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山西省临汾市尧都区临汾市兴国实验学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）
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一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中）
1. 若分式的值为，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据分式的值为为零的条件：分式的分母不能为，分子为.即是且,进行计算即可得解．
【详解】解：∵分式的值为
∴
∴．
故选：D
【点睛】本题考查了分式的值为0的条件，此题是简单题目，能够根据分式的值为0的条件正确列出方程和不等式是解题的关键.
2. 在平面直角坐标系中，点一定在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据点的坐标特征求解即可．
【详解】横坐标是，纵坐标是，
∴点N（，）一定在第二象限，
故选：B．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+），第二象限（-，+），第三象限（-，-），第四象限（+，-）．
3. 若反比例函数的图象经过点，则的值为（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】题目主要考查反比例函数的基本性质，将点代入求解即可得出结果
详解】解：根据题意得：，
解得：，
故选：C
4. 小麦被称为“五谷之贵”．我国是世界上栽培小麦最古老的国家之一，有五千多年的种植历史．经测算，一粒小麦的质量约为千克，数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于正确的确定a和n的值．
科学记数法的表现形式为，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于1时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数，由此即可得解．
【详解】解：用科学记数法表示为，
故选C．
5. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，则该函数的表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，根据一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，列方程组计算即可；熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式是关键．
【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，
解得
∴该函数的表达式为
故选：B．
6. 若关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了增根的概念， 先去分母，再利用增根的意义即可求解，正确理解增根的含义是解题的关键．
【详解】解：，
整理得：，
，
∵关于的分式方程有增根，
∴，
解得：，
故选：．
7. 匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示（图中为一折线）．这个容器的形状可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数图象的走势：较缓，较陡，陡，注水速度是一定的，上升的快慢跟容器的粗细有关，越粗的容器上升高度越慢，从而得到答案．
【详解】解：从函数图象可以看出：OA段上升最慢，AB段上升较快，BC段上升最快，上升的快慢跟容器的粗细有关，越粗的容器上升高度越慢，
∴题中图象所表示的容器应是下面最粗，中间其次，上面最细；
故选：A．
【点睛】本题考查了函数图象的性质在实际问题中的应用，判断出每段函数图象变化不同的原因是解题的关键．
8. 如图，直线交轴于点，交反比例函数的图象于A，B两点，过点作轴，垂足为，连接，则的值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，一般的，从反比例函数（k为常数，）图象上任一点P，向x轴和y轴作垂线，以点P及点P的两个垂足和坐标原点为顶点的矩形的面积等于常数，以点P及点P的一个垂足和坐标原点为顶点的三角形的面积等于．
连接，根据题意得出，然后结合图形即可求解．
【详解】解：连接，
∵，
∴．
∵，
∴．
故选：A．
9. 当时，代数式的值为（ ）
A. -6B. 6C. -12D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了分式的化简求值，先计算先把分母分解因式，再利用乘法分配律进行计算，再进行加法运算，整体代入即可得答案．
【详解】解：
∵，
∴
∴原式
故选：B
10. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点均在反比例函数图象上，连接，，，过点作轴于点，过点作轴于点，则下列结论中正确的有（ ）
①；②；③直线与轴的交点坐标为；
④的值随．的增大而增大．
A. ②③④B. ①③④C. ①②④D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，全等三角形的性质与判定，待定系数法求一次函数解析式，根据题意图形即可判断①正确，根据证明，先求得直线的函数表达式为，进而即可判断③，分，两种情形讨论，即可求解．
【详解】提示：①点P，Q都在第一象限，
，①正确；
①，
②正确；
③设直线的函数表达式为,则，
解得
∴直线的函数表达式为，
当时，
直线与轴的交点坐标为，③正确；
④直线的函数表达式为，直线的函数表达式为
当时，的值随的增大而减小，
当时，的值随的增大而增大，
④错误．
故选：D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 已知反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而减小，则实数k的值可以是___．（只需写出一个符合条件的实数）
【答案】1（答案不唯一，只要即可）
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质可得，即可求解.
【详解】解：∵反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而减小，
∴，
∴k的值可以是1（答案不唯一，只要即可）；
故答案为：1（答案不唯一，只要即可）.
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟知时，反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而减小是解题关键.
12. 已知点是同一反比例函数图象上的两个点，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题是对反比例函数的考查，熟练掌握反比例函数知识是解决本题的关键．
设反比例函数解析式为，把两点代入反比例函数中求出m即可．
【详解】解：设反比例函数解析式为，
把两点代入反比例函数中得，
解得：，
故答案为：．
13. 化简的结果是_________ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的除法计算，首先将分式的分子和分母进行因式分解，然后将除法改成乘法进行计算即可得到答案
【详解】解：
，
故答案为：．
14. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与坐标轴交于A，B两点．过点作，交于点，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握知识点是解题的关键．
先求A，B两点坐标，再运用勾股定理求出，最后对运用等面积法即可求解．
【详解】解：当，则，
∴，
当，则，解得，
∴，
则在中，，
∵，
∵，
∴，
故答案为：．
15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，直线与有交点，则的取值范围是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，首先确定直线经过一定点，然后根据图像回答即可；熟知一次函数图像的性质是关键．
【详解】解：
∵直线经过一定点，
由图可知，当直线经过点时，
，
解得，
当直线经过点时，
，
解得
的取值范围是，
故答案为：．
三、解合题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. （1）．
（2）变量x，y之间的对应关系如下表：
试判断变量是的函数吗?变量是的函数吗?请说明理由．
【答案】（1）；（2）变量是的函数．变量不是的函数．理由见解析
【解析】
【分析】本题考查函数概念，实数的混合运算，掌握零指数次幂、负整数指数次幂的运算法则、函数的概念是解题的关键．
（1）先运算零指数次幂、负整数指数次幂，然后运算乘法，最后运算加法解题即可；
（2）运用函数的概念判断即可．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：变量是的函数．
理由：由表可知，每取一个值，都有唯一值与它对应，
是的函数．
变量不是的函数．
理由：由表可知，取一个值2，x有和1两个值对应，
∴x不是的函数．
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先通分，然后利用平方差公式展开约分，最后代入求值即可．
【详解】解：原式
当时，原式．
18. 2024年元旦期间，小康和小勇从学校同时出发到太原市晋祠游玩，小康选择匀速步行，小勇先以150米/分速度骑自行车出发，中间休息了一段时间，再加速前往晋祠．小勇重新出发时，小康已经超过小勇300米，但最终小勇比小康提前2.5分钟到达晋祠，小康和小勇的行驶路程（米）与行驶时间（分钟）之间的函数关系图象如图所示．
（1）求m，n的值．
（2）求直线的函数表达式．
（3）求小康与小勇第二次相遇时与景点晋祠的距离．
【答案】（1），
（2）
（3）小康与小勇第二次相遇时与景点晋祠的距离为750米
【解析】
【分析】本题考查一次函数的实际应用，从图象中有效的获取信息，是解题的关键．
（1）根据路程等于速度乘以时间，求出的值，求出小康的速度，根据小勇重新出发时，小康已经超过小勇300米，列出方程求出的值；
（2）直线的函数表达式为，求出点的坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（3）联立直线的解析式，进行求解即可．
【小问1详解】
解：（米），小康的速度为（米/分），当小康行驶分钟时，路程为120n米，
．
【小问2详解】
由（1）可知：点的坐标为，
∵小勇比小康提前2.5分钟到达晋祠，
∴点的坐标为，
设直线的函数表达式为，将点B，E代入，得
解得，
直线BE的函数表达式为．
【小问3详解】
由题意，可知：直线的函数表达式为，
直线的函数表达式为，
联立，得解得
（米）
答：小康与小勇第二次相遇时与景点晋祠的距离为750米．
19. 从太原南站到北京西站，乘坐动车和高铁均可直达．已知从太原南站至北京西站的铁路里程约为480km，高铁的平均速度是动车的1.5倍，走完全程高铁比动车少用1h，求高铁和动车从太原南站到北京西站的平均速度．
【答案】高铁和动车从太原南站到北京西站的平均速度分别是和
【解析】
【分析】本题考查分式方程的实际应用，设动车从太原南站到北京西站的平均速度为，根据高铁的平均速度是动车的1.5倍，走完全程高铁比动车少用1h，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设动车从太原南站到北京西站的平均速度为，则高铁的平均速度为．
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解且符合题意．
∴高铁的平均速度为，
答：高铁和动车从太原南站到北京西站的平均速度分别是和．
20. 阅读下列材料，完成后面任务：
我们知道，利用描点法可以画出反比例函数的图象，其图象是双曲线，那么如何画出函数的图象呢？下面是小明同学对该函数的图象画法的探究过程．
利用描点法画图象：
列表：
描点、连线：
任务：
（1）函数的自变量的取值范围为______．
（2）由图可知，该函数图象的对称中心是______．
（3）由图象可知，该函数的图象是由函数的图象平移得到的，请写出平移方式．
【答案】（1）
（2）
（3）该函数的图象是由函数的图像先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的．
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）利用函数解析式求自变量的取值范围即可；
（2）根据图象解答问题即可；
（3）根据平移的性质解决问题即可．
【小问1详解】
解：∵函数有意义，
∴，
解得：；
【小问2详解】
∵，，
∴的对称中心为．
【小问3详解】
函数的图象是由函数的图象向右平移个单位，向上平移个单位得到．
21. 已知，求和的积．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式的混合运算，掌握分式的运算法则和运算顺序是解题的关键．
【详解】解：
22. 如图，等腰直角三角形直角边长和正方形的边长均为与在同一条直线上，开始时点和点重合，现将等腰直角三角形以的速度向左移动，直到与重合，设等腰直角三角形移动秒时，与正方形重叠部分的面积为．
（1）求与的函数关系式及自变量的取值范围．
（2）当时，求的值．
（3）若将向左移动，与重合时停止移动．
①求当时，与正方形重叠部分的面积与的函数关系式；
②求当时，的值．
【答案】（1）
（2）
（3）①；②
【解析】
【分析】题目主要考查一次函数的在图形运动中的应用及函数解析式的确定，理解题意，根据题意得出相应的函数解析式是解题关键．
（1）根据等腰直角三角形及正方形的性质，结合题意得出移动的距离为，再由三角形面积即可确定函数解析式，再找出临界点确定取值范围即可；
（2）根据题意直接代入（1）中结果求解即可；
（3）①设与交于点，结合图形得出，确定，利用等腰梯形面积计算方法即可得出结果；
②根据题意直接代入①中结果即可．
【小问1详解】
解：根据题意可知，等腰直角三角形，以的速度向左移动，移动秒，
∴移动的距离为，
当点和点重合时，，当与重合时，，
自变量的取值范围是．
【小问2详解】
当时，，
即．
，
．
【小问3详解】
①如图，设与交于点．
，
，
；
②当时，．
23. 如图，一次函数的图象与轴，轴交于F，E两点，与反比例函数的图象交于点轴于点轴于点．
（1）求a，b的值及反比例函数的表达式．
（2）若P为线段CD上的一点，连接PA，PB，当时，求点的坐标．
（3）在轴上是否存在点，使得为等腰三角形?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），，
（2）
（3）存在，理由见解析，或
【解析】
【分析】题目主要考查反比例函数的综合问题，比例系数的意义及等腰三角形的性质，勾股定理解三角形，理解题意，进行分类讨论是解题关键．
（1）分别将点A和点B代入函数解析式，得出，，将点的坐标代入反比例函数即可确定函数解析式；
（2）点在线段上，连接．结合图形得出，设点，根据图形的面积及反比例函数的意义求解即可；
（3）设点，连接．用勾股定理分别表示出，然后分三种情况分析：①当时，②当时，③当时，分别求解即可．
【小问1详解】
解：将点代入，
得，解得，
将点代入，
得，解得，
点的坐标为，点的坐标为，
，
反比例函数的表达式为．
【小问2详解】
如图，点在线段上，连接．
，
．
设点，则，
，，
．
又，
，
，
点的坐标为．
【小问3详解】
存在，理由如下：
如图，设点，连接．
，
，
，
．
分三种情况：
①当时，，
，
解得，
；
②当时，，
，
．
，
此情况不成立
③当时，，
，
，
，
或．
令，得，
，
，
∴此时点与点重合，不能构成三角形，
，
综上所述，当点的坐标为或时，为等腰三角形．
x
-2
-1
0
1
2
y
5
2
1
2
6
x
…
-6
-2
0
1
1．5
2．5
3
4
6
10
…
y
…
0．5
0
-1
-3
-7
9
5
3
2
1．5
…
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中）
1. 若分式的值为，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据分式的值为为零的条件：分式的分母不能为，分子为.即是且,进行计算即可得解．
【详解】解：∵分式的值为
∴
∴．
故选：D
【点睛】本题考查了分式的值为0的条件，此题是简单题目，能够根据分式的值为0的条件正确列出方程和不等式是解题的关键.
2. 在平面直角坐标系中，点一定在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据点的坐标特征求解即可．
【详解】横坐标是，纵坐标是，
∴点N（，）一定在第二象限，
故选：B．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+），第二象限（-，+），第三象限（-，-），第四象限（+，-）．
3. 若反比例函数的图象经过点，则的值为（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】题目主要考查反比例函数的基本性质，将点代入求解即可得出结果
详解】解：根据题意得：，
解得：，
故选：C
4. 小麦被称为“五谷之贵”．我国是世界上栽培小麦最古老的国家之一，有五千多年的种植历史．经测算，一粒小麦的质量约为千克，数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于正确的确定a和n的值．
科学记数法的表现形式为，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于1时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数，由此即可得解．
【详解】解：用科学记数法表示为，
故选C．
5. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，则该函数的表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，根据一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，列方程组计算即可；熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式是关键．
【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，
解得
∴该函数的表达式为
故选：B．
6. 若关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了增根的概念， 先去分母，再利用增根的意义即可求解，正确理解增根的含义是解题的关键．
【详解】解：，
整理得：，
，
∵关于的分式方程有增根，
∴，
解得：，
故选：．
7. 匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示（图中为一折线）．这个容器的形状可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数图象的走势：较缓，较陡，陡，注水速度是一定的，上升的快慢跟容器的粗细有关，越粗的容器上升高度越慢，从而得到答案．
【详解】解：从函数图象可以看出：OA段上升最慢，AB段上升较快，BC段上升最快，上升的快慢跟容器的粗细有关，越粗的容器上升高度越慢，
∴题中图象所表示的容器应是下面最粗，中间其次，上面最细；
故选：A．
【点睛】本题考查了函数图象的性质在实际问题中的应用，判断出每段函数图象变化不同的原因是解题的关键．
8. 如图，直线交轴于点，交反比例函数的图象于A，B两点，过点作轴，垂足为，连接，则的值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，一般的，从反比例函数（k为常数，）图象上任一点P，向x轴和y轴作垂线，以点P及点P的两个垂足和坐标原点为顶点的矩形的面积等于常数，以点P及点P的一个垂足和坐标原点为顶点的三角形的面积等于．
连接，根据题意得出，然后结合图形即可求解．
【详解】解：连接，
∵，
∴．
∵，
∴．
故选：A．
9. 当时，代数式的值为（ ）
A. -6B. 6C. -12D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了分式的化简求值，先计算先把分母分解因式，再利用乘法分配律进行计算，再进行加法运算，整体代入即可得答案．
【详解】解：
∵，
∴
∴原式
故选：B
10. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点均在反比例函数图象上，连接，，，过点作轴于点，过点作轴于点，则下列结论中正确的有（ ）
①；②；③直线与轴的交点坐标为；
④的值随．的增大而增大．
A. ②③④B. ①③④C. ①②④D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，全等三角形的性质与判定，待定系数法求一次函数解析式，根据题意图形即可判断①正确，根据证明，先求得直线的函数表达式为，进而即可判断③，分，两种情形讨论，即可求解．
【详解】提示：①点P，Q都在第一象限，
，①正确；
①，
②正确；
③设直线的函数表达式为,则，
解得
∴直线的函数表达式为，
当时，
直线与轴的交点坐标为，③正确；
④直线的函数表达式为，直线的函数表达式为
当时，的值随的增大而减小，
当时，的值随的增大而增大，
④错误．
故选：D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 已知反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而减小，则实数k的值可以是___．（只需写出一个符合条件的实数）
【答案】1（答案不唯一，只要即可）
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质可得，即可求解.
【详解】解：∵反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而减小，
∴，
∴k的值可以是1（答案不唯一，只要即可）；
故答案为：1（答案不唯一，只要即可）.
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟知时，反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而减小是解题关键.
12. 已知点是同一反比例函数图象上的两个点，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题是对反比例函数的考查，熟练掌握反比例函数知识是解决本题的关键．
设反比例函数解析式为，把两点代入反比例函数中求出m即可．
【详解】解：设反比例函数解析式为，
把两点代入反比例函数中得，
解得：，
故答案为：．
13. 化简的结果是_________ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的除法计算，首先将分式的分子和分母进行因式分解，然后将除法改成乘法进行计算即可得到答案
【详解】解：
，
故答案为：．
14. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与坐标轴交于A，B两点．过点作，交于点，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握知识点是解题的关键．
先求A，B两点坐标，再运用勾股定理求出，最后对运用等面积法即可求解．
【详解】解：当，则，
∴，
当，则，解得，
∴，
则在中，，
∵，
∵，
∴，
故答案为：．
15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，直线与有交点，则的取值范围是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，首先确定直线经过一定点，然后根据图像回答即可；熟知一次函数图像的性质是关键．
【详解】解：
∵直线经过一定点，
由图可知，当直线经过点时，
，
解得，
当直线经过点时，
，
解得
的取值范围是，
故答案为：．
三、解合题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. （1）．
（2）变量x，y之间的对应关系如下表：
试判断变量是的函数吗?变量是的函数吗?请说明理由．
【答案】（1）；（2）变量是的函数．变量不是的函数．理由见解析
【解析】
【分析】本题考查函数概念，实数的混合运算，掌握零指数次幂、负整数指数次幂的运算法则、函数的概念是解题的关键．
（1）先运算零指数次幂、负整数指数次幂，然后运算乘法，最后运算加法解题即可；
（2）运用函数的概念判断即可．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：变量是的函数．
理由：由表可知，每取一个值，都有唯一值与它对应，
是的函数．
变量不是的函数．
理由：由表可知，取一个值2，x有和1两个值对应，
∴x不是的函数．
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先通分，然后利用平方差公式展开约分，最后代入求值即可．
【详解】解：原式
当时，原式．
18. 2024年元旦期间，小康和小勇从学校同时出发到太原市晋祠游玩，小康选择匀速步行，小勇先以150米/分速度骑自行车出发，中间休息了一段时间，再加速前往晋祠．小勇重新出发时，小康已经超过小勇300米，但最终小勇比小康提前2.5分钟到达晋祠，小康和小勇的行驶路程（米）与行驶时间（分钟）之间的函数关系图象如图所示．
（1）求m，n的值．
（2）求直线的函数表达式．
（3）求小康与小勇第二次相遇时与景点晋祠的距离．
【答案】（1），
（2）
（3）小康与小勇第二次相遇时与景点晋祠的距离为750米
【解析】
【分析】本题考查一次函数的实际应用，从图象中有效的获取信息，是解题的关键．
（1）根据路程等于速度乘以时间，求出的值，求出小康的速度，根据小勇重新出发时，小康已经超过小勇300米，列出方程求出的值；
（2）直线的函数表达式为，求出点的坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（3）联立直线的解析式，进行求解即可．
【小问1详解】
解：（米），小康的速度为（米/分），当小康行驶分钟时，路程为120n米，
．
【小问2详解】
由（1）可知：点的坐标为，
∵小勇比小康提前2.5分钟到达晋祠，
∴点的坐标为，
设直线的函数表达式为，将点B，E代入，得
解得，
直线BE的函数表达式为．
【小问3详解】
由题意，可知：直线的函数表达式为，
直线的函数表达式为，
联立，得解得
（米）
答：小康与小勇第二次相遇时与景点晋祠的距离为750米．
19. 从太原南站到北京西站，乘坐动车和高铁均可直达．已知从太原南站至北京西站的铁路里程约为480km，高铁的平均速度是动车的1.5倍，走完全程高铁比动车少用1h，求高铁和动车从太原南站到北京西站的平均速度．
【答案】高铁和动车从太原南站到北京西站的平均速度分别是和
【解析】
【分析】本题考查分式方程的实际应用，设动车从太原南站到北京西站的平均速度为，根据高铁的平均速度是动车的1.5倍，走完全程高铁比动车少用1h，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设动车从太原南站到北京西站的平均速度为，则高铁的平均速度为．
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解且符合题意．
∴高铁的平均速度为，
答：高铁和动车从太原南站到北京西站的平均速度分别是和．
20. 阅读下列材料，完成后面任务：
我们知道，利用描点法可以画出反比例函数的图象，其图象是双曲线，那么如何画出函数的图象呢？下面是小明同学对该函数的图象画法的探究过程．
利用描点法画图象：
列表：
描点、连线：
任务：
（1）函数的自变量的取值范围为______．
（2）由图可知，该函数图象的对称中心是______．
（3）由图象可知，该函数的图象是由函数的图象平移得到的，请写出平移方式．
【答案】（1）
（2）
（3）该函数的图象是由函数的图像先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的．
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）利用函数解析式求自变量的取值范围即可；
（2）根据图象解答问题即可；
（3）根据平移的性质解决问题即可．
【小问1详解】
解：∵函数有意义，
∴，
解得：；
【小问2详解】
∵，，
∴的对称中心为．
【小问3详解】
函数的图象是由函数的图象向右平移个单位，向上平移个单位得到．
21. 已知，求和的积．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式的混合运算，掌握分式的运算法则和运算顺序是解题的关键．
【详解】解：
22. 如图，等腰直角三角形直角边长和正方形的边长均为与在同一条直线上，开始时点和点重合，现将等腰直角三角形以的速度向左移动，直到与重合，设等腰直角三角形移动秒时，与正方形重叠部分的面积为．
（1）求与的函数关系式及自变量的取值范围．
（2）当时，求的值．
（3）若将向左移动，与重合时停止移动．
①求当时，与正方形重叠部分的面积与的函数关系式；
②求当时，的值．
【答案】（1）
（2）
（3）①；②
【解析】
【分析】题目主要考查一次函数的在图形运动中的应用及函数解析式的确定，理解题意，根据题意得出相应的函数解析式是解题关键．
（1）根据等腰直角三角形及正方形的性质，结合题意得出移动的距离为，再由三角形面积即可确定函数解析式，再找出临界点确定取值范围即可；
（2）根据题意直接代入（1）中结果求解即可；
（3）①设与交于点，结合图形得出，确定，利用等腰梯形面积计算方法即可得出结果；
②根据题意直接代入①中结果即可．
【小问1详解】
解：根据题意可知，等腰直角三角形，以的速度向左移动，移动秒，
∴移动的距离为，
当点和点重合时，，当与重合时，，
自变量的取值范围是．
【小问2详解】
当时，，
即．
，
．
【小问3详解】
①如图，设与交于点．
，
，
；
②当时，．
23. 如图，一次函数的图象与轴，轴交于F，E两点，与反比例函数的图象交于点轴于点轴于点．
（1）求a，b的值及反比例函数的表达式．
（2）若P为线段CD上的一点，连接PA，PB，当时，求点的坐标．
（3）在轴上是否存在点，使得为等腰三角形?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），，
（2）
（3）存在，理由见解析，或
【解析】
【分析】题目主要考查反比例函数的综合问题，比例系数的意义及等腰三角形的性质，勾股定理解三角形，理解题意，进行分类讨论是解题关键．
（1）分别将点A和点B代入函数解析式，得出，，将点的坐标代入反比例函数即可确定函数解析式；
（2）点在线段上，连接．结合图形得出，设点，根据图形的面积及反比例函数的意义求解即可；
（3）设点，连接．用勾股定理分别表示出，然后分三种情况分析：①当时，②当时，③当时，分别求解即可．
【小问1详解】
解：将点代入，
得，解得，
将点代入，
得，解得，
点的坐标为，点的坐标为，
，
反比例函数的表达式为．
【小问2详解】
如图，点在线段上，连接．
，
．
设点，则，
，，
．
又，
，
，
点的坐标为．
【小问3详解】
存在，理由如下：
如图，设点，连接．
，
，
，
．
分三种情况：
①当时，，
，
解得，
；
②当时，，
，
．
，
此情况不成立
③当时，，
，
，
，
或．
令，得，
，
，
∴此时点与点重合，不能构成三角形，
，
综上所述，当点的坐标为或时，为等腰三角形．
x
-2
-1
0
1
2
y
5
2
1
2
6
x
…
-6
-2
0
1
1．5
2．5
3
4
6
10
…
y
…
0．5
0
-1
-3
-7
9
5
3
2
1．5
…
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