2024年山东省菏泽市巨野县中考数学一模试卷附解析

这是一份2024年山东省菏泽市巨野县中考数学一模试卷附解析，共35页。

A．2B．﹣2C．D．
2．（3分）我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）我国自主研发的500m口径球面射电望远镜（FAST）有“中国天眼”之称，它的反射面面积约为250000m2．用科学记数法表示数据250000为（ ）
A．0.25×106B．25×104C．2.5×104D．2.5×105
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5B．a2•a3＝a5C．a2÷a3＝a5D．（a2）3＝a5
5．（3分）甲图由5个完全相同的小正方体组成，移动其中一个小正方体后，得到乙图，所得几何体的三视图有改变的是（ ）
A．主视图B．俯视图
C．左视图D．三种视图都改变
6．（3分）从，3.14，，中随机抽取一个数，此数是无理数的概率是（ ）
A．B．C．D．1
7．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E为BA延长线上一点，F为CE的中点，以B为圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，连接BG．若AB＝4，CE＝10，则AG＝（ ）
A．2B．2.5C．3D．3.5
8．（3分）如图，AB，AC是⊙O的弦，OB，OC是⊙O的半径，点P为OB上任意一点（点P不与点B重合），连接CP．若∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是（ ）
A．70°B．105°C．125°D．155°
9．（3分）将一副直角三角板作如图所示摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°，AB∥CD，则下列结论不正确的是（ ）
A．GE∥MPB．∠EFN＝150°C．∠BEF＝60°D．∠AEG＝∠PMN
10．（3分）直线y1＝ax+b和抛物线（a，b是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中，直线y1＝ax+b经过点（﹣4，0）．下列结论：①抛物线的对称轴是直线x＝﹣2；②抛物线与x轴一定有两个交点；③关于x的方程ax2+bx＝ax+b有两个根x1＝﹣4，x2＝1；④若a＞0，当x＜﹣4或x＞1时，y1＞y2.其中正确的结论是（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③D．①④
二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）若x+y＝3，xy＝2，则x2y+xy2的值为 ．
12．（3分）关于x的不等式组有3个整数解，则实数m的取值范围是 ．
13．（3分）甲、乙两船从相距150km的A，B两地同时匀速沿江出发相向而行，甲船从A地顺流航行90km时与从B地逆流航行的乙船相遇．甲、乙两船在静水中的航速均为30km/h，则江水的流速为 km/h．
14．（3分）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔或像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD（点A，B的对应点分别是C，D）．若物体AB的高为12cm，实像CD的高度为4cm，则小孔O的高度OE为 cm．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，以点D为圆心，AD长为半径画弧，以点C为圆心，CD长为半径画弧，两弧恰好交于BC边上的点E处，现从矩形内部随机取一点，若AB＝1，则该点取自阴影部分的概率为 ．
16．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将△CDE沿CE翻折得△CME，点M落在四边形ABCE内．点N为线段CE上的动点，过点N作NP∥EM交MC于点P，则MN+NP的最小值为 ．
三.解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）（1）计算：﹣4|sin60°|+﹣（2023﹣π）0；
（2）先化简，再求值：，其中．
18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a＜0）与反比例函数y＝（k≠0）交于A（﹣m，3m），B（4，﹣3）两点，与y轴交于点C，连接OA，OB．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）请根据图象直接写出不等式＜ax+b的解集．
19．（8分）蹴鞠是起源于中国古代的一种足球运动，有着悠久的历史和丰富的文化内涵．在战国时期就开始流行，为发扬传统文化，唤醒中国礼仪，某学校开展足球射门比赛．随机从报名的学生中抽取了40人，每人射门30次，射中一次得1分，满分30分，得到这40名学生的得分（没有满分学生），将他们的成绩分成六组：A：0～5分；B：5～10分；C：10～15分；D：15～20分；E：20～25分；F：25～30分，绘制成如图所示的频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大值）．
（1）若D组数据为：15，15，15，16，17，17，18，18，19，19，19，19，则这组数据的众数是 ，中位数是 ；
（2）若将此直方图绘制成扇形统计图，B：5～10分所在扇形的圆心角的度数为 °；
（3）若用每组数据的组中值（如5≤x＜10的组中值是7.5）来代表该组同学的平均成绩；
①请求出这40名同学的总成绩；
②若此时再加上5名同学，要使总平均成绩不低于17分，求这5名同学的平均成绩至少为多少分？
20．（8分）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．
问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的⊙O．如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当t＝0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM＝30°，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．
问题解决：
（1）求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，∠BOM的度数；
（2）求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据≈1.414，≈1.732）
21．（8分）某商场销售A、B两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果售出A种20件，B种10件，销售总额为840元；如果售出A种10件，B种15件，销售总额为660元．
（1）求A、B两种商品的销售单价；
（2）经市场调研，A种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；B种商品的售价不变，A种商品售价不低于B种商品售价．设A种商品降价m元，如果A、B两种商品销售量相同，求m取何值时，商场销售A、B两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？
22．（8分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是直径，C是的中点，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若BC＝6，AC＝8，求CE，DE的长．
23．（12分）综合与实践
问题情境：
如图1，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，M是线段OB上一点，连接AM．
操作探究：
将△MAB沿射线BA平移得到△M'A'B'，使点M的对应点M′落在对角线AC上，M'A'与AD边交于点E，连接 M'D，A'D．
（1）如图2，当M是OB的中点时，求证：AA'＝AB'．
（2）如图3，当M是OB上任意一点时，试猜想△M'A'D的形状，并说明理由．
拓展延伸：
（3）在（2）的条件下，请直接写出AA'，AM'，AD之间的数量关系．
24．（12分）【建立模型】（1）如图1，点B是线段CD上的一点，AC⊥BC，AB⊥BE，ED⊥BD，垂足分别为C，B，D，AB＝BE．求证：△ACB≌△BDE；
【类比迁移】（2）如图2，一次函数y＝3x+3的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到BC，直线AC交x轴于点D．
①求点C的坐标；
②求直线AC的解析式；
【拓展延伸】（3）如图3，抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，已知点Q（0，﹣1），连接BQ，抛物线上是否存在点M，使得tan∠MBQ＝，若存在，求出点M的横坐标．
2024年山东省菏泽市巨野县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，﹣2的相反数是（ ）
A．2B．﹣2C．D．
【答案】A
【分析】根据相反数的定义：像5和﹣5这样，只有符合不同的两个数叫做相反数，即可．
【解答】解：∵像5和﹣5这样，只有符合不同的两个数叫做相反数，
∴﹣2的相反数是2．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数．
2．（3分）我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、B、C都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3．（3分）我国自主研发的500m口径球面射电望远镜（FAST）有“中国天眼”之称，它的反射面面积约为250000m2．用科学记数法表示数据250000为（ ）
A．0.25×106B．25×104C．2.5×104D．2.5×105
【答案】D
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：250000＝2.5×105，
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5B．a2•a3＝a5C．a2÷a3＝a5D．（a2）3＝a5
【答案】B
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂乘法及除法法则，幂的乘方法则将各项计算后进行判断即可．
【解答】解：A．a2与a3不是同类项，无法合并，
故A不符合题意；
B．a2•a3＝a2+3＝a5，
则B符合题意；
C．a2÷a3＝a2﹣3＝a﹣1，
则C不符合题意；
D．（a2）3＝a6，
则D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查整式的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
5．（3分）甲图由5个完全相同的小正方体组成，移动其中一个小正方体后，得到乙图，所得几何体的三视图有改变的是（ ）
A．主视图B．俯视图
C．左视图D．三种视图都改变
【答案】B
【分析】直接利用已知几何体分别得出三视图进而分析得出答案．
【解答】解：正方体移走前的主视图正方形的个数为1，2，1；正方体移动后的主视图正方形的个数为1，2，1；不发生改变．
正方体移走前的左视图正方形的个数为2，1；正方体移动后的左视图正方形的个数为2，1；不发生改变．
正方体移走前的俯视图正方形的个数为2，1，1；正方体移动后的俯视图正方形的个数为：1，1，2；发生改变．
所以所得几何体的三视图有改变的是俯视图．
故选：B．
【点评】此题主要考查了简单组合体的三视图，正确把握观察的角度是解题关键．
6．（3分）从，3.14，，中随机抽取一个数，此数是无理数的概率是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】直接利用概率公式计算得出答案．
【解答】解：从，3.14，，中随机抽取一个数，抽到的无理数有这1种可能，
则抽到的无理数的概率是．
故选：A．
【点评】本题主要考查无理数的概念，概率的计算，解决本题的关键是要熟练掌握概率计算方法．
7．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E为BA延长线上一点，F为CE的中点，以B为圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，连接BG．若AB＝4，CE＝10，则AG＝（ ）
A．2B．2.5C．3D．3.5
【答案】C
【分析】先根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得BF＝EF＝CF＝5，然后在Rt△ABG中利用勾股定理即可求出AG的长．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，
在Rt△BCE中，点F为斜边CE的中点，
∴，
∴BG＝BF＝5，
在Rt△ABG中，AB＝4，BG＝5，
由勾股定理得：．
故选：C．
【点评】此题主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，圆的概念，勾股定理等，解答此题的关键是理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；同圆的半径相等．
8．（3分）如图，AB，AC是⊙O的弦，OB，OC是⊙O的半径，点P为OB上任意一点（点P不与点B重合），连接CP．若∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是（ ）
A．70°B．105°C．125°D．155°
【答案】D
【分析】利用圆周角定理求得∠BOC的度数，然后利用三角形外角性质及等边对等角求得∠BPC的范围，继而得出答案．
【解答】解：如图，连接BC，
∵∠BAC＝70°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝140°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝＝20°，
∵点P为OB上任意一点（点P不与点B重合），
∴0°＜∠OCP＜20°，
∵∠BPC＝∠BOC+∠OCP＝140°+∠OCP，
∴140°＜∠BPC＜160°，
故选：D．
【点评】本题考查圆与三角形外角性质的综合应用，结合已知条件求得∠BPC的范围是解题的关键．
9．（3分）将一副直角三角板作如图所示摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°，AB∥CD，则下列结论不正确的是（ ）
A．GE∥MPB．∠EFN＝150°C．∠BEF＝60°D．∠AEG＝∠PMN
【答案】C
【分析】A、由题意得∠G＝∠MPN＝∠MPG＝90°，利用内错角相等，两直线平行即可判定GE∥MP；
B、由题意得∠EFG＝30°，利用邻补角即可求出∠EFN的度数；
C、过点F作FH⊥AB，可得FH∥CD，从而得到∠HFN＝∠MNP＝45°，可求得∠EFN＝105°，再利用平行线的性质即可求出∠BEF；
B、利用角的计算可求出∠AEG＝45°，从而可判断．
【解答】解：A、∵∠G＝∠MPN＝∠MPG＝90°，
∴GE∥MP，
故不符合题意；
B、∵∠EFG＝30°，
∴∠EFN＝180°﹣30°＝150°，
故不符合题意；
C、过点F作FH∥AB，如图，
∵AB∥CD，
∴FH∥CD，
∴∠HFN＝∠MNP＝45°，
∴∠EFN＝150°﹣45°＝105°，
∵FH∥AB，
∴∠BEF＝180°﹣105°＝75°；
故符合题意；
D、∵∠GEF＝60°，∠BEF＝75°，
∴∠AEG＝180°﹣60°﹣75°＝45°，
∴∠AEG＝∠PMN＝45°，
故不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质与判定，解答关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用．
10．（3分）直线y1＝ax+b和抛物线（a，b是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中，直线y1＝ax+b经过点（﹣4，0）．下列结论：①抛物线的对称轴是直线x＝﹣2；②抛物线与x轴一定有两个交点；③关于x的方程ax2+bx＝ax+b有两个根x1＝﹣4，x2＝1；④若a＞0，当x＜﹣4或x＞1时，y1＞y2.其中正确的结论是（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③D．①④
【答案】B
【分析】根据直线y1＝ax+b经过点（﹣4，0）．得到b＝4a，于是得到＝ax2+4ax，求得抛物线的对称轴是直线x＝﹣﹣＝2；故①正确；根据Δ＝16a2＞0，得到抛物线与x轴一定有两个交点，故②正确；把b＝4a，代入ax2+bx＝ax+b得到x2+3x﹣4＝0，求得x1＝﹣4，x2＝1；故③正确；根据a＞0，得到抛物线的开口向上，直线y1＝ax+b和抛物线交点横坐标为﹣4，1，于是得到结论．
【解答】解：∵直线y1＝ax+b经过点（﹣4，0）．
∴﹣4a+b＝0，
∴b＝4a，
∴＝ax2+4ax，
∴抛物线的对称轴是直线x＝﹣﹣＝2；故①正确；
∵＝ax2+4ax，
∴Δ＝16a2＞0，
∴抛物线与x轴一定有两个交点，故②正确；
∵b＝4a，
∴方程ax2+bx＝ax+b为ax2+4ax＝ax+4a得，
整理得x2+3x﹣4＝0，
解得x1＝﹣4，x2＝1；故③正确；
∵a＞0，抛物线的开口向上，直线y1＝ax+b和抛物线交点横坐标为﹣4，1，
∴当x＜﹣4或x＞1时，y1＜y2.故④错误，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数与不等式（组），抛物线与x轴的交点，正确地理解题意是解题的关键．
二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）若x+y＝3，xy＝2，则x2y+xy2的值为 6 ．
【答案】6．
【分析】把x+y和xy看作整体，利用提公因式对x2y+xy2进行分解，代入可得．
【解答】解：∵x+y＝3，xy＝2，
∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝2×3＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了因式分解，关键把x+y和xy看作整体，然后利用提公因式对x2y+xy2进行分解，代入即可．
12．（3分）关于x的不等式组有3个整数解，则实数m的取值范围是 ﹣3≤m＜﹣2 ．
【答案】﹣3≤m＜﹣2．
【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其整数解进而求得m的取值范围．
【解答】解：解不等式x+5＞0，得：x＞﹣5，
解不等式x﹣m≤1，得：x≤m+1，
∵不等式组有3个整数解，
∴不等式组的3个整数解为﹣4、﹣3、﹣2，
∴﹣2≤m+1＜﹣1，
∴﹣3≤m＜﹣2．
故答案为：﹣3≤m＜﹣2．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能得出关于m的不等式组．
13．（3分）甲、乙两船从相距150km的A，B两地同时匀速沿江出发相向而行，甲船从A地顺流航行90km时与从B地逆流航行的乙船相遇．甲、乙两船在静水中的航速均为30km/h，则江水的流速为 6 km/h．
【答案】6．
【分析】设江水的流速为x千米每小时，则甲速度为30+x，乙速度为30﹣x，根据行驶时间相等列出方程解答即可．
【解答】解：设江水的流速为x千米每小时，根据题意得：
＝，
解得x＝6，
经检验符合题意，
答：江水的流速6km/h．
故答案为：6．
【点评】本题考查了列分式方程，读懂题意找出等量关系是解本题的关键．
14．（3分）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔或像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD（点A，B的对应点分别是C，D）．若物体AB的高为12cm，实像CD的高度为4cm，则小孔O的高度OE为 3 cm．
【答案】3．
【分析】由题意可得出△CDO∽△ABO，△CEO∽△CBA，再根据相似三角形的性质得出比例式求出OE的长即可．
【解答】解：∵AB⊥BC，OE⊥BC，CD⊥BC，
∴AB∥OE∥CD，
∴△CDO∽△ABO，△CEO∽△CBA，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴OE＝cm，
故答案为：3．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的对应边成比例是解题的关键．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，以点D为圆心，AD长为半径画弧，以点C为圆心，CD长为半径画弧，两弧恰好交于BC边上的点E处，现从矩形内部随机取一点，若AB＝1，则该点取自阴影部分的概率为 ．
【答案】．
【分析】连接DE，根据勾股定理，得DE的长，根据阴影部分的面积为：扇形AED的面积减去S2，根据S2的等于扇形DEC的面积减去S△ECD，即可．
【解答】解：在矩形ABCD中，CD＝CE＝1，
∴DE＝＝，
∠ADC＝∠BCD＝90°，AB＝DC＝1，
∴AD＝BC＝，∠ADE＝45°，
∴S2＝×12﹣×1×1＝﹣，
S扇形AED＝＝，
∴阴影部分的面积为：﹣+＝，
矩形ABCD的面积为：BC×CD＝，
∴改点取自阴影部分的概率为：＝，
故答案为：．
【点评】本题考查几何概率，正确的分析出阴影部分的所占的概率是解题关键．
16．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将△CDE沿CE翻折得△CME，点M落在四边形ABCE内．点N为线段CE上的动点，过点N作NP∥EM交MC于点P，则MN+NP的最小值为 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】过点M作MF⊥CD于F，推出MN+NP的最小值为MF的长，证明四边形DEMG为菱形，利用相似三角形的判定和性质求解即可．
【解答】解：作点P关于CE的对称点P′，
由折叠的性质知CE是∠DCM的平分线，
∴点P′在CD上，
过点M作MF⊥CD于F，交CE于点G，
∵MN+NP＝MN+NP′≥MF，
∴MN+NP的最小值为MF的长，
连接DG，DM，
由折叠的性质知CE为线段DM的垂直平分线，
∵AD＝CD＝2，DE＝1，
∴CE＝＝，
∵CE×DO＝CD×DE，
∴DO＝，
∴EO＝，
∵MF⊥CD，∠EDC＝90°，
∴DE∥MF，
∴∠EDO＝∠GMO，
∵CE为线段DM的垂直平分线，
∴DO＝OM，∠DOE＝∠MOG＝90°，
∴△DOE≌△MOG，
∴DE＝GM，
∴四边形DEMG为平行四边形，
∵∠MOG＝90°，
∴四边形DEMG为菱形，
∴EG＝2OE＝，GM＝DE＝1，
∴CG＝，
∵DE∥MF，即DE∥GF，
∴△CFG∽△CDE，
∴，即，
∴FG＝，
∴MF＝1+＝，
∴MN+NP的最小值为；
方法二：同理方法一得出MN+NP的最小值为MF的长，DO＝，
∴OC＝＝，DM＝2DO＝，
∵S△CDM＝DM•OC＝CD•MF，
即×＝2×MF，
∴MF＝，
∴MN+NP的最小值为；
故答案为：．
【点评】此题主要考查轴对称在解决线段和最小的问题中的应用，熟悉对称点的运用和画法，知道何时线段和最小，会运用勾股定理和相似三角形的判定和性质求线段长度是解题的关键．
三.解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）（1）计算：﹣4|sin60°|+﹣（2023﹣π）0；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）2；
（2），．
【分析】（1）根据二次根式的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂计算计算；
（2）根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
【解答】解：（1）原式＝2﹣4×+3﹣1
＝2﹣2+2
＝2；
（2）原式＝（+）•
＝•
＝，
当x＝+2时，原式＝＝．
【点评】本题考查的是实数的运算、分式的化简求值，掌握实数的混合运算法则、分式的混合运算法则是解题的关键．
18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a＜0）与反比例函数y＝（k≠0）交于A（﹣m，3m），B（4，﹣3）两点，与y轴交于点C，连接OA，OB．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）请根据图象直接写出不等式＜ax+b的解集．
【答案】（1）反比例函数的表达式为 y＝﹣，一次函数的表达式为y＝﹣；（2）9；（3）x＜﹣2或0＜x＜4．
【分析】（1）根据待定系数法，可得反比例函数解析式，根据图象上的点满足函数解析式，可得A点坐标，再根据待定系数法，可得一次函数的解析式；
（2）根据三角形面积的和差，可得答案；
（3）根据函数图象，即可列出不等式的关系，从而得解．
【解答】解：（1）∵点B（4，﹣3）在反比例函数 的图象上，
∴．
∴k＝﹣12．
∴反比例函数的表达式为 y＝﹣．
∵A（﹣m，3m）在反比例函数 y＝﹣ 的图象上，
∴．
∴m1＝2，m2＝﹣2 （舍去）．
∴点A的坐标为（﹣2，6）．
∵点A，B在一次函数y＝ax+b的图象上，把点 A（﹣2，6），B（4，﹣3）分别代入，得 ，
∴．
∴一次函数的表达式为y＝﹣．
（2）∵点C为直线AB与y轴的交点，
∴OC＝3．
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC
＝•OC•|xA|+•OC•|xB|
＝×3×2+×3×4
＝9．
（3）由题意得，x＜﹣2或0＜x＜4．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法求函数解析式，利用函数图象解不等式．
19．（8分）蹴鞠是起源于中国古代的一种足球运动，有着悠久的历史和丰富的文化内涵．在战国时期就开始流行，为发扬传统文化，唤醒中国礼仪，某学校开展足球射门比赛．随机从报名的学生中抽取了40人，每人射门30次，射中一次得1分，满分30分，得到这40名学生的得分（没有满分学生），将他们的成绩分成六组：A：0～5分；B：5～10分；C：10～15分；D：15～20分；E：20～25分；F：25～30分，绘制成如图所示的频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大值）．
（1）若D组数据为：15，15，15，16，17，17，18，18，19，19，19，19，则这组数据的众数是 19 ，中位数是 17.5 ；
（2）若将此直方图绘制成扇形统计图，B：5～10分所在扇形的圆心角的度数为 45 °；
（3）若用每组数据的组中值（如5≤x＜10的组中值是7.5）来代表该组同学的平均成绩；
①请求出这40名同学的总成绩；
②若此时再加上5名同学，要使总平均成绩不低于17分，求这5名同学的平均成绩至少为多少分？
【答案】（1）19，17.5；
（2）45；
（3）①650分；
②这5名同学的平均成绩至少为23分．
【分析】（1）根据众数定义及中位数定义即可得到答案；
（2）先求出B组占比，再乘以360°即可；
（3）①用每组的组中值乘以对应组的人数即可得到40位学生总成绩；②设这5名同学的平均成绩至少为x分，列出关于x的一元一次不等式即可．
【解答】解：（1）∵15，15，15，16，17，17，18，18，19，19，19，19，
∴众数为：19，中位数为：＝17.5，
故答案为：19，17.5；
（2）∵B：5～10分有5人，共40人，
∴×360°＝45°，
故答案为：45；
（3）①根据条形统计图可得：2.5×4+7.5×5+12.5×7+17.5×12+22.5×5+27.5×7＝650（分）；
②设这5名同学的平均成绩至少为x分，
∴＝＝≥17，
解得：x≥23，
答：这5名同学的平均成绩至少为23分．
【点评】本题考查众数定义，中位数定义，条形统计图数据分析，扇形统计图求圆心角度数，平均数定义，一元一次不等式实际应用，解题的关键是根据频数分布表得出解题所需数据，并掌握平均数的计算方法．
20．（8分）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．
问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的⊙O．如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当t＝0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM＝30°，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．
问题解决：
（1）求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，∠BOM的度数；
（2）求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据≈1.414，≈1.732）
【答案】（1）45°；
（2）0.3米．
【分析】（1）求出筒车每秒转过的度数，再根据周角的定义进行计算即可；
（2）根据直角三角形的边角关系分别求出OD、OC即可．
【解答】解：（1）由于筒车每旋转一周用时120秒．所以每秒转过360°÷120＝3°，
∴∠BOM＝360°﹣3°×95﹣30°＝45°；
（2）如图，过点B、点A分别作OM的垂线，垂足分别为点C、D，
在Rt△AOD中，∠AOD＝30°，OA＝2米，
∴OD＝OA＝（米）．
在Rt△BOC中，∠BOC＝45°，OB＝2米，
∴OC＝OB＝（米），
∴CD＝OD﹣OC＝﹣≈0.3（米），
即该盛水筒旋转至B处时到水面的距离约为0.3米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
21．（8分）某商场销售A、B两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果售出A种20件，B种10件，销售总额为840元；如果售出A种10件，B种15件，销售总额为660元．
（1）求A、B两种商品的销售单价；
（2）经市场调研，A种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；B种商品的售价不变，A种商品售价不低于B种商品售价．设A种商品降价m元，如果A、B两种商品销售量相同，求m取何值时，商场销售A、B两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据售出A种20件，B种10件，销售总额为840元；如果售出A种10件，B种15件，销售总额为660元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以写出利润与m的函数关系式，然后根据A种商品售价不低于B种商品售价，可以得到m的取值范围，最后根据二次函数的性质求最值．
【解答】解：（1）设A种商品的销售单价为a元，B种商品的销售单价为b元，
由题意可得：，
解得，
答：A种商品的销售单价为30元，B种商品的销售单价为24元；
（2）设利润为w元，
由题意可得：w＝（30﹣m﹣20）（40+10m）+（24﹣20）（40+10m）＝﹣10（m﹣5）2+810，
∵A种商品售价不低于B种商品售价，
∴30﹣m≥24，
解得m≤6，
∴当m＝5时，w取得最大值，此时w＝810，
答：m取5时，商场销售A、B两种商品可获得总利润最大，最大利润是810元．
【点评】本题考查二次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组、写出相应的函数关系式，利用二次函数的性质求最值．
22．（8分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是直径，C是的中点，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若BC＝6，AC＝8，求CE，DE的长．
【答案】（1）详见解答；
（2）DE＝，EC＝．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及圆心角、弦、弧之间的关系可得∠CAE＝∠OCA，进而得到OC∥AE，再根据平行线的性质得出OC⊥EC即可；
（2）利用相似三角形的性质，勾股定理以及圆心角、弧、弦之间的关系进行计算即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵点C是的中点，
∴∠OAC＝∠CAE，
∴∠CAE＝∠OCA，
∴OC∥AE，
∵AE⊥CE，
∴OC⊥CE，
∵OC是半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BC＝6，AC＝8，
∴AB＝＝10，
又∵∠BAC＝∠CAE，∠AEC＝∠ACB＝90°，
∴△AEC∽△ACB，
∴，
即，
∴，
∵点C是的中点，即＝，
∴CD＝BC＝6，
∴，
答：DE＝，EC＝．
【点评】本题考查切线的判定与性质，圆周角定理，勾股定理以及圆心角、弦、弧之间的关系，掌握切线的判定方法，圆周角定理，勾股定理以及圆心角、弦、弧之间的关系是正确解答的前提．
23．（12分）综合与实践
问题情境：
如图1，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，M是线段OB上一点，连接AM．
操作探究：
将△MAB沿射线BA平移得到△M'A'B'，使点M的对应点M′落在对角线AC上，M'A'与AD边交于点E，连接 M'D，A'D．
（1）如图2，当M是OB的中点时，求证：AA'＝AB'．
（2）如图3，当M是OB上任意一点时，试猜想△M'A'D的形状，并说明理由．
拓展延伸：
（3）在（2）的条件下，请直接写出AA'，AM'，AD之间的数量关系．
【答案】（1）证明见解析；
（2）△MA′D是等腰直角三角形，理由见解析；
（3）．
【分析】（1）连接MM'，由平移的性质得出MM'＝AA'，A'B'＝AB，MM'∥AB，由三角形的中位线定理可得出结论；
（2）证明△ADM'≌△B'A'M（SAS），得出∠ADM'＝∠B'A'M'，DM'＝A'M'，则可得出结论；
（3）证出∠AMB'＝90°，则可得出结论．
【解答】（1）证明：如图，连接MM'，
∵将△MAB沿射线BA平移得到△M'A'B'，
∴MM'＝AA'，A'B'＝AB，MM'∥AB，
∵M是OB的中点，
∴MM′是△OAB的中位线，
∴，
∴AA'＝AB'；
（2）解：△M'A′D是等腰直角三角形，
理由如下：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∠DAO＝∠OAB＝∠OBA＝45°，
∴∠DAA'＝90°，
∵将△MAB沿射线BA平移得到△M'A'B'，
∴A'B'＝AB，∠MB'A'＝∠MBA＝45°，
∴∠DAM'＝∠A'B'M'，∠M'AB'＝∠M'B'A，AD＝A'B'，
∴M'A＝M'B'，
∴△ADM'≌△B'A'M（SAS），
∴∠ADM'＝∠B'A'M'，DM'＝A'M'，
∵∠AEA'＝∠M'ED，
∴∠EAA'＝∠EM'D＝90°，
∴△M'A′D是等腰直角三角形；
（3）解：．
由（2）得，AM'＝B'M'，∠M'B'A＝∠M'AB'＝45°，
∴∠AMB'＝90°，
∴AB'＝＝AM'，
∴．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，平移的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
24．（12分）【建立模型】（1）如图1，点B是线段CD上的一点，AC⊥BC，AB⊥BE，ED⊥BD，垂足分别为C，B，D，AB＝BE．求证：△ACB≌△BDE；
【类比迁移】（2）如图2，一次函数y＝3x+3的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到BC，直线AC交x轴于点D．
①求点C的坐标；
②求直线AC的解析式；
【拓展延伸】（3）如图3，抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，已知点Q（0，﹣1），连接BQ，抛物线上是否存在点M，使得tan∠MBQ＝，若存在，求出点M的横坐标．
【答案】（1）证明见解答；
（2）①C（﹣4，1）；②y＝x+3；
（3）抛物线上存在点M，使得tan∠MBQ＝，点M的横坐标为﹣或﹣．
【分析】（1）根据垂直定义可得∠ACB＝∠BDE＝∠ABE＝90°，利用同角的余角相等可得∠A＝∠EBD，再利用AAS即可证明△ACB≌△BDE；
（2）①先求得A（0，3），B（﹣1，0），过点C作CG⊥x轴于点G，则∠BGC＝90°＝∠AOB，进而证得△BCG≌△ABO（AAS），得出BG＝OA＝3，CG＝OB＝1，OG＝OB+BG＝4，即可求得点C的坐标；
②运用待定系数法即可求得直线AC的解析式；
（3）先求得A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4），分两种情况：当点M在x轴上方时，当点M在x轴下方时，分别构造直角三角形，利用相似三角形的判定和性质即可求得直线BM上特殊点的坐标，运用待定系数法求得直线BM的解析式，联立方程组求解即可得出点M的坐标．
【解答】（1）证明：∵AC⊥BC，AB⊥BE，ED⊥BD，
∴∠ACB＝∠BDE＝∠ABE＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，∠ABC+∠EBD＝90°，
∴∠A＝∠EBD，
在△ACB和△BDE中，
，
∴△ACB≌△BDE（AAS）；
（2）解：①∵一次函数y＝3x+3的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，
∴A（0，3），B（﹣1，0），
∴OA＝3，OB＝1，
过点C作CG⊥x轴于点G，如图，
则∠BGC＝90°＝∠AOB，
∴∠CBG+∠BCG＝90°，
∵线段AB绕点B逆时针旋转90°得到BC，
∴BC＝AB，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBG＝90°，
∴∠BCG＝∠ABO，
∴△BCG≌△ABO（AAS），
∴BG＝OA＝3，CG＝OB＝1，
∴OG＝OB+BG＝1+3＝4，
∴C（﹣4，1）；
②设直线AC的解析式为y＝kx+b，则，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+3；
（3）解：抛物线上存在点M，使得tan∠MBQ＝．
∵抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，
当y＝0时，x2﹣3x﹣4＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
当x＝0时，y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
当点M在x轴上方时，如图，设BM交y轴于点K，过点K作KH⊥BQ于点H，
则∠KHQ＝∠KHB＝90°，
设K（0，t），
∵Q（0，﹣1），B（4，0），
∴OB＝4，OQ＝1，KQ＝t+1，
在Rt△BQO中，BQ＝＝＝，
∵∠BOQ＝90°，
∴∠KHQ＝∠BOQ，
∵∠KQH＝∠BQO，
∴△KQH∽△BQO，
∴＝＝，即＝＝，
∴QH＝（t+1），KH＝（t+1），
∴BH＝BQ﹣QH＝﹣（t+1）＝（16﹣t），
∵tan∠MBQ＝，
∴＝，
∴BH＝3KH，
∴（16﹣t）＝3×（t+1），
解得：t＝，
∴K（0，），
设直线BK的解析式为y＝mx+n，则，
解得：，
∴直线BK的解析式为y＝﹣x+，
联立得，
解得：，（舍去），
∴M（﹣，）；
当点M在x轴下方时，如图，过点Q作QE⊥BQ，交BM于点E，过点E作EF⊥y轴于点F，
则∠QFE＝∠BOQ＝∠BQE＝90°，
∵tan∠MBQ＝，
∴＝tan∠MBQ＝，
∴EQ＝BQ＝，
∵∠OBQ+∠BQO＝90°，∠BQO+∠EQF＝90°，
∴∠OBQ＝∠EQF，
∴△QEF∽△BQO，
∴＝＝，即＝＝，
∴EF＝，QF＝，
∴OF＝OQ+QF＝1+＝，
∴E（，﹣）；
设直线BM的解析式为y＝m′x+n′，则，
解得：，
∴直线BM的解析式为y＝x﹣，
联立，得，
解得：（舍去），，
∴M（﹣，﹣）；
综上所述，抛物线上存在点M，使得tan∠MBQ＝，点M的横坐标为﹣或﹣．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，勾股定理，直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转变换的性质，二次函数的图象及性质，熟练掌握三角形相似的判定及性质，直角三角形的性质，直角三角形的三角函数值，运用分类讨论思想和数形结合思想是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/4/29 17:03:18；用户：因材教育；邮箱：307053203@qq.cm；学号：3