江西省南昌市2024届高三第二次模拟测试数学试题（Word版附答案）

这是一份江西省南昌市2024届高三第二次模拟测试数学试题（Word版附答案），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知向量a=(1,2)，b=(−2,3)，则a⋅b=( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
2.设复数z满足z+1=(2+i)z，则|z|=( )
A. 12B. 22C. 1D. 2
3.已知集合A={x|lnx≤0}，B={x|2x≤2}，则“x∈A”是“x∈B”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知f(x)=−x2−2x,x<0lg2(x+1),x≥0，则不等式f(x)<2的解集是( )
A. (−∞,2)B. (−∞,3)C. [0,3)D. (3,+∞)
5.在三棱锥A−BCD中，AB⊥平面BCD，AB= 3，BC=BD=CD=2，E，F分别为AC，CD的中点，则下列结论正确的是( )
A. AF，BE是异面直线，AF⊥BE
B. AF，BE是相交直线，AF⊥BE
C. AF，BE是异面直线，AF与BE不垂直
D. AF，BE是相交直线，AF与BE不垂直
6.已知2cs(2x+π12)cs(x−π12)−cs3x=14，则sin(π6−2x)=( )
A. 12B. −12C. 78D. −78
7.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线的右支上有一点A，AF1与双曲线的左支交于B，线段AF2的中点为M，且满足BM⊥AF2，若∠F1AF2=π3，则双曲线C的离心率为( )
A. 3B. 5C. 6D. 7
8.校足球社团为学校足球比赛设计了一个奖杯，如图，奖杯的设计思路是将侧棱长为6的正三棱锥P−ABC的三个侧面沿AB，BC，AC展开得到面P1AB，P2BC，P3AC，使得平面P1AB，P1BC，P3AC均与平面ABC垂直，再将球O放到上面使得P1，P2，P3三个点在球O的表面上，若奖杯的总高度为6 2，且AB=4，则球O的表面积为( )
A. 140π3
B. 100π9
C. 98π9
D. 32π3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.为了解中学生喜爱足球运动与性别是否有关，甲、乙两校的课题组分别随机抽取了本校部分学生进行调查，得到如下两个表格：
甲校样本
乙校样本
则下列判断中正确的是( )
(参考公式及数据：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d
A. 样本中，甲校男学生喜爱足球运动的比例高于乙校男学生喜爱足球运动的比例
B. 样本中，甲校女学生喜爱足球运动的比例高于乙校女学生喜爱足球运动的比例
C. 根据甲校样本有99%的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关
D. 根据乙校样本有99%的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关
10.已知f(x)=x+acsx(a≠0)，则下列说法中正确的是( )
A. f(x)在R上可能单调递减
B. 若f(x)在R上单调递增，则a∈[−1,0)∪(0,1]
C. (π2,π2)是f(x)的一个对称中心
D. f(x)所有的对称中心在同一条直线上
11.已知|AB|=4，M为AB上一点，且满足AM=3MB.动点C满足|AC|=2|CM|，D为线段BC上一点，满足|CD|=|DM|，则下列说法中正确的是( )
A. 若CM⊥AB，则D为线段BC的中点
B. 当AC=3时，△ABC的面积为 154
C. 点D到A，B距离之和的最大值为5
D. ∠MCB的正切值的最大值为 33
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asinB=2bcsA，则tanA= ______．
13.一次知识竞赛中，共有A，B，C，D，E5个题，参赛人每次从中抽出一个题回答(抽后不放回).已知参赛人甲A题答对的概率为34，B题答对的概率为14，C，D，E题答对的概率均为12，则甲前3个题全答对的概率为______．
14.如图，有一张较大的矩形纸片ABCD，O，O1分别为AB，CD的中点，点P在OO1上，|OP|=2.将矩形按图示方式折叠，使直线AB(被折起的部分)经过P点，记AB上与P点重合的点为M，折痕为l.过点M再折一条与BC平行的折痕m，并与折痕l交于点Q，按上述方法多次折叠，Q点的轨迹形成曲线E.曲线E在Q点处的切线与AB交于点N，则△PQN的面积的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=1，a2=3，an+an+2=kan+1．
(1)当k=2时，求S10；
(2)若k=52，设bn=an+1−2an，求{bn}的通项公式．
16.(本小题15分)
一条生产电阻的生产线，生产正常时，生产的电阻阻值X(单位：Ω)服从正态分布N(1000,52).
(1)生产正常时，从这条生产线生产的电阻中抽取2只，求这两只电阻的阻值在区间(995,1000]和(1005,1010]内各一只的概率；(精确到0.001)
(2)根据统计学的知识，从服从正态分布N(μ,σ2)的总体中抽取容量为n的样本，则这个样本的平均数服从正态分布N(μ,σ2n).某时刻，质检员从生产线上抽取5只电阻，测得阻值分别为：1000，1007，1012，1013，1013(单位：Ω).你认为这时生产线生产正常吗？说明理由．
(参考数据：若X～N(μ,σ2)则P(μ−σ17.(本小题15分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点E(1, 32)，P为椭圆C的右顶点，O为坐标原点，△OPE的面积为 32．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点D(−1,0)作直线l与椭圆C交于A，B，A关于原点O的对称点为C，若|BA|=|BC|，求直线AB的斜率．
18.(本小题17分)
已知f(x)=ax−xa(x>0,a>0且a≠1)．
(1)当a=e时，求证：f(x)在(e,+∞)上单调递增；
(2)设a>e，已知∀x∈[e22lna,+∞)，有不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．
19.(本小题17分)
如图所示，用一个不平行于圆柱底面的平面，截该圆柱所得的截面为椭圆面，得到的几何体称之为“斜截圆柱”.图一与图二是完全相同的“斜截圆柱”，AB是底面圆O的直径，AB=2BC=2，椭圆所在平面垂直于平面ABCD，且与底面所成二面角为45°，图一中，点P是椭圆上的动点，点P在底面上的投影为点P1，图二中，椭圆上的点Ei(i=1,2,3,⋯,n)在底面上的投影分别为Fi，且Fi均在直径AB的同一侧．
(1)当∠AOP1=2π3时，求PP1的长度；
(2)(i)当n=6时，若图二中，点F1，F2，…，F6将半圆A均分成7等份，求(E1F1−2)⋅(E2F2−2)⋅(E3F3−2)；
(ii)证明：AF1⋅E1F1+F1F2⋅E2F2+…+Fn−1Fn⋅EnFn+FnB⋅BC<2π．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵a=(1,2)，b=(−2,3)，
∴a⋅b=1×(−2)+2×3=4．
故选：B．
直接根据向量数量积的坐标运算，即可求解．
本题考查向量数量积的坐标运算，属基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由题意可得z=11+i=1−i(1+i)(1−i)=1−i2，
所以|z|= (12)2+(−12)2= 22．
故选：B．
利用复数的运算性质求出复数z，然后再利用模的求解公式即可求解．
本题考查了复数模的求解，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：集合A={x|lnx≤0}={x|0故“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件．
故选：A．
先求出集合A，B，再结合充分条件、必要条件的定义，即可求解．
本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：当x<0时，不等式f(x)<2，即为−x2−2x<2，解得x<0；
当x≥0时，不等式f(x)<2，即为lg2(x+1)<2，解得0≤x<3；
综上，不等式f(x)<2的解集为(−∞,3)．
故选：B．
分x<0和x≥0分别求解即可．
本题考查了一元二次不等式的解法、对数函数的性质，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：显然根据异面直线判定方法：经过平面ACD外一点B与平面ACD内一点E的直线BE与平面ACD内不经过E点的直线AF是异面直线．
下面证明BE与AF垂直：
证明：因为AB⊥平面BCD，
CD⊂平面BCD，
所以AB⊥CD，
因为BC=BD=CD，F分别为CD的中点，连接BF，
所以BF⊥CD，
因为AB∩BF=B，确定平面ABF，
所以CD⊥平面ABF，
如图：取AF的中点Q，连接BQ，EQ，
因为AF⊂平面ABF，
所以CD⊥AF，
又因为EQ//CD，
所以EQ⊥AF，
因为BC=BD=CD=2，
所以BF= 32×2= 3=AB，
又因为Q为AF的中点，
所以BQ⊥AF，
因为BQ∩EQ=Q，确定平面BEQ，
所以AF⊥平面BEQ，
又因为BE⊂平面BEQ，
所以AF⊥BE．
故选：A．
先用定理判断AF，BE是异面直线，再结合线面垂直的判定与性质定理证明即可．
本题考查异面直线的判定以及线线垂直的证明，属于中档题．
6.【答案】D
【解析】解：由已知可得2cs(2x+π12)cs(x−π12)−cs[(2x+π12)+(x−π12)]
=2cs(2x+π12)cs(x−π12)−cs(2x+π12)cs(x−π12)+sin(2x+π12)sin(x−π12)
=cs(2x+π12)cs(x−π12)+sin(2x+π12)sin(x−π12)
=cs[(2x+π12)−(x−π12)]=cs(x+π6)=14，
则sin(π6−2x)=cs[π2−(π6−2x)]
=cs(π3+2x)=2cs2(π6+x)−1=2×(14)2−1=−78．
故选：D．
利用余弦的和差角公式以及倍角公式化简即可求解．
本题考查了余弦的和差角公式以及倍角公式的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：因为M是线段AF2的中点，且BM⊥AF2，
所以|AB|=|BF2|，
又∠F1AF2=π3，所以△ABF2是等边三角形，
设△ABF2的边长为m，
由双曲线的定义知，|AF1|−|AF2|=2a，|BF2|−|BF1|=2a，
所以|AF1|=m+2a，|BF1|=m−2a，
又|AF1|−|BF1|=|AB|=m，
所以m+2a−(m−2a)=m，即m=4a，
所以|AF1|=6a，|AF2|=4a，
在△AF1F2中，由余弦定理知，|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2−2|AF1|⋅|AF2|csπ3，
所以(2c)2=36a2+16a2−2×6a×4a×12=28a2，
即c= 7a，
所以离心率e=ca= 7．
故选：D．
根据题意可得△ABF2是等边三角形，设△ABF2的边长为m，利用双曲线的定义，推出m=4a，从而知|AF1|=6a，|AF2|=4a，再在△AF1F2中，利用余弦定理，求解即可．
本题考查双曲线离心率的求法，熟练掌握双曲线的定义，余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：如图：由已知侧棱长为6的正三棱锥P−ABC，
即P1A=P1B=P2B=P2C=P3C=P3A=6，又因为AB=4，
所以P1D=P2E=P3F= 62−22=4 2，
因为平面P1AB，P1BC，P3AC均与平面ABC垂直，
设P1，P2，P3三点所在的圆为〇Q，底面ABC的中心为O1，
则QO1=4 2，
又因为奖杯总高度为6 2，
设球半径为R，球心O到〇Q面的距离为d，
则OQ=d=6 2−4 2−R，
即d=2 2−R，
如图，易知△P1P2P3≌△DEF，
因为DE=DF=EF=12AB=2，
所以△P1P2P3是边长为2的等边三角形，
设△P1P2P3的外接圆半径为r，
则2r=2sin60∘=4 3，
则在直角△OP1Q中，
R2=r2+d2，
即R2=(2 3)2+(2 2−R)2，
解得R=7 3 2，
所以4πR2=4π×(73 2)2=98π9．
故选：C．
画出图形，结合已知条件求出球半径R即可求解．
本题考查组合体的结构特征以及球的表面积，属于中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：对于A，样本中，甲校男学生喜爱足球运动的比例为1520=34，乙校男学生喜爱足球运动的比例为70100=710，
因为34>710，所以样本中，甲校男学生喜爱足球运动的比例高于乙校男学生喜爱足球运动的比例，故A正确；
对于B，样本中，甲校女学生喜爱足球运动的比例为820=25，乙校女学生喜爱足球运动的比例为45100=920，
因为25<920，所以样本中，甲校女学生喜爱足球运动的比例低于乙校女学生喜爱足球运动的比例，故B错误；
对于C，因为χ2=40×(15×12−5×8)223×17×20×20≈5.013<6.635，所以根据甲校样本没有99%的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关，故C错误；
对于D，因为χ2=200×(70×55−30×45)2115×85×100×100≈12.788>6.635，所以根据乙校样本有99%的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关，故D正确．
故选：AD．
根据两个表格直接可判断AB，计算两个表格的χ2的值，与临界值比较可判断CD．
本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：f(x)=x+acsx(a≠0)，则f′(x)=1−asinx，
当a∈[−1,0)∪(0,1]时，f′(x)≥0恒成立，f(x)单调递增，
当a<−1或a>1时，f′(x)≤0不恒成立，f(x)不可能单调递减，
综上，f(x)在R上不可能单调递减，故A错误；
若f(x)在R上单调递增，则f′(x)=1−asinx≥0恒成立，
所以a∈[−1,0)∪(0,1]，故B正确；
因为f(x)+f(π−x)=x+acsx+π−x+acs(π−x)=π，
所以f(x)关于(π2,π2)对称，故C正确；
因为f(x)+f((2k+1)π−x)=x+acsx+(2k+1)π−x+acs((2k+1)π−x)=(2k+1)π，k∈Z，
所以f(x)关于((2k+1)π2,(2k+1)π2)，k∈Z对称，
所以f(x)所有的对称中心在直线y=x上，故D正确．
故选：BCD．
对f(x)求导，对a分类讨论，判断f′(x)≤0不恒成立，即可判断选项A；由f′(x)=1−asinx≥0恒成立可得a的范围，即可判断选项B；由f(x)+f(π−x)=π即可得对称中心，从而判断选项C；由f(x)+f((2k+1)π−x)=(2k+1)π，k∈Z，可得f(x)的对称中心，从而可判断选项D．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数的对称性，考查逻辑推理能力，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：①由于AB=3MB，得|AM|=2|MB|，又|AC|=2|CM|，所以点M为线段AC的中点，又|CD|=|DM|，所以点D为线段CM的中点，所以D为线段BC的中点，故A正确；
②当AC=3时，AM=2，AB=4，在△ABO中，利用余弦定理：cs∠BAO=9+16−42×3×4=2124=78，所以sin∠BAO= 1−cs2∠BAO= 158，所以：S△ABO=12×3×4× 158= 154，故B正确；
③因为点D为线段BC的中点，所以点D到A，B距离之和为AD+BD=AB=4，故C错误；
④如图所示：
由正弦定理得：BCsin∠BMC=MBsin∠MCB，整理得sin∠MCB=12sin∠BMC≤12，
所以tan∠MCB≤ 33，故D正确．
故选：ABD．
直接利用向量的运算，余弦定理和三角形的面积公式判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识点：余弦定理，三角形的面积公式，向量的运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
12.【答案】2
【解析】解：由asinB=2bcsA及正弦定理，
可得sinAsinB=2sinBcsA，
又B∈(0,π)，则sinB≠0，
所以sinA=2csA，即tanA=2．
故答案为：2．
由正弦定理及已知条件，即可求得结论．
本题考查正弦定理的应用，属基础题．
13.【答案】37320
【解析】解：参赛人甲A题答对的概率为34，B题答对的概率为14，C，D，E题答对的概率均为12，
则甲前3个题全答对的概率为P=1C53[C31×34×14×12+(12)3+C32×(12)2×34+C32×(12)2×14]=37320．
故答案为：37320．
利用相互独立事件概率乘法公式直接求解．
本题考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】8 39
【解析】解：连接PQ，由PQ与MQ关于l对称，可得|PQ|=|QM|，所以点Q在以P为焦点、直线AB为准线的抛物线上，
以PO中点G为原点，过G与AB平行的直线为x轴，OO1所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
则P(0,1)，直线AB：y=−1，可得抛物线的方程为x2=4y，即y=14x2，求导数得y′=12x，
设Q(a,14a2)，则抛物线在点Q处的切线斜率k=12a，
切线方程为y−14a2=12a(x−a)，与直线AB交于点N(−2a+a2,−1)，
所以|MN|=|−2a+a2−a|=2a+a2，可得S△PQN=S△MQN=12|MN|⋅|MQ|=12(2a+a2)(14a2+1)=116a3+a2+1a，
设H(a)=116a3+a2+1a，其中a<0，可得H′(a)=316a2+12−1a2，当a=−2 33时，H′(a)=0，
因为a<−2 33时H′(a)<0，−2 330，
所以H(a)在(−∞,−2 33)上单调减，在(−2 33,0)上单调增．
因此，当a=−2 33时，H(a)有最小值116×(2 33)3+12×2 33+ 32=8 39，即S△PQN的最小值为8 39．
故答案为：8 39．
连接PQ，可得|PQ|=|QM|，可知点Q在以P为焦点，直线AB为准线的抛物线上，求出抛物线方程，然后利用导数求出点Q处的切线，将△PQN的面积表示为关于点Q的横坐标的式子，进而利用导数研究函数的单调性，求出△PQN面积的最小值．
本题主要考查抛物线的定义与标准方程、利用导数研究函数图象的切线、函数的单调性与最值求法等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
15.【答案】解：(1)当k=2时，an+an+2=2an+1，
所以{an}为等差数列，
因为a1=1a2=3，所以d=a2−a1=2，
所以S10=1×10+10×92×2=100；
(2)由k=52可得，an+2=52am+1−an，
所以an+2−2an+1=12an+1−an=12(an+1−2an)，即bn+1=12bn，
且b1=a2−2a1=1，所以{bn}是以1为首项，12为公比的等比数列，
所以bn=1×(12)n−1=(12)n−1．
【解析】(1)由题意得，an+an+2=2an+1，结合等差数列的性质可得{an}为等差数列，结合等差数列的性质及求和公式即可求解；
(2)由已知递推关系可得，an+2−2an+1=12an+1−an=12(an+1−2an)，即bn+1=12bn，然后结合等比数列的通项公式即可求解．
本题主要考查了等差数列的定义，求和公式，还考查了等比数列的定义及通项公式的应用，属于中档题．
16.【答案】解：(1)μ=1000，σ=5，生产正常时，从这条生产线生产的电阻中抽取1只，
则这只电阻阻值在(995,1000]和在(1005,1010]的概率分别为：p1=12P(μ−σ因此所求概率为：p=2p1p2≈0.093；
(2)生产正常时，这5个样本的平均数服从正态分布N(1000, 52)，
记σ′= 5，计算可得x−=1009，
这时1009>1000+3 5，即x−>μ+3σ′，
小概率事件发生了，因此认为这时生产线生产不正常．
【解析】(1)利用正态分布曲线的对称性求解；
(2)由题意可知这5个样本的平均数服从正态分布N(1000, 52)，再根据3σ原则判断即可．
本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为P为椭圆C的右顶点，且△OPE的面积为 32，
所以12×a× 32= 32，
解得a=2，
因为E(1, 32)在椭圆C上，
所以14+34b2=1，
解得b=1，
则椭圆C的标准方程为x24+y2=1；
(2)因为|BA|=|BC|，O为AC的中点，
所以OA⊥OB，
不妨设直线l的方程x=my−1，A(x1,y1)B(x2,y2)，
联立x=my−1x24+y2=1，消去x并整理得(m2+4)y2−2my−3=0，
由韦达定理得y1+y2=2mm2+4，y1y2=−3m2+4，
因为OA⊥OB，
所以OA⋅OB=0，
即x1x2+y1y2=0，
此时(m2+1)y1y2−m(y1+y2)+1=0，
所以(m2+1)×−3m2+4−m×2mm2+4+1=0，
整理得1−4m2m2+4=0，
解得m=±12．
故直线AB的斜率为±2．
【解析】(1)由题意，利用三角形面积公式求出a的值，将点E的坐标代入椭圆的方程中求出b的值，进而可得椭圆的标准方程；
(2)易得OA⊥OB，设出直线l的方程和A，B两点的坐标，将直线l的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理以及向量的坐标运算再求解即可．
本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)证明：当a=e时，f(x)=ex−xe，
则f′(x)=ex−exe−1=e(ex−1−xe−1)，
令f′(x)>0，则ex−1>xe−1，两边取对数得x−1>(e−1)lnx，
设g(x)=x−1−(e−1)lnx(x>e)，则g′(x)=1−e−1x>1−e−1e=1e>0，
所以g(x)在(c,+∞)单调递增，
所以x∈(e,+∞)时，g(x)>g(e)=0，即x∈(e,+∞)时，x−1>(e−1)lnx，
所以x∈(e,+∞)时，ex−1>xe−1，即f′(x)>0，
所以f(x)在(e,+∞)上单调递增；
(2)f(x)≥0⇔ax≥xa，两边取对数得：xlna≥alnx，即lnxx≤lnaa，
设ℎ(x)=lnxx，则ℎ′(x)=1−lnxx，
令ℎ(x)=0，得x=e，
当x>e时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，
又因为a>e，所以x≥e22lna≥e22>e，ℎ(x)在(e,+∞)单调递减，
由lnxx≤lnaa，则a≤x在[e22lna,+∞)恒成立，
即a≤e22lna，
上式等价于lnaa≥2e2=lne2e2，
由ℎ(x)在(e,+∞)单调递减，
所以e即实数a的取值范围为(e,e2].
【解析】(1)当a=e时，f(x)=ex−xe，求导可得f′(x)=e(ex−1−xe−1)，令f′(x)>0，则ex−1>xe−1，两边取对数得x−1>(e−1)lnx，设g(x)=x−1−(e−1)lnx(x>e)，求导可得g(x)在(e,+∞)单调递增，所以x∈(e,+∞)时，ex−1>xe−1，即f′(x)>0，进而证得f(x)在(e,+∞)上单调递增；
(2)由题意可得∀x∈[e22lna,+∞),lnxx≤lnaa恒成立，设ℎ(x)=lnxx，求导可得ℎ(x)在(e,+∞)单调递减，进而求出实数a的取值范围．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了不等式恒成立问题，属于中档题．
19.【答案】解：(1)如图，取CD中点M，过M作与该斜截圆柱的底面平行的平面，
交DA于点G，交BC延长线于点H，与PP1交于点I，则DG=1，
AG=2，过M作GH的垂线，交圆M于J、K两点．过I作IN⊥JK交JK于点N，

又由PI⊥圆M，IN为PN在圆M所在平面的射影，由三垂线定理知PN⊥JK，
∴∠PNI为椭圆面与圆M所在平面的夹角，也即椭圆面与底面所成角，
∴∠PNI=45°，则△PNI为等腰直角三角形，PI=IN．
设∠AOP1=θ，如图作圆M所在平面的俯视图，则∠GMI=θ，
∵GH⊥JK，IN⊥JK，∴GH//IN，则有∠NIM=∠GMI=θ，
∴IN=MIcsθ=csθ，
∴PP1=IP1+PI=IP1+IN=2+csθ，
∴当θ=2π3时，PP1的长度为：PP1=2+cs2π3=32；
(2)(i)当n=6时，图二中，点F1，F2，…，F6将半圆A均分成7等份，
n=6时，θ=πn+1=π7，
∴E1F1=2+csπ7，
E2F2=2+cs2π7，
E3F3=2+cs3π7，
∴(E1F1−2)⋅(E2F2−2)⋅(E3F3−2)=csπ7cs2π7cs3π7，
∴sin2π72sinπ7×sin4π72sin2π7×sin6π72sin3π7=sin2π72sinπ7×sin3π72sin2π7×sinπ72sin3π7=18，
故(E1F1−2)⋅(E2F2−2)⋅(E3F3−2)=18；
(ii)证明：由(1)知PP1=2+csθ，也即PP1是关于θ的函数，
也即将斜截圆柱的侧面沿着AD展开，其椭圆面的轮廓线即为函数y=2+csx的图象，
现将E1F1，E2F2，…，EnFn，BC绘制于函数y=2+csx图象上，
并以EiFi，Fi−1Fi为边作矩形，则矩形的面积即为Fi−1Fi⋅EiFi，
∴AF1⋅E1F1+F1F2⋅E2F2+⋯+Fn−1Fn⋅EnFn+FnB⋅BC即为这些矩形的面积之和．
而两个该斜截圆柱可拼成一个底面半径为1，高为4的圆柱，
∴该斜截圆柱的侧面积为12×2π×4=4π
∴函数y=2+csx(0≤x≤π)与坐标轴围成的面积为12×4π=2π，
∵无论点Fi(i=1,2,3,…,n−1)是否均匀分布在半圆弧AB上，
这些矩形的面积之和都小于函数y=2+csx(0≤x≤π)与坐标轴围成的面积．
∴AF1⋅E1F1+F1F2⋅E2F2+…+Fn−1Fn⋅EnFn+FnB⋅BC<2π，得证．

【解析】(1)取CD中点M，过M作与该斜截圆柱的底面平行的平面，交DA于点G，交BC延长线于点H，与PP1交于点I，过M作GH的垂线，交圆M于J、K两点，过I作IN⊥JK交JK于点N，由PI⊥圆M，IN为PN在圆M所在平面的射影，由三垂线定理知PN⊥JK，∠PNI为椭圆面与圆M所在平面的夹角，也即椭圆面与底面所成角，设∠AOP1=θ，作圆M所在平面的俯视图，则∠GMI=θ，由GH⊥JK，IN⊥JK，GH//IN，得∠NIM=∠GMI=θ，IN=MIcsθ=csθ，PP1=IP1+PI=IP1+N=2+csθ，由此能求出结果．
(2)(i)n=6时，θ=πn+1=π7，从而E1F1=2+csπ7，E2F2=2+cs2π7，E3F3=2+cs3π7，由此能求出结果．
(ii)推导出PP1=2+csθ，将斜截圆柱的侧面沿着AD展开，其椭圆面的轮廓线即为函数y=2+csx的图象，将E1F1，E2F2，…，EnFn，BC绘制于函数y=2+csx图象上，以EiFi，Fi−1Fi为边作矩形，则矩形的面积为Fi−1Fi⋅EiFi，则AF1⋅E1F1+F1F2⋅E2F2+⋯+Fn−1Fn⋅EnFn+FnB⋅BC即为这些矩形的面积之和，两个该斜截圆柱可拼成一个底面半径为1，高为4的圆柱，求出该斜截圆柱的侧面积，进而求出函数y=2+csx(0≤x≤π)与坐标轴围成的面积，无论点Fi(i=1,2,3,…,n−1)是否均匀分布在半圆弧AB上，这些矩形的面积之和都小于函数y=2+csx(0≤x≤π)与坐标轴围成的面积，由此能证明AF1−E1F1+F1F2⋅E2F2+⋯+Fn−1Fn⋅EnFn+FnB⋅BC<2π．
本题考查三垂线定理、斜截圆柱、函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．喜爱足球运动
不喜爱足球运动
合计
男性
15
5
20
女性
8
12
20
合计
23
17
40
喜爱足球运动
不喜爱足球运动
合计
男性
70
30
100
女性
45
55
100
合计
115
85
200
α
0.1
0.01
0.001
xα
2.706
6.635
10.828