湖南省岳阳市岳阳县2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列方程是二元一次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的定义．二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．根据二元一次方程的定义进行判断．
【详解】解：A、该方程只含有1个未知数，不是二元一次方程，故本选项不合题意；
B、该方程中含有2个未知数，并且含有未知数最高次数是2，故本选项不合题意；
C、该方程只含有1个未知数，不是二元一次方程，故本选项不合题意；
D、该方程中含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，属于二元一次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
2. 下列各组解中，不是二元一次方程x+2y=5解的是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把各组解分别代入方程x+2y=5，然后根据二元一次方程解的定义进行判断．
【详解】A、当x=1，y=2时，x+2y=1+4=5，所以A选项不符合题意；
B、当x=6，y= -1时，x+2y=6-2=4≠5，所以B选项符合题意；
C、当x=2，y=1.5时，x+2y=2+3=5，所以C选项不符合题意；
D、当x=9，y= -2时，x+2y=9-4=5，所以D选项不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查二元一次方程的解的定义，要求理解什么是二元一次方程的解，并会把x，y的值代入原方程验证二元一次方程的解．
3. 化简结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据积的乘方以及同底数幂的乘法进行计算即可求解．
【详解】解：，
故选：D．
【点睛】本题考查了积的乘方以及同底数幂的乘法，熟练掌握积的乘方以及同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式，幂的乘方，同底数幂乘法和合并同类项等计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
5. 运用乘法公式计算的正确结果是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的运用，根据进行展开，即可作答．
【详解】解：依题意，，
故选：C．
6. 已知，是方程的一个解，则m的值为（ ）
A. 3B. C. D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程解的定义，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把，代入原方程求出m的值即可．
【详解】解：∵，是方程的一个解，
∴，
∴，
故选：A．
7. 若是完全平方式，则a的值应是（ ）
A. B. C. 9D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的运用，根据进行作答即可．
【详解】解：∵是完全平方式，
∴
即
故选：C
8. 下列式子中，不能用平方差公式运算的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式的应用，根据两数之和与两数之差的乘积即为能够运用平方差公式，进行逐一分析，即可作答．
【详解】解：A、，故能用平方差公式运算，该选项是不符合题意的；
B、，故能用平方差公式运算，该选项是不符合题意的；
C、，故能用平方差公式运算，该选项是不符合题意的；
D、，运用完全平方公式，不能运用平方差公式运算，该选项是符合题意的；
故选：D
9. 下列各式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式分解因式，熟知是解题的关键．
【详解】解：A、，能用完全平方公式分解因式，不符合题意；
B、不能用完全平方公式分解因式，符合题意；
C、，能用完全平方公式分解因式，不符合题意；
D、，能用完全平方公式分解因式，不符合题意；
故选：B．
10. 问题：聪明的你知道代数式的最小值为多少吗？解：因为，又因为，所以，所以的最小值为1．请用上述方法，解决代数式的最小值为（ ）
A. 3B. C. 6D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了配方法的应用，模仿题意的解题过程，进行变形作答即可．
【详解】解：依题意，，
∵，
∴，
∴所以的最小值为，
故选：B．
二、填空题：（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11. 请你写出一个以为解的一个二元一次方程组：______
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，根据题意只需要写出两个解为的二元一次方程即可得到答案．
【详解】解：由题意得，满足题意得方程组可以为，
故答案为：（答案不唯一）．
12. 方程2x﹣y＝7，用含x的代数式表示y为 _____．
【答案】y＝2x﹣7 ## y＝﹣7＋2x
【解析】
【分析】把x看作已知数求出y即可．
【详解】解：方程2x﹣y＝7，
移项得：﹣y＝－2x＋7，
系数化为1得：y＝2x﹣7．
故答案为：y＝2x﹣7．
【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y即可．
13. 计算：______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方等内容的逆运用，先整理，再利用积的乘方的逆运用，进行计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：2．
14. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案．
详解】解：
，
故答案为：．
15. 若多项式是完全平方式，则k的值为______．
【答案】或12
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方式，根据所给多项式可得两平方项分别为、，则一次项为，据此可得答案．
【详解】解：多项式是完全平方式，
∴，
∴，
∴或，
故答案为：或12．
16. 已知，，，试比较a，b，c的大小并用“”把它们连接起来：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数比较大小，幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，先根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算法则得到，，据此可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：．
17. 若，则__________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式，非负数的性质，代数式求值，根据完全平方公式把所给条件式变形为，则由非负数的性质可得，据此代值计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4．
18. 在对多项式进行因式分解时，M同学看错了b，分解为；N同学看错了a，分解为．（两人后面因式分解没有错误），则______，______．
【答案】 ①. 6 ②. 9
【解析】
【分析】此题考查了因式分解十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键
分别根据甲乙因式分解的结果确定出与的值，即可作答．
【详解】解：依题意，由甲的结果得：，
由乙的结果得：，
可得，，
故答案为：．
三、解答题：（本大题共8个小题，第19、20、21题每题6分，第22、23题每题8分，第24、25题每题10分，第26题12分，共66分）
19. 解方程组
（1）（用代入法）；
（2）（用加减法）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组：
（1）先根据①得到，再把③代入②中求出y，进而求出x即可；
（2）利用加减消元法求解即可．
【小问1详解】
解：
由①得：，
把③代入②得：，解得，
把代入③得：，
∴方程组的解为；
【小问2详解】
解：
得：，
把代入①得：，解得，
∴方程组的解为．
20 因式分解
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了提取公因式以及公式法进行因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）进行提取公因式，即可作答．
（2）运用完全平方公式进行分解因式，即可作答．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：．
21. 计算（第1小题用简便方法计算，第2小题先化简再求值）
（1）；
（2），其中，．
【答案】（1）9 （2），
【解析】
【分析】本题主要考查了运用平方差公式进行运算、整式化简求值等知识，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键．
（1）首先将原始整理为，再利用平方差公式进行运算，然后相加减即可；
（2）首先根据单项式乘多项式法则、多项式乘多项式法则进行运算，再合并同类项完成化简，然后将，代入求值即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
，
把，代入，可得，
原式
．
22. 我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释．如就能用图1图形的面积表示．
（1）请你写出图2所表示的一个等式：______
（2）请你画出一个图形，使它的面积能表示：．
【答案】（1）
（2）见详解
【解析】
【分析】本题考查了多项式与多项式乘法的应用，根据等面积法建立等式是解题的关键．
（1）结合图形，以及运用等面积法建立等式，即可作答．
（2）模仿上述原理：运用等面积法建立等式，进行作图即可．
【小问1详解】
解：依题意，∵大正方形的面积等于每个部分的面积之和，
∴，
即；
【小问2详解】
解：∵
∴
如图所示：
．
23. 已知，，求：
（1）的值；
（2）的值；
（3）的值．
【答案】（1）6 （2）9
（3）108
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂相乘以及逆运用、幂的乘方、正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可作答．
（2）根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，即可作答．
（3）根据同底数幂相乘的逆运用，得出，代入数值，即可作答．
【小问1详解】
解：∵，
∴原式；
【小问2详解】
解：∵，，
∴原式；
【小问3详解】
解：∵，，
∴原式．
24. 某中学七年级（1）班去体育用品商店买一些篮球和排球，供班上同学进行体育锻炼时使用，共买了2个篮球和6个排球，花元，并且每个排球比篮球便宜元．
（1）求篮球和排球的单价各是多少；
（2）商店里搞活动，有两种套餐，①套餐打折：五个篮球和五个排球为一套餐，套餐打八折；②满减活动：满减，满减；两种活动不重复参与，学校打算购买个篮球，个排球，请问如何安排更划算？
【答案】（1）篮球每个元，排球每个元；
（2）选用套餐①购买更划算，理由见解析
【解析】
【分析】（1）设篮球单价为每个元，排球单价为每个元，根据买了2个篮球和6个排球，花元，并且每个排球比篮球便宜元，列方程组求解即可得到答案；
（2）分别计算两种活动方案费用比较即可得到答案；
【小问1详解】
解：设篮球单价为每个元，排球单价为每个元，
由题意可得，解方程组得，
答：篮球每个元，排球每个元；
【小问2详解】
解：若按照①套餐打折购买费用为：
（元），
若参加②满减活动购买费用为：
（元），
又，
所以（元）．
而，所以选择套餐①所花费用比选择套餐②所花费用低．
答：选用套餐①购买更划算．
【点睛】本题考查二元一次方程组解决实际应用问题及择优方案问题，解题的关键是根据题意找到等量关系式．
25. 阅读下列材料：某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用平方差公式计算：．他很受启发．后来在求时，联想到“凑成”平方差公式，改造此法：将乘积式前面乘1，并且把1写成得：．
解答问题：
（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）
（2）当时，原式，当时，原式
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，平方差公式的应用，弄清题中的规律是解题的关键．
（1）先整理，则原式为，再利用题中的规律进行计算，即可作答．
（2）进行分类讨论，当或两种情况，利用题中的规律计算即可得到结果．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：当时，
原式
当时，
原式
．
综上：当时，原式，当时，原式．
26. 如图，大长方形是由三个小长方形和一个小正方形拼成的．
观察猜想：请根据此图填空：（______）（______）．
说理验证：事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形：
（______）（______）（提示：提公因式）（______）（______）．
于是，我们可以利用此方法进行多项式的因式分解．
尝试运用：例题：把多项式因式分解．
请利用上述方法将下列多项式因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】观察猜想：，；说理验证：，，，；（1）；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解在几何图形中的应用，十字相乘法分解因式：
观察猜想：由图可知四个小长方形的面积之和等于大长方形的面积，据此求解即可；
说理验证：先提取公因式x和q分组分解因式，再提取公因式进行分解因式即可；
（1）仿照题意分解因式即可；
（2）把看作一个整体仿照题意分解因式即可．
【详解】解；观察猜想：由图可知四个小长方形的面积之和等于大长方形的面积，即，
故答案诶：；
说理验证：由题意得，
故答案为：，，，；
（1）
；
（2）
．