=，D1A2=，
∴A2B2=A2O=，
∴正方形A2B2C2D2的面积==（）2﹣1，
同理，A3D3=OA3=，
∴正方形A3B3C3D3的面积==（）3﹣1，
…
由规律可知，正方形AnBnCnDn的面积=（）n﹣1，
故答案为（）n﹣1．
【点睛】本题考查的是正方形的性质、一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数解析式得到∠D1OA1=45°，正确找出规律是解题的关键．
三、解答题（本题共8小题，共66分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤）
19. （1）计算：
（2）解不等式组，并求出它的整数解．
【答案】（1）1；（2），0，1，2
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，解一元一次不等式组：
（1）先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂，负整数指数幂，最后计算加减法即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出其整数解即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解为0，1，2．
20. 已知在中，，，为边上的中线．
（1）求的长；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）在Rt△ABC中，利用三角函数即可求出AB，故可得到AC的长；
（2）过点F作FG⊥BD，利用中位线的性质得到FG，CG，再根据正切的定义即可求解．
【详解】（1）∵，
∴
∴AB=10
∴=；
（2）过点F作FG⊥BD，
∵为边上的中线．
∴F是AD中点
∵FG⊥BD，
∴
∴FG是△ACD的中位线
∴FG=3
CG=
∴在Rt△BFG中，=．
【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的定义．
21. 如图，一次函数的图象与函数的图象交于点和点B．

（1）求n的值；
（2）若，根据图象直接写出当时x的取值范围；
（3）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，交函数的图象于点Q，若的面积为1，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键．
（1）将点代入一次函数，求出的值，得点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数即可得到答案；
（2）求出点B的坐标，由函数的图像即可得到取值范围；
（3）设，根据三角形的面积公式即可得到答案．
【小问1详解】
解：将点代入一次函数，
，
故，
将代入反比例函数，
得；
【小问2详解】
解：由（1）得，
联立一次函数和反比例函数，得
，
解得，
故，
由图像可知，的取值范围为；
【小问3详解】
解：设，且，交x轴于点M，如图；
，
，
，
解得，
点P的坐标为或．

22. 党的二十大报告提出：传承中华优秀传统文化，满足人民日益增长的精神文化需求．某校积极开展活动，从诗词歌赋、戏剧戏曲、国宝非遗、饮食文化、名人书法五个方面让传统文化“活”起来．在某次竞赛活动中，竞赛成绩按以下五组进行整理（得分用x表示）：A：，B：，C：，D：，并绘制出如图的统计图1和图2．

请根据相关信息，解答下列问题：
（1）图1中A组所在扇形的圆心角度数为______°，并将条形统计图补充完整．
（2）若“”这一组的数据为：90，96，92，95，93，96，96，95，97，100，求这组数据的中位数和众数．
（3）若此次竞赛进入初赛后还要进行三轮知识问答，将这三轮知识问答的成绩按20%，30%，50%确定最后得分，达到90分及以上可进入决赛，小敏这三轮的成绩分别为86，89，93，问小敏能参加决赛吗？请说明你的理由．
（4）经过初赛，进入决赛的同学有3名女生2名男生，现从这五位同学中决出冠亚军，请用列表法或画树状图的方法求冠亚军恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）54，图见解析
（2）众数96，中位数为
（3）小敏能参加决赛 （4）
【解析】
【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图数据相关联，求中位数、众数，以及加权平均数;
（1）先用组的人数除以组所占的百分比，求出参加此次竞赛的总人数，再计算组人数所占的百分比，最后用360°乘以组所占百分比，即可求出A组所在扇形的圆心角度数；用总人数乘以组所占百分比，即可求出组的人数，即可补充条形统计图;
（2）根据众数和中位数的定义，即可进行解答即可；
（3）将小敏三轮比赛成绩分别乘以其所占比例，求出其最后得分，即可进行解答；
（4）画出树状图，根据概率公式求解即可；
【小问1详解】
参加此次竞赛总人数：（人），
A组所占百分比：，
A组所在扇形的圆心角度数，
B组人数：（人），
条形统计图如图所示：

故答案为：54．
【小问2详解】
排序为90，92，93，95，95，96，96，96，97，100，
∴中位数为：，
∵96出现次数最多，
∴众数为96，
综上：众数为96，中位数为；
【小问3详解】
小敏最后得分：，
∴小敏能参加决赛．
【小问4详解】
画树状图如下：

∴一共有20种等可能的结果，其中冠亚军的两人恰好是一男一女的情况有12种情况，
∴冠亚军的两人恰好是一男一女的概率为．
23. 荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖.已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系为：
,日销售量y（千克）与时间第t（天）之间的函数关系如图所示：

（1）求日销售量与时间t的函数关系式？
（2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？
（3）该养殖户有多少天日销售利润不低于2400元？
（4）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠m（m＜7）元给村里的特困户.在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间的增大而增大，求m的取值范围.
【答案】（1）y=﹣2t+200（1≤x≤80，t为整数）（2）第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元（3）21（4）5≤m＜7
【解析】
【分析】（1）根据函数图象，利用待定系数法求解可得；
（2）设日销售利润为w，分1≤t≤40和41≤t≤80两种情况，根据“总利润=每千克利润×销售量”列出函数解析式，由二次函数的性质分别求得最值即可判断；
（3）求出w=2400时x的值，结合函数图象即可得出答案；
（4）依据（2）中相等关系列出函数解析式，确定其对称轴，由1≤t≤40且销售利润随时间t的增大而增大，结合二次函数的性质可得答案．
【详解】解：（1）设解析式为y=kt+b，
将（1，198）、（80，40）代入，得：
，
解得：，
∴y=﹣2t+200（1≤x≤80，t为整数）；
（2）设日销售利润为w，则w=（p﹣6）y，
①当1≤t≤40时，w=（t+16﹣6）（﹣2t+200）=﹣（t﹣30）2+2450，
∴当t=30时，w最大=2450；
②当41≤t≤80时，w=（﹣t+46﹣6）（﹣2t+200）=（t﹣90）2﹣100，
∴当t=41时，w最大=2301，
∵2450＞2301，
∴第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元．
（3）由（2）得：当1≤t≤40时，
w=﹣（t﹣30）2+2450，
令w=2400，即﹣（t﹣30）2+2450=2400，
解得：t1=20、t2=40，
由函数w=﹣（t﹣30）2+2450图象可知，当20≤t≤40时，日销售利润不低于2400元，

而当41≤t≤80时，w最大=2301＜2400，
∴t取值范围是20≤t≤40，
∴共有21天符合条件．
（4）设日销售利润为w，根据题意，得：
w=（t+16﹣6﹣m）（﹣2t+200）=﹣t2+（30+2m）t+2000﹣200m，
其函数图象的对称轴为t=2m+30，
∵w随t的增大而增大，且1≤t≤40，
∴由二次函数的图象及其性质可知2m+30≥40，
解得：m≥5，
又m＜7，
∴5≤m＜7．
考点：二次函数的应用
24. 如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD．延长PD交圆的切线BE于点E．
（1）证明：直线PD是⊙O的切线；
（2）如果∠BED=60°，PD=，求PA的长；
（3）将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形．
【答案】（1）见解析；（2）1；（3）见解析
【解析】
【分析】（1）连接OD，由AB是圆O的直径可得∠ADB=90°，再利用角度的相互转换求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得出直线PD为⊙O的切线；
（2）求出∠P=30°，解直角三角形求出OD，结合勾股定理可得出PO，最后根据PA=PO-AO可得出结果；
（3）根据折叠和已知求出∠P=∠PBF，根据平行线的判定推出DE∥BF，求出DF⊥AB，BE⊥AB，推出DF∥BE，求出ED=EB，根据菱形的判定推出即可．
【详解】（1）证明：如图1，连接OD，
∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，
∴∠ADO+∠BDO=90°，
又∵DO=BO，∴∠BDO=∠PBD，
∵∠PDA=∠PBD，∴∠BDO=∠PDA，
∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD⊥OD，
∵点D在⊙O上，
∴直线PD为⊙O的切线．
（2）解：∵BE是⊙O的切线，∴∠EBA=90°，
∵∠BED=60°，∴∠P=30°，
∵PD为⊙O的切线，∴∠PDO=90°，
在Rt△PDO中，∠P=30°，PD=，
∴，解得OD=1，
∴，
∴PA=PO﹣AO=2﹣1=1．
（3）证明：如图2中，依题意得：∠ADF=∠PDA，∠APD=∠AFD，
∵∠PDA=∠PBD，∠ADF=∠ABF，∠AFD=∠PBD，
∴∠ADF=∠AFD=∠APD=∠ABF，
∴AD=AF，BF∥PD，即BF∥DE．
又∠DAB+∠DBA=90°，∴∠DAB+∠ADF=90°，
∴DF⊥PB．
∵BE为切线，
∴BE⊥PB，
∴DF∥BE，
∴四边形DFBE为平行四边形，
∵PE、BE为切线，
∴BE=DE，
∴四边形DFBE为菱形．
【点睛】本题考查了切线的性质和判定，切线长定理，圆周角定理的推论，菱形的判定，平行线的判定，含30度角的直角三角形性质，解直角三角形等知识，本题是一道综合性的题目，难度较大．
25. 如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ．
（1）如图a，求证：△BCP≌△DCQ；
（2）如图，延长BP交直线DQ于点E．
① 如图b，求证：BE⊥DQ；
② 如图c，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由；
③ 若正方形ABCD的边长为10，DE=2,PB=PC,直接写出线段PB的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②△DEP为等腰直角三角形，证明见解析；③PB=或证明见解析
【解析】
【分析】（1）由旋转的性质得到∠BCP=∠DCQ，即可证明△BCP≌△DCQ；
（2）①由全等的性质和对顶角相等即可得到答案；②由等边三角形的性质和旋转的性质求出∠EPD=45°，∠EDP=45°，即可判断△DEP的形状．③由（1）结论，根据等腰三角形三线合一性质和相似三角形性质及勾股定理可得．
【详解】(1):如图a
证明：∵∠BCD=90°，∠PCQ=90°，
∴∠BCP=∠DCQ，
在△BCP和△DCQ中，
，
∴△BCP≌△DCQ
（2）①如图b，∵△BCP≌△DCQ，
∴∠CBF=∠EDF，又∠BFC=∠DFE，
∴∠DEF=∠BCF=90°，
∴BE⊥DQ；
②△DEP为等腰直角三角形
∵△BCP为等边三角形，
∴∠BCP=60°，∴∠PCD=30°，又CP=CD，
∴∠CPDF=∠CDP=75°，又∠BPC=60°，∠CDQ=60°，
∴∠EPD=45°，∠EDP=45°，
∴△DEP为等腰直角三角形．
③如图b,由∠CBF＝∠EDF，∠DEF＝∠BCF，可得△DEF∽△BCF，
∴，即，
设DF＝x,则BF＝5x,CF＝10−x,
∵Rt△BCF中，，
∴，
解得（舍去），
∴BF＝5x＝，
∵PB＝PC，
∴∠PBC＝∠PCB，
又∵∠PBC＋∠PFC＝∠PCB＋∠PCF＝90°，
∴∠PFC＝∠PCF，
∴PF＝PC，
∴BP＝PF＝BF＝；
如图d,延长BE、CD，交于点F，由∠CBF＝∠CDQ＝∠EDF，∠DEF＝∠BCF，可得△DEF∽△BCF，
∴，即，
设DF＝x,则BF＝5x,CF＝10＋x,
∵Rt△BCF中，，
∴，
解得（舍去），，
∴BF＝5x＝，
∵PB＝PC，
∴∠PBC＝∠PCB，
又∵∠PBC＋∠PFC＝∠PCB＋∠PCF＝90°
∴∠PFC=∠PCF
∴PF=PC
∴BP=PF=BF=
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、三角形全等的判定和性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及旋转的性质的综合应用，掌握正方形的四条边相等、四个角都是直角，旋转的性质是解题的关键．解题时注意：旋转前后的对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
26. 我们定义：点P在一次函数上，点Q在反比例函数上，若存在P、Q两点关于y轴对称，我们称二次函数为一次函数和反比例函数的“向光函数”，点P称为“幸福点”．例如：点在上，点在上，P、Q两点关于y轴对称，此时二次函数为一次函数和反比例函数的“向光函数”，点是“幸福点”．
（1）判断一次函数和反比例函数是否存在“向光函数”，若存在，请求出“幸福点”坐标；若不存在，请说明理；
（2）若一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”，求其“向光函数”的解析式；
（3）已知一次函数与反比例函数有两个“幸福点”A、B（A在B左侧），其“向光函数”与轴x交于C、D两点（C在D左侧），若有以下条件：
①②“向光函数”经过点，③ ，记四边形ACBD的面积为S，求的取值范围．
【答案】（1）存在；“幸福点”坐标为，；
（2）“向光函数”的解析式为：或；
（3）
【解析】
【分析】（1）假设存在“向光函数”，设“幸福点”坐标为，则，分别代入一次函数和反比例函数，得到关于的一元二次方程，解方程可得，，根据向光函数的定义，即可得到“幸福点”坐标；
（2因为一次函数和反比例函数只有一个“幸福点”，则一次函数与反比例函数只有一个交点，联立一次函数与反比例函数得到关于的一元二次方程，得到关于的一元二次方程，令，求出的值，即可求出“向光函数”的解析式；
（3）一次函数与反比例函数有两个“幸福点”、（在左侧），则、关于轴对称的点、一定在，上，根据“向光函数”满足的条件可以得出，，进而表示边形的面积为，即可求的取值范围．
【小问1详解】
假设一次函数和反比例函数是存在“向光函数”，设“幸福点”坐标为，则
∴，
解并检验得：，，
∴一次函数和反比例函数是存在“向光函数”， “幸福点”坐标为，；
【小问2详解】
∵一次函数关于y轴对称的直线函数解析式为，而且一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”，
所以与反比例函数只有一个交点，
∴，，
整理得：，
，
解得：，，
当时，则一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”， 向光函数”的解析式为：，
当时，则一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”， 向光函数”的解析式为：，
∴“向光函数”的解析式为：或．
【小问3详解】
∵一次函数与反比例函数有两个“幸福点”、（在左侧），则、关于轴对称的点、一定在上，
∴、关于轴对称的点、是与的交点坐标，
∴，
整理得：，
又∵“向光函数”为，
∴与“向光函数”为关于轴对称，
∴，
∵“向光函数”与轴交于、两点（在左侧），若有以下条件：①②“向光函数”经过点，③，
∴，
∴，
∴，
即“向光函数”为
又∵，
∴，
∴，
又∵“向光函数”与轴交于、两点（在左侧），与“向光函数”为关于轴对称，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
令“向光函数”中，得即，
解得，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的取值范围是：．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及到一次函数、反比例函数，理解题意是解答新定义题型的关键．用时
种类
准备时间（分钟）
加工时间（分钟）
米饭
3
30
炒菜1
5
6
炒菜2
5
8
汤
5
6