天津市东丽区华新共同体2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列各图中，和是对顶角的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用对顶角的定义判断即可．
【详解】解：利用对顶角的定义可知，只有图D中与是对顶角，
故选：D．
【点睛】本题考查了对顶角，解题的关键是掌握对顶角的定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
2. 在实数：，，（1和3之间的2逐次加1个），，4，，中，无理数有( )
A 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】C
【解析】
【分析】根据无理数的定义，即无理数也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比．若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环依次判断即可．
【详解】解：是有限小数，是有理数；
是无限不循环小数，是无理数；
（1和3之间的2逐次加1个），是无限不循环小数，是无理数；
是无限不循环小数，是无理数；
4是整数，是有理数；
是无限不循环小数，是无理数；
是分数，是有理数．
综上所述：无理数共有４个
故选：C．
【点睛】本题考查实数的分类．掌握无理数的定义是解题关键．
3. 在平面直角坐标系的第四象限内有一点，到轴的距离为4，到轴的距离为5，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系每一象限点的坐标特征是解题的关键．根据平面直角坐标系中点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，然后再根据第四象限内点的坐标特征，即可解答．
【详解】解：在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点M的坐标为，
故选：B．
4. 的平方根为（ ）
A. 7B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先化简，再根据平方根的定义得到答案．
【详解】解：∵，7的平方根是，
∴的平方根是，
故选：C．
【点睛】此题考查了算术平方根的化简，求一个数的平方根，熟记化简算术平方根及平方根的定义是解题的关键．
5. 如图，已知a∥b，∠1=55°，则∠2的度数是( )．
A. 35°B. 45°C. 55°D. 125°
【答案】C
【解析】
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠3=∠1=55°，再根据对顶角相等即可求得答案.
【详解】∵a//b，
∴∠3=∠1=55°，
∴∠2=∠3=55°．
故选C．
6. 下列命题中真命题的个数有（ ）
（1）经过一点有且只有一条直线与这条直线平行
（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
（3）两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相垂直
（4）过直线m外一点P向这条直线作垂线段，这条垂线段就是点P到直线m的距离
（5）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线的性质与垂线的性质依次判断即可．
【详解】解：（1）经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，原命题为假命题，不符合题意；
（2）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题为假命题，不符合题意；
（3）两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行，，原命题为假命题，不符合题意；
（4）过直线m外一点P向这条直线作垂线段，这条垂线段的长度就是点P到直线m的距离，原命题为假命题，不符合题意；
（5）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，原命题为真命题，符合题意；
故选A．
【点睛】题目主要考查平行线与垂线的性质，熟练掌握平行线与垂线的性质是解题关键．
7. 如图，在围棋棋盘上有三枚棋子，如果黑棋❶的位置用有序数对表示，黑棋❷的位置用有序数对表示，则白棋③的位置可用有序数对表示为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据黑棋❶❷位置的表示方法结合图形即可写出白棋③的位置表示的数对．
【详解】解：因为黑棋❶的位置为，黑棋❷的位置为，则白棋③的位置为．
故选D．
【点睛】本题考查了利用有序数对确定位置，正确理解题意、掌握表示的方法是解题关键．
8. 下列等式正确的是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】原式利用平方根定义及二次根式的性质判断即可得到结果.
【详解】、原式，不符合题意；
、原式，不符合题意；
、原式没有意义，不符合题意；
、原式，符合题意.
故选.
【点睛】此题考查了算术平方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键.
9. 如图，已知点，若将线段平移至，其中点，则的值为（ ）

A. B. C. 1D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据，两点坐标可得出平移的方向和距离进而解决问题．
【详解】解：线段由线段平移得到，
且，，，，
．
故选：B．
【点睛】本题考查坐标与图象的变化，解题的关键是熟知平移过程中图象上的每一个点的平移方向和距离均相同．
10. 如图，直线，直线交于点A，交于点B，过点B的直线交于点C．若，，则等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线性质计算角度即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线性质，熟练识别同位角、内错角，同旁内角是解决本题的关键．
11. 若，则的值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解.
【详解】解：由题意得，，
解得，
∴，
故答案为：D.
【点睛】本题考查了非负数的性质，正确记忆几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题关键.
12. 如图1，将一条对边互相平行的围巾折叠，并将其抽象成相应的数学模型如图2，，折痕分别为，，若，，则等于( )

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据折叠的性质得出，，根据已知条件得出，进而得出
【详解】解：如图所示，

根据折叠可得，，
设
∵，
∴，，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴
即
又∵，即
解得：,
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分.
13. 已知，比较大小：______（填“”“”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了无理数的大小比较，根据非负数的性质求出的值即可比较，掌握无理数的大小比较方法是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
故答案为：．
14. 如图，将周长为13的三角形向右平移2个单位后得到三角形，则四边形的周长等于 _______．
【答案】17
【解析】
【分析】本题考查平移的性质，根据平移的基本性质，得出四边形的周长即可得出答案．
【详解】解：根据题意，将周长为13的沿方向向右平移2个单位得到，
∴；
又∵，
∴四边形的周长．
故答案为：17．
15. 如果的平方根是±3，则＝__________．
【答案】4
【解析】
【详解】先利用平方根及算术平方根的定义求出a的值，再代入求值即可.
解：∵平方根是±3，
∴＝9，
∴
＝＝＝4.
故答案为4.
16. 如图，若∠1=∠D=39°，∠C=51°，则∠B=___________°；
【答案】129°
【解析】
【详解】∵∠1=∠D=39°，∴AB∥CD.
∵∠C=51°，∴∠B=180°-51°=129°.
17. 已知直线，将一块含角的直角三角板ABC按如图所示方式放置()，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若，则的度数是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据平行线的性质结合三角板的角的度数即可求得答案.
【详解】，
，
故答案为.
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键.
18. 在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点出发，按“向上→向右→向下→向右→向下→向右→向上→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示．第一次移动到点，第二次移动到点，…，第次移动到点，则点的坐标是__________．

【答案】
【解析】
【分析】根据循环节的变化规律计算即可．
【详解】∵，，，
∴当序号数是4的倍数时，点位于x轴上，且横坐标为序号数除以2，
∵
∴点的坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了点的坐标的规律探索，熟练掌握规律探索是解题的关键．
三、解答题：本题共7小题，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
19. 计算，解方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【解析】
【分析】（）直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简，再合并即可得出答案；
（）直接利用绝对值的性质以及实数运算法则化简即可得出答案；
（）直接利用平方根的定义解答即可求解；
（）直接利用立方根的定义解答即可求解；
此题考查了实数运算，利用平方根、立方根的定义解方程，正确掌握相关运算法则和定义是解题的关键．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
，
；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴；
【小问4详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
20. 如图，直线，相交于点O，平分 ．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的定义可得，根据“对顶角相等”可得；
（2）由和互补，且，可求出．根据角平分线的定义可得，根据“对顶角相等”可得；
本题主要考查了角平分线的定义、对顶角相等、以及邻补角，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【小问1详解】
，平分，
，
；
【小问2详解】
，，
．
又∵平分，
，
．
21. 阅读下列文字，解答问题：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请解答：
（1）的整数部分是________，小数部分是________；
（2）已知的小数部分为a，的小数部分为b，计算a＋b的值；
（3）已知（x是整数，且0＜y＜1），（m是实数），求的平方根．
【答案】（1）3，
（2）
（3）±2
【解析】
【详解】（1）3
（2）∵，∴．
∴的整数部分为4，小数部分为．
∵，∴．
∴的整数部分为2，小数部分．
∴．
（3）∵，其中x是整数，且0＜y＜1，，
∴x＝14，．
∵，
∴m－1≥0，1－m≥0，
∴m只能为1．∴．
∴．
∴的平方根为±2．
22. 在平面直角坐标系中．
（1）若点M（m-6，2m+3）到两坐标轴的距离相等，求M的坐标；
（2）若点M（m-6，2m+3），点N（5，2），且MNy轴，求M的坐标；
（3）若点M（a，b），点N（5，2），且MNx轴，MN=3，求M的坐标．
【答案】（1）M的坐标为（-5，5）或（-15，-15）；
（2）M的坐标（5，25）；
（3）点M坐标为（2，2）或（8，2）．
【解析】
【分析】（1）由点M（m-6，2m+3）到两坐标轴的距离相等得|m-6|=|2m+3|；
（2）MNy轴，则点M，N的横坐标相等；
（3）由M，N纵坐标相等求出b,分类讨论点M在N的左右两侧．
【小问1详解】
解：点M（m-6，2m+3）到两坐标轴的距离相等，
∴|m-6|=|2m+3|，
当6-m=2m+3时，
解得m=1，m-6=-5，2m+3=5，
∴点M坐标为（-5，5）；
当6-m=-2m-3时，解得m=-9，m-6=-15，
∴点M坐标为（-15，-15）．
综上所述，M的坐标为（-5，5）或（-15，-15）；
【小问2详解】
解：∵MNy轴，
∴m-6=5，
解得m=11，11-6=5，2×11+3=25，
∴M的坐标（5，25）；
【小问3详解】
解：∵MNx轴，
∴b=2，
当点M点N左侧时，a=5-3=2，
当点M在点N右侧时，a=5+3=8，
∴点M坐标为（2，2）或（8，2）．
【点睛】本题考查平面直角坐标系，解题关键是熟练掌握点坐标在平面直角坐标系中的含义及变化规律．
23. 已知：如图，，，，，
（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据平行线的判定与性质即可证得结论；
（2）根据平行线的性质求解即可．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解答的关键．
24. 如图，的顶点．若向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，且点C的对应点坐标是．
（1）画出，并直接写出点的坐标；
（2）若内有一点经过以上平移后的对应点为，直接写出点的坐标；
（3）求的面积．
【答案】（1）见解析过程，点
（2）点
（3）
【解析】
【分析】本题考查坐标与平移，熟练掌握平移的性质是解题的关键．．
（1）根据平移规则，画出，进而写出点的坐标即可；
（2）根据平移规则，写出的坐标即可；
（3）分割法求三角形的面积即可．
【小问1详解】
如图所示：
∴点；
【小问2详解】
∵向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，
∴点；
【小问3详解】
．
25. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足，

（1）填空： ， ．
（2）若在第三象限内有一点，用含m的式子表示面积．
（3）在（2）条件下，当时，线段与y轴相交于，点P是坐标轴上的动点，当满足面积是面积的2倍时，直接写出点P的坐标．
【答案】（1），3
（2）
（3）点P的坐标为或或或
【解析】
【分析】（1）利用非负数性质求得、的值，即可得出答案；
（2）过M作轴于E，根据三角形的面积公式即可得到结果；
（3）分类讨论，P点可以在x轴上，也可以在y轴上，根据点的坐标特征以及面积公式求解即可．
【小问1详解】
∵，
∴，，
∴，；
【小问2详解】
如图1所示，过M作轴于E，

∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵在第三象限内有一点，
∴，
∴；
【小问3详解】
当时，点M的坐标为， ，
∴，
设直线交轴于C点，
①当点P在轴上时，如图：

∵
解得：，
设直线的解析式为，
把点， 代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点C的坐标为，
∴，
当点P在点C的下方时，点P的坐标为，即，
当点P在点C的上方时，点P的坐标为，即，
②当P在轴上且在点A的左侧时，设P点的坐标为，如图：

∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴P点的坐标为，
当P在轴上且在点B的D右侧时，设P点的坐标为，如图：

同理，，
∵，，
∴，
∴，
∴P点的坐标为，
综合上述：P点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了算术平方根、偶次方的非负性、三角形的面积、坐标与图形的性质以及待定系数法等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论和数形结合的数学思想．