中考数学复习压轴题题组练(四)含答案

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23．(8分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝12eq \r(3) cm，BC＝12 cm，动点P从点C开始沿CA以2eq \r(3) cm/s的速度向点A移动，动点Q从点A开始沿AB以4 cm/s的速度向点B移动．如果P，Q分别从C，A同时移动，移动时间为t(0＜t＜6) s.
(1)以CB为直径的⊙O与AB交于点M，当t为何值时，PM与⊙O相切？
(2)是否存在△APQ为等腰三角形？若存在，求出相应的t值；若不存在请说明理由．
解：(1)连接CM，OM，
当PM⊥OM时，PM与⊙O相切，
PC＝PA＝eq \f(1,2)CA＝6eq \r(3) cm，
当2eq \r(3)t＝6eq \r(3)，解得t＝3，
即当t＝3时，PM与⊙O相切．
(2)存在△APQ为等腰三角形，
∵∠ACB＝90°，AC＝12eq \r(3) cm，BC＝12 cm，
∴tan B＝eq \f(AC,BC)＝eq \r(3)，
∴∠B＝60°，∠A＝30°，
当PQ＝AQ时，如答图①，
解得t＝2；
当AP＝AQ时，如答图②，
解得t＝12eq \r(3)－18；
当PQ＝PA时，如答图③，
解得t＝eq \f(18,5).
综上所述，存在△APQ为等腰三角形，t的值为2，12eq \r(3)－18或eq \f(18,5).
24．(8分)已知二次函数解析式为y＝x2－bx＋2b－3.
(1)当抛物线经过点(1，2)和点(m，n)时，等式m2－4m－n＝－5是否成立？并说明理由；
(2)已知点P(4，5)和点Q(－1，－5)，且线段PQ与抛物线只有一个交点，求b的取值范围．
解：(1)成立，
理由：将(1，2)代入y＝x2－bx＋2b－3得
2＝1－b＋2b－3，解得b＝4，
∴二次函数解析式为y＝x2－4x＋5，
将(m，n)代入y＝x2－4x＋5得n＝m2－4m＋5，
∴m2－4m－n＝－5.
(2)设PQ所在直线解析式为y＝mx＋n，
将P(4，5)，Q(－1，－5)代入y＝mx＋n得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5＝4m＋n，,－5＝－m＋n，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝2，,n＝－3，))
∴直线PQ的解析式为y＝2x－3.
令x2－bx＋2b－3＝2x－3，整理得
x2－(b＋2)x＋2b＝(x－b)(x－2)＝0，
∴抛物线与直线交点的横坐标为x1＝b，x2＝2，
当b＝2时，抛物线与直线只有1个交点，
∵－1＜2＜4，∴抛物线与直线交点在线段PQ上，符合题意．
将x＝2代入y＝2x－3得y＝1，
∴抛物线与线段PQ有一个交点为(2，1)，
∴抛物线与直线PQ的另一交点不在线段PQ上，∴b＜－1或b＞4符合题意，
综上所述，b＝2或b＜－1或b＞4.