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2024年江西省萍乡市中考一模数学试题（原卷版+解析版）
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说明：
1．本卷共六大题，23小题，全卷满分120分，考试时间120分钟．
2．本卷所有题均在答题卡上作答，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1. 下列各数中，绝对值最大的是（ ）
A. 2B. C. D.
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，这是由两个完全相同的小正方体与一个长方体搭成的几何体，则它的俯视图为（ ）
A. B. C. D.
4. 某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A. 袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球B. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
C. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2D. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
5. 二次函数（）的图象如图所示，反比例函数与正比例函数在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=，E为OC上一点，OE=1，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，与BD交于点G，则BF的长是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，请把答案填在答题卡上）
7. 因式分解：________．
8. 我国古代（易经）一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，爱思考的小贤利用这个方法，在练习本上从上往下依次每行画上△，满八进一，用来记录一周背诵单词的个数，图1表示他第一周背的单词数为，图2表示他第二周背的单词数，则他第二周背了___个单词．
9. 如图，在中，，，，点、分别在、上，沿将翻折使顶点的对应点落在上，若，则等于__________．
10. 若，是方程的两个根，则的值为___．
11. 某村电路发生断电，该地供电局组织电工进行抢修．供电局距离该村15千米，抢修车装载着所需材料先从供电局出发，15分钟后，电工乘吉普车从同一地点出发，结果他们同时到达．已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，则抢修车的速度是________千米小时．
12. 平面内有四个点A、O、B、C，其中∠AOB=1200，∠ACB=600，AO=BO=2，则满足题意的OC长度为整数的值可以是_______．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）计算：．
（2）如图，在中，，D，E分别是，的中点，连接，求证：．
14. 解不等式组，并将它的解集在下面的数轴上表示出来．
15. 如图，已知，，均上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．
（1）在图①中，若，作一个的角；
（2）在图②中，若，分别是边的中点，作的内心．
16. 小明乘车从家到学校需要在公园站台转车，从家到该站台可乘三路车（小明乘三路车的可能性相同），到了该站台后可以转乘D路或E路车直接到学校（小明乘两路车的可能性相同）
（1）小明从家到学校乘坐A路车概率是________．
（2）用列表或画树状图的方法，求小明先乘坐A路车，再转乘D路车到学校的概率．
17. “光明商店”为了抓住某次活动的商机，决定购买一些纪念品进行销售，若购进A种纪念品5件，B种纪念品4件，需要620元；购进A种纪念品7件，B种纪念品8件，需要1180元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若每件A种纪念品售价为56元，每件B种纪念品的售价为160元．考虑到市场需求，商店决定购进这两种纪念品共300件，要求购进B种纪念品的数量不少于30件，设购进B种纪念品m件，总利润为W元，请写出总利润W（元）与m（件）的函数关系式，并根据函数关系式说明利润最高时的进货方案．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 某数学兴趣小组就周六早晨6点至7点在市民公园参加锻炼各年龄段人群做了抽样调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图表．
根据以上信息回答下列问题：
（1）扇形统计图中圆心角的度数为________，并补全条形统计图；
（2）通过问卷了解到周六早晨6点至7点到公园参加锻炼的5个少年人的年龄依次是14，16，15，16，17，求这5个数据的中位数及众数；
（3）该公园周六早晨6点至7点约有1000人进园锻炼，估计该公园周六约有多少青年人进园锻炼，你想对现在的青年人说些什么？
19. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点，点C在x轴上，为直角三角形，且．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）求点C的坐标．
20. 图1是放在散热支架上的笔记本电脑实物图，图2是它的侧面示意图，点B，C，D处可转动，支撑架．若电脑显示屏的边，且垂直于桌面，．
（1）求的度数．
（2）求笔记本电脑显示屏边的端点F到桌面的距高．（结果精确到1cm）（，）
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 如图，在中，，是的外接圆，的延长线与的延长线交于E．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长.
22. 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知，，连接，．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得以为顶点的三角形与相似，求出点P的坐标；
（3）若点M是抛物线上的一个动点，且位于第一象限内，连接，．设的面积为S，试求S的最大值．
六、解答题（本大题共12分）
23. 问题情境：如图1，在矩形中，，．E为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点C落在边的点处．
猜想验证：
（1）填空：的长为________；
（2）如图2，将沿线段向右平移，使点与点B重合，得到，与交于点F，与交于点G．
①连接，．图中除矩形外，还有几个平行四边形？请一一列举出来，再选其中一个，进行证明；
②求的长；
拓展研究：
（3）如图3，将绕点B按逆时针方向旋转一定角度，分别交和于点M和点N．当时，分别求出值和线段的长．
类别
年龄段
人数
占总人数百分比
少年人（A）
5
青年人（B）
10
中年人（C）
m
老年人（D）
20
说明：
1．本卷共六大题，23小题，全卷满分120分，考试时间120分钟．
2．本卷所有题均在答题卡上作答，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1. 下列各数中，绝对值最大的是（ ）
A. 2B. C. D.
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，这是由两个完全相同的小正方体与一个长方体搭成的几何体，则它的俯视图为（ ）
A. B. C. D.
4. 某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A. 袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球B. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
C. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2D. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
5. 二次函数（）的图象如图所示，反比例函数与正比例函数在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=，E为OC上一点，OE=1，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，与BD交于点G，则BF的长是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，请把答案填在答题卡上）
7. 因式分解：________．
8. 我国古代（易经）一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，爱思考的小贤利用这个方法，在练习本上从上往下依次每行画上△，满八进一，用来记录一周背诵单词的个数，图1表示他第一周背的单词数为，图2表示他第二周背的单词数，则他第二周背了___个单词．
9. 如图，在中，，，，点、分别在、上，沿将翻折使顶点的对应点落在上，若，则等于__________．
10. 若，是方程的两个根，则的值为___．
11. 某村电路发生断电，该地供电局组织电工进行抢修．供电局距离该村15千米，抢修车装载着所需材料先从供电局出发，15分钟后，电工乘吉普车从同一地点出发，结果他们同时到达．已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，则抢修车的速度是________千米小时．
12. 平面内有四个点A、O、B、C，其中∠AOB=1200，∠ACB=600，AO=BO=2，则满足题意的OC长度为整数的值可以是_______．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）计算：．
（2）如图，在中，，D，E分别是，的中点，连接，求证：．
14. 解不等式组，并将它的解集在下面的数轴上表示出来．
15. 如图，已知，，均上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．
（1）在图①中，若，作一个的角；
（2）在图②中，若，分别是边的中点，作的内心．
16. 小明乘车从家到学校需要在公园站台转车，从家到该站台可乘三路车（小明乘三路车的可能性相同），到了该站台后可以转乘D路或E路车直接到学校（小明乘两路车的可能性相同）
（1）小明从家到学校乘坐A路车概率是________．
（2）用列表或画树状图的方法，求小明先乘坐A路车，再转乘D路车到学校的概率．
17. “光明商店”为了抓住某次活动的商机，决定购买一些纪念品进行销售，若购进A种纪念品5件，B种纪念品4件，需要620元；购进A种纪念品7件，B种纪念品8件，需要1180元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若每件A种纪念品售价为56元，每件B种纪念品的售价为160元．考虑到市场需求，商店决定购进这两种纪念品共300件，要求购进B种纪念品的数量不少于30件，设购进B种纪念品m件，总利润为W元，请写出总利润W（元）与m（件）的函数关系式，并根据函数关系式说明利润最高时的进货方案．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 某数学兴趣小组就周六早晨6点至7点在市民公园参加锻炼各年龄段人群做了抽样调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图表．
根据以上信息回答下列问题：
（1）扇形统计图中圆心角的度数为________，并补全条形统计图；
（2）通过问卷了解到周六早晨6点至7点到公园参加锻炼的5个少年人的年龄依次是14，16，15，16，17，求这5个数据的中位数及众数；
（3）该公园周六早晨6点至7点约有1000人进园锻炼，估计该公园周六约有多少青年人进园锻炼，你想对现在的青年人说些什么？
19. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点，点C在x轴上，为直角三角形，且．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）求点C的坐标．
20. 图1是放在散热支架上的笔记本电脑实物图，图2是它的侧面示意图，点B，C，D处可转动，支撑架．若电脑显示屏的边，且垂直于桌面，．
（1）求的度数．
（2）求笔记本电脑显示屏边的端点F到桌面的距高．（结果精确到1cm）（，）
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 如图，在中，，是的外接圆，的延长线与的延长线交于E．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长.
22. 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知，，连接，．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得以为顶点的三角形与相似，求出点P的坐标；
（3）若点M是抛物线上的一个动点，且位于第一象限内，连接，．设的面积为S，试求S的最大值．
六、解答题（本大题共12分）
23. 问题情境：如图1，在矩形中，，．E为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点C落在边的点处．
猜想验证：
（1）填空：的长为________；
（2）如图2，将沿线段向右平移，使点与点B重合，得到，与交于点F，与交于点G．
①连接，．图中除矩形外，还有几个平行四边形？请一一列举出来，再选其中一个，进行证明；
②求的长；
拓展研究：
（3）如图3，将绕点B按逆时针方向旋转一定角度，分别交和于点M和点N．当时，分别求出值和线段的长．
类别
年龄段
人数
占总人数百分比
少年人（A）
5
青年人（B）
10
中年人（C）
m
老年人（D）
20
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