中考数学复习压轴题题组练(二)含答案

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23．(8分)如图，以点O为圆心，AB长为直径作圆，在⊙O上取一点C，延长AB至点D，连接DC，∠DCB＝∠DAC，过点A作AE⊥AD交DC的延长线于点E.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若CD＝4，DB＝2，求AE的长．
(1)证明：连接OC，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，即
∠BCO＋∠OCA＝90°，
∵OA＝OC，∴∠CAD＝∠OCA，
又∵∠DCB＝∠CAD，
∴∠OCA＝∠DCB，
∴∠DCB＋∠BCO＝90°，
即∠DCO＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
(2)解：∵∠DCO＝90°，OC＝OB，
∴OC2＋CD2＝OD2，
∴OB2＋42＝(OB＋2)2，
∴OB＝3，∴AB＝6，
∵AE⊥AD，AB是⊙O的直径，
∴AE是⊙O的切线，
∵CD是⊙O的切线，∴AE＝CE，
∵AD2＋AE2＝DE2，
∴(6＋2)2＋AE2＝(4＋AE)2，
解得AE＝6.
24．(8分)在平面直角坐标系中，抛物线y＝x 2－6mx＋5与y轴的交点为A，与x轴的正半轴分别交于点B(b，0)，C(c，0)．
(1)当b＝1时，求抛物线相应的函数解析式；
(2)当b＝1时，如图，E(t，0)是线段BC上的一动点，过点E作平行于y轴的直线l与抛物线的交点为P.求△APC面积的最大值；
(3)当c＝b＋n时，且n为正整数，线段BC(包括端点)上有且只有五个点的横坐标是整数，求b的值．
解：(1)y＝x2－6x＋5.
(2)设直线AC与PE交于点F.
当b＝1时，求得A(0，5)，B(1，0)，C(5，0)，可得直线AC的函数解析式为y＝－x＋5，
∵E(t，0)，∴P(t，t2－6t＋5)，直线l与AC的交点为F(t，－t＋5)，
∴PF＝(－t＋5)－(t2－6t＋5)＝－t2＋5t，
∴S△APC＝eq \f(1,2)×5(－t2＋5t)＝－eq \f(5,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(5,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(125,8)，
∵－eq \f(5,2)<0，∴当t＝eq \f(5,2)时，S△APC有最大值eq \f(125,8).
(3)①当b为整数时，n为整数，
∴n＝4，c＝b＋4.则
b，b＋4是方程x2－6mx＋5＝0的两个根，分别代入方程中，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b2－6mb＋5＝0 ①，,（b＋4）2－6m（b＋4）＋5＝0 ②，))
由①②可得b2＋4b－5＝0，解得b＝1或－5(舍)；
②当b为小数时，n为整数，
∴n＝5，c＝b＋5为小数，则
b，b＋5是方程x2－6mx＋5＝0的两个根，
同理可得b＝eq \f(－5＋3\r(5),2)或eq \f(－5－3\r(5),2)(舍去)．
∴b＝1或eq \f(－5＋3\r(5),2).