2024年福建省福州市高新区中考数学模拟试卷（4月份）附解析

这是一份2024年福建省福州市高新区中考数学模拟试卷（4月份）附解析，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）2的相反数是（ ）
A．B．C．﹣2D．2
2．（4分）如图，榫卯结构是我国一项精湛的木工技艺，该榫卯零件的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
3．（4分）2023年福建交通建设精品工程不断涌现，平潭海峡公铁大桥获评国家优质工程金奖，大桥全长16.323公里，全桥钢结构用量1240000吨，将数据“1240000”用科学记数法表示为（ ）
A．124×104B．12.4×105C．1.24×106D．0.124×107
4．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5B．a（a﹣1）＝a2﹣1
C．a2÷a2＝0D．（3a）2＝9a2
5．（4分）如图，A为反比例函数图象上的一点，AB⊥x轴，△OAB的面积为2，则水墨蜻蜓在反比例函数图象上的落点的坐标可能为（ ）
A．（1，2）B．（1，3）C．（1，4）D．（1，5）
6．（4分）如图，在等边△ABC中，AB＝4，BD⊥AB，CD∥AB，则CD的长度为（ ）
A．2B．4C．D．
7．（4分）我国明代数学家程大位编著的《算法统宗》中有“以碗知僧”趣题：“巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，恰合用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共进一碗羹．请问先生能算者，都来寺内几多僧？”其大意：某古寺用餐，3名僧人合吃一碗饭，4名僧人合分一碗汤，一共用了364只碗，问有多少名僧人？设寺内有x名僧人，则可列方程（ ）
A．3x+4x＝364B．
C．D．
8．（4分）近年来，福建走特色路、打特色牌，振兴乡村，发展特色小镇旅游经济，实现乡村居民创收．亮亮调查了家乡小镇10家餐饮企业的年收入情况，并绘制成下表（数据已取整）．根据图表信息，下列描述正确的是（ ）
A．年收入的中位数为4.5
B．年收入的众数为5
C．年收入的平均数为4.4
D．年收入的方差为6.4
9．（4分）如图，学校为举办文艺汇演搭建了舞台及登台的台阶，台阶总高度AB＝60cm，台阶部分铺红地毯，地毯长度为140cm，支撑钢梁DE⊥AC，且D为BC的中点，则钢梁DE的长为（ ）
A．20cmB．24cmC．32cmD．40cm
10．（4分）我们知道，除三角形外，其他多边形都不具有稳定性．如图，将正五边形OABCD的边AB固定，向右推动该正五边形，使得O为AD的中点，且点A，B，C，D在以点O为圆心的圆上，过点C作⊙O的切线EF，则∠BCF的度数为（ ）
A．18°B．30°C．36°D．54°
二、填空题（本题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）如图，数轴上的三个点中，表示负数的是点 ．
12．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，且EA平分∠BED．若DE＝5，则AD的长为 ．
13．（4分）如图，在等腰直角△ABC中，AB＝AC，尺规作图如下：以点B为圆心，适当长为半径画弧，交边BC于点D，分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画两条弧，两弧分别交于点E，F，连接EF，EF与AB，BC分别交于点G，H，则∠AGH＝ ．
14．（4分）2024年央视春晚的主题为“龙行龘龘，欣欣家国”．“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌．将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张不放回，再从盒中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上都印有汉字“龘”的概率为 ．
15．（4分）已知a+b＝2，ab＝﹣5，则a3b+2a2b2+ab3的值为 ．
16．（4分）抛物线W：y＝x2﹣2x+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，将抛物线W沿y轴向上平移得到抛物线W'，抛物线W'与y轴交于点D，当CD＝OC时，抛物线W'与x轴有且只有一个交点，则AB的长为 ．
三、解答题（本题共9个小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算：+|﹣2|﹣（）﹣1．
18．（8分）解方程组：．
19．（8分）如图，点E，F分别在平行四边形ABCD的边BC，AD上，且AF＝CE，求证：∠BAE＝∠DCF．
20．（8分）先化简，再求值：（1+）÷，其中x＝+1．
21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的弦，∠ABC＝40°，D为的中点，连接BD，CD，AD，OE∥BC，交⊙O于点E．
（1）求∠ABD的度数；
（2）若AB＝6，求扇形EOB的面积．
22．（10分）AI的迅猛发展在多个领域影响着我们的生活．某校七、八年级利用课余时间举办了人工智能知识竞赛活动，并从七、八年级各随机抽取了10名学生代表的成绩（满分：5分）进行了整理、描述和分析，相关信息如下．
a．七年级10名学生代表成绩的中位数和众数相同，且每个得分的人数均不少于1人．
b．七年级10名学生代表成绩的条形统计图（尚不完整），八年级10名学生代表成绩的扇形统计图及七、八年级学生代表成绩的平均数与方差对比表格如下．
七、八年级学生代表成绩的平均数与方差
请根据以上信息，解答下列问题．
（1）学生代表成绩比较整齐的是 年级．（填“七”或“八”）
（2）补全条形统计图．
（3）若共有400名学生参与竞赛，根据七年级和八年级学生代表的成绩，请估计参与竞赛的学生的成绩不低于4分的人数．
23．（10分）阅读下列材料，回答问题．
（1）补全小明求解过程中①②所缺的内容．
（2）小明求得AB用到的几何知识是 ．
（3）请你同时利用皮尺和测角仪，通过在栈道上行走并测量长度、角度等几何量的方式，结合解直角三角形的知识，求玻璃栈道的高AB．写出你的测量及求解过程．（注：无法确定点B的具体位置，点B不能直接使用）
要求：请在图5中画出相应图形，测量得到的长度用字母a，b，c…表示，角度用α，β，γ…表示，测量次数不超过4次（测量的几何量能求出AB，且测量的次数最少，才能得满分）．
24．（12分）如图，二次函数y＝ax2+c的图象的顶点为A（0，3），点B（2，4）在二次函数的图象上，M为二次函数图象上的一动点．
（1）求二次函数的表达式．
（2）如图1，当点M的横坐标为8时，连接AM，N为线段AM上的一动点，过点N作NP∥y轴，交抛物线于点P，作NQ⊥y轴，交y轴于点Q，求NP+NQ的最大值．
（3）如图2，连接MB并延长，交一次函数y＝x的图象于点C，过点C作CD∥y轴，交二次函数的图象于点D，连接MD．小林发现，在点M运动的过程中，直线MD始终经过某个定点，请直接写出该定点的坐标，不必说明理由．
25．（14分）如图1，在△ABC中，AB⊥BC，CP为∠ACB的平分线，交AB于点P，过点A作AM⊥AC，交CP的延长线于点M，过点P作PQ⊥AC于点Q，过点M作MN⊥AB于点N，MN＝AQ．
（1）求证：AN＝PB．
（2）若NP＝2，PB＝3，求CM的长．
（3）如图2，在（2）的条件下，E是线段MN上的一点，连接EP并延长，交边BC于点K，D是边AC上的一点，连接DK，∠DKE＝∠ACB，EF⊥PM于点H，交CB的延长线于点F，若，求DQ的长．
2024年福建省福州市高新区中考数学模拟试卷（4月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）2的相反数是（ ）
A．B．C．﹣2D．2
【答案】C
【分析】根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：2的相反数是﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2．（4分）如图，榫卯结构是我国一项精湛的木工技艺，该榫卯零件的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看，底层是一个较大的矩形，上层中间是一个小矩形．
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
3．（4分）2023年福建交通建设精品工程不断涌现，平潭海峡公铁大桥获评国家优质工程金奖，大桥全长16.323公里，全桥钢结构用量1240000吨，将数据“1240000”用科学记数法表示为（ ）
A．124×104B．12.4×105C．1.24×106D．0.124×107
【答案】C
【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【解答】解：1240000＝1.24×106，
故选：C．
【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
4．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5B．a（a﹣1）＝a2﹣1
C．a2÷a2＝0D．（3a）2＝9a2
【答案】D
【分析】根据合并同类项、单项式乘多项式、同底数幂的除法、积的乘方分别计算判断即可．
【解答】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B、a（a﹣1）＝a2﹣a，故此选项不符合题意；
C、a2÷a2＝1，故此选项不符合题意；
D、（3a）2＝9a2，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项、单项式乘多项式、同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握这些运算法则是解题的关键．
5．（4分）如图，A为反比例函数图象上的一点，AB⊥x轴，△OAB的面积为2，则水墨蜻蜓在反比例函数图象上的落点的坐标可能为（ ）
A．（1，2）B．（1，3）C．（1，4）D．（1，5）
【答案】C
【分析】根据k的几何含义可得k的值，从而根据k＝xy判断即可．
【解答】解：∵AB垂直于x轴，△OAB的面积为2，k＞0，
∴k＝2×2＝4，
∴y＝，
∵1×4＝4，
∴水墨蜻蜓在反比例函数图象上的落点的坐标可能是（1，4），
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，解决问题的关键是熟练掌握反比例函数y＝中k＝xy．
6．（4分）如图，在等边△ABC中，AB＝4，BD⊥AB，CD∥AB，则CD的长度为（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】A
【分析】根据等边三角形的性质求出AB＝BC＝4，∠ABC＝60°，结合垂直的定义、平行线的性质求出∠CBD＝30°，∠D＝90°，根据含30°的直角三角形的性质求解即可．
【解答】解：在等边△ABC中，AB＝4，
∴AB＝BC＝4，∠ABC＝60°，
∵BD⊥AB，
∴∠ABD＝90°，
∴∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC＝30°，
∵CD∥AB，
∴∠D+∠ABD＝180°，
∴∠D＝90°，
∴CD＝BC＝2，
故选：A．
【点评】此题考查了等边三角形的性质，熟记等边三角形的性质是解题的关键．
7．（4分）我国明代数学家程大位编著的《算法统宗》中有“以碗知僧”趣题：“巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，恰合用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共进一碗羹．请问先生能算者，都来寺内几多僧？”其大意：某古寺用餐，3名僧人合吃一碗饭，4名僧人合分一碗汤，一共用了364只碗，问有多少名僧人？设寺内有x名僧人，则可列方程（ ）
A．3x+4x＝364B．
C．D．
【答案】D
【分析】由“设和尚的个数为x，3个和尚合吃一碗饭“知共用饭碗x只，由“4个和尚合分一碗汤“知共用汤碗x只，再根据总用了364只碗，即可列出方程．
【解答】解：根据题意得，
x+x＝364．
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，关键是以碗的只数作为等量关系列方程求解．
8．（4分）近年来，福建走特色路、打特色牌，振兴乡村，发展特色小镇旅游经济，实现乡村居民创收．亮亮调查了家乡小镇10家餐饮企业的年收入情况，并绘制成下表（数据已取整）．根据图表信息，下列描述正确的是（ ）
A．年收入的中位数为4.5
B．年收入的众数为5
C．年收入的平均数为4.4
D．年收入的方差为6.4
【答案】C
【分析】根据众数、中位数、平均数及方差的定义逐一计算即可．
【解答】解：这组数据排列为3、4、4、4、4、4、5、5、5、6，
所以这组数据的众数为4，中位数为＝4，
平均数为×（3+4×5+5×3+6）＝4.4，
方差为×[（3﹣4.4）2+（4﹣4.4）2×5+（5﹣4.4）2×3+（6﹣4.4）2]＝0.64，
故选：C．
【点评】本题主要考查方差、平均数、众数和中位数，解题的关键是掌握方差、平均数、众数和中位数的定义．
9．（4分）如图，学校为举办文艺汇演搭建了舞台及登台的台阶，台阶总高度AB＝60cm，台阶部分铺红地毯，地毯长度为140cm，支撑钢梁DE⊥AC，且D为BC的中点，则钢梁DE的长为（ ）
A．20cmB．24cmC．32cmD．40cm
【答案】B
【分析】根据题意可得：AB⊥BC，从而根据垂直定义可得∠DEC＝∠ABC＝90°，再根据已知易得：BC＝80cm，从而在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AC的长，然后根据线段的中点定义可得CD＝40cm，再证明△ECD∽△BCA，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠DEC＝∠ABC＝90°，
∵AB＝60cm，AB+BC＝140cm，
∴BC＝140﹣60＝80（cm），
∴AC＝＝＝100（cm），
∵点D是BC的中点，
∴CD＝BC＝40（cm），
∵∠ACB＝∠DCE，
∴△ECD∽△BCA，
∴＝，
∴＝，
解得：DE＝24，
∴钢梁DE的长为24cm，
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
10．（4分）我们知道，除三角形外，其他多边形都不具有稳定性．如图，将正五边形OABCD的边AB固定，向右推动该正五边形，使得O为AD的中点，且点A，B，C，D在以点O为圆心的圆上，过点C作⊙O的切线EF，则∠BCF的度数为（ ）
A．18°B．30°C．36°D．54°
【答案】B
【分析】连接OC，OB，根据正五边形的性质得到∠BOC＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠OCB＝∠OBC＝（180°﹣60°）＝60°，根据切线的性质得到∠OCF＝90°，于是得到结论．
【解答】解：连接OC，OB，
∵五边形OABCD的正五边形，
∴AB＝BC＝CD，
∴，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AOB＝∠COD＝∠BOC＝，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝（180°﹣60°）＝60°，
∵点C作⊙O的切线EF，
∴∠OCF＝90°，
∴∠BCF＝90°﹣60°＝30°，
故选：B．
【点评】本题考查了正多边形与圆，切线的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，正确地找出辅助线是解题的关键．
二、填空题（本题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）如图，数轴上的三个点中，表示负数的是点 M ．
【答案】M．
【分析】根据数轴的概念和数轴上各点的分布即可得出答案．
【解答】解：由数轴可知，取右方向为正方向，可得：在原点左侧的各点为负数，在原点右侧的各点为正数，
∵M点在原点的左侧，N点，P点在原点的右侧，
∴表示负数的是点M，
故答案为：M．
【点评】本题考查的是数轴，正数和负数，熟练掌握数轴的定义和数轴上各点的分布是解题的关键．
12．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，且EA平分∠BED．若DE＝5，则AD的长为 5 ．
【答案】5．
【分析】过点A作AF⊥DE，根据角平分线的性质可得AB＝AF，结合矩形的性质可得AF＝DC，进而得出△ADF≌△DEC即可解答．
【解答】解：过点A作AF⊥DE，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，AB＝DC，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CED，
∵EA平分∠BED．
∴AB＝AF＝DC，
∴△ADF≌△DEC（AAS），
∴AD＝DE＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质是解题关键．
13．（4分）如图，在等腰直角△ABC中，AB＝AC，尺规作图如下：以点B为圆心，适当长为半径画弧，交边BC于点D，分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画两条弧，两弧分别交于点E，F，连接EF，EF与AB，BC分别交于点G，H，则∠AGH＝ 135° ．
【答案】135°．
【分析】由作图可知，EF垂直平分BD，由等腰直角三角形的性质结合三角形外角的性质即可得出结果．
【解答】解：由作图可知，EF垂直平分BD，
∴∠GHB＝90°，
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝45°，
∴∠AGH＝∠B+∠GHB＝90°+45°＝135°，
故答案为：135°．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，线段垂直平分线的作法与性质，等腰直角三角形的性质，熟记线段垂直平分线的作法与性质是解题的关键．
14．（4分）2024年央视春晚的主题为“龙行龘龘，欣欣家国”．“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌．将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张不放回，再从盒中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上都印有汉字“龘”的概率为 ．
【答案】．
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及抽取的两张卡片上都印有汉字“龘”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上都印有汉字“龘”的结果有2种，
∴抽取的两张卡片上都印有汉字“龘”的概率为＝．
故答案为：．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
15．（4分）已知a+b＝2，ab＝﹣5，则a3b+2a2b2+ab3的值为 ﹣20 ．
【答案】﹣20．
【分析】先将原式变形为ab×（a+b）2，再将a+b＝2，ab＝﹣5代入，即可得出答案．
【解答】解：原式＝ab×（a2+2ab+b2）
＝ab×（a+b）2，
将a+b＝2，ab＝﹣5代入，
∴原式＝﹣5×22＝﹣20，
故答案为：﹣20．
【点评】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握其运算方法是解题的关键．
16．（4分）抛物线W：y＝x2﹣2x+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，将抛物线W沿y轴向上平移得到抛物线W'，抛物线W'与y轴交于点D，当CD＝OC时，抛物线W'与x轴有且只有一个交点，则AB的长为 ．
【答案】．
【分析】设向上平移得到抛物线W'的解析式为y＝x2﹣2x+n+m，利用CD＝OC，得到m＝n，利用抛物线W'与x轴有且只有一个交点，求得n＝；设A（α，0），B（β，0），则α，β是方程x2﹣2x+＝0的根，利用一元二次方程的根与系数的关系解答即可得出结论．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+n与y轴交于点C，
∴C（0，n），
∴OC＝n．
设向上平移得到抛物线W'的解析式为y＝x2﹣2x+n+m，
∵抛物线W'与y轴交于点D，
∴D（0，m+n），
∴OD＝m+n．
∴CD＝OD﹣OC＝m．
∵CD＝OC，
∴m＝n．
∴抛物线W'的解析式为y＝x2﹣2x+2n，
∵抛物线W'与x轴有且只有一个交点，
∴（﹣2）2﹣4×1×2n＝0，
∴n＝．
∴抛物线W的解析式为y＝x2﹣2x+，
设A（α，0），B（β，0），则α，β是方程x2﹣2x+＝0的根，
∴α+β＝2，αβ＝．
∴AB＝|α﹣β|＝＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一元二次方程的根与系数的关系，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
三、解答题（本题共9个小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算：+|﹣2|﹣（）﹣1．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据二次根式的性质、绝对值的性质、负指数幂的运算法则化简计算即可．
【解答】解：原式＝2+2﹣﹣2
＝
【点评】本题考查实数的运算、负指数幂的原式法则、绝对值的化简等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考基础题．
18．（8分）解方程组：．
【答案】．
【分析】利用加减消元法解方程组即可．
【解答】解：，
①﹣②得：4y＝﹣4，
解得：y＝﹣1，
将y＝﹣1代入①得：x﹣1＝﹣1，
解得：x＝0，
故原方程组的解为．
【点评】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．
19．（8分）如图，点E，F分别在平行四边形ABCD的边BC，AD上，且AF＝CE，求证：∠BAE＝∠DCF．
【答案】见解析．
【分析】根据平行四边形的对边相等可得AB＝CD，BC＝AD，对角相等可得∠B＝∠D，然后求出DF＝BE，再利用“边角边”证明两三角形全等即可得到结论．
【解答】证明：在平行四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，∠B＝∠D，
∵AF＝CE，
∴AD﹣AF＝BC﹣CE，
即DF＝BE，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴∠BAE＝∠DCF．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，求出DF＝BE是证明三角形全等的关键．
20．（8分）先化简，再求值：（1+）÷，其中x＝+1．
【答案】，．
【分析】先通分括号内的式子，再算括号外的除法，然后将x的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：（1+）÷
＝•
＝•
＝，
当x＝+1时，原式＝＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的弦，∠ABC＝40°，D为的中点，连接BD，CD，AD，OE∥BC，交⊙O于点E．
（1）求∠ABD的度数；
（2）若AB＝6，求扇形EOB的面积．
【答案】（1）65°；
（2）π．
【分析】（1）连接AC，则∠BAC＝90°﹣∠ABC＝50°，根据点D为BC弧的中点得∠CAD＝∠BAD＝∠BAC＝25°，进而得∠CBD＝∠CAD＝25°，据此可得∠ABD的度数；
（2）先求出⊙O为3，再根据OE∥BC得∠BOE＝∠ABC＝40°，然后根据扇形EOB的面积公式可得出答案．
【解答】解：（1）连接AC，如下图所示：

∵AB为⊙O的直径，∠ABC＝40°，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°，
∵点D为BC弧的中点，
∴BD弧＝CD弧，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC＝×50°＝25°，
∴∠CBD＝∠CAD＝25°，
∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝40°+25°＝65°；
（2）∵AB＝6，
∴OB＝AB＝3，
∵OE∥BC，
∴∠BOE＝∠ABC＝40°，
∴扇形EOB的面积为：＝π．
【点评】此题主要考查了圆周角定理，扇形的面积，准确识图，熟练掌握圆周角定理和扇形的面积公式是解决问题的关键．
22．（10分）AI的迅猛发展在多个领域影响着我们的生活．某校七、八年级利用课余时间举办了人工智能知识竞赛活动，并从七、八年级各随机抽取了10名学生代表的成绩（满分：5分）进行了整理、描述和分析，相关信息如下．
a．七年级10名学生代表成绩的中位数和众数相同，且每个得分的人数均不少于1人．
b．七年级10名学生代表成绩的条形统计图（尚不完整），八年级10名学生代表成绩的扇形统计图及七、八年级学生代表成绩的平均数与方差对比表格如下．
七、八年级学生代表成绩的平均数与方差
请根据以上信息，解答下列问题．
（1）学生代表成绩比较整齐的是 七 年级．（填“七”或“八”）
（2）补全条形统计图．
（3）若共有400名学生参与竞赛，根据七年级和八年级学生代表的成绩，请估计参与竞赛的学生的成绩不低于4分的人数．
【答案】（1）七；
（2）见解析；
（3）160人．
【分析】（1）根据方差的意义判断即可；
（2）根据七年级10名学生代表成绩的中位数和众数相同，且每个得分的人数均不少于1人，求出2分和3分的人数，即可补全条形统计图；
（3）用400乘以参与竞赛的学生的成绩不低于4分的人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）∵1.16＜1.56，
∴学生代表成绩比较整齐的是七年级；
故答案为：七；
（2）∵七年级10名学生代表成绩的中位数和众数相同，且每个得分的人数均不少于1人，
∴2分和3分的人数分别有1人和4人，
补全条形统计图如下：
（3）抽取的八年级学生的成绩不低于4分的人数有10×（20%+20%）＝4（人），
400×＝160（人），
答：估计参与竞赛的学生的成绩不低于4分的人数有160人．
【点评】本题考查的是条形统计图，扇形统计图，中位数，众数，方差和用样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23．（10分）阅读下列材料，回答问题．
（1）补全小明求解过程中①②所缺的内容．
（2）小明求得AB用到的几何知识是 矩形的对边相等 ．
（3）请你同时利用皮尺和测角仪，通过在栈道上行走并测量长度、角度等几何量的方式，结合解直角三角形的知识，求玻璃栈道的高AB．写出你的测量及求解过程．（注：无法确定点B的具体位置，点B不能直接使用）
要求：请在图5中画出相应图形，测量得到的长度用字母a，b，c…表示，角度用α，β，γ…表示，测量次数不超过4次（测量的几何量能求出AB，且测量的次数最少，才能得满分）．
【答案】（1）矩形，vt；
（2）矩形的对边相等；
（3）AB＝a．
【分析】（1）根据矩形的判定和性质以及物理知识解答即可；
（2）根据矩形的性质解答即可；
（3）根据锐角的三角函数值定理来解答即可．
【解答】解（1）由题意，知∠MNA＝∠BMN＝∠NAB＝90°，
∴四边形ABMN为矩形，
∴AB＝MN＝vt m．
故答案为：矩形，vt；
（2）小明根据矩形的对边相等来设计方案；
故答案为：矩形的对边相等；
（3）在B的一侧取一点E，用测角仪测量∠BEA＝α，再取一点F，测量EF的长a，以及∠BFA＝β，如图：
∵AB⊥FB，
∴tanα＝，tanβ＝，
∴BE＝，BF＝，
又∵BF﹣BE＝a，
∴AB＝a．
【点评】本题主要考查了应用与设计作图，结合物理知识，熟练运用矩形的判定与性质以及锐角三角函数的定义是本题解题的关键．
24．（12分）如图，二次函数y＝ax2+c的图象的顶点为A（0，3），点B（2，4）在二次函数的图象上，M为二次函数图象上的一动点．
（1）求二次函数的表达式．
（2）如图1，当点M的横坐标为8时，连接AM，N为线段AM上的一动点，过点N作NP∥y轴，交抛物线于点P，作NQ⊥y轴，交y轴于点Q，求NP+NQ的最大值．
（3）如图2，连接MB并延长，交一次函数y＝x的图象于点C，过点C作CD∥y轴，交二次函数的图象于点D，连接MD．小林发现，在点M运动的过程中，直线MD始终经过某个定点，请直接写出该定点的坐标，不必说明理由．
【答案】（1）二次函数的表达式为y＝x2+3；
（2）n＝6时，NP+NQ取得最大值，最大值为9；
（3）直线MD恒过定点（2，6）．
【分析】（1）把点A（0，3）和点B（2，4）代入y＝ax2+c，用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出点M的坐标，再用待定系数法求出直线AM的解析式，然后设点N的坐标为（n，2n+3），则点P（n，n2+3），NQ＝n，得出NP+NQ＝2n+3﹣（n2+3）+n＝﹣n2+3n＝﹣（n﹣6）2+9，然后根据二次函数的性质以及n的取值范围求出最大NP+NQ的最大值；
（3）设点M的坐标为（m，+3），直线MB的表达式为y＝k′x+b′，把点M，B坐标代入解析式，求出直线MB的表达式为y＝（m+2）x+3﹣m，然后再求出点D坐标，再用待定系数法求出直线MD的解析式，然后得出直线MD恒过定点（2，6）．
【解答】解：（1）把点A（0，3）和点B（2，4）代入y＝ax2+c，
得，
解得，
∴二次函数的表达式为y＝x2+3；
（2）∵M为二次函数图象上的点，且点M的横坐标为8，
∴y＝﹣×82+3＝19，即点M（8，19）．
设直线AM的表达式为y＝kx+b，
将点A（0.3），M（8.19）代入，
得，
解得，
∴直线AM的表达式为y＝2x+3，
设点N的坐标为（n，2n+3），则点P（n，n2+3），NQ＝n，
∴NP+NQ＝2n+3﹣（n2+3）+n＝﹣n2+3n＝﹣（n﹣6）2+9，
∵﹣＜0，0≤n≤8，
∴当n＝6时，NP+NQ取得最大值，最大值为9；
（3）（2，6）．理由：
设点M的坐标为（m，+3），直线MB的表达式为y＝k′x+b′，
将点B（2，4），M（m，+3）代入y＝k′x+b′得，
解得，
∴直线MB的表达式为y＝（m+2）x+3﹣m，
令y＝x，解得x＝，
将x＝代入y＝x2+3，得y＝+3，
∴点D坐标为（，+3），
设直线MD的表达式为y＝k″x+b″，
将点M（m，+3），D（，+3）代入，得，
解得，
∴直线MD的表达式为y＝x﹣＝，
∴当m＝2时，y＝＝＝6，
即直线MD恒过定点（2，6）．
【点评】本题主要考查二次函数的综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，直线与抛物线的交点，二次函数的性质，二次函数的最值等知识，关键是求出函数解析式．
25．（14分）如图1，在△ABC中，AB⊥BC，CP为∠ACB的平分线，交AB于点P，过点A作AM⊥AC，交CP的延长线于点M，过点P作PQ⊥AC于点Q，过点M作MN⊥AB于点N，MN＝AQ．
（1）求证：AN＝PB．
（2）若NP＝2，PB＝3，求CM的长．
（3）如图2，在（2）的条件下，E是线段MN上的一点，连接EP并延长，交边BC于点K，D是边AC上的一点，连接DK，∠DKE＝∠ACB，EF⊥PM于点H，交CB的延长线于点F，若，求DQ的长．
【答案】（1）见解析过程；
（2）CM＝5；
（3）．
【分析】（1）由角平分线的性质可得BP＝PQ，由“AAS”可证△AMN≌△PAQ，可得AN＝QP＝BP；
（2）由勾股定理可求MN，MP的长，通过证明△MNP∽△CBP，即可求解；
（3）由相似三角形的性质可求BC＝6，由锐角三角函数可求x的值，可求BK的长，由锐角三角函数和勾股定理可求CT，KT的长，即可求解．
【解答】（1）证明：∵AB⊥BC，CP为∠ACB的平分线，PQ⊥AC
∴BP＝PQ，
∵PQ⊥AC，AM⊥AC，
∴∠ANM＝∠AQP＝90°，
∴∠MAN+∠PAQ＝90°＝∠PAQ+∠APQ，
∴∠APQ＝∠MAN，
又∵MN＝QA，
∴△AMN≌△PAQ（AAS），
∴AN＝QP，MN＝AQ，
∴AN＝BP；
（2）解：∵NP＝2，PB＝3＝PQ＝AN，
∴BN＝AP＝5＝AM，
∴MN＝＝＝4，
∴AQ＝MN＝4，
∴MP＝＝＝2，
∵MN⊥AB，BC⊥AB，
∴MN∥BC，
∴△MNP∽△CBP，
∴，
∴，
∴CP＝3；
∴MC＝5；
（3）如图，过点N作NG∥EF，交FC于G，作KT⊥AC于T，
∵△MNP∽△CBP，
∴，
∴＝，
∴BC＝6，
∵AB＝3+3+2＝8，
∴AC＝＝＝10，
∴CQ＝10﹣4＝6，
∵，
∴设BK＝2x，FK＝5x，
∵MN∥BC，EF∥GN，
∴四边形EFGN是平行四边形，△ENP∽△KBP，
∴EN＝FG，，
∴EN＝x＝FG，
∵NG∥EF，EF⊥MP，
∴NG⊥MP，
∴∠NMP+∠MPN＝∠MPN+∠GNB＝90°，
∴∠NMP＝∠BNG，
∴tan∠NMP＝tan∠BNG＝，
∴，
∴GB＝
∴x++2x＝5x，
∴x＝，
∴BK＝3，
∴BK＝BP＝3＝CK，
∴∠BKP＝45°，
∵cs∠ACB＝，
∴，
∴CT＝，
∴KT＝＝，
∵∠BKD＝∠BCD+∠KDC＝∠PKD+∠BKP，
∴∠BKP＝∠KDC＝45°，
∴DT＝KT＝，
∴DQ＝6﹣﹣＝．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
平均数
方差
七年级
3.2
1.16
八年级
3.2
1.56
任务：利用浮球测量一个玻璃栈道的高AB，玻璃栈道桥面为透明玻璃，可观测到玻璃栈道下方的物体．如图1，栈道建设在两山体之间，栈道下方为河面，玻璃栈道与河面平行，浮球A在玻璃栈道正下方的河面上．
工具：如图2，工具有一把皮尺（测量长度小于AB）、一台测角仪及一架无人机．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离，测角仪的功能是测量俯角的大小．
例如：如图3，测角仪可测得∠POQ的度数，测角仪的高度忽略不计．
小明利用无人机测量玻璃栈道的高AB，其测量和求解过程如下．
测量过程：如图4，任选玻璃栈道上的一点M，从桥边（与桥高度相同）释放无人机，无人机竖直匀速下降至水面N处停止下降，无人机的下降速度为v m/s，下降时间为t s．
求解过程：由题意，知∠MNA＝∠BMN＝∠NAB＝90°，
∴四边形ABMN为① ，
∴AB＝MN＝② m．
龙
行
龘
龘
龙
（龙，行）
（龙，龘）
（龙，龘）
行
（行，龙）
（行，龘）
（行，龘）
龘
（龘，龙）
（龘，行）
（龘，龘）
龘
（龘，龙）
（龘，行）
（龘，龘）
平均数
方差
七年级
3.2
1.16
八年级
3.2
1.56
任务：利用浮球测量一个玻璃栈道的高AB，玻璃栈道桥面为透明玻璃，可观测到玻璃栈道下方的物体．如图1，栈道建设在两山体之间，栈道下方为河面，玻璃栈道与河面平行，浮球A在玻璃栈道正下方的河面上．
工具：如图2，工具有一把皮尺（测量长度小于AB）、一台测角仪及一架无人机．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离，测角仪的功能是测量俯角的大小．
例如：如图3，测角仪可测得∠POQ的度数，测角仪的高度忽略不计．
小明利用无人机测量玻璃栈道的高AB，其测量和求解过程如下．
测量过程：如图4，任选玻璃栈道上的一点M，从桥边（与桥高度相同）释放无人机，无人机竖直匀速下降至水面N处停止下降，无人机的下降速度为v m/s，下降时间为t s．
求解过程：由题意，知∠MNA＝∠BMN＝∠NAB＝90°，
∴四边形ABMN为① 矩形 ，
∴AB＝MN＝② vt m．