江西省景德镇市一中2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题（Word版附答案）

这是一份江西省景德镇市一中2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题（Word版附答案），共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．等差数列中，，则的值为（ ）
A．5B．10C．14D．35
2．记事件A为“抛一枚硬币正面向上”，事件B为“掷一颗骰子点数为6”，则条件概率为（ ）
A．B．C．D．
3．随机变量X服从正态分布，若，则为（ ）
A．0.2B．0.3C．0.7D．0.8
4．等比数列的前n项和为，，则公比q为（ ）
A．2B．3C．D．
5．数列的前n项和为，，则的值为（ ）
A．20B．25C．30D．35
6．先后投掷两个完全相同的骰子，已知两个骰子的点数之和为10，则第一个骰子掷出的点数为5的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．给定两个随机变量X和Y的5组数据如下表所示，利用最小二乘法得到Y关于X的线性回归方程为，则表中值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
8．记集合，中元素的个数为，数列的前n项和为，则为（ ）
A．15B．20C．47D．52
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．随机变量X和Y的相关系数为r，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，X和Y具有正线性相关性B．随着r值减小，X和Y的相关性也减小
C．当时，X和Y不具有相关性D．当时，X和Y具有较强的线性相关性
10．已知某曲线方程为，其中a，，a与b可以相等，则下列说法正确的是（ ）
A．该曲线为圆的概率为B．该曲线为椭圆的概率为
C．该曲线为双曲线的概率为D．该曲线为抛物线的概率为
11．袋中有除颜色外完全相同的2个白球和3个黑球，现从袋中每次抽取一个球，抽后不放回、直到取出所有的白球，则下列说法正确的是（ ）
A．抽取次数为两次的概率为B．抽取次数为三次的概率为
C．抽取次数为四次的概率为D．抽取次数为五次的概率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若数列的前n项和，则数列的通项公式为______．
13．若随机变量，则其方差______．
14．数列满足，，则数列的前n项和为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
新高考“”模式最大的特点就是取消了文理分科，除语文、数学、外语3门必考科目外，从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门中自主选择3门作为选考科目，为了了解学生对全文（政治、历史、地理）的选择是否与性别有关，某学校从高一年级的学生中随机抽取男、女生各25人进行模拟选科．经统计，选择全文的男生有10人，在随机抽取的50人中选择全文的比不选全文的多10人．
（1）请完成下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为选择全文与性别有关；
（2）将样本的频率视作概率，估计在高一年级全体女生中随机抽取两人，恰好一人选择全文的概率．
附表：
参公式：，其中
16．（15分）
已知公差大于0的等差数列和公比大于0的等比数列满足，，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
17．（15分）
某省2023年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分：思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A、B，C，D，E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%、35%、35%、13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省部分学校联合组织了一次高二年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．
（1）其中一所学校某班生物学科获得A等级的共有10名学生，其原始分及转换赋分如表：
现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物的赋分不低于95分的人数为X，求X的分布列和数学期望：
（2）假设此次高二学生生物学科原始分Y近似服从正态分布．现随机抽取了100名高二学生的此次生物学科的原始分，后经调查发现其中有一名学生舞弊，剔除掉这名学生成绩后，记ξ为其他被抽到的原始分不低于80分的学生人数，预测当取得最大值时k的值．
附，若，则，．
18．（17分）
近年来，共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚．某公司计划对未开通共享单车的A县城进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他县城的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量x（单位；千辆）与年使用人次y（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量x与年使用人次y的散点图如图所示．
拟用模型① 或模型② 对两个变量的关系进行拟合，令，可得
，，，，，变量y与t的标准差分别为，．
（1）根据所给的统计量，求模型② 中y关于x的回归方程；（结果保留小数点后两位）
（2）计算并比较两种模型的相关系数r（结果保留小数点后三位），求哪种模型预测值精度更高、更可靠；
（3）已知每辆单车的购入成本为200元，年调度费以及维修等的使用成本为每人次0.2元，按用户每使用一次，收费1元计算，若投入8000辆单车，利用（2）中更可靠的模型，预测几年后开始实现盈利．（结果保留整数）
附，样本点的线性回归方程最小二乘估计公式为
，，相关系数
参考数据：．
19．（17分）
已知数列满足，，且，
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）已知对于恒成立．求证：．
2023~2024年景德镇一中高二年级第二学期期中数学试题答案
单选1~8BBDACCBD多选9AD 10BC 11ACD
1．由得
2．由，，得
3．
4．
5．代入，2得，两式相减得
解得，故
6．记X为第一个骰子点数，Y为两次点数和
则两次点数和为10的概率为
因此所求概率为
7．代入，得
8．代入得
9．略
10．
11．B中故不正确
12．当时，；
当时，对于时也成立．综上所述，
13．
14．由，，…，累乘可得，
而，得对于时也成立，故
15（1）据题意可知
则
因此能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为选择全文与性别有关
（2）用样本的频率视作概率，则高一年级女生选择全文的概率为
抽到两人中恰好一人选择全文的概率为
16．（1）设数列的公差为，数列Jb，的公比为则
由①式平方除②式得：
得（舍）或所以通项公式分别为
（2）记数列的前n项和为
则，
两式相减可得
故：
17．（1）解：一 据题意可知：X服从参数为10，4，3的超几何分布
因此
X的分布列为
X的数学期望为
解二 X可取0，1，2，3，则
所以X的分布列为
X的数学期望为
（2）据题意可知
那么 有
要使取最大值，只需
得：且
故：当或16时，取得最大值
18．（1）据题意可知
故：模型②中y关于x的回归方程为
（2）因为且
所以模型①的相关系数
模型②的相关系数
因此，模型②预测值精度更高、更可靠
（3）设预计n年后开始盈利
将代入中，得
n年后的利润为
要使，只需，且故：预测6年后开始实现盈利
19．（1）由，
得
且
故：是首项为12，公比为4的等比数列
（2）由（1）可得：
则有；；…，
累加可得：
故：，对于时也成立
（3）由对于恒成立，得：
对于恒成立
当时，，即对于恒成立
所以对于恒成立
因此，得证．
X
1
2
3
4
5
Y
2
4
7
8
选择全文
不选择全文
总计
男生
女生
总计
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
原始分
97
95
91
90
89
87
85
84
84
83
赋分
99
97
95
95
94
92
91
90
90
90
x
1
2
3
4
5
6
7
y
5
16
28
38
64
108
196
b
a
－1
1
2
－1
双曲线
双曲线
1
双曲线
圆
椭圆
2
双曲线
椭圆
圆
选择全文
不选择全文
总计
男生
10
15
25
女生
20
5
25
总计
30
20
50
X
0
1
2
3
P
X
0
1
2
3
P