江西省九江市永修县2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一个选项是符合题意的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分．
1. 的绝对值是（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了绝对值的定义，根据绝对值的定义，数轴上的数离开原点之间的距离叫做这个数的绝对值，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，即可得出结果．
【详解】解：，
的绝对值是3，
故选：A．
2. 下列计算结果为的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂的运算法则、合并同类项法则、幂的乘方运算法则，逐个进行判断即可．
【详解】解∶A．，不符合题意；
B．，不符合题意；
C．，不符合题意；
D．，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法（除法），合并同类项以及幂的乘方；解题的关键是熟练掌握同底数幂相乘（除），底数不变，指数相加（减）；合并同类项，字母和字母指数不变，只把系数相加减；幂的乘方，底数不变，指数相乘．
3. 如图，该几何体的左视图是（ ）

A. B.
C.
D.

【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据左视图是从左面看到的图形求解即可．
【详解】解：从左面看，看到的图形分为上下两个长方形，下面一个长方形是横着的边长比竖着的边长长，上面一个长方形是竖着的边长比横着的边长长，即看到的图形如下：

故选：B．
4. 光线从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，这是一块玻璃的，两面（玻璃上下两个面）的示意图，且，一束光从玻璃面的C处射向玻璃面的处，但从玻璃面的处射出时发生了折射，使光线从变成了，为光线延长线上一点．已知，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，平角的定义，根据平行线的性质求出，再根据平角的定义即可得出结果．解题的关键是能灵活运用平行线的性质解题．
【详解】解：如图，，

，
，
故选：A．
5. 下列六边形都是由6个相同的小等边三角形拼成的，将其部分涂黑，则下列图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选C．
6. 关于二次函数，现给出以下结论：
①函数图象经过轴上一定点，且该点的坐标为；
②当时，函数图象的顶点坐标是；
③当时，函数图象截轴所得的线段长度大于；
④当，时，随的增大而减小．
其中正确有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质等等，先把原解析式化为交点式得到，进而求出二次函数与x轴的两个交点坐标为，，据此可判断①；当时，求出此时解析式，并化为顶点式即可判断②；求出即可判断③；求出对称轴为直线，再由开口向下，即可判断④．
【详解】解：∵二次函数解析式为
∴当时，或，
∴二次函数与x轴的两个交点坐标为，，
∴函数图象经过轴上一定点，且该点的坐标为，故①正确；
当时，原二次函数解析式为，
∴此时二次函数顶点坐标为，故②正确；
当时，，
∴函数图象截轴所得的线段长度大于，故③正确；
∵抛物线对称轴为直线，
∴当时，，且开口向下，
∴当时，y随x增大而增大，
∴当时，随的增大而增大，故④错误，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 因式分解：______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查因式分解，直接利用完全平方公式法因式分解即可．
【详解】解：原式；
故答案为：．
8. 我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意如下：客人一起分银子，若每人6两，还剩3两；若每人8两，则差5两．若设有位客人，则可列方程：________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，设有位客人，根据每人6两，还剩3两可知一共有银子两，根据每人8两，则差5两可知一共有银子两，据此列出方程即可．
【详解】解：设有位客人，
由题意得，，
故答案为：．
9. 在九年级的一次考试中，某道单项选择题的作答情况如图所示，由统计图可得选C的人数是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，掌握扇形统计图中调查总数等于部分数除以部分数所占总数的百分比，部分数等于总数乘以部分数所占总数的百分比是解题的关键．根据统计图中，选择D的人数为人，占总人数的，求出总人数，最后用总人数乘以选择C的百分比即可．
【详解】解：调查总人数：（人），
选择B的人数为：（人），
故答案为：．
10. 已知，是关于的方程的两根，且，则的值是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得，进而可得，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵，是关于的方程的两根，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
11. 如图，，，，，五个点均在边长为1的小正方形组成的网格线的格点上，若于点，则的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定及性质，利用勾股定理求得，再证得，进而可得，进而可求解，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
【详解】解：由图可知，
在中，由勾股定理得：，
，
,
又,
,
，即，
解得：，
故答案为：．
12. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点的坐标为，，点从点出发，沿折线移动，移动到点停止．当是等腰三角形时，点的坐标为________．
【答案】或或
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，坐标与图形，如图1所示，过点A作于C，根据菱形的性质和勾股定理求出点A和点D的坐标；如图2所示，当点P在上，且时，过点P作于H，利用三线合一定理和解直角三角形求出此时点P的坐标即可；当点P与点A重合时，，当点P与点D重合时，，据此可得答案．
【详解】解：如图1所示，过点A作于C，
∵点的坐标为，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图2所示，当点P在上，且时，过点P作于H，则
∴，
∴
当点P与点A重合时，，当点P与点D重合时，，
综上所述，点P的坐标为或或，
故答案为：或或．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）计算：；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，实数的运算，解一元一次不等式组：
（1）先计算特殊角三角函数值，再计算算术平方根和乘方，最后计算加减法即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
14. 张老师在黑板上布置了一道题，内容如下：
先化简，再求值：，其中是最小的正整数
小红和小彬展开了讨论：

根据上述条件，请判断谁的说法对？如果小红的说法对，请补充的值，并求出代数式的值；如果小彬的说法对，请求出代数式的值．
【答案】小彬的说法对，理由见解析，代数式的值为4
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式去括号，然后合并同类项可知化简结果与无关，再由是最小的正整数，得到，据此代值计算即可．
【详解】解：小彬的说法对，理由如下：
，
∴化简的结果与y值无关，
∴小彬的说法对，
∵是最小的正整数，
∴，
∴原式．
15. “保护环境，建设美好校园”是某校环保社团的宗旨，该社团要从某班5名同学（分别用，，，，表示）中随机选取若干名成为校园环境“小卫士”，且每名同学被选中的可能性都相同．
（1）若随机选取1名同学成为校园环境“小卫士”，则被选中的概率为 ．
（2）若随机选取2名同学成为校园环境“小卫士”，请用画树状图法或列表法求，同时被选中的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率：
（1）根据概率计算公式求解即可；
（2）先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到，同时被选中的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：∵一共有5个人，且每个人被选择的概率相同，
∴随机选取1名同学成为校园环境“小卫士”，则被选中的概率为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：画树状图如下：
由树状图可知，一共有20种等可能性的结果数，其中，同时被选中的结果数有2种，
∴，同时被选中的概率为．
16. 如图，是的直径，，．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹）
（1）在图1中，作面积等于的矩形．
（2）在图2中，作面积等于的平行四边形（非矩形）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，解直角三角形，圆周角定理，平行四边形的性质与判定：
（1）如图所示，连接并延长交于F，连接并延长交于E，连接，则四边形即为所求；
（2）如图所示，连接并延长交延长线于E，连接，则四边形即为所求．
【小问1详解】
解：如图所示，连接并延长交于F，连接并延长交于E，连接，则四边形即为所求；
易证明则四边形是矩形，易证明是等边三角形，则，可得，即矩形的面积为；
【小问2详解】
解：如图所示，连接并延长交延长线于E，连接，则四边形即为所求；
易证明是平行四边形，且的面积为，即四边形的面积为．
17. 如图，，为线段上一点，，分别以，为等腰三角形的底边，在的同侧作等腰和等腰，且．在线段上取一点，使，连接，．
（1）与的关系是 ．
（2）求证：≌．
【答案】（1）且；
（2）证明见解析．
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定等知识，正确地找到三角形的对应边角相等关系是求解的关键．
（1）根据以及等腰三角形的性质可证得，进而得到，另可证∽，可得到，进而得到结论；
（2）先证，再根据等腰三角形的性质及证得，有，利用证得三角形全等．
【小问1详解】
解：∵、都是等腰三角形，
∴，，
又∵，
∴
∴，
在和中，
∴∽，
∴
∴，
故答案是：且．
【小问2详解】
证明：∵（1）中
而，，
∴，
∵、都是等腰三角形，
∴，，
又∵，
∴，
在和：
∴≌．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 如图，线段两端点的坐标分别为，，点在反比例函数的图象上．
（1）求的值；
（2）点 反比例函数的图象上．（填“在”或“不在”）
（3）将线段先向左平移3个单位长度，再向上平移个单位长度后得到线段，若点，均在反比例函数的图象上，求的值．
【答案】（1）3 （2）不
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，求反比例函数值，坐标与图形变化—平移：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求得到，再求出当时的函数值即可得到结论；
（3）先根据平移方式得到，，再由点，均在反比例函数的图象上，可得，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
解：把代入中得：；
【小问2详解】
解：由（1）得反比例的函数解析式为，
在中，当时，，
∴不在反比例函数图象上，
故答案为：不在；
【小问3详解】
解：∵将线段先向左平移3个单位长度，再向上平移个单位长度后得到线段，且，，
∴，，
∵点，均在反比例函数的图象上，
∴，
解得．
19. 如图1是初心园的实景图，图2是它的平面示意图，它是一个正五角星，已知，，，四点共线，，，，四点共线，，，，四点共线，，，，四点共线，，，，四点共线，且，，，，现测得．（结果精确到，参考数据：，，，）
（1）求，两点间的距离．
（2）求点到地面的距离．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，过点作于点，在中，利用锐角三角函数先求出，再求；
（2）连接，过点作于点，在中，利用锐角三角函数求出．
【小问1详解】
解：连接，过点作于点，如图所示：
，，
，
，
；
【小问2详解】
解：连接，过点作于点，如图所示：
则，
，
在中，，
点到地面的距离为．
【点睛】本题考查了解直角三角形和等腰三角形的性质，掌握直角三角形的边角间关系和等腰三角形的三线合一是解决本题的关键．
20. 为了弘扬长征精神，传承红色基因，某校举行了以“长征精神进校园，革命历史记心间”为主题的知识竞赛，为了解竞赛成绩，抽样调查了部分七、八年级学生的分数（百分制），过程如下：
收集数据
从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的分数，其中八年级的分数如下：
整理、描述数据
按如下分段整理描述样本数据：
分析数据
两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）填空： ； ； ．
（2）样本数据中，七年级小余同学和八年级小嘟同学的分数都为90， 同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前． （填“小余”或“小嘟”）
（3）补全七、八年级成绩统计图，从统计图来看，分数较整齐的是 年级．（填“七”或“八”）
（4）若该校八年级共有1000人，并且全部参赛，估计八年级学生中分数不低于95的人数．
【答案】（1）4；91；95
（2）小余 （3）八
（4）估计八年级参赛学生的分数不低于95分的有350人
【解析】
【分析】本题考查频数分布表、用样本估计总体、方差、中位数、众数的意义：
（1）根据八年级的分数表格得，第10，11名学生的成绩为90分，92分，即可求出b的值，95分出现了3次，次数最多，可得c的值；
（2）根据八年级的中位数是91分，七年级的中位数是89分，可得90分大于七年级成绩的中位数，而小于八年级成绩的中位数，进而可得结论；
（3）根据根据八年级的分数表格得出不同阶段的学生人数，再根据人数补全图形，观察图形即可求解；
（4）用八年级不低于95分的比例乘以总人数即可求解；
理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键．
【小问1详解】
由八年级的分数表格得，分数在有4个，
，
八年级学生的成绩从低到高排列，第10，11名学生的成绩为90分，92分，
（分），
八年级成绩的95分出现了3次，次数最多，
，
故答案为：4；91；95．
【小问2详解】
小余同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前，理由如下：
∵八年级的中位数是91分，七年级的中位数是89分，
∴90分大于七年级成绩的中位数，而小于八年级成绩的中位数，
∴七年级小余同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前；
故答案为：小余．
【小问3详解】
根据根据八年级的分数表格得：成绩在有7人，
补全图形如图所示：
从统计图来看，分数较整齐的是八年级，
故答案为：八．
【小问4详解】
∵样本中八年级不低于95分的有7人，
∴（人），
答：估计八年级参赛学生的分数不低于95分的有350人．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 课本再现
如图1，的直径为，弦为，的平分线交于点．
（1）分别求和的长．
拓展延伸
（2）如图2，若于点，连接．
①求证：直线垂直平分．
②求的长．
【答案】（1）；；（2）①见解析；②
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质、圆周角定理：
（1）根据圆周角定理得，在和中，利用勾股定理即可求解；
（2）①连接，延长交与点，根据等角对等边可证得，再根据可证得，进而可证得，根据等腰三角形的三线合一性质即可求证结论；
②由（1）得：，由①得：，点是的中点，进而可得，根据即可求解；
添加适当的辅助线解决问题是解题的关键．
【详解】解：（1）为的直径，
，
在中，，，
，
是的角平分线，
，
，
在中，，
；
（2）①连接，延长交与点，如图：
为的直径，
，
是角平分线，且，
，
，
，（公共边），
，
，
，,
直线垂直平分;
②由（1）得：，
由①得：，点是的中点，
是的中位线，
，
．
80
82
84
85
86
86
88
88
89
90
92
93
94
95
95
95
99
99
100
100
七年级
4
6
2
8
八年级
3
6
a
平均数
中位数
众数
七年级
91
89
96
八年级
91
b
c