山西省吕梁市2024届高三下学期4月高考模拟考试数学试卷(含答案)

这是一份山西省吕梁市2024届高三下学期4月高考模拟考试数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．设命题p：对任意的等比数列，也是等比数列，则命题p的否定为( )
A.对任意的非等比数列，是等比数列
B.对任意的等比数列，不是等比数列
C.存在一个等比数列，使是等比数列
D.存在一个等比数列，使不是等比数列
2．已知(i是虚数单位)，则复数z的共轭复数( )
A.B.C.D.
3．已知角的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，终边经过点，则( )
A.B.C.D.
4．若函数，且的图象所过定点恰好在椭圆，上，则的最小值为( )
A.6B.12C.16D.18
5．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设向量，若，则( )
A.B.C.D.
6．已知函数在区间上单调递减，则函数的解析式可以为( )
A.B.C.D.
7．已知A，B分别是圆与圆上的动点，若的最大值为12，则a的值为( )
A.0B.1C.2D.3
8．已知，分别为双曲线，的左､右焦点，过作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，O为坐标原点，若，则双曲线C的离心率为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列对函数的判断中，正确的有( )
A.函数为奇函数B.函数的最大值为
C.函数的最小正周期为D.直线是函数图象的一条对称轴
10．甲､乙两名同学分别从a，b，c，d四门不同的选修课中随机选修两门.设事件“a，b两门选修课中，甲同学至少选修一门”，事件“乙同学一定不选修c”，事件“甲､乙两人所选选修课至多有一门相同”，事件“甲､乙两人均选修d”，则( )
A.B.C.X与Y相互独立D.Z与W相互独立
11．如图，在平行六面体中，底面是正方形，O为与的交点，则下列条件中能成为“”的必要条件有( )
A.四边形是矩形
B.平面平面
C.平面平面
D.直线，所成的角与直线，所成的角相等
三、填空题
12．若曲线在点处的切线过原点，则__________.
13．已知圆台的高为3，中截面(过高的中点且垂直于轴的截面)的半径为3，若中截面将该圆台的侧面分成了面积比为1:2的两部分，则该圆台的母线长为__________.
14．已知函数的图象关于点中心对称，也关于点中心对称，则，，，，的中位数为__________..
四、解答题
15．已知等差数列的前n项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)记数列的前n项和为，证明：.
16．2024龙年春节期间哈尔滨旅游火出圈，“小土豆”等更成为流行词，旅游过节已成为一种新时尚.等旅行社为了解某市市民的春节旅游意愿与年龄层次是否有关，从该市随机抽取了200位市民，通过调查得到如下表格：
单位：人
(1)根据小概率值的独立性检验，判断该市市民的春节旅游意愿与年龄层次是否有关联.
(2)从样本中按比例分配选取10人，再随机从中抽取4人做某项调查，记这4人中青年人愿意出游的人数为X，试求X的分布列和数学期望.
附：，其中.
17．已知函数.
(1)当时，求的单调区间和极值；
(2)求在区间上的最大值.
18．如图，在四棱锥中，平面，，，M为的中点.
(1)试判断是否为正三角形，并给出证明；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值.
19．在平面直角坐标系中，动点A在圆上，动点B在直线上，过点B作垂直于的直线与线段的垂直平分线交于点M，且，记M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程.
(2)若直线与曲线C交于D，E两点，与曲线C交于P，Q两点，其中，且，同向，直线，交于点G.
(i)证明：点G在一条确定的直线上，并求出该直线的方程；
(ii)当的面积等于时，试把n表示成m的函数.
参考答案
1．答案：D
解析：全称量词命题的否定是存在量词命题，所以：存在一个等比数列，使不是等比数列.故选D.
2．答案：B
解析：由题意得，所以.故选B.
3．答案：A
解析：由题易得，所以.故选A.
另：角为第二象限角，，不妨令，则.故选A.
4．答案：C
解析：由题意得，函数，且的图象所过定点为，则，，当且仅当，时等号成立.故选C.
5．答案：C
解析：由得，由正弦定理得.因为中，所以.又，所以，即.故选C.
6．答案：A
解析：内层函数在区间上单调递增，所以在区间上单调递减.函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，在区间上单调递增.故选A.
7．答案：D
解析：由题意知的最大值等于12，则圆与圆相内切，所以.又，所以.故选D.
8．答案：B
解析：由题意可得，，且，所以在中，由余弦定理得，.
因为，所以，平方化简整理得，.又，所以，即，所以，得，则.故选B.
9．答案：BCD
解析：因为，所以为偶函数，故选项A不正确.因为，所以的最大值为，最小正周期为，函数图象的对称轴为，故选项B，C，D正确.故选BCD.
10．答案：AC
解析：因为，，，，故选项A正确，B错误；因为，，所以X与Y相互独立，Z与W不相互独立，故选项C正确，D错误.故选AC.
11．答案：ACD
解析：在平行六面体中，由得，四边形为矩形，选项A正确；假设平面平面，因为平面平面，，平面，所以平面，因为平面，所以，与四边形为正方形矛盾，故选项B错误；由四边形是正方形，得，因为，，所以.又因为，所以平面，又平面，所以平面平面，选项C正确；因为四边形为矩形，所以，又正方形中，，是公共边，所以，所以，又，，所以，分别为直线，所成的角与直线，所成的角(或其补角)，由，知选项D正确.故选.
12．答案：e
解析：因为，所以，所以在点处的切线方程为.又切线过原点，则，所以.
13．答案：5
解析：设圆台的上､下底面圆的半径分别为r，R，因为中截面的半径为3，所以.又中截面将该圆台的侧面分成了面积比为的两部分，所以，解得，所以.又圆台的高为3，所以圆台的母线长为.
14．答案：
解析：由的图象关于点中心对称，也关于点中心对称，
得，
两式相减得，所以.
因为当时，由，得，当时，由，得.
又，
所以，，，，成首项为0､公差为1的等差数列，
所以，
所以，，，，的中位数为.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)设等差数列的公差为.
由题可得，，
解得，
所以.
(2)证明：由(1)可得，n为正整数，
所以.
16．答案：(1)有关联
(2)分布列见解析，
解析：(1)零假设：该市市民的春节旅游意愿与年龄层次无关.
依题意，得
单位：人
所以.
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即该市市民的春节旅游意愿与年龄层次有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005.
(2)从样本中按比例分配选取10人，则青年人愿意出游､青年人不愿意出游､老年人愿意出游､老年人不愿意出游的人数分别为4、1、2、3，
再随机从中抽取4人，青年人愿意出游的人数X的所有可能取值为0、1、2、3、4，且，，，，，
即X的分布列为
所求数学期望为.
17．答案：(1) 函数的极大值为，没有极小值
(2)
解析：(1)当时，，，
则，
解可得(舍去)或.
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
故函数的单调递增区间是，单调递减区间是，
函数的极大值为，没有极小值.
(2)由题意得，.
若，当时，，在区间上单调递增，此时的最大值为
若，当时，，单调递增，时，，单调递减，此时的最大值为；
若，则，当时，，单调递增，时，，单调递减，此时的最大值为；
若，则，当时，，在区间上单调递增，此时的最大值为.
综上，
18．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)为正三角形.
证明如下：如图，设，连接，.
因为，，M为的中点，所以四边形，均为菱形，所以，，所以.
因为平面，平面，所以.
因为，
所以平面，所以平面.
又平面，所以.
又易知O为的中点，所以.
因为平面，平面，所以，所以，所以为正三角形.
(2)由(1)知平面，所以为直线与平面所成的角，
所以，所以，所以.
因为，均为正三角形，所以，所以，所以.
又，，所以平面.
又，
所以以O为原点，，，所在直线分别为x轴､y轴､z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.令，则，，，，所以，，.
设平面的法向量为，则得
令，则，，所以平面的一个法向量.
由平面，得是平面的一个法向量，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
19．答案：(1)
(2)(i)见解析
(ii)，
解析：(1)由题意得，.
设，则，化简整理得，
所以动点M的轨迹C的方程为.
(2)(i)证明：设，，，，
联立整理得，则，得，
且，，同理，.
设，的中点分别为K，T，则，
由题意可知存在实数，使，
所以G，K，T三点共线，即点G在定直线上.
(ii)解：由(i)得，，
同理，设的底边上的高为h，梯形的高为，则由相似比得，解得，
所以的面积.
又，所以.
整理得，所以，即，.
市民
春节旅游意愿
愿意
不愿意
青年人
80
20
老年人
40
60
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
市民
春节旅游意愿
合计
愿意
不愿意
青年人
80
20
100
老年人
40
60
100
合计
120
80
200
X
0
1
2
3
4
P