第七章随机变量及其分布章节练习卷4-2023-2024学年高二数学-（人教A版2019选择性必修三）

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第七章随机变量及其分布章节练习卷4-2023-2024学年高二数学-（人教A版2019选择性必修三）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1．若随机变量，，则（    ）A． B． C． D．2．某高中的小明同学每天坚持骑自行车上学，他在骑自行车上学途中必须经过2个路口，经过一段时间在各路口是否遇到红灯统计分析发现如下规律：经过2个路口时在第一个路口遇到红灯的概率是，连续二次遇到红灯的概率是，则小明同学在骑自行车上学途中第1个路口遇到红灯的条件下，第2个路口也遇到红灯的概率为（    ）A． B． C． D．3．已知随机变量，，则的值为（    ）A．0.24 B．0.26 C．0.68 D．0.764．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记A={两次的点数均为偶数}，B={两次的点数之和为8}，则P（B|A）=A． B． C． D．5．设，为任意两个事件，且，，则下列选项必成立的是（    ）A． B．C． D．6．某地质勘探队为研究各地区的水是否存在某种矿物质，现从不同地区采集了100个样本，勘探队中的成员甲提议用如下方式进行检测，先将100个样本分为10组，每组再选取部分样本进行混合，对混合样本进行检测，如果不含该矿物质，则检测下一组，若含有该矿物质，则逐个检测；成员乙提议将100个样本分为5组或20组等等．假设每个样本含有该矿物质的概率．且每个样本是否含有该矿物质相互独立．则下列选项中检测次数的期望值最小的是（    ）（参考数据：）A．5个一组 B．10个一组 C．20个一组 D．逐个检验7．一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，则下列说法错误的是（    ）A． B．C． D．8．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球， 乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球(球除颜色外，大小质地均相同)．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的个数是（    ）①事件与相互独立；②，，是两两互斥的事件； ③；④；⑤A．5 B．4 C．3 D．2二、多选题9．4月23日为世界读书日，已知某高校学生每周阅读时间服从正态分布，则（    ）（附：，，，.）A．该校学生每周平均阅读时间为9小时；B．该校学生每周阅读时间的标准差为4；C．该校学生每周阅读时间不超过3小时的人数占0.3%；D．若该校有10000名学生，则每周阅读时间在3-5小时的人数约为210.10．下列说法正确的有（    ）A．从3名男生，2名女生中选取2人，则其中至少有一名女生的概率为B．若随机变量，则方差C．若随机变量，则D．已知随机变量的分布列为，则11．某学校共有5个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐（选择到每个餐厅概率相同），则下列结论正确的是（    ）A．四人去了四个不同餐厅就餐的概率为B．四人去了同一餐厅就餐的概率为C．四人中恰有2人去了第一餐厅就餐的概率为D．四人中去第一餐厅就餐的人数的期望为三、填空题12．若随机变量服从正态分布，且，则的值为 ．13．抛掷两个骰子，至少有一个点或点出现时，就说这次试验成功，则在次试验中，成功次数的期望是 14．将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以表示没有出现连续3次正面的概率.给出下列四个结论：①；②；③当时，；④.其中，所有正确结论的序号是 .第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明四、解答题15．生产工艺工程中产品的尺寸误差X(单位:mm)~N(0,1.52),如果产品的尺寸与规定的尺寸偏差的绝对值不超过1.5 mm为合格品,求:(1)X的密度函数;(2)生产的5件产品的合格率不小于80%的概率.16．2023年春节档有多部优秀电影上映，其中《流浪地球》是比较火的一部．某影评网站统计了100名观众对《流浪地球》的评分情况，得到如下表格：(1)根据以上评分情况，试估计观众对《流浪地球》的评价在四星以上（包括四星）的频率；(2)以表中各评价等级对应的频率作为各评价等级对应的概率，假设每个观众的评分结果相互独立．（ⅰ）若从全国所有观众中随机选取3名，求恰有2名评价为五星1名评价为一星的概率；（ⅱ）若从全国所有观众中随机选取5名，记评价为五星的人数为，求的数学期望和方差．17．随着科技的进步，视频会议系统的前景愈加广阔.其中，小型视频会议软件格外受人青睐.根据调查统计，小型视频会议软件下载量前6名的依次为A，B，C，D，E，F.在实际中，存在很多软件下载后但并未使用的情况.为此，某调查公司对有视频会议需求的人群进行抽样调查，统计得到这6款软件的下载量W（单位：人次）与使用量U（单位：人次），数据用柱状图表示如图：定义软件的使用率t，当t≥0.9时，称该款软件为“有效下载软件”.调查公司以调查得到的使用率t作为实际中该款软件的使用率.（1）在这6款软件中任取1款，求该款软件是“有效下载软件”的概率；（2）从这6款软件中随机抽取4款，记其中“有效下载软件”的数量为X，求X的分布列与数学期望；（3）将（1）中概率值记为x%.对于市场上所有小型视频会议软件，能否认为这些软件中大约有x%的软件为“有效下载软件”？说明理由.18．某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（1）求在这10个卖场中，甲型号电视机的“星级卖场”的个数；（2）若在这10个卖场中，乙型号电视机销售量的平均数为26.7，求的概率；（3）若，记乙型号电视机销售量的方差为，根据茎叶图推断b为何值时，达到最小值．（只需写出结论） （注：方差，其中为，，…，的平均数）19．某高校的大一学生在军训结束前，需要进行各项过关测试，其中射击过关测试规定：每位测试的大学生最多有两次射击机会，第一次射击击中靶标，立即停止射击，射击测试过关，得5分；第一次未击中靶标，继续进行第二次射击，若击中靶标，立即停止射击，射击测试过关，得4分；若未击中靶标，射击测试未能过关，得2分.现有一个班组的12位大学生进行射击过关测试，假设每位大学生两次射击击中靶标的概率分别为m，0.5，每位大学生射击测试过关的概率为p.(1)求p(用m表示)；(2)设该班组中恰有9人通过射击过关测试的概率为f(p)，求f(p)取最大值时p和m的值；(3)在(2)的结果下，求该班组通过射击过关测试所得总分的平均数.评价等级★★★★★★★★★★★★★★★分数0~2021~4041~6061~8081~100人数5212675参考答案：1．D【分析】根据二项分布的期望与方程的计算公式，由题中条件，列出方程，即可求出结果.【详解】因为，，则，解得，所以.故选：D.2．C【分析】由条件概率的公式代入计算.【详解】设“小明同学在第1个路口遇到红灯”为事件，“小明同学在第2个路口遇到红灯”为事件，则由题意可得，，则小明同学在骑自行车上学途中第1个路口遇到红灯的条件下，第2个路口也遇到红灯的概率为．故选：C．3．A【分析】根据给定条件利用正态分布的对称性计算作答.【详解】因随机变，，有P(ξ<4)=P(ξ≤4)=0.76，由正态分布的对称性得：，所以的值为0.24.故选：A4．C【详解】分析：根据条件概率的计算公式，，可先分别求出与．详解：       根据条件概率的运算 所以选C点睛：本题考查了条件概率的应用，关键是掌握好条件概率的计算公式，属于简单题．5．D【分析】由题设有，根据条件概率公式有，结合，即可得答案.【详解】由，则，故，而，则，又，所以.故选：D6．B【分析】分别求出每组检测次数的可能值及概率计算出期望，然后可得总检测次数的期望，最后比较可得．【详解】若5个一组时，每组检测次数为，或5，，，的分布列是，总检测次数的期望为，若10个一组时，每组检测次数为，或11，，，的分布列是，总检测次数的期望为，若20个一组时，每组检测次数为，或21，，，的分布列是，总检测次数的期望为，若逐个检测，总检测次数为100，因此10个一组检测次数的期望值最小，故选：B．7．C【分析】利用小虫等概率地向前或向后爬行，可知随机变量，且向前或向后爬行1个单位的概率均为，结合二项分布公式求概率，根据、即可判断各选项的正误；【详解】由题意知：设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，且小虫向前或向后爬行1个单位的概率均为，∴爬行次后小虫一共向前爬行次，则向后爬行次，有；故，则：1、，，故A、B正确；2、，，即，有，故C错误；3、，即，有，故D正确；故选：C【点睛】本题考查了利用二项分布公式求概率，及求随机变量的期望、方差，进而判断选项正误；8．C【分析】先判断出，，是两两互斥的事件，且不满足，①错误，②正确，用条件概率求解③⑤，用全概率概率求解④，得出结论.【详解】显然，，，是两两互斥的事件，且，，而，①错误，②正确；，，所以，③正确；④正确；，⑤错误，综上：结论正确个数为3.故选：C9．AD【分析】根据正态分布及附加数据，结合选项可以判定，由可得，平均数是9，标准差为2.【详解】因为，，所以平均数是9，标准差为2，A正确，B不正确；因为，，.结合正态曲线的对称性可得，该校学生每周阅读时间不超过3小时的人数占，C不正确；每周阅读时间在3-5小时的人数占，，所以D正确；故选：AD.【点睛】本题主要考查正态分布，掌握正态曲线的性质是求解的关键，属于容易题，侧重考查数学运算的核心素养.10．BCD【分析】根据古典概型的概率公式及组合数公式判断A；根据二项分布的方差公式及方差的性质判断B；根据正态分布的性质判断C；根据分布列的性质求出，即可判断D.【详解】对于A，从3名男生，2名女生中选取2人，则其中至少有一名女生的概率，故A错误；对于B，随机变量，则期望，所以，故B正确；对于C，随机变量且，则，故C正确；对于D，因为，所以，所以，解得，所以，故D正确.故选：BCD.11．ACD【分析】对于ABC，利用排列组合的意义及古典概型概率的求法，求出对应事件的概率，从而得以判断；对于D，根据题意得到第一餐厅就餐的人数服从二项分布，从而利用二项分布数学期望的求法求得的期望，由此判断即可.【详解】依题意得，四位同学随机选择一家餐厅就餐有选择方法，对于A，四人去了四个不同餐厅就餐的概率为，故A正确；对于B，四人去了同一餐厅就餐的概率为，故B错误；对于C，四人中恰有2人去了第一餐厅就餐的概率为，故C正确；对于D，每个同学选择去第一餐厅的概率为，所以去第一餐厅就餐的人数服从二项分布，所以，故D正确.故选：ACD.12．0.72【分析】根据已知，利用正态曲线的性质计算求解.【详解】因为随机变量服从正态分布，所以正态曲线的对称轴为，因为，所以，所以.故答案为：0.72.13．/【分析】首先利用相互独立事件及对立事件的概率公式求出一次实验中成功的概率，则，根据二项分布的期望公式计算可得.【详解】解：在一次实验中，成功的概率为，则，所以次试验中，成功的次数的期望为；故答案为：.14．①③④【分析】由的对立事件概率可得和，可判断①②，再由第n次分正反面，依次讨论前n-1的正反及前n-2次，从而得到概率的递推关系，可判断④，由及，可得，从而可判断③.【详解】当时，，①正确；当时，出现连续3次正面的情况可能是：正正正反、反正正正，所以，②错误；要求，即抛掷n次没有出现连续3次正面的概率，分类进行讨论，若第n次反面向上，前n-1次未出现连续3此正面即可；若第n次正面向上，则需要对第n-1进行讨论，依次类推，得到下表：所以，④正确；由上式可得，所以，又，满足当时，，③正确.故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是找到第n次和第n-1和第n-2次的关系，通过分类讨论及列表格的形式得到，属于难题.15．（1）；（2）.【分析】(1)由题意可得出，从而可得，进而可得密度函数;(2)先设Y表示5件产品中的合格品数，进而求出每件产品是合格品的概率，即可取出结果.【详解】(1)由题意知即,故密度函数(2)设Y表示5件产品中的合格品数,每件产品是合格品的概率为,而,合格率不小于,即,故【点睛】本题主要考查正态分布与二项分布，需要考生能够根据正态分布的参数，判断出所提供区间与特殊区间的关系，另外也要熟记常用的三个数据即可,属于基础题型.16．(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ），.【分析】（1）从表格中找出评价为四星和五星的人数之和，再除以总数可得出所求频率；（2）（ⅰ）记事件恰有2名评价为五星1名评价为一星，然后利用独立重复试验的概率可求出事件的概率；（ⅱ）由题意得出，然后利用二项分布的方差公式可得出、的值．【详解】（1）由给出的数据可得，评价为四星的人数为，评价为五星的人数是，故评价在四星以上(包括四星)的人数为， 故可估计观众对《流浪地球》的评价在四星以上(包括四星)的频率为；（2）(i)依题意评价为五星的概率为，评价为一星的概率为，记“恰有2名评价为五星1名评价为一星”为事件，则；（ⅱ）由题可知，故，.17．（1）；（2）分布列见解析；期望为；（3）不能；答案见解析.【解析】（1）计算各软件的使用率，得出有效下载软件的个数，从而可得出所求概率；（2）根据超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列和数学期望；（3）根据样本是否具有普遍性进行判断.【详解】解：（1）tA0.9，tB0.9，tC0.9，tD0.9，tE0.9，tF0.9.∴6款软件中有4款有效下载软件，∴这6款软件中任取1款，该款软件是“有效下载软件”的概率为.（2）X的可能取值有2，3，4，且P（X＝2），P（X＝3），P（X＝4），∴X的分布列为：E（X）＝234.（3）不能认为这些软件中大约有x%的软件为“有效下载软件”.理由：用样本估计总体时应保证总体中的每个个体被等可能抽取，此次调查是对有视频会议需求的人群进行抽样调查，且只选取下载量排名前6名的软件，不是对所有软件进行的随机抽取6件的样本.【点睛】本题考查随机事件的概率，超几何分布，考查数学建模能力与数学应用能力，是中档题.18．（1）；（2）；（3）．【分析】（1）根据茎叶图求得甲组数据的平均数，即可求解；（2）记事件A为“”，根据乙组数据的平均数为26.7可得，从而可以得到所有的基本事件，再列出满足的所有基本事件，即事件A所包含的基本事件即可；（3）分析题意可知，的可能取值为的整数，根据方差的定义可知．【详解】（1）根据茎叶图，得甲组数据的平均数为，由茎叶图，知甲型号电视机的“星级卖场”的个数为；（2）记事件A为“”，∵乙组数据的平均数为26.7，∴，解得 ，∴a和取值共有9种情况，它们是：，，，，，，，，，其中有4种情况，即：，，，，∴的概率 ；（3）分析题意可知，的可能取值为的整数，又乙组数据的平均数为，易知，由方差定义可知，当b最小时，达到最小值，即.19．(1)；(2)p，m的值分别为0.75，0.5；(3)48.【分析】(1)求出每位学生射击两次都不过关的概率，再利用对立事件的概率公式求解；(2)列出恰有9人通过射击过关测试的概率f(p)的表达式，利用导数求解而得；(3)列出一个大学生射击过关测试所得分数为随机变量X的分布列，再求出期望得解.【详解】(1)每位大学生射击测试过关的概率：P＝1-(1-m)(1-0.5)＝0.5+0.5m.(2)f(p)=，(00，得0