第七章随机变量及其分布章节练习卷5-2023-2024学年高二数学-（人教A版2019选择性必修三）

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第七章随机变量及其分布章节练习卷5-2023-2024学年高二数学-（人教A版2019选择性必修三）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1．在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规定：每题回答正确得100分，回答不正确得分，则选手甲回答这三个问题的总得分的所有可能取值的个数为（    ）A．2 B．4 C．6 D．82．如果是离散型随机变量，，则下列结论中正确的是（    ）．A．， B．，C．， D．，3．设随机变量的概率分布如下表所示，且，则（    ）A． B． C． D．4．若X～B（20，0.3），则（    ）A．E（X）＝3 B．P（X≥1）＝1﹣0.320C．D（X）＝4 D．P（X＝10）5．设有甲、乙两箱数量相同的产品，甲箱中产品的合格率为90%，乙箱中产品的合格率为80%.从两箱产品中任取一件，经检验不合格，放回原箱后在该箱中再随机取一件产品，则该件产品合格的概率为（    ）A． B． C． D．6．小华与另外名同学进行“手心手背”游戏，规则是：人同时随机选择手心或手背其中一种手势，规定相同手势人数更多者每人得分，其余每人得分.现人共进行了次游戏，记小华次游戏得分之和为，则为A． B． C． D．7．互不相等的正实数是的任意顺序排列，设随机变量满足：则（    ）A． B．C． D．8．某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲､乙两名单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关.若甲､乙两人每局获胜的概率分别为，，且满足，每局之间相互独立.记甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲､乙两人训练的轮数至少为（    ）A．27 B．24 C．32 D．28二、多选题9．某市教育局为了解双减政策的落实情况，随机在本市内抽取了A，B两所初级中学，在每一所学校中各随机抽取了200名学生，调查了他们课下做作业的时间，并根据调查结果绘制了如下频率分布直方图：  由直方图判断，以下说法正确的是（    ）A．总体看，A校学生做作业平均时长小于B校学生做作业平均时长B．B校所有学生做作业时长都要大于A校学生做作业时长C．A校学生做作业时长的中位数大于B校学生做作业的中位数D．B校学生做作业时长分布更接近正态分布10．（多选）若随机变量，，其中，则下列等式成立的是（    ）A． B．C． D．11．以人工智能、量子信息等颠覆性技术为引领的前沿趋势，将重塑世界工程科技的发展模式，对人类生产力的创新提升意义重大．某公司抓住机遇，成立了甲、乙、丙三个科研小组针对某技术难题同时进行科研攻关，攻克该技术难题的小组都会受到奖励．已知甲、乙、丙三个小组攻克该技术难题的概率分别为，，，且三个小组各自独立进行科研攻关，则下列说法正确的是（ ）A．甲、乙、丙三个小组均受到奖励的概率为B．只有甲小组受到奖励的概率为C．受到奖励的小组数的期望值等于D．该技术难题被攻克，且只有丙小组受到奖励的概率为三、填空题12．设某种宠物小狗活到18岁的概率是0.6，活到25岁的概率是0.2．现有一只18岁的该种宠物小狗，问它活到25岁的概率是 ．13．已知，且，记随机变量为x，y，z中的最大值，则 .14．如果是离散型随机变量，则在事件下的期望满足其中是所有可能取值的集合.已知某独立重复试验的成功概率为，进行次试验，求第次试验恰好是第二次成功的条件下，第一次成功的试验次数的数学期望是 .第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明四、解答题15．判断下列试验是不是重伯努利试验.（1）依次投掷四枚质地不同的硬币，次正面向上；（2）某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了次，其中次击中；（3）口袋中装有个白球，个红球，个黑球，依次从中抽取个球，恰好抽出个白球．16．某公司生产某种食用菌，为了销往全国各地，把该食用菌分为一级、优级、特级、珍品共四个等级，并以每件0.5kg的标准进行统一包装．某采购商订购了一批这种食用菌，并从中随机抽取100件，按该食用菌的等级分类标准得到数据如下表：(1)以样本估计总体，将频率视为概率，从这100件食用菌中有放回随机抽取3件，求恰好抽到2件珍品的概率；(2)用分层抽样的方法从这100件食用菌中抽取10件，再从抽取的10件中随机抽取3件，设X表示抽取的是珍品等级的件数，求X的分布列及数学期望．17．近年来，购买盲盒成为当下年轻人的潮流之一，为了引导青少年正确消费，国家市场监管总局提出，盲盒经营行为应规范指引，经营者不能变相诱导消费．盲盒最吸引人的地方，是因为盒子上没有标注，只有打开才会知道自己买到了什么，这种不确定性的背后就是概率．几何分布是概率论中非常重要的一个概率模型，可描述如下：在独立的伯努利（Bernoulli）试验中，若所考虑事件首次出现，则试验停止，此时所进行的试验次数服从几何分布，事件发生的概率即为几何分布的参数，记作．几何分布有如下性质：分布列为，，期望．现有甲文具店推出四种款式不同、单价相同的文具盲盒，数量足够多，购买规则及概率规定如下：每次购买一个，且买到任意一种款式的文具盲盒是等可能的．(1)现小嘉欲到甲文具店购买文具盲盒．①求他第二次购买的文具盲盒的款式与第一次购买的不同的概率；②设他首次买到两种不同款式的文具盲盒时所需要的购买次数为，求的期望；(2)若甲文具店的文具盲盒的单价为12元，乙文具店出售与甲文具店款式相同的非盲盒文具且单价为18元．小兴为了买齐这四种款式的文具，他应选择去哪家文具店购买更省钱，并说明理由．18．某单位在“全民健身日”举行了一场趣味运动会，其中一个项目为投篮游戏．游戏的规则如下：每局游戏需投篮3次，若投中的次数多于未投中的次数，该局得3分，否则得1分．已知甲投篮的命中率为，且每次投篮的结果相互独立．（1）求甲在一局游戏中投篮命中次数X的分布列与期望；（2）若参与者连续玩局投篮游戏获得的分数的平均值大于2，即可获得一份大奖．现有和两种选择，要想获奖概率最大，甲应该如何选择？请说明理由．19．中国女排是中国各体育团队中成绩突出的体育团队之一，曾是世界上第一个“五连冠”得主，并十度成为世界冠军，2023年在杭州第19届亚运会上女排再度获得冠军．她们那种团结协作、顽强拼搏的精神极大地激发了中国人的自豪、自尊和自信，为我们在新征程上奋进提供了强大的精神力量．如今，女排精神广为传颂，家喻户晓，各行各业的人们在女排精神的激励下，为中华民族的腾飞顽强拼搏．某中学也因此掀起了排球运动的热潮，在一次排球训练课上，体育老师安排4人一组进行传接球训练，其中甲、乙、丙、丁四人刚好围成一个矩形（如图），已知当某人控球时，传给其相邻同学的概率为，传给对角线上的同学的概率为，由甲开始传球．(1)求第3次传球是由乙传给甲的概率；(2)求第次传球后排球传到丙手中的概率；(3)若随机变量服从两点分布，且，，，…，，则，记前次（即从第1次到第次传球）中排球传到乙手中的次数为，求．123等级一级优级特级珍品件数20103040参考答案：1．B【分析】依题意可得可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，即可得到得分的可能取值；【详解】解：可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，分，分，因此甲回答这三个问题的总得分的所有可能取值有4个．故选：B2．D【分析】根据随机变量的线性关系，结合数学期望与方差的性质即可得，，故可得答案.【详解】解：因为，所以，，则，.故选：D.3．B【分析】结合数学期望的公式及分布列的性质进行求解即可.【详解】解:依题意得,,解得,则.故选:B4．D【分析】根据二项分布的均值，方差以及概率公式求解即可.【详解】因为，所以，故选：D【点睛】本题主要考查了二项分布的均值，方差以及概率公式，属于中档题.5．A【分析】设事件表示任选一件产品，来自于甲箱，事件表示任选一件产品，来自于乙箱，事件从两箱产品中任取一件，恰好不合格，先利用全概率公式求出，进而可得，，进而可得放回原箱后再取该件产品合格的概率.【详解】设事件表示任选一件产品，来自于甲箱，事件表示任选一件产品，来自于乙箱，事件从两箱产品中任取一件，恰好不合格，又，经检验不合格，放回原箱后在该箱中再随机取一件产品，则该件产品合格的概率为.故选：A.6．B【分析】首先确定获胜的概率值，然后结合分布列的特征近似相应的概率值，最后求解数学期望即可.【详解】设0表示手背，1表示手心，用5为的二进制数表示所有可能的结果，其中第一位表示小华所出的手势，后四位表示其余四人的手势，如下表所示，其中标记颜色的部分为小华获胜的结果.由古典概型计算公式可知，每次比赛小华获胜的概率为，可能的取值为，服从二项分布，，，，，则数学期望：.故选：B．【点睛】本题主要考查古典概型的计算，离散型随机变量的期望，二项分布及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．C【分析】根据题意，分或， 或， 或，得到X，Y的分布列求解.【详解】解：因为随机变量满足：所以当或时，；当或时，；当或时，；所以X，Y的分布列为：所以，，所以，故选：C8．A【分析】先求得每一轮训练过关的概率，利用二项分布的期望列方程，结合基本不等式以及二次函数的性质求得正确答案.【详解】设每一轮训练过关的概率为，则，，当且仅当时等号成立.函数的开口向上，对称轴为，所以，依题意，，则，，所以至少需要轮.故选：A【点睛】方法点睛：求解相互独立事件和独立重复事件结合的问题，要注意区别两者的不同，相互独立事件的概率可以不相同，独立重复事件概率是相同的.求最值的方法可以考虑二次函数的性质，也可以考虑基本不等式，利用基本不等式时，要注意“一正二定三相等”.9．AD【分析】由直方图可逐项分析可得答案.【详解】由直方图可知，A校学生做作业时长大部分在1—2小时，而B校学生做作业时长大部分在2.5—3.5小时，故A正确，C错误；B校有学生做作业时长小于l小时的，而A校有学生做作业时长超过5小时的，故B错误；B校学生做作业时长分布相对A校更对称，故D正确．故选：AD.10．AC【分析】由题意可得正态曲线关于对称，可判断A；分别计算和可判断B；计算可判断C；计算结合选项C可判断D，进而可得正确选项.【详解】因为随机变量服从标准正态分布，所以正态曲线关于对称，如图所示.又，，所以，故选项A正确；因为，，所以，故选项B不正确；因为，故选项C正确；，故选项D不正确；故选：AC.11．AD【分析】根据相互独立事件的概率计算公式针对不同的选项分别求解，即可判断A，B；利用概率公式结合期望公式可判断C；利用条件概率的计算公式，即可判断选项D．【详解】对于A，甲、乙、丙三个小组均受到奖励，即三个小组都攻克了该技术难题，其概率为，故A正确；对于B，只有甲小组受到奖励，即只有甲小组攻克该技术难题，其概率为，故B错误；对于C，记受到奖励的小组数为，则的所有可能取值为0，1，2，3，且，，，，故的数学期望，故C错误；对于D，设事件A为“该技术难题被攻克”，事件B为“只有丙小组受到奖励”，由题意得，，所以，故D正确．故选：AD【点睛】方法点睛：本题考查相互独立事件的概率、条件概率的计算，以及离散型随机变量的数学期望，求离散型随机变量的期望，首先要根据具体情况确定的取值情况，然后利用概率知识求出取各个值时对应的概率，再利用期望公式，考查学生逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.12．【分析】根据事件间的关系，结合条件概率公式，可得结论．【详解】解：设事件 “能活到18岁”， “能活到25岁”，则，，而所求概率为，由于，故，于是，所以宠物小狗能活到25岁的概率是．故答案为：．13．17【分析】求出可能取值，求出相应的概率，得出的分布列，即可求出期望.【详解】由题意可得：的可能取值为，用隔板法可求得：事件总情况为种，若，三个正整数为或，则有种，故；若，三个正整数为或，则有种，故；若，三个正整数为或，则有种，故；若，三个正整数为，则有种，故；若，三个正整数为，则有种，故；故的分布列为：故.所以 故答案为：.14．/【分析】先求得再利用条件概率得到，求解.【详解】设随机变量分别代表第一､第二次成功对应的试验次数，则，以及，所以，所以.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是理解题意，利用独立重复试验的概率公式分别求得与，从而得解.15．（1）不是；（2）是；（3）不是.【分析】（1）根据伯努利试验的定义判断可得出结论；（2）根据伯努利试验的定义判断可得出结论；（3）根据伯努利试验的定义判断可得出结论.【详解】（1）由于试验的条件不同（质地不同），因此不是重伯努利试验；（2）某人射击且击中的概率是稳定的，因此是重伯努利试验；（3）每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是重伯努利试验．16．(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）设出事件和变量，得到，利用二项分布求概率公式进行求解概率；（2）利用超几何的概率求解公式进行求解分布列及数学期望.【详解】（1）设“从这100件食用菌中随机抽取1件，抽到珍品”为事件A，则，有放回随机抽取3件，设抽到珍品的个数为，则，∴恰好抽到2件是珍品的概率．（2）用分层抽样的方法从这100件食用菌中抽取10件，其中珍品4件，非珍品6件，再从抽取的10件中随机抽取3件，则X的可能取值为0，1，2，3，且服从超几何分布．，可得：，，，．X的分布列为：．17．(1)① ；②(2)应该去乙店购买非盲盒文具，理由见解析【分析】（1）①明确第二次只需买到其余的三种文具盲盒的任意一款即可求解；②结合已知由几何分布的性质即可求解.（2）由随机变量以及相应的均值结合几何分布的性质即可求解.【详解】（1）①由题意可知，当第一次购买的文具盲盒已经确定时，第二次只需买到其余的三种文具盲盒的任意一款即可，所以；②设从第一次购买文具后直到购买到两种不同款式的文具盲盒所需要的购买次数为，则由题意可知，又，所以.（2）由题意，在乙店买齐全部文具盲盒所花费的费用为元，设从甲店买齐四种文具盲盒所需要的购买次数为，从第一次购买到种不同款式的文具开始，到第一次购买到种不同款式的文具盲盒所需要的购买次数为随机变量，则，其中，而，所以，所以在甲店买齐全部文具盲盒所需费用的期望为，所以应该去乙店购买非盲盒文具．18．（1）分布列见解析，；（2）甲选择时，获奖的概率更大，理由见解析.【分析】（1）说明，求出概率得到的分布列，然后求解期望．（2）若选择，设局游戏中，得3分的局数为m，推出，求出概率的表达式，推出，则，得到结论．【详解】解：（1）由题意知，则，，，， 所以X的分布列为． （2）由（1）可知在一局游戏中，甲得3分的概率为，得1分的概率为，若选择，此时要能获得大奖，则需次游戏的总得分大于，设局游戏中，得3分的局数为m，则，即．易知，故此时获大奖的概率同理可以求出当，获大奖的概率为因为所以，则答：甲选择时，获奖的概率更大．19．(1)(2)(3)【分析】（1）设第次传球后排球在甲、乙、丙、丁手中的概率分别为，得到，求出，从而得到第3次传球是由乙传给甲的概率；（2）求出之间的关系式，联立后得到，，进而得到是以为首项，公比为的等比数列，求出；（3）在（2）的基础上求出，求出，利用等比数列求和公式得到答案.【详解】（1）设第次传球后排球在甲、乙、丙、丁手中的概率分别为，则．第2次传球到乙手中的概率，所以第3次传球是由乙传给甲的概率为．（2）根据已知条件可得，当时，联立则有，所以是首项为，公比为的等比数列，故．因为，所以，代入①②式得，将⑤代入⑥得，，则，其中，故，，，……，，由累加法可得，所以，所以是以为首项，公比为的等比数列，所以，故第次传球后排球传到丙手中的概率为．（3）随机变量服从两点分布，设第i次未传到乙手中的概率为，则排球第i次传到乙手中的概率为，则．由（2）知，其中，所以．【点睛】方法点睛：由递推公式求解通项公式，根据递推公式的特点选择合适的方法，（1）若，采用累加法；（2）若，采用累乘法；（3）若，可利用构造进行求解；X23P Y23P 45678X0123PX0123P