北京市第九中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份北京市第九中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题（Word版附解析），共22页。试卷主要包含了 在数列中，若，，则， 若，则， 等比数列满足，，则，8B等内容，欢迎下载使用。

2024.4
（考试时间120分钟 满分150分）
一、单选题（共40分）
1. 从0，1，2，3，4中选出3个数组成各位数字不重复的三位偶数，这样的数有（ ）个．
A. 24B. 30C. 36D. 60
2. 在数列中，若，，则（ ）
A. B. C. 1D. 4
3. 若，则（ ）
A. 100B. 110C. 120D. 130
4. 已知数列的前n项和为，则（ ）
A. 81B. 162C. 243D. 486
5. 若的展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数为（ ）
A. B. 945C. 2835D.
6. 等比数列满足，，则（ ）
A. 56B. C. D. 112
7. 甲､乙､丙､丁四名同学参加学校组织的植树活动，学校共组织了3个植树小组，每人只能参加一个植树小组，则甲､乙不在同一个植树小组的安排方法有（ ）
A 81种B. 54种C. 36种D. 12种
8. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1可能被错误的接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号为1时，接收为1和0的概率分别为和.假设发送信号0和1是等可能的.已知接收到1的概率为0.475，则的值为（ ）
A. 0.8B. 0.85C. 0.9D. 0.95
9. 排球比赛实行“每球得分制”，即每次发球后，谁取胜谁就得1分，得分的队有发球权，最后先得25分的队获得本局比赛胜利，若出现比分，要继续比赛至某队领先2分才能取胜，该局比赛结束.甲、乙两队进行一局排球比赛，已知甲队发球时甲队获胜的概率为，乙队发球时甲队获胜的概率为，且各次发球的胜负结果相互独立.若此时甲、乙两队双方比分为平，且甲队拥有发球权，则甲队得25分且取得该局比赛胜利的概率为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知是数列前项和，且，（），则下列结论正确的是（ ）
A. 数列为等比数列B. 数列为等比数列
C. D.
二、填空题（共25分）
11. 在数列中，若，则的值为__________．
12. 在等差数列中，，则的前10项和__________.
13. 已知甲、乙两人投篮的命中率分别为0.5和0.8，且两人投篮相互没有影响.若投进一球得2分，未进得0分，则每人投篮一次，得分相等的概率为______.
14. 如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第10行中最大的数与第二大的数的数值之比为__________（用最简分数表示）.
15. 已知数列，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，以此类推，则下列说法正确的是__________．
①第10个1出现在第46项；
②该数列的前55项的和是1012；
③存在连续六项之和是3的倍数；
④满足前项之和为2的整数幂，且的最小整数的值为440
三、解答题（共85分）
16. 已知在等差数列中，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列前项和，则当为何值时取得最大，并求出此最大值．
17. 已知公差不为0等差数列的前项和为，且，成等比数列.
（1）求数列通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18. 国务院正式公布的《第一批全国重点文物保护单位名单》中把全国重点文物保护单位（下述简称为“第一批文保单位”）分为六大类.其中“A：革命遗址及革命纪念建筑物”、“B：石窟寺”、“C：古建筑及历史纪念建筑物”、“D：石刻及其他”、“E：古遗址”、“F：古墓群”，某旅行机构统计到北京部分区的17个“第一批文保单位”所在区分布如下表：
（1）某个研学小组随机选择该旅行社统计的北京市17个“第一批文保单位”中的一个进行参观，求选中的参观单位恰好为“C：古建筑及历史纪念建筑物”的概率；
（2）小王同学随机选择该机构统计到的北京市“第一批文保单位”中的“A：革命遗址及革命纪念建筑物”中的一个进行参观；小张同学随机选择统计到的北京市“第一批文保单位”中的“C：古建筑及历史纪念建筑物”中的一个进行参观，两人选择参观单位互不影响，求两人选择的参观单位恰好在同一个区的概率：
（3）现在拟从该机构统计到的北京市“第一批文保单位”中的“C：古建筑及历史纪念建筑物”中随机抽取2个单位进行常规检查.记抽到海淀区的概率为，抽不到海淀区的概率为，试判断和的大小（直接写出结论）.
19. 已知数列的前n项和为，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，求证．
20. 2020年5月1日起，北京市实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四类．生活垃圾中有一部分可以回收利用，回收1吨废纸可再造出0.8吨好纸，降低造纸的污染排放，节省造纸能源消耗．某环保小组调查了北京市某垃圾处理场2020年6月至12月生活垃圾回收情况，其中可回收物中废纸和塑料品的回收量（单位：吨）的折线图如下图：
（1）从2020年6月至12月中随机选取1个月，求该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨的概率；
（2）从2020年7月至12月中随机选取4个月，记为这几个月中回收废纸再造好纸超过3.0吨的月份个数．求的分布列及数学期望；
（3）假设2021年1月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量为吨．当为何值时，自2020年6月至2021年1月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量的方差最小．（只需写出结论，不需证明）
21. 已知无穷数列满足.
（1）若对于任意，有.
（ⅰ）当时，求，；
（ⅱ）求证：“”是“，，，，为等差数列”的充分不必要条件.
（2）若，对于任意，有，求证：数列不含等于零的项.
行政区
门类
个数
东城区
A：革命遗址及革命纪念建筑物
3
C：古建筑及历史纪念建筑物
5
西城区
C：古建筑及历史纪念建筑物
2
丰台区
A：革命遗址及革命纪念建筑物
1
海淀区
C：古建筑及历史纪念建筑物
2
房山区
C：古建筑及历史纪念建筑物
1
E：古遗址
1
昌平区
C：古建筑及历史纪念建筑物
1
F：古墓葬
1
2024北京九中高二4月月考
数学
2024.4
（考试时间120分钟 满分150分）
一、单选题（共40分）
1. 从0，1，2，3，4中选出3个数组成各位数字不重复的三位偶数，这样的数有（ ）个．
A. 24B. 30C. 36D. 60
【答案】B
【解析】
【分析】考虑选出的3个数中有没有0的情况，有0时再考虑0的排法，根据分类加法原理，即可求得答案.
详解】若从0，1，2，3，4中选出3个数中没有0，
则组成各位数字不重复的三位偶数有个；
若从0，1，2，3，4中选出3个数中有0，且0排在个位，
则组成各位数字不重复的三位偶数有个；
若从0，1，2，3，4中选出3个数中有0，且0不在个位，
则组成各位数字不重复的三位偶数有个；
故从0，1，2，3，4中选出3个数组成各位数字不重复的三位偶数，
这样的数有个，
故选：B
2. 在数列中，若，，则（ ）
A. B. C. 1D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，探求出数列的周期，再利用周期性计算即得.
【详解】在数列中，由，，得，，，
因此数列是周期性数列，周期为3，
所以.
故选：A
3. 若，则（ ）
A. 100B. 110C. 120D. 130
【答案】C
【解析】
【分析】利用二项式定理分别求出即可计算得解.
【详解】在中，，，
所以.
故选：C
4. 已知数列前n项和为，则（ ）
A. 81B. 162C. 243D. 486
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用列式计算即得.
【详解】数列的前n项和为，所以.
故选：B
5. 若的展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数为（ ）
A. B. 945C. 2835D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据赋值法求系数和得，即可根据展开式的通项公式求解.
【详解】令，得，得，
则的展开式的通项，
令，得，则，故展开式中的系数为，
故选：D．
6. 等比数列满足，，则（ ）
A. 56B. C. D. 112
【答案】D
【解析】
【分析】根据等比数列的定义解决问题.
【详解】由题意知，解得，故.
故选：D.
7. 甲､乙､丙､丁四名同学参加学校组织的植树活动，学校共组织了3个植树小组，每人只能参加一个植树小组，则甲､乙不在同一个植树小组的安排方法有（ ）
A. 81种B. 54种C. 36种D. 12种
【答案】B
【解析】
【分析】根据分步计数原理分析求解即可.
【详解】甲有3种参加方法，乙有2种参加方法，丙､丁均有3种参加方法，根据分步乘法计数原理可知，甲、乙不在同一个植树小组的安排方法有种，
故选：B．
8. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1可能被错误的接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号为1时，接收为1和0的概率分别为和.假设发送信号0和1是等可能的.已知接收到1的概率为0.475，则的值为（ ）
A. 0.8B. 0.85C. 0.9D. 0.95
【答案】B
【解析】
【分析】利用全概率公式计算可得.
【详解】设“发送的信号为0”， “接收到的信号为0”，
则=“发送的信号为1”， =“接收到的信号为1”，
所以，，，，，，
所以接收信号为的概率为：，
解得
故选：B.
9. 排球比赛实行“每球得分制”，即每次发球后，谁取胜谁就得1分，得分的队有发球权，最后先得25分的队获得本局比赛胜利，若出现比分，要继续比赛至某队领先2分才能取胜，该局比赛结束.甲、乙两队进行一局排球比赛，已知甲队发球时甲队获胜的概率为，乙队发球时甲队获胜的概率为，且各次发球的胜负结果相互独立.若此时甲、乙两队双方比分为平，且甲队拥有发球权，则甲队得25分且取得该局比赛胜利的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】甲队得25分且取得该局比赛胜利包含甲以25：22取得比赛胜利和甲以25：23取得胜利两个事件，再利用事件的相互独立性及互斥事件加法公式求概率.
【详解】记事件“甲队得25分且取得该局比赛胜利”，
事件“甲以25:22取得该局胜利”，“甲以25:23取得该局胜利”，
因为各次发球的胜负结果相互独立，且B，C互斥，
所以，
，
所以，
所以甲队得25分且取得该局比赛胜利概率为.
故选：C
10. 已知是数列的前项和，且，（），则下列结论正确的是（ ）
A. 数列为等比数列B. 数列为等比数列
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】A选项，计算出，故不是等比数列，A错误；
B选项，计算出的前三项，得到，B错误；
C选项，由题干条件得到，故为等比数列，得到，故，，……，，相加即可求出，C错误；
D选项，在的基础上，分奇偶项，分别得到通项公式，最后求出.
详解】由题意得：，，
由于，故数列不是等比数列，A错误；
则，，，
由于，故数列不为等比数列，B错误；
时，，即，
又，
故为等比数列，首项为2，公比为3，
故，
故，，……，，
以上20个式子相加得：，C错误；
因为，所以，两式相减得：
，
当时，，，……，，
以上式子相加得：，
故，而也符和该式，故，
令得：，
当时，，，……，，
以上式子相加得：，
故，而也符号该式，故，
令得：，
综上：，D正确.
故选：D
【点睛】当遇到时，数列往往要分奇数项和偶数项，分别求出通项公式，最后再检验能不能合并为一个，这类题目的处理思路可分别令和，用累加法进行求解.
二、填空题（共25分）
11. 在数列中，若，则的值为__________．
【答案】17
【解析】
【分析】将时分别代入偶数与奇数对应通项，即可求解.
【详解】依题意，．
故答案为：17
12. 在等差数列中，，则的前10项和__________.
【答案】155
【解析】
【分析】由等差数列求和公式即可得解.
【详解】由题意.
故答案为：155.
13. 已知甲、乙两人投篮的命中率分别为0.5和0.8，且两人投篮相互没有影响.若投进一球得2分，未进得0分，则每人投篮一次，得分相等的概率为______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据独立事件同时发生的概率公式，即可求解.
【详解】若两人都没有投进，概率,
若两人都投进，概率，
则得分相等的概率.
故答案为：
14. 如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第10行中最大的数与第二大的数的数值之比为__________（用最简分数表示）.
【答案】
【解析】
【分析】第行从左至右依次为，由二项式系数性质可得答案.
【详解】观察知第行从左至右依次为，
由二项式系数的性质可得最大，其次为，
所以第10行中最大的数与第二大的数的数值之比为.
故答案为：.
15. 已知数列，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，以此类推，则下列说法正确的是__________．
①第10个1出现在第46项；
②该数列的前55项的和是1012；
③存在连续六项之和是3的倍数；
④满足前项之和为2的整数幂，且的最小整数的值为440
【答案】①③④
【解析】
【分析】把题设中的数列分成如下的组：，求出每组的和为，命题①通过计算每组项数的和求解；命题②恰好是前10组之和；命题③通过找到符合题意得出判断；命题④设前项由前行和第行前项组成，算出前和为后结合前项和为2的整数幂可得的最小值.
【详解】将数列排成行的形式
1，
1，2，
1，2，4，
1，2，4，8，
第行为：，则第行和为，
前行共有个数，前行的和为，
对于命题①，第10个1出现在第项，故①正确；
对于命题②，因为，所以数列的前55项的和是，故②错误；
对于命题③，因为，是3的倍数，所以存在连续六项之和是3的倍数，故③正确；
对于命题④，设前项由前行和第行前项组成，则.
前项和为，若前n项和为2的整数幂，则有，即.
因为，所以当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
所以满足前n项之和为2的整数幂，且的最小整数n的值为440，故④正确.
故答案为：①③④
【点睛】关键点点睛：本题考查分组数列的和以及与不定方程的整数解，对于分组数列的前项和的问题，一般采用计算“大组”和，再计算“小组”和，而不定方程的整数解问题，则需把和式放缩为2的正整数幂的形式，从而确定和的表达式.
三、解答题（共85分）
16. 已知在等差数列中，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和，则当为何值时取得最大，并求出此最大值．
【答案】（1）；
（2）时取得最大值为.
【解析】
【分析】（1）根据已知及等差数列通项公式求基本量，进而写出通项公式；
（2）写出等差数列前n项和，应用其二次函数性质求最大值和对应n.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，则，
故，
所以.
【小问2详解】
由，且，
所以，
故时取得最大，最大值为.
17. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】(1)设等差数列的公差为d，根据题意列出关于和d的方程组求解即可；
(2)证明是等比数列，根据等比数列前n项和公式即可求解.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，
，成等比数列，
，解得
；
【小问2详解】
由(1)得，，
，，
是首项为4，公比为4的等比数列，
.
18. 国务院正式公布的《第一批全国重点文物保护单位名单》中把全国重点文物保护单位（下述简称为“第一批文保单位”）分为六大类.其中“A：革命遗址及革命纪念建筑物”、“B：石窟寺”、“C：古建筑及历史纪念建筑物”、“D：石刻及其他”、“E：古遗址”、“F：古墓群”，某旅行机构统计到北京部分区的17个“第一批文保单位”所在区分布如下表：
（1）某个研学小组随机选择该旅行社统计的北京市17个“第一批文保单位”中的一个进行参观，求选中的参观单位恰好为“C：古建筑及历史纪念建筑物”的概率；
（2）小王同学随机选择该机构统计到的北京市“第一批文保单位”中的“A：革命遗址及革命纪念建筑物”中的一个进行参观；小张同学随机选择统计到的北京市“第一批文保单位”中的“C：古建筑及历史纪念建筑物”中的一个进行参观，两人选择参观单位互不影响，求两人选择的参观单位恰好在同一个区的概率：
（3）现在拟从该机构统计到的北京市“第一批文保单位”中的“C：古建筑及历史纪念建筑物”中随机抽取2个单位进行常规检查.记抽到海淀区的概率为，抽不到海淀区的概率为，试判断和的大小（直接写出结论）.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意知总样本数为，C:古建筑及历史纪念建筑物共有，利用古典概型概率公式从而求解.
（2）由题意可知小王参观A:革命遗址及革命纪念建筑物与小张参观C:古建筑及历史纪念建筑物在同一个区的只有东城区，然后分别求出他们参观东城区的概率，从而求解.
（3）利用分类讨论求出抽到海淀区的概率和抽不到海淀区的概率，从而求解.
【小问1详解】
设选中参观单位恰好为“C:古建筑及历史纪念建筑物”为事件，
由题意知总共有个，“C:古建筑及历史纪念建筑物”有，
所以.
【小问2详解】
设两人选择的参观单位恰好在同一个区为事件，由题意可知小王参观A:革命遗址及革命纪念建筑物与小张参观C:古建筑及历史纪念建筑物在同一个区的只有东城区，
所以小王参观东城区景区的概率为，小张参观东城区景区的概率为，
所以.
【小问3详解】
当抽到的2个都是海淀区的概率为，
当抽到的2个中有1个是海淀区的概率为，
所以，，
所以
19. 已知数列的前n项和为，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，求证．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由与的关系结合等比数列的定义、通项计算即可；
（2）利用等差数列求和公式结合裂项相消法证明不等式即可.
【小问1详解】
由已知，
又，即是以3为首项和公比的等比数列，
即；
【小问2详解】
由（1）可知，所以，
则，
因为，显然，则，证毕.
20. 2020年5月1日起，北京市实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四类．生活垃圾中有一部分可以回收利用，回收1吨废纸可再造出0.8吨好纸，降低造纸的污染排放，节省造纸能源消耗．某环保小组调查了北京市某垃圾处理场2020年6月至12月生活垃圾回收情况，其中可回收物中废纸和塑料品的回收量（单位：吨）的折线图如下图：
（1）从2020年6月至12月中随机选取1个月，求该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨的概率；
（2）从2020年7月至12月中随机选取4个月，记为这几个月中回收废纸再造好纸超过3.0吨的月份个数．求的分布列及数学期望；
（3）假设2021年1月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量为吨．当为何值时，自2020年6月至2021年1月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量的方差最小．（只需写出结论，不需证明）
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
（3）4.4
【解析】
【分析】（1）记“该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨”为事件，推出只有8月份的可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨，然后求解概率．
（2）的所有可能取值为1，2，3，利用超几何概率公式求出概率得到分布列，然后求解期望即可．
（3）根据方差的计算公式，结合二次函数的性质即可求解最小值．
【小问1详解】
记“该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨”为事件
由题意，只有8月份的可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨
所以
【小问2详解】
因为回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸
所以7月至12月回收的废纸可再造好纸超过3.0吨的月份有：7月、8月、10月，共3个月．
的所有可能取值为1，2，3．
，
，
所以的分布列为：
【小问3详解】
，当添加的新数等于原几个数的平均值时，方差最小．
理由如下：由于2020年6月至2020年12月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量分别为，故其平均数为，
2020年6月至2021年1月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量方差为
，其中，，为2020年6月至2020年12月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量）
由于为定值，所以只需要取最小即可，
根据二次函数的性质可知当，取最小，所以当添加的新数等于原几个数的平均值时，方差最小．
21. 已知无穷数列满足.
（1）若对于任意，有.
（ⅰ）当时，求，；
（ⅱ）求证：“”是“，，，，为等差数列”的充分不必要条件.
（2）若，对于任意，有，求证：数列不含等于零的项.
【答案】（1）（ⅰ），；（ⅱ）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）（ⅰ）结合条件代入计算即可；
（ⅱ）若，由于，所以当，数列为递增数列，不能存在降低的部分，否则达不到，若数列的公差为，；
（2）假设为数列的第一个为项，而后进行反证即可.
【小问1详解】
解：（ⅰ）因为，所以当，
数列为递增数列，且公差为，不能存在降低的部分，
所以，.
（ⅱ）若，由于，
所以当，数列为递增数列，且公差为，不能存在降低的部分，
否则达不到，所以其是充分条件，
若数列的公差为，，可见其是不必要条件，
所以””是“，，，，为等差数列”的充分不必要条件；
【小问2详解】
证明：假设，，是数列第一个为项，则，
所以，或，以此类推，可得为整数，
显然与已知矛盾.
所以数列不含等于零的项.
【点睛】与数列的新定义有关的问题的求解策略：
1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；
2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.
行政区
门类
个数
东城区
A：革命遗址及革命纪念建筑物
3
C：古建筑及历史纪念建筑物
5
西城区
C：古建筑及历史纪念建筑物
2
丰台区
A：革命遗址及革命纪念建筑物
1
海淀区
C：古建筑及历史纪念建筑物
2
房山区
C：古建筑及历史纪念建筑物
1
E：古遗址
1
昌平区
C：古建筑及历史纪念建筑物
1
F：古墓葬
1
0
1
2